G khung và g cơ sở riesz trong không gian hilbert

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PH Ạ M HÀ NỘI BẠCH HỒNG NHUNG G -K H U N G VÀ G-CƠ SỞ RIESZ TR O N G K H Ô NG G IA N HILBERT LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC H À N Ộ I, 2015 BỘ GIÁO D Ụ C VÀ ĐÀO TẠO T R Ư Ờ N G Đ Ạ I HỌC s P H Ạ M H À N Ộ I BẠCH HỒNG NHUNG G -K H U N G VÀ G-CƠ SỞ RIESZ TR O N G K H Ô NG G IA N HILBERT C h u y ê n n g n h : T o n g iả i t í c h M ã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN TH Ạ C s ĩ TO Á N HỌC N g i h n g d ẫ n k h o a học: TS N G U Y Ễ N Q U Ỳ N H N G A H À N Ộ I, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga tận tâm truyền thụ kiến thức hướng dẫn hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Hà Nội, tháng 11 năm 2015 T ác giả Bạch H ồng N Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng bảo hướng dẫn TS Nguyễn Quỳnh Nga Trong trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 11 năm 2015 T ác giả Bạch H ồng N M uc luc Mở đầu 1 K h u n g sở R ie sz t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t 1.1 Toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert 1.2 Khung không gian H i l b e r t 1.3 Cơ sở Riesz không gian H i l b e r t 22 1.4 Các đặc trưng khung sở R i e s z 27 G - k h u n g g-cơ sở R ie sz t r o n g k h ô n g g ia n H i l b e r t 2.1 32 Khái niệm ví dụ g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert 32 2.2 Toán tử g-khung g-khung đối n g ẫ u 37 2.3 Các đặc trưng g-khung , g-cơ sở Riesz g-cơ sở trực 2.4 2.5 c h u ẩ n 43 Độ dư g - k h u n g 56 ứ n g dụng g-khung 2.5.1 2.5.2 61 Phân giải nguyên tử toán tử tuyến tính bị c h ặ n 61 Xây dựng khung qua g - k h u n g 62 K ế t lu ậ n T ài liệu t h a m k h ả o 65 66 M đầu Lí chọn đ ề tà i Trong nghiên cứu không gian vectơ, khái niệm quan trọng khái niệm sở, nhò vectơ không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử sở, nhò vectơ không gian viết tổ hợp tuyến tính phần tử sở Tuy nhiên, điều kiện để trở thành sở chặt: không cho phép phụ thuộc tuyến tính phần tử sở Điều làm cho khó tìm chí không tìm sở thỏa mãn số điều kiện bổ sung Đây lý để tìm công cụ khác linh hoạt khung công cụ Khung cho phép ta biểu diễn phần tử không gian tổ hợp tuyến tính phần tử khung không đòi hỏi tính độc lập tuyến tính phần tử khung Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer [5] nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học không nhận tầm quan trọng khái niệm này, phải m ất gần 30 năm trước công trình xuất Vào năm 1980, Young [10] viết sách có kết khung, lại ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, báo Daubechies,Grossmann Meyer [3] đời, lý thuyết khung bắt đầu quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu Gần có số khái niệm tổng quát hóa khái niệm khung đưa ra, ví dụ khung không gian [1] (Frames of sub­ spaces), giả khung [6] (Pseudo frames) Tất khái niệm tổng quát hóa chứng minh hữu ích nhiều ứng dụng Các khái niệm xem trường hợp đặc biệt gkhung nhiều tính chất khung cho g-khung Với mong muốn hiểu biết sâu sắc g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert trên, nhò giúp đỡ, hướng dẫn tận tình cô giáo TS Nguyễn Quỳnh Nga, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu "G-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert 11 thực luận văn tốt nghiệp M ụ c đích n gh iên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert N h iệm vụ n gh iên cứu Các kiến thức sở cần thiết: Một số khái niệm kết khung không gian Hilbert, sở Riesz không gian Hilbert, toán tử khung khung đối ngẫu, mối liên hệ khung sở Riesz, đặc trưng khung sở Riesz Khái niệm ví dụ g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert, toán tử g-khung g-khung đối ngẫu, mối liên hệ g-khung g-cơ sở Riesz, số dư g-khung, ứng dụng g-khung Đ ố i tư ợ n g p h ạm vi n gh iên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu khung, sở Riesz, g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert P h n g pháp n gh iên cứu Sử dụng kiến thức giải tích hàm để nghiên cứu vấn đề Thu thập tài liệu báo g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất Đ ó n g góp m ới Luận văn trình bày cách tổng quan g-khung g-cơ sở Riesz không gian Hilbert Chương K sở R iesz tron g không gian H ilbert Khung giới thiệu vào năm 1952 Duffin Schaeffer [6] nghiên cứu chuỗi Fourier không điều hòa Cộng đồng toán học không nhận tầm quan trọng khái niệm này, phải gần 30 năm trước công trình xuất Vào năm 1980, Young [10] viết sách có kết khung, lại ngữ cảnh chuỗi Fourier không điều hòa Năm 1986, báo Daubechies, Grossmann Meyer [4] đòi, lý thuyết khung bắt đầu quan tâm rộng rãi Khung có nhiều ứng dụng xử lý tín hiệu, lý thuyết mật mã, nén liệu Trong chương trình bày khái niệm chuẩn bị cho chương sau Nội dung chương trích dẫn từ tài liệu tham khảo [2]-[5], [9], [10] 1.1 Toán tử tu y ế n tín h bị chặn k h ôn g gian H ilb ert Toán tử tuyến tính T từ không gian Hilbert J~c vào không gian Hilbert X liên tục bị chặn, nghĩa là, tồn số c > cho ||Tæ|| < c ||æ|| , với X G K ‘ (1.1) Ký hiệu L(íK,Dc) tập tấ t toán tử tuyến tính bị chặn từ J-C vào X Khi J-C = X L(J-C,X) ký hiệu đơn giản L(J-C) Chuẩn T G L(íK, X ) định nghĩa số c nhỏ thỏa mãn (1.1) Nói cách tương đương, ||T|| = sup{||T æ || : X G X , ||æ|| < 1} = sup { ||T æ ||: æ G i K ,||æ || = l } M ệ n h đ ề 1.1.1 Giả sứ X , L , X không gian Hilbert Nếu T G L(x,x) tồn phần tứ T* G L(x,x) cho (T*x, y) = {x, T y ) , (x G X , y G JC) Hơn nữa, %) (aS + bTỴ = ãS* + bT* n) (RSỴ = S*R* in) (T*y = T iv) I * = I V) Nếu T khả nghịch T* khả nghịch (T -1 )* = (T*) 1, S , T G L (Jí, X ), R G L ( X , L ) t/àữ,Ò G c Toán tử T* Mệnh đề 1.1.1 gọi toán tử liên hợp toán tử T M ệ n h đ ề 1.1.2 Giả sử T G L ị ĩ í , x ) i) \\Tx\\ < ||T|| ||a:|| ,\/x G JC n) lisril < ||S||||r|| H i) r i l = ||T *|| tv) | | r r * | | = ||T ||2 s G L (X ,L ) Khi Do chubi A *j9j hoi tu U Vi vay toan tut dinh nghia ( 20 ) hoan toan xac dinh tut l2 vao U vdi ||Q|| < \JB Vdi mbi f E U, tit Bo de 2.2.1, ton tai g E U cho / = S ^ g = Sj.gjAJAj- Vi {Aj-^.gj la mot g-khung cua U doi vdi { nen i A i } j a e 12 y l Q ( { AJ }j€j) = D j e l A; AJ» = /• Tif d6 suy toan tut Q la toan anh ( ) (A,-/, A;/} j eJi = (/, E AJAi/) \ < 11/11 jeli E j eli / a;ai f = 11/11 1/2 = {0} jej V (2.24) Từ suy { A j } eJJ họ l2 eJJ)đ ộ c lập tuyến tính Qđược định nghĩa (2.20) đồng phôi tuyến tính với ||Q||2 < B , từ Q* : u —> l2 đồng phôi tuyến tính Giò ta chứng minh toán tử Q thỏa ( )=> ( ) Từ Định lý 2.3.2 (2.24), toán tử mãn bất đẳng thức (2.23) v a i f e ư, { g j } j a e l2 ( { y ^ g j ) , { Ấ j } j a g-khung đối vai { V j} j a , ta có {Aj f } j a e l2 ({Vj}íeJ) • Do ta (Q *f,{9 j}j a ) = (f> Q {{9 j}j a ) ) = ( / , E A ^ \ \ jel / = E ( f , v ¡ j ) = E (A j f , g j ) jej jej = ({A j/}je j : id jije j) ■ Từ suy Q* f = {A j f } jej vai / £ A \ \ f \ \ I I Q - 1! ! ^ I m -1 Do đó, ta có 55 u \\Q*f\\‘ = < A -1 E ,e J A ,/||2 > ||Q a ||2 < ||Q ||2 ||a ||2 < B ||a ||2 ||a ||2 = ||Q _ Q a ||2 < ||Q _ ||2 ||Q a ||2 < với a G l2 ||Q a ||2 • Từ Định lý 2.3.3, ta suy (1) Điều phải chứng minh 2.4 □ Đ ộ d củ a g-k h un g Từ Định lý 2.3.1, g-khung, g-cơ sở Riesz g-cơ sở trực chuẩn có tính chất tương tự tính chất khung, sở Riesz sở trực chuẩn Tuy nhiên tấ t tính chất tương tự Ví dụ, sở Riesz tương đương với khung xác Từ Hệ 2.3.2, ta suy g-cơ sở Riesz g-khung xác điều ngược lại không đúng, điều đáng ngạc nhiên phần tử g-khung cho tương ứng với số phần tử khung cảm sinh V í d ụ 2.4.1 Cho { ệ j } €J sở Riesz không gian Hilbert 'K Ta định nghĩa Ấj : Ji —>c sau AJf = ( ( f , ệ J) , ) T Khi {Aj} £ j g-khung xác J~c lý 2.3.1, không g-cơ sở Riesz Ji mot g-cơ sờ Riesz T hật vậy, gọi CUÊL 0~c đoi VỜI c2 c Tuy Từ Định nhiên, c X { } {ei,e2} sở trực chuẩn tắc c Khi ta viết A j f = (/, (Pj ) e i + (/) ) e Do sở Riesz J~c nên theo Định lý 2.3.1, {Aj} eJ g-cơ sở Riesz J~c 56 c Do 11A jy 112 = I(f,íPj)\2 sở Riesz nên {A j}.eJJ g-khungcủa ÍK c g-khung “ K c X {0} Giả sử loại bỏ Am khỏi dãy {Aj}-eJ^ J g-khung với cận < A < B < 00 A||/||2< E l|Aj/||2 A | | / | | Do A > nên / = Điều chứng tỏ {Aj} eJJ^ J không g-khung {Aj} eJJ g-khung xác Ví dụ g-khung xác g-cơ sở Riesz thay đổi không gian V Nói chung điều có không? Câu trả lòi không V í d ụ 2.4.2 Cho { ệ j } -eZ sở Riesz không gian Hilbert J-C Ta định nghĩa Aj : J-C —> c3 sau A j / = ( ( /, Ộ2j-i) , ( /, Ộ2j) , ( /, ệ2j+i))T Khi {Aj} eJf g-khung xác Tuy nhiên, {Aj} eJf không g-cơ sở Riesz J~c { Vj : j G I } , nhờ vào Định lý 2.3.1 T hật vậy, {Aj}-eZ g-khung J~c c3 với cận 1,2 llAl / H = \ ( f , V 2j - l ) \ + \(f,ự>2j ) \ + I2j + l> I2 £ \(f,ự>j)\2 < jeĩ £ 11Aj / 112 < £ | ( / , ^ - ) | 2jeĩ jeỉ Giả sử loại bỏ Afc khỏi dãy {Aj} ,^k g-khung Chọn / G J i \ {0} 57 cho Ị Lspan{g>j}ổ^ {2k} Khi = ,Vj Ỷ 2fc -4II/II2 < E llAưil iỶk = ( l ( / ^ 2, - l ) |2 + \{f, 2j - i , [...]... hoặc thậm chí không thể tìm thấy cơ sở đáp ứng điều kiện bổ sung và đây là lý do người ta muốn tìm một công cụ linh hoạt hơn 8 Khung là công cụ như vậy Một khung cho một không gian vectơ được trang bị một tích vô hướng cũng cho phép mỗi phần tử trong không gian được viết như là một tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong khung, nhưng tính độc lập tuyến tính giữa các phần tử của khung là không cần thiết... tấ t cả các cận khung dưới và 9 cận khung trên tối ưu là infimum trên tấ t cả các cận khung trên Chú ý rằng, các cận khung tối ưu là các cận khung thực sự Khung { / 1 } ° ^ được g i là chặt nếu A = B và được g i là khung Parseval nếu A = B = 1 M ệ n h đ ề 1.2.1 Cho một dãy chiều V Khi đó trong không gian Hilbert hữu hạn là một khung cho span C h ứ n g m in h Ta có thể giả sử rằng không phải tấ t cả... sở Riesz trùng với các cận khung Cơ sở đối ngẫu Riesz là ịS-'h}Zv C h ứ n g m in h Theo Mệnh đề 1.3.1, một cơ sở Riesz của Ji cũng là một khung của J~c và các cận của cơ sở Riesz trùng với các cận khung Phần còn lại suy ra từ sự phân tích khung (1.6) kết hợp với phần duy nhất của Định lý 1.3.1 □ M ệ n h đ ề 1.3.3 Nếu {f kJkLi là khung chính xác, thì là song trực giao và là cơ sở Riesz của J~c 26 và. .. □ Trong nghiên cứu không gian vectơ, một trong những khái niệm quan trọng nhất là cơ sở, cho phép biểu diễn mỗi phần tử ở trong không gian như một tổ hợp tuyến tính của các thành phần trong cơ sở Tuy nhiên điều kiện là cơ sở rất hạn chế - không cho phép sự phụ thuộc tuyến tính giữa các thành phần và đôi khi chúng ta yêu cầu các thành phần trực giao tương ứng với một tích vô hướng Điều này làm cho khó... tương tự cho cận dưới tối ưu □ Khung { 5 - 7 7 được g i là khung đối ngẫu của {/fc} Khai triển khung dưới đây là một trong những kết quả về khung quan trọng nhất Nó chỉ ra rằng nếu {/fc} là một khung của “ K thì mọi phần tử trong J~c có thể biểu diễn như một tổ hợp tuyến tính vô hạn của các phần tử khung Do đó ta có thể xem khung như một dạng cơ sở suy rộng 17 Đ ị n h lý 1.2.2 Giả sứ {/fc}^! là một khung. .. rằng { fk}kjẺj thỏa mãn điều kiện khung dưới với cận dưới rõ ràng { /fc}kjẺj cũng thỏa mãn điều kiện khung trên Đ ị n h n g h ĩ a 1.2.5 1) Khung Ả 1+ ơ ’ □ được g i là khung chính xác nếu nó không còn là khung nữa khi bất kỳ một phần tứ nào của nó bị loại bỏ 2) Khung được g i là thừa nếu nó vẫn còn khung nếu ta loại bỏ đi một phần tứ nào đó của khung B ổ đ ề 1.2.4 [3] Giả sử tại các khung là một khung. .. khung 1.3 thưòng được ■ □ Cơ sở R iesz tro n g k h ôn g gian H ilb ert Đ ị n h n g h ĩa 1.3.1 Một cơ sở Riesz trong J-C là một họ có dạng { ư e k } ^ =1, trong đó là một cơ sở trực chuẩn của J-C và ư \K ‘ là một toán tứ tuyến tính song ánh bị chặn Đ ị n h lý 1.3.1 [3] Nếu là một cơ sở Riesz của J~c thì tồn tại duy nhất một dãy trong J~c sao cho 00 / = Y 1 ơ» 9k)fk, V / G H, fc=i (1.10) {ỡfc}fc°=1 cũng... đề sau cho chúng ta điều khẳng định ngược lại M ệ n h đ ề 1.3.4 Nếu { f k}^=ì là một cơ sở Riesz của K “ thì { f k}^=i là một khung chính xác C h ứ n g m in h Do { f k}^=i là một cơ sở Riesz nên nếu ta bỏ đi một phần tử bất kỳ thì họ sẽ trở thành không đầy đủ Do đó họ sẽ không còn là một khung nữa 1.4 □ C ác đặc trư n g củ a k hung và cơ sở R iesz Bây giờ ta quay lại định nghĩa khung Để kiểm tra dãy... là khung, ta phải xác minh sự tồn tại của cận khung dưới dương A và cận khung trên hữu hạn B Bằng trực giác, điều kiện khung dưới là tiêu chuẩn quan oo trọng nhất để xác minh Ước lượng trên không tốt cho I(/; /fc)| sẽ fc=i làm cho ta lấy một giá trị lớn hơn của B so với yêu cầu, nhưng ước lượng dưới không tốt có thể dễ dàng làm cho không thể tìm thấy một giá trị của A mà có thể sử dụng cho mọi / G. .. tương đương để Riesz 23 là một cơ sở Đ ị n h lý 1.3.2 Cho một dãy {/fc}^! trong J-C, các điều kiện sau là tương đương (%) là một cơ sở Riesz của J-C; (ii) đầy đủ trong J-C, và tồn tại các hằng số A, B > 0 sao cho với mỗi dãy hữu hạn ta có {Cfc} Ckỉk C h ứ n g m in h (i) —^(ii)• Giả sử < b E M 2 ( 1 12) là cơ sở Riesz và fk = Ưek như định nghĩa Trước tiên ta chứng minh { f k } ^ =i là đầy đủ Giả sử