Luận văn g khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PH M H NI BCH HNG NHUNG G-KHUNG V G-C S RIESZ TRONG KHễNG GIAN HILBERT L U N V N T H C S T O N H C H N I, 2015 B GIO D C V O TO T R N G I HC s P H M H N I BCH HNG NHUNG G-KHUNG V G-C S RIESZ TRONG KHễNG GIAN HILBERT C h u y n n g n h : T o ỏ n g i i t c h M ó s : 60 46 01 02 L U N V N T H C S T O N H C N g i h n g d n k h o a hc: TS N G U Y N Q U N H N G A H N I, 2015 Li cm n Tụi xin c by t lũng bit n chõn th n h ti cụ giỏo TS Nguyn Qunh Nga ó tn tõm truyn th kin thc v hng dn tụi hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn th n h ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng H Ni, thỏng 11 nm 2015 T ỏc gi B ch H ng N Li cam oan Tụi xin cam oan lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s ch bo v hng dn ca TS Nguyn Qunh Nga Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v hon thnh lun vn, tụi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 11 nm 2015 T ỏc gi B ch H ng N M c lc M u 1 K h u n g v c s R ie s z t r o n g k h ụ n g g ia n H i l b e r t 1.1 Toỏn t tuyn tớnh b chn trờn khụng gian Hilbert 1.2 Khung khụng gian H i l b e r t 1.3 C s Riesz khụng gian H i l b e r t 22 1.4 Cỏc c trng ca khung v c sR i e s z 27 G - k h u n g v g-c s R ie sz t r o n g k h ụ n g g ia n H i l b e r t 2.1 32 Khỏi nim v cỏc vớ d v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert 32 2.2 Toỏn t g-khung v g-khung i n g u 37 2.3 Cỏc c trng ca g-khung , g-c s Riesz v g-c s trc c h u n 2.4 d ca g - k h u n g 2.5 ng dng ca g-khung 2.5.1 2.5.2 43 56 61 Phõn gii nguyờn t ca cỏc toỏn t tuyn tớnh b c h n 61 Xõy dng cỏc khung qua cỏc g - k h u n g 62 K t lu n T i liu t h a m k h o 65 66 M u Lớ chn ti Trong nghiờn cu cỏc khụng gian vect, mt nhng khỏi nim quan trng nht l khỏi nim c s, nh ú mi vect khụng gian cú th vit nh t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t c s, nh ú mi vect khụng gian cú th vit nh t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t c s Tuy nhiờn, iu kin tr thnh c s l khỏ cht: khụng cho phộp s ph thuc tuyn tớnh gia cỏc phn t c s iu ny lm cho khú tỡm hoc thm l khụng tỡm c cỏc c s tha mt s iu kin b sung õy l lý chỳng ta i tỡm mt cụng c khỏc linh hot hn v khung chớnh l mt cụng c nh vy Khung cho phộp ta biu din mi phn t khụng gian nh mt t hp tuyn tớnh ca cỏc phn t khung nhng khụng ũi hi tớnh c lp tuyn tớnh gia cỏc phn t khung Khung c gii thiu vo nm 1952 bi Duffin v Schaeffer [5] nghiờn cu chui Fourier khụng iu hũa Cng ng toỏn hc ó khụng nhn tm quan trng ca cỏc khỏi nim ny, phi m t gn 30 nm trc cụng trỡnh tip theo xut hin Vo nm 1980, Young [10] ó vit cun sỏch cú nhng kt qu c bn v khung, li ng cnh chui Fourier khụng iu hũa Nm 1986, bi bỏo ca Daubechies,Grossmann v Meyer [3] i, lý thuyt khung mi bt u c quan tõm rng rói Khung cú nhiu ng dng x lý tớn hiu, lý thuyt m t mó, nộn d liu Gn õy cú mt s cỏc khỏi nim tng quỏt húa khỏi nim khung c a ra, vớ d nh cỏc khung ca cỏc khụng gian [1] (Frames of subư spaces), cỏc gi khung [6] (Pseudo frames) Tt c cỏc khỏi nim tng quỏt húa ny u ó c chng minh l hu ớch nhiu ng dng Cỏc khỏi nim ny u cú th xem nh cỏc trng hp c bit ca gkhung v nhiu tớnh cht c bn ca khung cũn ỳng cho g-khung Vi mong mun hiu bit sõu sc hn v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert trờn, nh s giỳp , hng dn tn tỡnh ca cụ giỏo TS Nguyn Qunh Nga, tụi ó mnh dn chn ti nghiờn cu "G-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert " thc hin lun tt nghip M c ớch nghiờn cu ti nhm nghiờn cu, trỡnh by v cỏc g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert N h im v nghiờn cu Cỏc kin thc c s cn thit: Mt s khỏi nim v kt qu v khung khụng gian Hilbert, c s Riesz khụng gian Hilbert, toỏn t khung v khung i ngu, mi liờn h gia khung v c s Riesz, cỏc c trng ca khung v c s Riesz Khỏi nim v cỏc vớ d v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert, toỏn t g-khung v g-khung i ngu, mi liờn h gia g-khung v g-c s Riesz, s d ca g-khung, ng dng ca g-khung i t n g v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu: Nghiờn cu v khung, c s Riesz, g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Phm vi nghiờn cu: Cỏc ti liu, cỏc bi bỏo v ngoi nc liờn quan n g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc kin thc ca gii tớch hm nghiờn cu Thu thp ti liu cỏc bi bỏo v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Tng hp, phõn tớch, h thng cỏc khỏi nim, tớnh cht ún g gúp mi Lun trỡnh by mt cỏch tng quan v g-khung v g-c s Riesz khụng gian Hilbert Chng K v c s R iesz tron g khụng gian H ilbert Khung c gii thiu vo nm 1952 bi Duffin v Schaeffer [6] nghiờn cu chui Fourier khụng iu hũa Cng ng toỏn hc ó khụng nhn tm quan trng ca cỏc khỏi nim ny, phi m t gn 30 nm trc cụng trỡnh tip theo xut hin Vo nm 1980, Young [10] ó vit cun sỏch cú nhng kt qu c bn v khung, li ng cnh chui Fourier khụng iu hũa Nm 1986, bi bỏo ca Daubechies, Grossmann v Meyer [4] i, lý thuyt khung mi bt u c quan tõm rng rói Khung cú nhiu ng dng x lý tớn hiu, lý thuyt m t mó, nộn d liu Trong chng ny chỳng ta s trỡnh by cỏc khỏi nim c bn chun b cho chng sau Ni dung ca chng ny c trớch dn t cỏc ti liu tham kho [2]-[5], [9], [10] 1.1 Toỏn t tu y n tớn h b chn trờn khụng gian H ilbert Toỏn t tuyn tớnh T t khụng gian Hilbert !K vo khụng gian Hilbert X l liờn tc v ch nú b chn, ngha l, tn ti hng s c > sa o ch o T:r|| < c \\x\\, vi mi X rK (1.1) Ký hiu L(JK:X ) l t t c cỏc toỏn t tuyn tớnh b chn t K vo % Khi *K = % thỡ c) c ký hiu n gin l L(IK) Chun ca T L(!H, 3C) c nh ngha l hng s c nh nht tha (1.1) Núi mt cỏch tng ng, ||T|| = sup {||T:r|| : X e IH, ||z|| < 1} = sup {||Ta;|| : X 3, ||a;|| = 1} M n h 1.1.1 Gi s %, L , % cỏc khụng gian Hilbert Nu T L ( !K,3C) thỡ tn ti nht mt phn t T * L ( K , X ) cho (T*x, y) = (x, T y ) , (x e X , y e 'K) Hn na, i) (a S + b T = ó S * + bT* ii) (R S = S*R* Ui) (T* = T iv) r = I v) Nu T kh nghch thỡ T* cng kh nghch v (T -1 )* = (T*) 1, ú S , T G L (J i, %), R & L ( x , Ê ) v a,b G c Toỏn t T* Mnh 1.1.1 c gi l toỏn t liờn hp ca toỏn t T M n h 1.1.2 Gi s T v s L ( X , L ) Khi ú i) ||Ta;|| < IIX1II ||a:|| ,Va: E K ii) IISTII [...]... do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản trong lý thuyết khung cần... Do đó là cơ sở Riesz Mệnh đề được chứng minh □ Đ ị n h lý 1.3.3 Một cơ sở Riesz {f k}^L i của “ K là một khung của “ K và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Cơ sở đối ngẫu Riesz tà { S - ' h i Z v C h ứ n g m in h Theo Mệnh đề 1.3.1, một cơ sở Riesz {/fc} ^! của cũng là một khung của 3Í và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Phần còn lại suy ra từ sự phân tích khung (1.6) kết... - i f k) fe=l là khung Parseval Khung fk} thường được g i là khung chặt chính tắc liên kết với khung { f k } ^ =i • 1.3 n Cơ sở R iesz trong không gian H ilbert Đ ị n h n g h ĩ a 1.3.1 Một cơ sở Riesz trong IK là một họ có dạng { U eỵ}°£=l, trong đó là một cơ sở trực chuẩn của và u : ‘K ->• ‘K là một toán tử tuyến tính song ánh bị chặn Đ ị n h lý 1.3.1 [3] Nếu {fk}kLi là một cơ sở Riesz của thì tồn... tấ t cả các cận khung trên Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự Khung được g i là chặt nếu A = B và được g i là khung Parseval nếu A = B = 1 M ệ n h đ ề 1.2.1 Cho một dãy trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V Khi đó { f j } m=1 là một khung cho span • C h ứ n g m in h Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả các /j đều bằng không Như vậy ta thấy, điều kiện khung trên là thỏa... kỳ thì họ sẽ trở thành không đầy đủ Do đó họ sẽ không còn là một khung nữa 1.4 □ Các đặc trưng của khung và cơ sở R iesz Bây giờ ta quay lại định nghĩa khung Để kiểm tra dãy {fk}k Lị là khung, ta phải xác m inh sự tồn tại của cận khung dưới dương Ả và cận khung trên hữu hạn B Bằng trực giác, điều kiện khung dưới là tiêu chuẩn quan oo trọng nhất để xác minh Ước lượng trên không tốt cho XI \ ( f i f... k=1 Lập luận tương tự cho cận dưới tối ưu □ Khung {(S'-1 /*;} được g i là khung đối ngẫu của {/*;} Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu { f k } là một khung của !K thì mọi phần tử trong JÏ có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng 17 Đ ị n h lý 1.2.2 Giả sử... nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng Điều này làm cho khó tìm hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây... n g m in h Do V V ^ x = X với mọi X thuộc miền giá trị của V nên X = V^y là nghiệm của phương trình V x = y Tất cả các nghiệm của phương trình V x = y phải có dạng X = v ^ y + z trong đó 2 thuộc nhân K e r V của V Do v ^ y £ (K e r V )"L nên Từ đó X có chuẩn cực tiểu khi và chỉ khi z — 0 □ 1.2 K hung trong không gian H ilbert Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng... tuyến tính, bị chặn, khả nghịch hay nói cách khác { f k } là cơ sở Riesz □ M ệ n h đ ề 1.3.2 là cơ sở Riesz khi và chỉ khi là một 00 khung và nếu Cịfi = 0, với £ l2 ( N ) {C j}^ 1 thì Cị = 0, với m ọi i 2—1 C h ứ n g m in h (=^) Giả sử là cơ sở Riesz của không gian Hilbert IK, nghĩa là fị — Te ị,V i, trong đó T là toán tử tuyến tính bị chặn khả nghịch và { e ị } ^ là một cơ sở trực chuẩn của 00 £ Với... chứng minh □ H ệ q u ả 1.2.1 Một họ các phần tử { f j } m=1 trong không gian Hilbert hữu hạn chiều V là một khung của V khi và chỉ khi s p a n { f j } m=1 = V Hệ quả trên chỉ ra một khung có thể có số phần tử nhiều hơn số phần tử cần thiết để là cơ sở Đặc biệt, nếu { f j } k=1 là một khung của V và Ì 9 j } m=i là một tập hữu hạn tùy ý các véc tơ trong V thì { f j } k=1U { g j} m=1 cũng là một khung của