Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLƯƠNG DUY TIẾU CƠ SỞ WAVELET LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.. Luận văn s

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LƯƠNG DUY TIẾU

CƠ SỞ WAVELET

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

MÃ SỐ: 60.46.36

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Thái Nguyên, tháng 8 năm 2011

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

Phản biện 1:

Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại:

Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên

Tháng 8 năm 2011

Có thể tìm hiểu tại Thư viện Trường Đại học Khoa Học hoặc Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên

Mục lục

Mở đầu 2

Chương 1 CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 5 1.1 Không gian L2(R) 5

1.1.1 Các khái niệm cơ bản 5

1.1.2 Biến đổi Fourier 7

1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2(R) 8

1.2.1 Định nghĩa 8

1.2.2 Định lí Balian-Low 10

1.2.3 Các ví dụ 13

Chương 2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 17 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn 17

2.1.1 Phép chiếu trong I = [0, +∞) 18

2.1.2 Phép chiếu trên đoạn I = [α, β] 20

2.2 Dùng các hàm sin và cosin 27

2.2.1 Trường hợp I = [0, 1] 27

2.2.2 Trường hợp I = [α, β] 30

2.2.3 Cơ sở trực chuẩn trong L2(R) 31

Kết luận 41

Tài liệu tham khảo 42

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mở đầu

Trong những năm gần đây nhiều vấn đề về khoa học, công nghệ thôngtin, truyền thông và các ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ Lợiích của xử lý số trong việc truyền các tín hiệu ngày càng được khẳngđịnh rõ ràng Nó cũng được ứng dụng ở nhiều dạng khác nhau với nhữnghiệu quả đặc biệt là trong các ngành khoa học chứ không phải chỉ là mộtmôn học Với mức độ phát triển ngày càng cao về cơ bản, về phươngpháp và khả năng ứng dụng nó đã lôi cuốn được nhiều kỹ sư, các nhàtoán học cũng như các nhà vật lý quan tâm nghiên cứu

Khái niệm wavelet đã được đưa vào từ những năm 70 của thế kỷtrước và ngày càng có nhiều ứng dụng trong khoa học, truyền thông,công nghệ thông tin và các ngành kỹ thuật khác Việc nghiên cứu kháiniệm cơ sở wavelet trên đường thẳng có ý nghĩa quan trọng trong lýthuyết và ứng dụng thực tế

Những hệ cổ điển của các cơ sở trực chuẩn trong không gian L2([0, 1))bao gồm các hàm mũ e2πimx

: m ∈ Z và tập hợp các hàm lượng giácthích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới) Mô hình của những cơ sở nàytrong không gian L2([α, β)), −∞ < α < β < +∞, sẽ có được bằng phéptịnh tiến và phép co giãn thích hợp của các hàm số trên Để tìm ra được

cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R) chúng ta có thể xét R là hợpcủa các nửa khoảng liên tiếp sau:

[αj, αj+1), j ∈ Z, −∞ < < αj < αj+1 < < +∞,

và xem xét từng cơ sở trên cho mỗi một không gian L2([αj, αj+1)), mởrộng những phần tử của cơ sở bởi các hàm đặc trưng của [αj, αj+1) vàsau đó lấy tổng của các hàm có được Cơ sở trực chuẩn này, tuy nhiêntạo ra "hiệu ứng cạnh không mong muốn" tại điểm cuối αj khi chúng

ta cố gắng biểu diễn một hàm theo cơ sở đó

Để khắc phục tình trạng đó, chúng ta cần xét đến các hàm trơn,những hàm này thay thế cho hàm đặc trưng của [αj, αj+1) với j ∈ Z.Trong trường hợp có sự phân chia đơn giản

"quá trơn" hoặc có giá có kích thước nhỏ (very localized)

Điều này được trình bày rõ ràng trong phần 1.2.2 bởi Định lí Low Tuy nhiên nếu các cơ sở thích hợp gồm các hàm sin và cosin được

Balian-sử dụng, thì sẽ có nhiều tập hợp của hàm g trơn một cách tuỳ ý và "verylocalized", có thể được sử dụng để có được những cơ sở trực chuẩn trongkhông gian L2(R)

Điều này sẽ được thực hiện trong phần 2.1, phần mà chúng ta sẽ trìnhbày lí thuyết về phép chiếu trơn, được giới thiệu bởi Coifman và Meyer

Lý thuyết này cho phép chúng ta "liên kết" những cơ sở thích hợp vớikhoảng [αj, αj+1) Một loạt các ví dụ của việc xây dựng này đã được đưa

ra, nhưng phần lớn những ví dụ liên quan đến mục đích của chúng ta lànhững ví dụ tạo ra wavelet trực chuẩn ψ ∈ L2(R) như:

ψi,k(x) = 2j2ψ(2jx − k), j, k ∈ Z

là cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R)

Tương tự như vậy, trong phần 2.2 chúng ta sẽ xây dựng nên waveletLemanrié và Meyer

Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Cơ sở trực chuẩn trong không gian L2(R)

Trong chương này trình bày các khái niệm cơ bản về không gian L2(R),biến đổi Fourier trong không gian L2(R), khái niệm cơ sở sóng nhỏ trongkhông gian L2(R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low và các ví dụ

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Chương 2 Một số phương pháp xây dựng cơ sở sóng nhỏ trongkhông gian L2(R)

Trong chương này trình bày hai phương pháp, đó là xây dựng phép chiếutrơn và dùng các hàm sin và cosin Tài liệu tham khảo chính của luậnvăn là tài liệu [7]

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tìnhcủa PGS.TS Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học và Côngnghệ Việt Nam Từ đáy lòng mình, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâusắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ dạy, hướng dẫn tận tìnhđầy tâm huyết của Thầy

Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy, các Cô giảng viên Trường Đạihọc Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-TinTrường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Đồng thời tôi xin gửilời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoahọc-Đại học Thái Nguyên đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình họctập và làm luân văn này

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, BanGiám hiệu trường THPT Lương Tài, các đồng nghiệp trường THPTLương Tài-Bắc Ninh đã tạo điều kiện cho tôi được học tập và hoànthành kế hoạch học tập và đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em HoàngTuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ đã giúp tôi trình bày luận văn này

Do thời gian có hạn nên luận văn mới chỉ dừng lại ở vịêc tìm hiểu,tập hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các kết quả nghiên cứu đã có theochủ đề đặt ra Trong quá trình viết luận văn cũng như trong quá trình

xử lý văn bản chắc chắn không thể tránh khỏi sai sót, rất mong nhậnđược những ý kiến đóng góp của Thầy cô và bạn đọc quan tâm đến luậnvăn này

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011

Tác giả

Lương Duy Tiếu

Chương 1

CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L 2 (R)

1.1 Không gian L2(R)

1.1.1 Các khái niệm cơ bản

Trước hết chúng ta giới thiệu một số kí hiệu

R ký hiệu là "đường thẳng thực",

T là vòng tròn đơn vị trong một mặt phẳng phức, mà có thể được xácđịnh bởi khoảng [−π,π), mặc dù thỉnh thoảng chúng ta sử dụng khoảng[−12,12) hoặc [0,1); và Z sẽ biểu thị tập hợp của các số nguyên

Tích trong của các hàm f và g được xác định là:

Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chúng ta chứng minh bất đẳngthức Minkowski’s:

kf + gk2 ≤ kf k2 + kgk2.Chúng ta nói rằng hai hàm f và g là trực giao nếu < f, g >= 0, kí hiệu

f ⊥g Một dãy các hàm số {fn}n∈Z là một dãy trực chuẩn nếu

< fm, gn >= δm,n,trong đó

δm,n =  1, khi n = m ,

0, khi n 6= m

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Một ví dụ tiêu biểu của dãy trực chuẩn trên T = [−π, π) là

1

√2πen

Khi fk(x) = eikx, k ∈ Z, f ∈ L2(T), phép biểu diễn (1.1) là hợp lí trong

L2 định chuẩn Nhìn chung, đây là một trường hợp mà chúng ta nói rằng{fk : k ∈ Z} là một cơ sở trực chuẩn trong L2(T) Đẳng thức (1.1) là mộtcông thức được xây dựng lại và nó là cơ sở cho nhiều ứng dụng của líthuyết về wavelet Cho một hàm f (một tín hiệu hoặc một âm thanh)chúng ta có thể lập mã cho nó bằng các hệ số {ck}k∈Z Đẳng thức (1.1)cho phép ta xây dựng lại tín hiệu đó từ những hệ số ck và cơ sở đã sửdụng khi lập mã Những cơ sở đặc biệt là cơ sở của wavelet, tái tạo lạimột cách hiệu quả hơn so với những cơ sở khác Với mỗi hệ trực chuẩn{fn : n ∈ Z}, chúng ta có bất đẳng thức Bessel’s

1.1.2 Biến đổi Fourier

Trong R chúng ta có một lý thuyết "tương tự" Biến đổi Fourier củamột hàm f ∈ L1(R) ∩ L2(R) được xác định bởi

Khái niệm mà sẽ được sử dụng trong nhiều chứng minh là điểmLebesgue Giả sử f là một hàm đo được và là hàm khả tích, thì điểm x0được gọi là điểm Lebesgue của f khi và chỉ khi

lim

δ→0 +

12δ

Ba toán tử đơn giản sau trên các hàm số được xác định trên R đóngmột vai trò quan trọng trong lý thuyết: Phép tịnh tiến bởi h, τh, đượcxác định bởi

(τhf )(x) = f (x − h),phép co giãn bởi r>0, ρr, được xác định bởi

(ρrf )(x) = f (rx)

và phép nhân bởi eimx (Đôi khi chúng ta xét chúng như là một toán tửbiến điệu)

1.2 Khái niệm cơ sở wavelet trong không gian L2(R)

Một trong những mục đích chính của chúng ta là xây dựng các cơ sởtrực chuẩn trong không gian L2(R) bằng cách áp dụng những toán tửtrên vào một hàm nào đó trong không gian L2(R) Điều quan tâm củachúng ta chính là những cơ sở wavelet

1.2.1 Định nghĩa

Hai toán tử đầu tiên được áp dụng cho những cơ sở wavelet được sinhbởi một hàm thích hợp Nói một cách chính xác hơn, một wavelet trựcchuẩn trên R là một hàm ψ ∈ L2(R) sao cho {ψj,k : j, k ∈ Z} là cơ sởtrực chuẩn của L2(R), trong đó

ψj,k(x) = 2j2ψ(2jx − k), j, k ∈ Z

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read