Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn (LV01182)

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ————————–o0o————————– PHẠM THỊ BÍCH HẠNH TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 ————————–o0o————————– PHẠM THỊ BÍCH HẠNH TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thành Anh HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn TS. Nguyễn Thành Anh, người đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường. Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Phạm Thị Bích Hạnh LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh. Một số kết quả đã đạt được trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình khoa học nào của ai khác. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phạm Thị Bích Hạnh 1 Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Lý thuyết nửa nhóm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 10 2.1 Giới thiệu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.2 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.4 Sự tồn tại nghiệm mạnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.6 Ví dụ ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 i Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ xuất phát từ nhiều mô hình trong lĩnh vực kỹ thuật và vật lý. Trong khi đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ hữu hạn nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và tính ổn định của nghiệm là khá phong phú thì trường hợp với trễ vô hạn chưa được nghiên cứu kĩ lưỡng. Vì vậy, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là: "Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn". 2. Mục đích nghiên cứu Mở rộng ý tưởng sử dụng một toán tử không trù mật được kế thừa cho phương trình vi phân đạo hàm riêng với trễ hữu hạn và vô hạn cho phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính (PNFDE) với trễ vô hạn. 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu + Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm; + Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén; + Chứng minh tính giải được của bài toán (2.1); + Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) là ổn định và duy nhất. + Đưa ra một ví dụ ứng dụng các kết quả tổng quát ở trên cho một trường hợp phi tuyến đặc biệt dạng (2.22). 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn; + Phạm vi: dưới điều kiện Hille-Yosida và nghiên cứu trên một số không gian hàm. 5. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm: + Lý thuyết nửa nhóm ; + Thiết lập các đánh giá, sử dụng lý thuyết điểm bất động. 2 6. Đóng góp của luận văn Tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn và nghiệm đó là ổn định và duy nhất. 7. Kết cấu luận văn Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 3 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Lý thuyết nửa nhóm Định nghĩa 1.1.1. Giả sử E là không gian Banach, một họ (S(t)) t≥0 ⊂ L(E) được gọi là nửa nhóm tích phân nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (i) S(0) = 0, (ii) Với mọi x ∈ E, S(t)x là một hàm liên tục theo t với các giá trị trong E, (iii) Với mọi t, s ≥ 0, S(s)S(t) = s  0 (S(t + τ ) − S(τ))dτ. Định nghĩa 1.1.2. Một nửa nhóm tích phân (S(t)) t≥0 được gọi là bị chặn lũy thừa nếu tồn tại hằng số β ≥ 1 và ω ∈ R sao cho ||S(t)|| ≤ βe ωt t ≥ 0. Định nghĩa 1.1.3. Một toán tử A được gọi là một phần tử sinh của nửa nhóm tích phân, nếu tồn tại ω ∈ R sao cho (ω, +∞) ⊂ ρ(A) (giải thức của A), và tồn tại một 4 họ (S(t)) t≥0 của toán tử tuyến tính bị chặn, họ này liên tục mạnh bị chặn lũy thừa và S(0) = 0 và (λI − A) −1 = λ +∞  0 e −λt S(t)dt, với mọi λ > ω. Định nghĩa 1.1.4. Cho X là không gian Banach. Giả sử ánh xạ: S : R + → L(X) t → S(t) thỏa mãn: 1. S(0) = I 2. S(t + s) = S(t) · S(s), ∀t, s ≥ 0 3. t → S(t)x liên tục với mỗi x ∈ X. Khi đó, S được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay C 0 - nửa nhóm. Nếu thay (3) bởi (3  ): t → S(t) liên tục thì ta nói S là nửa nhóm liên tục đều. Định nghĩa 1.1.5. (Phần tử sinh của C 0 -nửa nhóm) Giả sử S là C 0 - nửa nhóm trên X. D(A) :=  x ∈ X : ∃ lim h→0 + S(h)(x) − x h  . Với x ∈ D(A), định nghĩa Ax = lim h→0 + S(h)(x)−x h . Khi đó, (A, D(A)) được gọi là phần tử sinh của nửa nhóm S. Định nghĩa 1.1.6. Giả sử S(t) ∈ L(X). Khi đó, S được gọi là nửa nhóm compact nếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0. 5 [...]... b(s)ds ] = a(T )exp{− b(t)dt} 0 9 Chương 2 Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 2.1 Giới thiệu bài toán Cho không gian Banach E , B là không gian pha các hàm từ (−∞, 0] vào E , G và F là hai hàm liên tục từ (−∞, 0] × B vào E và với mỗi x : (−∞, b] −→ E, b > 0, t ∈ [0, b] ta xác định xt : (−∞, 0] −→ E cho bởi xt (θ) = x(t + θ), θ ∈... G(u), F (φ) = F (φ + u) − F (u) Khi đó, phương trình (2.17) trở thành d Dyt + G(yt ) = A Dyt + G(yt ) + F (yt ), dt (2.18) với G(0) = F (0) = 0 Do đó, để nghiên cứu tính ổn định của điểm cân bằng u đối với phương trình (2.15) ta nghiên cứu tính ổn định của 0 như là điểm cân bằng của phương trình (2.18) Khi đó, không mất tính tổng quát, chúng ta giả sử u = 0 và G(0) = F (0) = 0 Trong trường hợp này,... x(., ϕ) liên tục trên tập con B của Y mà U (t)(ϕ) = xt (., ϕ), t ≥ 0 Suy ra ϕ ∈ Y, U (t)(ϕ) là hàm liên tục của t ≥ 0 với giá trị trong Y Sử dụng tính chất của phương trình tích phân (2.5)ta chứng minh được (v) Để chứng minh (vi) , không mất tính tổng quát ta giả sử rằng ω ≥ 0 Với ε ≥ 0, đặt ¯ K := max K(s), Mε := sup M (s), x1 := x(., ϕ1 ) 0≤s≤ 0≤s≤ 27 và x2 := x(., ϕ2 ), với t ∈ [0, ], ta có: ||U (t)(ϕ1... quả của giải tích hàm - Liên tục Lipschitz: Giả sử X là không gian Banach, f : X → R Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x ∈ X , hay Lipschitz ở gần x , nếu tồn tại lân cận U của x , số k > 0 sao cho: |f (x) − f (x )| ≤ k( x − x , ∀x, x ∈ U, Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X , nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ Y Định nghĩa 1.2.3 Hàm f được. .. D(A), AG(0) + F (0) = 0 Chúng ta giả sử rằng (H6) F và G là khả vi Fréchet tại 0 và G (0) = 0 30 Đặt L = F (0) Khi đó, phương trình (2.15) đươc vi t thành   d   Dx = ADx + Lx , t ≥ 0 dt t t t (2.19)    x0 = ϕ ∈ B Để định nghĩa nửa nhóm phi tuyến tính (U (t))t≥0 liên kết với phương trình (2.15) và nửa nhóm tuyến tính (T (t))t≥0 liên kết với phương trình (2.19) trong không gian BD := ϕ ∈ B : Dϕ ∈... ∈ B 25 (2.14) Ở đó F và G là liên tục Lipschitz trên B Giả sử: G : B → E là toán tử định nghĩa bởi: G(ϕ) = ϕ(0) − G(ϕ) Chúng ta kiểm tra rằng nghiệm tích phân của phương trình (2.14) thỏa mãn tính chất của nửa nhóm phi tuyến liên tục mạnh trên tập con B của Y := {ϕ ∈ B : G(ϕ) ∈ D(A)} Ta chứng tỏ rằng nửa nhóm này thỏa mãn tính chất tịnh tiến và tính chất Lipschitz Với mọi t ≥ 0, định nghĩa toán tử nửa... B(t) = S(t − s)f (s)ds là khả vi liên tục trên [0, a] 0 và thỏa mãn t eω(t−s) |f (s)|ds |B (t)| ≤ M 0 2.3 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân Để có được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tích phân, ta thiết lập các giả thiết sau: (H2) Cho G : [0, +∞) × B −→ E là hàm liên tục và tồn tại α0 > 0 với α0 K(0) < 1 thỏa mãn |G(t, ϕ1 ) − G(t, ϕ2 )| ≤ α0 ||ϕ1 − ϕ2 | |B , với ϕ1 , ϕ1 ∈ B, t ≥ 0 (H3)... (t)(θ)dt = lim n→+∞ n 0 n f k=1 Điều này kết thúc chứng minh bổ đề 19 ka n (θ), θ ∈ (−∞, 0] Để chứng minh tính chính quy của các nghiệm tích phân, ta thêm vào giả thiết sau: (H4) Cho F, G là các hàm khả vi liên tục và có các đạo hàm riêng Lipschitz địa phương đối với hai biến độc lập tức là với tập compact Q ⊂ [0, +∞) × B, tồn tại hằng số β1 > 0 sao cho    ||Dϕ F (t, ϕ) − Dϕ F (t, ψ)| |ψ ≤ β1 ||ϕ... || , B Định lí 2.4.3 Giả sử B là không gian định chuẩn và thỏa mãn tiên đề (C1) hoặc (D) và các điều kiện (H1) - (H4) Khi đó, với mỗi hàm khả vi liên tục ϕ ∈ B thỏa 20 mãn ϕ ∈ B, G(0, ϕ) ∈ D(A), Dϕ G(0, ϕ)ϕ + Dt G(0, ϕ) ∈ D(A), Dϕ G(0, ϕ)ϕ + Dt G(0, ϕ) = AG(0, ϕ) + F (0, ϕ), (2.6) thì nghiệm tích phân của bài toán (2.1) được xác định trong Định lí 2.3.1 là nghiệm mạnh Chứng minh Cho a > 0 Từ Định lí... Áp dụng Bổ đề Gronwall chúng ta có ||xt − ωt ||B = 0 với t ∈ [0, a] Do đó x(t) = ω(t), ∀t ∈ (−∞, a] Lặp lại phương pháp trên [a, 2a], , [na, (n + 1)a] ta được x(t) = ω(t), ∀t ∈ (−∞, +∞) và x khả vi liên tục trên (−∞, +∞) Cuối cùng, theo Bổ đề 2.2.1 ta được x là nghiệm mạnh Định lí được chứng minh hoàn toàn 2.5 Sự ổn định của nghiệm Giả sử rằng F và G là độc lập theo t Thì, (2.1) trở thành   d   . một số kết quả của giải tích hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 10 2.1 Giới. toán tử không trù mật được kế thừa cho phương trình vi phân đạo hàm riêng với trễ hữu hạn và vô hạn cho phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính (PNFDE) với trễ vô hạn. 1 3. Nhiệm vụ nghiên. tài Phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ xuất phát từ nhiều mô hình trong lĩnh vực kỹ thuật và vật lý. Trong khi đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ