Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC LƯƠNG DUY TIẾU CƠ SỞ WAVELET TRONG KHÔNG GIAN L2(R) LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Thái Nguyên, tháng năm 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Công trình hoàn thành Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn tại: Trường Đại học Khoa Học-Đại học Thái Nguyên Tháng năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Trường Đại học Khoa Học Trung tâm Học Liệu Đại học Thái Nguyên Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2 (R) 1.1 Không gian L2 (R) 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Biến đổi Fourier 1.2 Khái niệm sở wavelet không gian L2 (R) 1.2.1 Định nghĩa 1.2.2 Định lí Balian-Low 10 1.2.3 Các ví dụ 13 Chương MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÂY DỰNG CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRONG KHÔNG GIAN L2 (R) 2.1 Xây dựng phép chiếu trơn 2.1.1 Phép chiếu I = [0, +∞) 2.1.2 Phép chiếu đoạn I = [α, β] 2.2 Dùng hàm sin cosin 2.2.1 Trường hợp I = [0, 1] 2.2.2 Trường hợp I = [α, β] 2.2.3 Cơ sở trực chuẩn L2 (R) Kết luận Tài liệu tham khảo Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 17 18 20 27 27 30 31 41 42 Mở đầu Trong năm gần nhiều vấn đề khoa học, công nghệ thông tin, truyền thông ngành kỹ thuật khác phát triển mạnh mẽ Lợi ích xử lý số việc truyền tín hiệu ngày khẳng định rõ ràng Nó ứng dụng nhiều dạng khác với hiệu đặc biệt ngành khoa học môn học Với mức độ phát triển ngày cao bản, phương pháp khả ứng dụng lôi nhiều kỹ sư, nhà toán học nhà vật lý quan tâm nghiên cứu Khái niệm wavelet đưa vào từ năm 70 kỷ trước ngày có nhiều ứng dụng khoa học, truyền thông, công nghệ thông tin ngành kỹ thuật khác Việc nghiên cứu khái niệm sở wavelet đường thẳng có ý nghĩa quan trọng lý thuyết ứng dụng thực tế Những hệ cổ điển sở trực chuẩn không gian L2 ([0, 1)) bao gồm hàm mũ e2πimx : m ∈ Z tập hợp hàm lượng giác thích hợp (xem Định lý 2.2.1 bên dưới) Mô hình sở không gian L2 ([α, β)), −∞ < α < β < +∞, có phép tịnh tiến phép co giãn thích hợp hàm số Để tìm sở trực chuẩn không gian L2 (R) xét R hợp nửa khoảng liên tiếp sau: [αj , αj+1 ), j ∈ Z, −∞ < < αj < αj+1 < < +∞, xem xét sở cho không gian L2 ([αj , αj+1 )), mở rộng phần tử sở hàm đặc trưng [αj , αj+1 ) sau lấy tổng hàm có Cơ sở trực chuẩn này, nhiên tạo "hiệu ứng cạnh không mong muốn" điểm cuối αj cố gắng biểu diễn hàm theo sở Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Để khắc phục tình trạng đó, cần xét đến hàm trơn, hàm thay cho hàm đặc trưng [αj , αj+1 ) với j ∈ Z Trong trường hợp có phân chia đơn giản R= [n, n + 1) n∈N nghiên cứu hệ có dạng: gm.n (x) = e2πimx g(x − n) : m, n ∈ Z Đối với hệ loại (thường gọi sở Gabor), để trở thành sở trực chuẩn không gian L2 (R) g không "quá trơn" có giá có kích thước nhỏ (very localized) Điều trình bày rõ ràng phần 1.2.2 Định lí BalianLow Tuy nhiên sở thích hợp gồm hàm sin cosin sử dụng, có nhiều tập hợp hàm g trơn cách tuỳ ý "very localized", sử dụng để có sở trực chuẩn không gian L2 (R) Điều thực phần 2.1, phần mà trình bày lí thuyết phép chiếu trơn, giới thiệu Coifman Meyer Lý thuyết cho phép "liên kết" sở thích hợp với khoảng [αj , αj+1 ) Một loạt ví dụ việc xây dựng đưa ra, phần lớn ví dụ liên quan đến mục đích ví dụ tạo wavelet trực chuẩn ψ ∈ L2 (R) như: j ψi,k (x) = 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z sở trực chuẩn không gian L2 (R) Tương tự vậy, phần 2.2 xây dựng nên wavelet Lemanrié Meyer Ngoài phần Mở đầu, phần Kết luận, luận văn gồm chương Chương Cơ sở trực chuẩn không gian L2 (R) Trong chương trình bày khái niệm không gian L2 (R), biến đổi Fourier không gian L2 (R), khái niệm sở sóng nhỏ không gian L2 (R) bao gồm định nghĩa, Định lí Balian-Low ví dụ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Một số phương pháp xây dựng sở sóng nhỏ không gian L2 (R) Trong chương trình bày hai phương pháp, xây dựng phép chiếu trơn dùng hàm sin cosin Tài liệu tham khảo luận văn tài liệu [7] Luận văn hoàn thành với hướng dẫn bảo tận tình PGS.TS Hà Tiến Ngoạn-Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam Từ đáy lòng mình, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc quan tâm, động viên dạy, hướng dẫn tận tình đầy tâm huyết Thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn Thầy, Cô giảng viên Trường Đại học Khoa học, phòng Đào tạo Trường Đại học Khoa học, khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên Đồng thời xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao Học Toán K3A Trường Đại học Khoa học-Đại học Thái Nguyên động viên giúp đỡ trình học tập làm luân văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới Sở Giáo dục & Đào tạo tỉnh Bắc Ninh, Ban Giám hiệu trường THPT Lương Tài, đồng nghiệp trường THPT Lương Tài-Bắc Ninh tạo điều kiện cho học tập hoàn thành kế hoạch học tập đặc biệt xin cảm ơn vợ chồng em Hoàng Tuyết Mai-Cử nhân Anh ngữ giúp trình bày luận văn Do thời gian có hạn nên luận văn dừng lại vịêc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn trình xử lý văn chắn tránh khỏi sai sót, mong nhận ý kiến đóng góp Thầy cô bạn đọc quan tâm đến luận văn Thái Nguyên, ngày 22 tháng 05 năm 2011 Tác giả Lương Duy Tiếu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2(R) 1.1 Không gian L2 (R) 1.1.1 Các khái niệm Trước hết giới thiệu số kí hiệu R ký hiệu "đường thẳng thực", T vòng tròn đơn vị mặt phẳng phức, mà xác định khoảng [−π,π), sử dụng khoảng [− 12 , 12 ) [0,1); Z biểu thị tập hợp số nguyên Tích hàm f g xác định là: < f, g >= f (x)g(x)d(x), tích phân lấy R T, có bất đẳng thức Schwarz’s |< f, g >| ≤ f g 2, f = ( |f |2 ) chuẩn f L2 Bất đẳng thức Schwarz’s cho phép chứng minh bất đẳng thức Minkowski’s: f +g ≤ f + g Chúng ta nói hai hàm f g trực giao < f, g >= 0, kí hiệu f ⊥g Một dãy hàm số {fn }n∈Z dãy trực chuẩn < fm , gn >= δm,n , δm,n = Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 1, n = m , 0, n = m http://www.lrc-tnu.edu.vn Một ví dụ tiêu biểu dãy trực chuẩn T = [−π, π) √ en 2π en (x) = einx n∈Z Cho hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} hàm f , xác định hệ số Fourier f với {fn : n ∈ Z} ck =< f, fk >, k ∈ Z Một câu hỏi mà nghiên cứu để xác định tình nào, điều với f= ck fk (1.1) k∈Z Khi fk (x) = eikx , k ∈ Z, f ∈ L2 (T), phép biểu diễn (1.1) hợp lí L2 định chuẩn Nhìn chung, trường hợp mà nói {fk : k ∈ Z} sở trực chuẩn L2 (T) Đẳng thức (1.1) công thức xây dựng lại sở cho nhiều ứng dụng lí thuyết wavelet Cho hàm f (một tín hiệu âm thanh) lập mã cho hệ số {ck }k∈Z Đẳng thức (1.1) cho phép ta xây dựng lại tín hiệu từ hệ số ck sở sử dụng lập mã Những sở đặc biệt sở wavelet, tái tạo lại cách hiệu so với sở khác Với hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z}, có bất đẳng thức Bessel’s |ck |2 ≤ f 22 k∈Z Hơn nữa, hệ hệ sở có đẳng thức Ngược lại, hệ trực chuẩn {fn : n ∈ Z} thỏa mãn |ck |2 = f 2 (1.2) k∈Z với f ∈ L2 (T), hệ cở sở L2 (T) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Biến đổi Fourier Trong R có lý thuyết "tương tự" Biến đổi Fourier hàm f ∈ L1 (R) ∩ L2 (R) xác định +∞ f (x)e−iξx dx f (ξ) = −∞ Chúng ta nói x biến thời gian thay đổi ξ xem biến tần số thay đổi Biến đổi ngược Fourier +∞ g (x) = 2π ∨ g(ξ)eiξx dξ −∞ áp dụng cho g = f , có f ; (f )∨ = f Với định nghĩa này, Định lý Plancherel khẳng định < f, g >= f, g 2π (1.3) Biến đổi Fourier mở rộng đến hàm f ∈ L2 (R) toán tử f → √ f unita Khi f tồn L2 2π f (ξ) = iξ f (ξ) (1.4) Phép tính tích phân chứng minh công thức +∞ +∞ f (x)g(x)dx = − −∞ f (x)g (x)dx (1.5) −∞ hợp lí f, g ∈ L2 (R) f g, f g ∈ L1 (R) Trong trường hợp f, g, f , g ∈ L2 (R), điều chứng minh sử dụng (1.3) (1.4) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Khái niệm mà sử dụng nhiều chứng minh điểm Lebesgue Giả sử f hàm đo hàm khả tích, điểm x0 gọi điểm Lebesgue f x0 +δ lim+ δ→0 2δ |f (x) − f (x0 )|dx = x0 −δ Theo định lí phép tìm đạo hàm Lebesgue hầu hết điểm x0 điểm Lebesgue Chúng ta tra cứu [Rud] định lí đặc biệt kết khác định lí độ đo Lebesgue Ba toán tử đơn giản sau hàm số xác định R đóng vai trò quan trọng lý thuyết: Phép tịnh tiến h, τh , xác định (τh f )(x) = f (x − h), phép co giãn r>0, ρr , xác định (ρr f )(x) = f (rx) phép nhân eimx (Đôi xét chúng toán tử biến điệu) 1.2 Khái niệm sở wavelet không gian L2 (R) Một mục đích xây dựng sở trực chuẩn không gian L2 (R) cách áp dụng toán tử vào hàm không gian L2 (R) Điều quan tâm sở wavelet 1.2.1 Định nghĩa Hai toán tử áp dụng cho sở wavelet sinh hàm thích hợp Nói cách xác hơn, wavelet trực chuẩn R hàm ψ ∈ L2 (R) cho {ψj,k : j, k ∈ Z} sở trực chuẩn L2 (R), j ψj,k (x) = 2 ψ(2j x − k), j, k ∈ Z Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read data error !!! can't not read ... gồm chương Chương Cơ sở trực chuẩn không gian L2 (R) Trong chương trình bày khái niệm không gian L2 (R), biến đổi Fourier không gian L2 (R), khái niệm sở sóng nhỏ không gian L2 (R) bao gồm định... biến điệu) 1.2 Khái niệm sở wavelet không gian L2 (R) Một mục đích xây dựng sở trực chuẩn không gian L2 (R) cách áp dụng toán tử vào hàm không gian L2 (R) Điều quan tâm sở wavelet 1.2.1 Định nghĩa... Chương CƠ SỞ TRỰC CHUẨN TRONG KHÔNG GIAN L2 (R) 1.1 Không gian L2 (R) 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Biến đổi Fourier 1.2 Khái niệm sở wavelet không