Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn (LV01182)

6 2 Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 10 2.1 Giới thiệu bài toán... Lý do chọn đề tài Phương trình vi phân đạ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

————————–o0o————————–

PHẠM THỊ BÍCH HẠNH

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG

TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

HÀ NỘI - 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

————————–o0o————————–

PHẠM THỊ BÍCH HẠNH

TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠO HÀM RIÊNG

TRUNG TÍNH VỚI TRỄ VÔ HẠN

Chuyên ngành : Toán giải tích

Mã số : 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Thành Anh

HÀ NỘI - 2014

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, người

đã luôn quan tâm, động viên và tận tình giúp đỡ, truyền đạt lại những kiến thức quý báu cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Đào tạo Sau Đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã nhiệt tình giúp đỡ, giảng dạy, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong thời gian học tập tại trường.

Tôi xin kính gửi lời cảm ơn sâu sắc đến những người thân trong gia đình đã động viên, tạo những điều kiện học tập tốt nhất cho tôi.

Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn các bạn đồng khóa cao học K16 nói chung và chuyên ngành Toán giải tích nói riêng đã giúp đỡ, động viên tôi hoàn thành luận văn này.

Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Phạm Thị Bích Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của

Mục lục

1.1 Lý thuyết nửa nhóm 4

1.2 Nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm 6

2 Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn 10 2.1 Giới thiệu bài toán 10

2.2 Một số kết quả bổ trợ 12

2.3 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân 16

2.4 Sự tồn tại nghiệm mạnh 18

2.5 Sự ổn định của nghiệm 25

2.6 Ví dụ ứng dụng 36

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ xuất phát từ nhiều mô hình

trong lĩnh vực kỹ thuật và vật lý Trong khi đối với phương trình vi phân đạo hàm

riêng trung tính với trễ hữu hạn nhiều kết quả về sự tồn tại duy nhất nghiệm và

tính ổn định của nghiệm là khá phong phú thì trường hợp với trễ vô hạn chưa được

nghiên cứu kĩ lưỡng Vì vậy, tôi xin chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:

"Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm

riêng trung tính với trễ vô hạn"

2 Mục đích nghiên cứu

Mở rộng ý tưởng sử dụng một toán tử không trù mật được kế thừa cho phương

trình vi phân đạo hàm riêng với trễ hữu hạn và vô hạn cho phương trình vi phân

đạo hàm riêng trung tính (PNFDE) với trễ vô hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Tìm hiểu lý thuyết nửa nhóm;

+ Tìm hiểu lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đa trị nén;

+ Chứng minh tính giải được của bài toán (2.1);

+ Chứng minh sự tồn tại nghiệm của bài toán (2.1) là ổn định và duy nhất.+ Đưa ra một ví dụ ứng dụng các kết quả tổng quát ở trên cho một trường hợp

phi tuyến đặc biệt dạng (2.22)

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng: phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn;

+ Phạm vi: dưới điều kiện Hille-Yosida và nghiên cứu trên một số không gian

hàm

5 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng một số phương pháp và công cụ của giải tích bao gồm:

+ Lý thuyết nửa nhóm ;

+ Thiết lập các đánh giá, sử dụng lý thuyết điểm bất động

6 Đóng góp của luận văn

Tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn

và nghiệm đó là ổn định và duy nhất

7 Kết cấu luận văn

Luận văn bao gồm: Phần mở đầu, 2 chương, kết luận và danh mục tài liệu tham

khảo

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương

trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn

(ii) Với mọi x ∈ E, S(t)x là một hàm liên tục theo t với các giá trị trong E,

(iii) Với mọi t, s ≥ 0, S(s)S(t) =

họ (S(t))t≥0 của toán tử tuyến tính bị chặn, họ này liên tục mạnh bị chặn lũy thừavà

3 t 7→ S(t)x liên tục với mỗi x ∈ X

Khi đó, S được gọi là nửa nhóm liên tục mạnh hay C 0 - nửa nhóm

Nếu thay (3) bởi (30): t 7→ S(t) liên tục thì ta nói S là nửa nhóm liên tục đều

Định nghĩa 1.1.5 (Phần tử sinh của C 0-nửa nhóm)

Giả sử S là C0 - nửa nhóm trên X.

.

Với x ∈ D(A), định nghĩa Ax = limh→0+ S(h)(x)−x

h Khi đó, (A, D(A)) được gọi làphần tử sinh của nửa nhóm S.

Định nghĩa 1.1.6 Giả sử S(t) ∈L(X) Khi đó, S được gọi là nửa nhóm compactnếu S(t) là toán tử compact với mọi t > 0.

1.2 Nhắc lại một số kết quả của giải tích hàm

- Liên tục Lipschitz: Giả sử X là không gian Banach, f : X → R

Định nghĩa 1.2.1 Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương tại x0 ∈ X, hay chitz ở gần x0, nếu tồn tại lân cận U của x0, số k > 0 sao cho:

Lips-|f (x) − f (x0)| ≤ k(kx − x0k, ∀x, x0 ∈ U,Định nghĩa 1.2.2 Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y ⊂ X, nếu

f Lipschitz địa phương tại mọi x ∈ Y

Định nghĩa 1.2.3 Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz

K trên tập Y ⊂ X, nếu f Lipschitz địa phương tại mọi x, x0 ∈ Y

Định nghĩa 1.2.4 Cho V là không gian Banach phức, Ω ⊂ V- mở, u : Ω → R làmột hàm

Với mỗi tập A ⊂ Ω ta xét chuẩn sau:

ta nói u là liên tục Lipshitz trên A

Cho f là dạng vi phân trên Ω với A ⊂ Ω, B là hình cầu đơn vị trong V Xét 2chuẩn của f như sau:

Định nghĩa 1.2.5 Một nửa nhóm tích phân (S(t))t ≥ 0 được gọi là liên tục chitz địa phương, nếu với mọi τ > 0 tồn tại một l(τ ) > 0 sao cho

Lips-||S(t) − S(s)|| ≤ l(τ )|t − s| với mọi t, s ∈ [0, τ ].

trong trường hợp này ta hiểu rằng (S(t))t≥0 là lũy thừa bậc bị chặn

Định nghĩa 1.2.6 Ta nói một toán tử liên tục A là một toán tử Hille-Yosida nếutồn tại β ≥ 1, ω ∈R sao cho (ω, +∞) ⊂ ρ(A) và

sup{(λ − ω)n||(λI − A)−n|| : n ∈N, λ > ω} ≤ β.

Định lí 1.2.7 Các khẳng định sau đây là tương đương

(i) A là phần tử sinh của một nửa nhóm tích phân liên tục Lipschitz địa phương.(ii) A là một toán tử Hille-Yosida

Nhận xét: A là một toán tử Hille- Yosida và (S(t)) t≥0 là nửa nhóm tích phânliên tục Lipschitz địa phương sinh bởi A Đạo hàm (S0(t))t≥0 trên D(A) là một nửanhóm liên tục mạnh sinh bởi phần tử A0 của toán tử A trong D(A), được địnhnghĩa bởi

D(A0) = {x ∈ D(A0) : Ax ∈ D(A),

A0x = Ax, x ∈ D(A0).

Bổ đề 1.2.8 Cho(S(t))t≥0 là một nửa nhóm tích phân liên tục Lipschitz địa phươngtrênE và G : [0, a] → E, a > 0là một hàm tích phân Bochner Thì hàmB : [0, a] → Eđược định nghĩa bởi

B(t) =

t

ZS(t − s)G(s)ds

là khả vi liên tục trên [0, a] và thỏa mãn,

d

dtB(t)

Ở đó l = l(a) là liên tục Lipschitz của S(.) trên [0, a].

- Bất đẳng thức Holder: Giả sử f ∈ Lp(Ω), g ∈ Lq(Ω) với 1p + 1q = 1 Khi đó,

b(t)y(t)dtCho hàm tăng a(t) và hàm tích phân dương b(t) thì

y(T ) ≤ a(T ) + a(T )exp{

Z T 0

f (s)b(s)ds + b(t)a(t)e−R0tb(s)ds +

Z t 0

f (s)b(s)ds

= b(t)a(t)e−R0tb(s)ds Lấy tích phân và nhớ rằng a(t) là tăng dẫn đến:

e−

R T

0 b(t)dt

Z T 0

f (t)b(t)dt = v(T ) ≤

Z T 0

f (t)b(t)dt

≤ a(T ) + a(T )e−R0Tb(t)dt a(T )[1 − e−R0tb(s)ds ] = a(T )exp{−

Z T 0

b(t)dt}.

Chương 2

Tính giải được và tính ổn định của nghiệm đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vô hạn

2.1 Giới thiệu bài toán

Cho không gian Banach E, B là không gian pha các hàm từ (−∞, 0] vào E, G và F

là hai hàm liên tục từ (−∞, 0] ×B vàoE và với mỗi x : (−∞, b] −→ E, b > 0, t ∈ [0, b]

Trong đó A thỏa mãn điều kiện Hille-Yosida (H1) (với miền xác định không trùmật).

(H1) Tồn tại hai hằng số M ≥ 1, ω ∈R thỏa mãn (ω, +∞) ⊂ ρ(A) và

sup ||(λ − ω)nR(λ, A)n|| : λ > ω, n ∈N≤ M ,trong đó ρ(A) là tập giải thức của A và R(λ, A) = (λI − A)−1.

Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm ϕ ∈ B, ta nói rằng hàm x : (−∞, a] −→ E, a > 0 lànghiệm tích phân của bài toán (2.1) trong (−∞, a] nếu thỏa mãn các điều kiện sau

1 x liên tục trên [0, a];

1 t 7−→ x(t) − G(t, xt) ∈ C1([0, a]; E) ∩ C([0, a]; D(A)) ;

2 x thỏa mãn phương trình (2.1) trên (−∞, a].

Từ tính chất đóng của toán tử A, chúng ta có thể chứng minh các nhận xét sau

2.2 Một số kết quả bổ trợ

- Giả thiết về không gian pha Giả sử(E, |.|)là không gian Banach và(B, ||.|| B)

là không gian nửa chuẩn tắc các hàm tuyến tính đi từ (−∞, 0] vào E và thỏa mãncác tiên đề cơ bản sau:

(A) Tồn tại hằng số dương H và các hàm K(.), M (.) :R+ −→R+ trong đó K liêntục và M bị chặn địa phương sao cho với σ ∈R, a > 0 nếu x : (−∞, σ + a] −→

E, xσ ∈B và x(.) liên tục trên [σ, σ + a] thì với mỗi t ∈ [σ, σ + a] các điều kiệnsau được thỏa mãn

(i) xt ∈B, (ii) |x(t)| ≤ H||x t || B, điều này tương đương với

(B) Không gian B là đầy

Sau đây là một vài ví dụ về không gian pha, đầu tiên là một không gian pha được

và nó là một không gian Banach với chuẩn

(ii) Nếu x là nghiệm tích phân của bài toán (2.1) trên (−∞, a] cho bởi t 7−→ x(t) − G(t, x t ) thuộc C1([0, a]; E) hoặc C([0, a]; D(A)) thì x là nghiệm mạnh.Chứng minh Giả sử x là nghiệm tích phân của bài toán (2.1) Để chứng minh (i)

ta cần chứng minh với mọi t ∈ [0, a],

x(t) − G(t, xt) = lim

h→0

1 h

lim

h→0 +

1 h

Mặt khác, nếu giả sử t 7→ x(t) − G(t, xt) thuộc C ([0, a]; D(A)) thì với mọi t ∈ [0, a], h > 0 chúng ta có

1

h {x(t + h) − G(t + h, xt+h) − x(t) + G(t, xt)}

= 1h

Điều này kết thúc chứng minh bổ đề

Theo [17] với điều kiện (H1), A là toán tử của nửa nhóm liên tục Lipschitz địa

phương lấy tích phân được (S(t))t≥0 trên E Thêm vào đó, đạo hàm (S0(t))t≥0 tạothành C 0 −nửa nhóm trên D(A) thỏa mãn





t

ZS(s)xds



+ tx.

Ngoài ra, với mọi x ∈ D(A), t ≥ 0,

S(t)x ∈ D(A), AS(t)x = S(t)Ax, S(t)x =

Mệnh đề 2.2.4 [7] Cho f : [0, a] → E, a > 0 là hàm khả tích Bocher Khi đó, hàm

B : [0, a] → E được định nghĩa bởi B(t) =

2.3 Sự tồn tại duy nhất của nghiệm tích phân

Để có được sự tồn tại và tính duy nhất của nghiệm tích phân, ta thiết lập các giả

Chứng minh Cho a > 0 và C([0, a]; E) là không gian các hàm liên tục từ [0, a] vào

E với chuẩn thông thường, ϕ ∈B thỏa mãn G(0, ϕ) ∈ D(A) Xét tập con đóng khácrỗng trong C([0, a]; E) được định nghĩa bởi

Za(ϕ) := {z ∈ C([0, a]; E) : z(0) = ϕ(0)} Với z ∈ Za(ϕ) ta định nghĩa ez : (−∞, a] → E bởi

ez(t) =

ĐặtKa := max0≤t≤aK(t).Do điều kiện (H3) và Tiên đề (A1) nên ánh xạs 7→ F (s,ezs)liên tục trên [0, a]. Khi đó, Mệnh đề 2.2.4 kéo theo ánh xạ t 7→ R0tS(t − s)F (s,ez s )dskhả vi liên tục trên [0, a].

Xét toán tử J : Za(ϕ) → Za(ϕ) được định nghĩa bởi

Vì K liên tục và α 0 K(0) < 1 nên ta có thể chọn a > 0 đủ nhỏ sao cho (α 0 +

βM eωaa)Ka < 1. Khi đó, J là phép co mạnh trong Za(ϕ) và điểm bất động của Jxác định nghiệm tích phân suy nhất x(., ϕ) trên (−∞, a].

Tương tự, ta có thể chứng minh trên [0, na], n ≥ 2 sự tồn tại duy nhất nghiệmtích phân trong (−∞, +∞). Điều này kết thúc chứng minh

2.4 Sự tồn tại nghiệm mạnh

Định lí sau khẳng định, với các điều kiện hạn chế hơn thì nghiệm tích phân là

nghiệm mạnh Để tính tích phân trong B từ tích phân trong E ta giả sử rằng Bthỏa mãn một trong các tiên đề sau:

(C1) Nếu (φ n ) n≥0 là dãy Cauchy trong B và nếu (φ n ) n≥0 hội tụ compact tới φ trên(−∞, 0] thì φ ∈B và ||φn − φ|| B → 0 khi n → ∞.

(D) Một dãy (ϕn)n≥0 trong B thỏa mãn ||ϕn|| B → 0 khi n → 0 thì với mỗi θ ∈

(−∞, 0] ta có |ϕ n (0)| → 0 khi n → ∞.

Ta thấy tiên đề (D) suy ra không gian B là không gian định chuẩn

Bổ đề 2.4.1 [10] Giả sử B là không gian định chuẩn thỏa mãn tiên đề (C1) và

f : [0, a] →B, a > 0 là hàm liên tục sao cho f (t)(θ)liên tục với (t, θ) ∈ [0, a]×(−∞, 0].Khi đó,

trong B.

(θ), θ ∈ (−∞, 0].

Mặt khác, tiên đề cũng kéo theo hàm f (.)(θ) liên tục trên [0, a]. Khi đó,

(θ), θ ∈ (−∞, 0].

Điều này kết thúc chứng minh bổ đề

Để chứng minh tính chính quy của các nghiệm tích phân, ta thêm vào giả thiết

sau:

(H4) Cho F, G là các hàm khả vi liên tục và có các đạo hàm riêng Lipschitz địaphương đối với hai biến độc lập tức là với tập compact Q ⊂ [0, +∞) ×B, tồntại hằng số β1 > 0 sao cho

ϕ0 ∈B, G(0, ϕ) ∈ D(A), D ϕG(0, ϕ)ϕ0+ D tG(0, ϕ) ∈ D(A),

DϕG(0, ϕ)ϕ0+ DtG(0, ϕ) = AG(0, ϕ) + F (0, ϕ), (2.6)thì nghiệm tích phân của bài toán (2.1) được xác định trong Định lí2.3.1 là nghiệmmạnh

Chứng minh Cho a > 0 Từ Định lí 2.3.1 chúng ta biết rằng bài toán (2.1) cónghiệm tích phân duy nhất x := x(., ϕ) đó là nghiệm tích phân duy nhất của

Các giả thiết (H2) và (H3) kéo theo

Lấy tích phân ở phương trình (2.9) và những biểu thức được thỏa mãn bởi ϕchúng ta đạt được

t

Z

0

S(t − s)(DtF (s, xs) + DϕF (s, xs)ys)ds. (2.11)Mặt khác, từ (2.10), hàm t 7→ ωt là khả vi liên tục Khi đó, với t ∈ [0, a] ta có

d dt

t

Z

0

S(t − s)F (s, ωs)F (s, ωs)

Z

0

S(t − s)(DtF (s, xs) + DϕF (s, xs)ys)ds.

Z

0

S(t − s) (DtF (s, ωs) − DtF (s, xs)) ds +

t

Z

0

S(t − s) (DϕF (s, ωs) − DϕF (s, xs)) ysds.Suy ra

... class="page_container" data-page="15">

Chương 2

Tính giải tính ổn định nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng trung tính với trễ vơ hạn< /h2>

2.1 Giới thiệu tốn

Cho... chứng minh

2.4 Sự tồn nghiệm mạnh

Định lí sau khẳng định, với điều kiện hạn chế nghiệm tích phân

nghiệm mạnh Để tính tích phân B từ tích phân E ta giả... data-page="25">

Để chứng minh tính quy nghiệm tích phân, ta thêm vào giả thiết

sau:

(H4) Cho F, G hàm khả vi liên tục có đạo hàm riêng Lipschitz địaphương hai biến độc với tập compact