Tính ổn định hậu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên itô

[...]... cho ; T Phương trình hay nghiệm của phương trình (2.1) được gọi là ổn định hầu chắc chắn với vết (t), bậc > 0 nếu lim sup t với mọi biến ngẫu nhiên Nhận xét 1 Với x0 (t) = et log Xt (x0 ) log (t) là F0 , h.c.c đo được ta có khái niệm ổn định mũ hầu chắc chắn 13 Với (t) = log(t) ta có khái niệm ổn định tiệm cận hầu chắc chắn với tốc độ đa thức Định lí phương trình sau chỉ (2.1) ra điều với vết Định lý... là các hằng số dương Do đó, từ Định lí 2.1.3 suy ra lim sup t 1 log(x2 (t) + y 2 (t)) log t 0.125 h.c.c Vậy nghiệm của phương trình ổn định đa thức hầu chắc chắn 2.2 Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ Trong phần này, để thuận tiện cho vi c trình bày các kết quả chúng tôi đưa ra một số kí hiệu và công thức sau: Lấy [l, 0] vào l > 0 Rn có tính chất kí hiệu C([l, 0], Rn... hiệu trình chuyển động Brown với lọc x0 là một biến ngẫu nhiên f : Rd ì[t0 , T ] Rd và Rd 0 là quá (, F, P) -giá trị, Ft 0 -đo g : Rd ì[t0 , T ] Rdìm là hai hàm Borel Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô dạng dx(t) = f (x(t), t)dt + g(x(t), t)dB(t), với điều kiện ban đầu trình (1.13) x(t0 ) = x0 t0 khi t T (1.13) Từ định nghĩa vi phân ngẫu nhiên, phương tương đương với phương trình tích phân ngẫu. .. và cho 0, nếu q >0 thì nghiệm của phương trình (0.2) ổn định logarit hầu chắc chắn Hơn nữa lim sup t 1 log |Xt | log log t Ví dụ 2.1.9 Với các số thực nhiên 1-chiều sau: R1 , > 0, q h.c.c xét phương trình vi phân ngẫu dXt = Xt dt + Xt dWt , X0 = x0 = 0, trong đó 0 và Wt là quá trình Wiener 1-chiều Theo phương trình trên ta có f (0, t) = g(0, t) = 0 Do phương trình có duy nhất nghiệm Xt = 0,... cho (e Định lý 1.3.4 Giả sử t 0 t 0 t 0 g(s)ds g(s)ds g(s)ds 1)h0 1)h0 < 1 h(t), u(t) C([0, T ], R+ ) là các hàm liên tục không âm Lấy (t) 0 < 1 Giả sử h(t) là một hàm liên tục, không giảm và không âm xác định trên (t) + t 0 u(s)h (s)ds, (t)1 + (1 ) u(s)ds 0 11 t1 ta suy ra LV (x, t) + 1 QV (x, t) 4(1 + t) Sử dụng Định lí 2.1.2 và cho với bất kì p> 1 2 1 1 V (x, t) + M 4(1 + t) thì nghiệm ổn định đa thức hầu chắc chắn Hơn nữa lim sup t 1 log |Xt | log t 1 (p ) 2 Ví dụ 2.1.7 Xét phương trình vi phân Itô 1- chiều dXt = pXt dt + (1 + t)p dWt trong đó X0 = x0 và p> 1 2 là hằng số Nghiệm của phương trình là t Xt = e pt eps (1 + s)p dWs ept Mt , t 0 Sử dụng