Cơ sở wavelet trong không gian l2 (r)

Cơ sở wavelet trong không gian l2 (r)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG DUY TIẾU CƠ SỞ WAVELET TRONG KHÔNG GIAN L 2 (R) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại: Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Tháng 8 năm 2011 Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Chương 1. CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L 2 (R) 5 1.1 Không gian L 2 (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1. Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2. Biến đổi Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L 2 (R) . . . . . 8 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Định lí Balian-Low . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L 2 (R) 17 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1. Phép chiếu trong I = [0, +∞) . . . . . . . . . . . 18 2.1.2. Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] . . . . . . . . . . 20 2.2 Dùng các hàm sin và cosin . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.1. Trường hợp I = [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.2. Trường hợp I = [α, β] . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.2.3. Cơ sở trực chuẩn trong L 2 (R) . . . . . . . . . . . 31 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mở đầu Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thông tin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ. Lợi ích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳng định rõ ràng. Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với những hiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là một môn học. Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phương pháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhà toán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu. Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷ trước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông, công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác. Việc nghiên cứu khái niệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lý thuyết và ứng dụng thực tế. Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 ([0, 1)) bao gồm các hàm mũ  e 2πimx : m ∈ Z  và tập hợp các hàm lượng giác thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới). Mô hình của những cơ sở này trong không gian L 2 ([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phép tịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên. Để tìm ra được cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R) chúng ta có thể xét R là hợp của các nửa khoảng liên tiếp sau: [α j , α j+1 ), j ∈ Z, −∞ < < α j < α j+1 < < +∞, và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L 2 ([α j , α j+1 )), mở rộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [α j , α j+1 ) và sau đó lấy tổng của các hàm có được. Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiên tạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối α j khi chúng ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn, những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [α j , α j+1 ) với j ∈ Z. Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản R =  n∈N [n, n + 1) thì chúng ta nghiên cứu hệ có dạng:  g m.n (x) = e 2πimx g(x − n) : m, n ∈ Z  . Đối với mỗi hệ của loại này (thường được gọi là cơ sở Gabor), để trở thành một cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R) thì g không được "quá trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized). Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí Balian- Low. Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "very localized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R). Điều này sẽ được thực hiện trong phần 2.1, phần mà chúng ta sẽ trình bày lí thuyết về phép chiếu trơn, được giới thiệu bởi Coifman và Meyer. Lý thuyết này cho phép chúng ta "liên kết" những cơ sở thích hợp với khoảng [α j , α j+1 ). Một loạt các ví dụ của việc xây dựng này đã được đưa ra, nhưng phần lớn những ví dụ liên quan đến mục đích của chúng ta là những ví dụ tạo ra wavelet trực chuẩn ψ ∈ L 2 (R) như: ψ i,k (x) = 2 j 2 ψ(2 j x − k), j, k ∈ Z là cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R). Tương tự như vậy, trong phần 2.2 chúng ta sẽ xây dựng nên wavelet Lemanrié và Meyer. Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm 2 chương. Chương 1 Cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R) Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L 2 (R), biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong không gian L 2 (R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trong không gian L 2 (R) Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếu trơn và dùng các hàm sin và cosin. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [7]. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS.TS. Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam. Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết của Thầy. Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đại học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luân văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu trường THPT Lương Tài, các đồng nghiệp trường THPT Lương Tài-Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoàn thành kế hoạch học tập và đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hoàng Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ đã giúp tôi trình bày luận văn này. Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình xử lý văn bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc quan tâm đến luận văn này. Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011 Tác giả Lương Duy Tiếu Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L 2 (R) 1.1 Không gian L 2 (R) 1.1.1. Các khái niệm cơ bản Trước hết chúng ta giới thiệu một số kí hiệu. R ký hiệu là "đường thẳng thực", T là vòng tròn đơn vị trong một mặt phẳng phức, mà có thể được xác định bởi khoảng [−π,π), mặc dù thỉnh thoảng chúng ta sử dụng khoảng [− 1 2 , 1 2 ) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên. Tích trong của các hàm f và g được xác định là: < f, g >=  f(x)g(x)d(x), ở đó tích phân được lấy trên R hoặc T, chúng ta có bất đẳng thức Schwarz’s |< f, g >| ≤ f 2 g 2 , trong đó f 2 = (  |f| 2 ) 1 2 là chuẩn của f trong L 2 . Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳng thức Minkowski’s: f + g 2 ≤ f 2 + g 2 . Chúng ta nói rằng hai hàm f và g là trực giao nếu < f, g >= 0, kí hiệu f⊥g. Một dãy các hàm số {f n } n∈Z là một dãy trực chuẩn nếu < f m , g n >= δ m,n , trong đó δ m,n =  1, khi n = m , 0, khi n = m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−π, π) là  1 √ 2π e n  n∈Z khi e n (x) = e inx . Cho một hệ trực chuẩn {f n : n ∈ Z} và một hàm f, chúng ta xác định hệ số Fourier của f với {f n : n ∈ Z} sẽ là c k =< f, f k >, k ∈ Z. Một câu hỏi cơ bản mà chúng ta sẽ nghiên cứu để xác định khi nào và trong tình huống nào, điều này đúng với f =  k∈Z c k f k . (1.1) Khi f k (x) = e ikx , k ∈ Z, f ∈ L 2 (T), phép biểu diễn (1.1) là hợp lí trong L 2 định chuẩn. Nhìn chung, đây là một trường hợp mà chúng ta nói rằng {f k : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L 2 (T). Đẳng thức (1.1) là một công thức được xây dựng lại và nó là cơ sở cho nhiều ứng dụng của lí thuyết về wavelet. Cho một hàm f (một tín hiệu hoặc một âm thanh) chúng ta có thể lập mã cho nó bằng các hệ số {c k } k∈Z . Đẳng thức (1.1) cho phép ta xây dựng lại tín hiệu đó từ những hệ số c k và cơ sở đã sử dụng khi lập mã. Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lại một cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác. Với mỗi hệ trực chuẩn {f n : n ∈ Z}, chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s  k∈Z |c k | 2 ≤ f 2 2 . Hơn thế nữa, nếu hệ đó là một hệ cơ sở thì chúng ta có đẳng thức. Ngược lại, nếu một hệ trực chuẩn {f n : n ∈ Z} thỏa mãn  k∈Z |c k | 2 = f 2 2 (1.2) với mọi f ∈ L 2 (T), thì hệ đó là một cở sở trong L 2 (T). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.1.2. Biến đổi Fourier Trong R chúng ta có một lý thuyết "tương tự". Biến đổi Fourier của một hàm f ∈ L 1 (R) ∩ L 2 (R) được xác định bởi  f(ξ) = +∞  −∞ f(x)e −iξx dx Chúng ta sẽ nói rằng x là biến thời gian có thể thay đổi được và ξ được xem như là biến tần số của sự thay đổi. Biến đổi ngược Fourier là ∨ g (x) = 1 2π +∞  −∞ g(ξ)e iξx dξ và nếu chúng ta áp dụng nó cho g =  f, thì chúng ta có được f; đó là (  f) ∨ = f. Với các định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định rằng < f, g >= 1 2π   f, g. (1.3) Biến đổi Fourier mở rộng đến mọi hàm f ∈ L 2 (R) và toán tử f → 1 √ 2π  f là unita. Khi f  tồn tại trong L 2 thì  f  (ξ) = iξ  f(ξ). (1.4) Phép tính tích phân này có thể được chứng minh bằng những công thức +∞  −∞ f  (x)g(x)dx = − +∞  −∞ f(x)g  (x)dx. (1.5) là hợp lí khi f, g ∈ L 2 (R) và f  g, fg  ∈ L 1 (R). Trong trường hợp f, g, f  , g  ∈ L 2 (R), điều đó có thể chứng minh được bằng sử dụng (1.3) và (1.4). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểm Lebesgue. Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x 0 được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi lim δ→0 + 1 2δ x 0 +δ  x 0 −δ |f(x) − f(x 0 )|dx = 0. Theo định lí về phép tìm đạo hàm Lebesgue thì hầu hết mọi điểm x 0 là điểm Lebesgue. Chúng ta có thể tra cứu [Rud] về định lí đặc biệt này cũng như những kết quả khác trong định lí về độ đo Lebesgue. Ba toán tử đơn giản sau trên các hàm số được xác định trên R đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết: Phép tịnh tiến bởi h, τ h , được xác định bởi (τ h f)(x) = f(x − h), phép co giãn bởi r>0, ρ r , được xác định bởi (ρ r f)(x) = f(rx) và phép nhân bởi e imx . (Đôi khi chúng ta xét chúng như là một toán tử biến điệu). 1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L 2 (R) Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R) bằng cách áp dụng những toán tử trên vào một hàm nào đó trong không gian L 2 (R). Điều quan tâm của chúng ta chính là những cơ sở wavelet. 1.2.1. Định nghĩa Hai toán tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinh bởi một hàm thích hợp. Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trực chuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L 2 (R) sao cho {ψ j,k : j, k ∈ Z} là cơ sở trực chuẩn của L 2 (R), trong đó ψ j,k (x) = 2 j 2 ψ(2 j x − k), j, k ∈ Z. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... rằng ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2 (R) 1.2.2 Định lí Balian-Low Ta sẽ xét việc tạo ra cơ sở trực chuẩn từ một hàm số nào đó bằng phép tịnh tiến và phép nhân với một hàm số Ví dụ, một cơ sở trong không gian L2 (R) là như sau: Giả sử g = χ[0,1] và gm,n (x) = e2πimx g(x − n) với m, n ∈ Z Không quá khó để nhân ra rằng {gm,n : m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn của không gian L2 (R) Tiến sĩ... là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2 (R) Nó được gọi là wavelet Haar Rất đơn giản để chứng minh rằng {ψj,k : j, k ∈ Z} là một hệ trực chuẩn trong không gian L2 (R) Ví dụ 2: Ta chọn ψ sao cho ψ(ξ) = χI (ξ), với: I = [−2π, −π] ∪ [π, 2π], trong đó χI là hàm đặc trưng của tập hợp I, tức là 1 nếu x ∈ I 0 nếu x ∈ I / χI (x) = Chúng ta sẽ chỉ ra ψ là một wavelet trực chuẩn trong không gian L2 (R) Một... Z} { 2b(x − k) sin( 2 là một cơ sở trong một không gian con đóng Hk của không gian L2 (R), và L2 (R) sẽ là tổng trực giao của Hk Nói chung, chúng ta có thể xây dựng được "hàm hình chuông" trơn thích hợp, phù hợp với khoảng hữu hạn I = [α, β), nó có thể nhân lên bởi các hàm sin và cosin thích hợp để có được một cơ sở trực chuẩn của một không gian con Hk của không gian L2 (R) Theo cách này nếu chúng... những cơ sở trực chuẩn trong không gian hình chiếu +,− −,+ P−Ij (L2 (R)) và P−Ij (L2 (R)) , một cách tương tự , với −Ij 2−j [ − 2π, −π] Hơn nữa mỗi phần tử của hệ + + {2Cj,k : k ≥ 0, j ∈ Z} và {2Sj,k : k ≥ 0, j ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 ((0, +∞)), và mỗi phần tử của − − {2Cj,k : k ≥ 0, j ∈ Z} và {2Sj,k : k ≥ 0, j ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 ((−∞, 0)) Với k ≥... tương tự như những cơ sở khác trong không gian L2 (R) Bằng cách sử dụng những hàm sin và cosin thích hợp, chúng ta đạt được kết quả, nói chung kết quả này không đúng nếu chúng ta dựng biến điệu, đó chính là các phép nhân của hàm mũ (xem định lí Balian-Low) Sự phân hoạch của L2 (R) nêu trong (2.17) có thể được dùng để có được một cơ sở mới trực chuẩn của không gian này Phần tử của cơ sở này chính là những... thì chúng ta có được hệ θk,j = 2 2k + 1 π b[αj ,α+1 ] (x) sin( (x − αj )), k = 0, 1, 2, · · · , j ∈ Z lj 2 lj (2.19) là cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R)) Sự hội tụ của chuỗi khai triển của một hàm số f ∈ L2 (R) với những cơ sở đã đưa ra trong (2.19) là có cơ sở trong L2 (R) Một kết quả sâu sắc hơn chính là sự hội tụ hầu khắp mọi nơi, đó chính là hệ quả của một định lí nổi tiếng của L Carleson... < · · · < αk−1 < αk < αk+1 < · · · < +∞, thì cơ sở của các không gian HIk (Ik = [αk , βk )) tạo ra một hệ đầy đủ các không gian con trực giao của L2 (R) Hệ được xây dựng như vậy không phải là một hệ wavelet, nhưng nó có thể được dùng để phân tích một hàm tổng quát trong không gian L2 và hơn thế nữa chúng ta sẽ thấy nó có thể được sử dụng để xây dựng nên wavelet như thế nào? Số hóa bởi Trung tâm Học... một hệ trực chuẩn trong không gian L2 (0, 1) Định lí BalianLow cho chúng ta thấy rằng nếu chúng ta chọn hàm g(x) như "hàm hình chuông trơn" thì phép tịnh tiến bởi số nguyên sẽ không tạo ra được một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R) Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ thấy rằng nếu thay thế các hàm mũ e2πimx bằng các hàm sin và cosin thích hợp thì chúng ta có thể có được những cơ sở như vậy Số hóa... Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L2( R) 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn Chúng ta sẽ thấy rằng chúng ta có thể xây dựng một hàm số trơn liên kết với đoạn [0, 1], theo cách mà hệ √ 2b(x − k) sin( 2j + 1 π(x − k)), 2 k, j ∈ Z là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R) Trong thực tế, chúng ta sẽ thấy rằng đối với mỗi số k cố định (k ∈ Z),... Cho g = χ[0,1) khi đó {gm,n : m, n ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R); trong trường hợp này tích phân đầu tiên theo định lí Balian-Low là hữu hạn, nhưng tích phân thứ hai là vô hạn, vì ξ ξ (χ[0,1) ) (ξ) = 2 sin( ) 2 2 ∧ 2 2 Ví dụ 1.2.2 Cho g(x) = sin(πx) ≡ sinc(x), khi đó {gm,n : m, n ∈ Z} là πx một cơ sở trực chuẩn trong không gian L2 (R), ta thấy Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại . 1 Cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R) Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L 2 (R), biến đổi Fourier trong không gian L 2 (R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trong không. tử biến điệu). 1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L 2 (R) Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sở trực chuẩn trong không gian L 2 (R) bằng cách áp dụng những. một cơ sở trực chuẩn của một không gian con H k của không gian L 2 (R). Theo cách này nếu chúng ta có: −∞ < ··· < α k−1 < α k < α k+1 < ··· < +∞, thì cơ sở của các không gian