Luận văn thạc sĩ sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI TRNH TH HềNG NHUNG s TềN TI V TNH N NH CA NGHIM I VI BT NG THC VI BIN PHN TRONG KHễNG GIAN HU HN CHIấU Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Nguyn Thnh Anh H NI, 2015 LI CM N Lun c hon thnh ti trng i hc S phm H Ni di s hng dn ca TS Nguyn Thnh Anh Tỏc gi xin by t lũng bit n sõu sc nht ti TS Nguyn Thnh Anh, ngũi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tỏc gi hon thnh lun ny Tỏc gi xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tỏc gi sut quỏ trỡnh hc v hon thnh lun tt nghip Tỏc gi xin c gi lũi cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố, ngũi thõn ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tỏc gi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun H Ni, thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Trnh Th Hng Nhung LI CAM OAN Tụi xin cam oan, di s hng dn ca TS Nguyn Thnh Anh, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn Gii tớch vi ti S tn ti v tớnh n nh ca nghim i vi bt ng thc vi bin phõn khụng gian hu hn chiu tụi t lm Cỏc kt qu v ti liu trớch dn c ch rừ ngun gc Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 06 nm 2015 Tỏc gi Mue lue Trnh Th Hng Nhung M du Kin thc chun b 1.1 Gii tớch a tr 1.1.1 Tớnh na liờn tc (trờn, di ) ca ỏnh x a tr 1.1.2 Hm a tr o c v tớch phõn ca ỏnh x a tr 1.1.3 Bc cho hm a tr 5 1.2 Bt ng thc bin phõn 1.3 Mt s bt ng thc 1.3.1 Bt ng thc Cauchy-Schwarz S tn ti v tớnh n nh ca nghim i vi bt ng thc vi bin phõn khụng gian hu hn chiu 2.1 Phỏt biu bi toỏn 12 16 20 22 22 1.3.2 Bt ng thc Holder 1.3.3 Bt ng thc Minkowshi 1.3.4 Bt ng thc Ky Fan 1.3.5 Bt ng thc Gronwall 22 22 22 23 2.2 S tn ti nghim ca bi toỏn 2.3 S n nh ca nghim 24 24 28 35 Kt lun 48 Ti liu tham kho 49 M u Lớ chn ti Bt ng thc vi bin phõn l mụ hỡnh tng quỏt ca nhiu bi toỏn cỏc lnh vc ti chớnh, kinh t, giao thụng, ti u hoỏ v khoa hc k thut n bt ng thc vi bin phõn c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v nhn c nhiu kt qu phong phỳ, bao gm cỏc kt qu v s tn ti nghim, tớnh nht nghim, cu trỳc v dỏng iu ca nghim v gii s Gn õy bt ng vi bin phõn vect cng c nhiu nh toỏn hc quan tõm nghiờn cu v tỡm c nhiu ng dng cỏc lnh vc khỏc Nú cú th c xột nh l mt s m rng ca bt ng vi bin phõn Trong lun ny chỳng tụi mun gii thiu v nghiờn cu mt lp bt ng vi bin phõn vect khụng gian Euclid hu hn chiu Bi vy di s hng dn ca TS Nguyn Thnh Anh tụi ó chn ti S tn ti v tớnh n nh ca nghim i vi bt ng vi bin phõn khụng gian hu hn chiu Lun s c hon thnh da trờn kt qu c cụng b cụng trỡnh Differential Vector Variational Inequalities in Finite-Dimensional Spaces, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129, ca cỏc tỏc gi Xing Wang v Nan-Jing Huang Chỳng tụi d nhn c s tn ti ca mt nghim yu Carathộodory i vi bt ng thc vi bin phõn vect khụng gian hu hn chiu Euclid Ngoi ra, chỳng tụi cũn nghiờn cu tớnh úng, na liờn tc trờn v na liờn tc di ca ỏnh x nghim yu Carathộodory i vi bt ng thc vi bin phõn vect khụng gian hu hn chiu Euclid c ỏnh x v rng buc b nhiu lon bi tham s Mc ớch nghiờn cu Nhn c kt qu v tớnh gii c v tớnh n nh bt ng thc vi bin phõn vect khụng gian hu hn chiu Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu: S tn ti ca nghim yu Carathộodory Tớnh n nh ca nghim i tng v phm vi nghiờn cu Bt ng thc vi bin phõn vect phm vi khụng gian hu hn chiu Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu ti liu tham kho theo phng phỏp: h thng li cỏc kin thc cú liờn quan, phõn tớch, tng hp nhng nh ngha, tớnh cht ca gii tớch a tr, bt ng thc bin phõn v mt s bt ng thc D kin úng gúp Chng Kin thc chun b 1.1 Gii tớch a tr 1.1.1 Tớnh na liờn tc (trờn, di ) ca ỏnh x a tr Cho X , Y l cỏc bt kỡ v P ( Y ) l tt c cỏc khỏc rng nm Y B x { , r ) l hỡnh cu tõm bỏn kớnh r X , d B x { , r ) l mt mt cu nh ngha 1.1.1 nh x a tr T : X > Y l mt tng ng m mi X G X cho ta mt khỏc rng p { x ) c Y , p { x ) c gi l giỏ tr ca X Vỡ vy ỏnh x a tr T cú th vit nh sau P:X^ P{Y) Nu A c X thỡ HA) = xeA u H*) v c gi l nh ca A qua T Tp ry c X X Y c nh ngha IV = {{x,y) :{x,y)eX xY,xeX,ye p{x)} l th ca ỏnh x a tr T Cho V c Y , F + l { y ) c nh ngha Pl(V) = {x e X : P{x) c V} v p _ l y ) c nh ngha PZ l {V) = {x G X : P{x) nV A 0}- Cho X, Y l khụng gian tụpụ nh ngha 1.1.2 Mt ỏnh x a tr T : X > P ( Y ) l na liờn tc trờn ti mt im X G X nu vi mi m V c Y cho p { x ) c V thỡ tn ti mt lõn cn ( x ) ca X cho F { { x ) ) c V Mt ỏnh x a tr T c gi l na liờn tc trờn nu nú l na liờn tc trờn ti mi im X G X nh lý 1.1.1 Cỏc iu kin sau l tng ng : (i) ỏnh x a tr T : X > P(Y) l na liờn tc trờn; (ii) F l {V) l m vi mi m V c Y ; (iii) J Z (Q) l úng vi mi úng Q c Y nh ngha 1.1.3 nh x a tr X : X > P ( Y ) c gi l na liờn tc di ti mt im X G X nu vi mi m V ỗ Y cho P { x ) P \ V thỡ tn ti mt lõn cn (ổ) ca X cho F { x ' ) C \ V v[...]... thỏa mãn u(t) trong đó 0 Khi đó ta có u(t) < Ce K ( ' t ~ a \ Ví G [a,b] Chương 2 Sự tồn tại và tính ổn định của ••• nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều 2.1 Phát biểu bài toán Cho K là một tập con khác rỗng, đóng và lồi của M", T ị : M" — > M" (z = 1, 2, p ) là ánh xạ đa trị , và F = { F \ , 7-2, Jp) Chúng ta , da; ' / \ vi t X : =... UxẽJ4 G ( x ) với mỗi tập con hữu hạn A của K , trong đó convA là kí hiệu bao lồi của A; (ii) G(x) là tập đóng trong E với mọi (iii) G(xo) là tập compact trong E với mỗi Khz đó X G K; Xo G K ru* G { x ) Ỷ 0- 2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một kết quả về sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bài toán DVVI(2.1) Bổ đề 2.2.1 Ta có đẳng thức: SOL{ K ,... biết bất đẳng thức biến phân vectơ có liên quan chặt chẽ đến bất đẳng thức vô hướng biến phân VI^ , ĩ 7 ) ị , vi c giải bài toán cũng chính là tìm CƯ G K và CƯ* G T i ( t o ) ( i = 1,2, , p ) sao cho với mọi CƯ' G K , p - CƯ) > 0, Í=1 s s trong đó £ G + với + := { x G R p + : ||cr|| = 1} Chúng ta kí hiệu tập nghiệm của VI( if, T ) { bởi SOL( K , T ) ị Hơn nữa, DVVI (2.1) có liên quan chặt chẽ đến bất đẳng. .. 1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với x , y là các phần tử của không gian tích trong thực hay phức thì \{x,y)\2 < {x,x).{y,y) Trong trường hợp không gian Euclide n chiều M", bất đẳng thức trên trở thành (5 (£'•■) 1.3.2 Bất đẳng thức Holder vai mọi x = ( x i , x 2 , - , x n ) , y = {yi,y2, - ,yn) € n ^2 x iVi i =1 P Q \ M" ta có V i 1 i = 1 9 trong đó 1 < q , p < +00, - + - = 1 1.3.3 Bất đẳng thức Minkowshi... , ưi), ở đó U \ = ư n E l và d e g E 1 là bậc đánh giá trong không gian E \ (4) Nguyên lý điểm bất động Cho T G c J Q U (U, E) và ảeg(ĩ-E,Ũ)^0 Khi đó 0 Ỷ FixT c u 1.2 Bất đẳng thức biến phân Cho K là một tập lồi đóng trong Rn và F : K —> Rn là liên tục Xét bài toán 2 4 Tìm u G K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau (1.2.1) (v — u, F(u)) >0, Vv G K ở đây n (v, w) = ^ VịWị với VỊ w G M" i= 1 Ta có một... M" là Định lý 1.2.1 [5] Cho K compact và lồi, F : K —> M" là liên tục Khi đó tồn tại u G K sao cho (F(u),v — u) > 0, Vv G K Định lý 1.2.2 [5] Cho K c M" là đóng và lồi, F : K —> M" là liên tục Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1) là tồn tại R> 0 sao cho một nghiệm UR G K R của (1.2.1) thỏa mãn (1.2.2) với K R = B(0,R) n K C h ứ n g m i n h Dễ thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm. .. < +oo Cặp ( x , L o ) xác định trên [0, T ] được gọi là một nghiệm yếu Carathéodory của DVVI (2.1) khi và chỉ khi X là một hàm liên tục tuyệt đối trên [0,T] và thoả mãn phương trình vi phân đối với mọi t € [0,T], í ú € L2[0,T] và í ư ( t ) € SOL^, G ( t , x ( t ) ) + ỵ ) với mọi t € [0,T] Tập nghiệm yếu Carathéodory của bài toán ban đầu DVVI (2.1) được kí hiệu bởi SOL(DVVI) và tập tất cả u > được kí... chặt chẽ đến bất đẳng thức vi biến phân sau đây (vi t tắt là DVI); '¿(í) = f{t,x{t)) +B{t,x{t))w{t), < CƯ (í) G SOL^, G ( t , cr(í)) + T ) ị , (2.2) cr(0) = x k 0 Tập nghiệm yếu Carathéodory của bài toán ban đầu DVI (2.2) được kí hiệu bởi SOL(DVI)* Cho ( Z ị , d ì ) và (^2) {¿2) là hai không gian metric và cho một tập khác rỗng, đóng và lồi L c M" bị nhiễu loạn bởi một tham số u biến thiên trên ( z... của ánh xạ đa trị T nếu X G F ( x ) Tập tất cả các điểm bất động của T kí hiệu là F i x T Cho X và Y là không gian metric Định nghĩa 1.1.19 Ánh xạ đa trị T : X —> K { Ỵ ) thuộc về lớp c J ( x , Y ) (hay một C J — ánh xạ đa trị) nếu tồn tại một không gian metric z , một J — ánh xạ đa trị F : X —>■ K ( z ) , và một ánh xạ liên tục t p : z —>■ Y sao cho F =ip oF Ánh xạ F và là dạng phân tích của F và. .. t ) đối với Ị 1 — với mỗi t G /} Nếu S 1 ( F ) Ỷ 0) thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của nó được định nghĩa như sau J F(s)ds = y f ( s ) d s : f e S 1(F)j với tập con đo được bất kì r c / Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I — > K ( E ) là đo được mạnh và bị chặn khả tích, tức là tồn tại một hàm khả tổng V G L l + { I ) sao cho ||F(i)|| := max{||y|| : y G -F(£)} < v{t) đối vói/Ấ — với