Trong phần này, để thuận tiện cho việc trình bày các kết quả chúng tôi đưa ra một số kí hiệu và công thức sau:
Lấy l > 0 và kí hiệu C([−l,0],Rn) là không gian các hàm liên tục từ [−l,0] vào Rn. Chuẩn trên không gian này được xác định bởi
kukl = max{|u(s)| : −l ⩽s ⩽ 0}, u ∈ C([−l,0],Rn).
Ký hiệuL2(Ω,F0, P;C([−l,0],Rn))là tập tất cả các biến ngẫu nhiênη(t) có tính chất F0-đo được nhận giá trị trênC([−l,0],Rn) và Ekη(t)k2l < ∞.
Trong mục này, chúng tôi xét tính ổn định hầu chắc chắn đối với lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên với thời gian trễ sau
dXt = f(Xt, Xt−δ(t), t)dt+g(Xt, Xt−δ(t), t)dWt (2.13) với Xt = η(t) ∈ L2(Ω,F0, P;C([−l,0],Rn)),−l ⩽ t⩽ 0. ở đây
f : Rn ×Rn ×R+ →Rn, g : Rn×Rn ×R+ → Rn
ξ ∈ L2(Ω,F0, P;C([−l,0],Rn))
và δ(t) được xác định như trong Mục 2.1. Giả sử V(x, t) ∈ C2,1(Rn ìR+;R+) xác định các toán tử L và Q như trong Mục 2.1. Khi đó, các định lí sau chỉ rõ
điều kiện đủ để hệ ngẫu nhiên có trễ trên ổn định hầu chắc chắn.
Định lý 2.2.1. Lấy ψ1(t), ψ2(t) và ψ3(t) là ba hàm liên tục không âm. Giả sử với mọi x, y ∈ Rn và t ⩾ 0, tồn tại các hằng số dương c1, c2, p, m và các số thực à, ν, θ, γ và ξ(t) > 0 là một hàm không tăng sao cho
1) c1|x|pλ(t)m ⩽V(x, t) ⩽c2|x|pλ(t)m, (x, t) ∈ Rn ×R+
2) LV(x, t) +ξ(t)QV(x, t) ⩽ ψ1(t) +ψ2(t)V(x, t) +ψ3(t)V(y, t), (x, y) ∈ Rn, t ∈ [0,+∞]
3) Các bất đẳng thức sau thỏa mãn lim sup
t→∞
log(Rt
0 ψ1(s)ds)
logλ(t) ⩽ν; lim sup
t→∞
Rt
0 ψ2(s)ds) logλ(t) ⩽ θ;
lim inf
t→∞
logξ(t)
logλ(t) ⩾ −à; lim sup
t→∞
Rt
0 ψ3(s)ds) logλ(t) ⩽γ.
Khi đó, nghiệm của phương trình (2.13) thỏa mãn lim sup
t→∞
log|Xt(η)|
logλ(t) ⩽ −m−[τ + (ν ∨ à) + (c2/c1)θ+ (c2/c1)λ(l)mγ]
p h.c.c.
Chứng minh. Sử dụng công thức Itô và từ định nghĩa các toán tử L, Q ta có V(Xt, t) =V(x0,0) +
Z t 0
LV(Xs, Xs−δ(s), s)ds +
Z t 0
n
X
i=1 m
X
k=1
gik(Xs, Xs−δ(s), s) ∂
∂xiV(Xs, s)dWsk. (2.14) Từ tính liên tục đều của logλ(t), với bất kì > 0 tồn tại hai số nguyên dương N = N() và k1 = k1() sao cho nếu (k−1)2N ⩽ t⩽ 2kN, k ⩾ k1(), ta có
logλ k
2N
−logλ(t) ⩽ .
Mặt khác, sử dụng Bất đẳng thức Martingale dạng mũ ta có với bất kì hằng số dương u, v, và ν
P (
ω : sup
0⩽t⩽T
[ Z t
0 n
X
i=1 m
X
k=1
gik(Xs, s) ∂
∂xi
V(Xs, s)dW s− Z t
0
u
2QV(Xs, s)ds] ⩾v )
⩽e−uv,
Chọn u = 2ξ
k 2N
, v = ξ k
2N
−1
log k−12N , ω = 2kN, k = 2,3, ... và áp dụng bổ đề Borel-catelli thì tồn tại một số nguyên k0(, ω) sao cho
Z t 0
n
X
i=1 m
X
k=1
gik(Xs, Xs−δ(s), s) ∂
∂xiV(Xs, s)dWsk
⩽ξ( k
2N)−1log(k−1
2N ) +ξ( k 2N
Z t 0
QV(Xs, Xs−δ(s), s)ds
với mọi 0 ⩽ t ⩽ 2kN, k ⩾ k0(, ω) ∨ k1(). Thay điều này vào (2.14) và sử dụng điều kiện 2 ta có
V(Xt, t) ⩽ V(X0,0) + Z t
0
LV(Xs, Xs−δ(s), s)ds+ξ(k −1 2N ) +
Z t 0
ξ( k
2N)QV(Xs, Xs−δ(s), s)ds
⩽ V(X0,0) + Z t
0
LV(Xs, Xs−δ(s), s)ds+ξ( k
2N)−1log(k−1 2N ) +
Z t 0
ξ(s)QV(Xs, Xs−δ(s), s)ds
⩽ V(x0,0) +ξ( k
2N)−1log(k−1 2N ) +
Z t 0
LV(Xs, Xs−δ(s), s) +ξQV(Xs, Xs−δ(s), s)
ds
⩽ V(x0,0) +ξ( k
2N)−1log(k−1 2N ) +
Z t 0
ψ1(s) +ψ2(s)V(Xs, s) +ψ3V(Xs, Xs−δ(s))
ds (2.15)
với mọi0 ⩽ t⩽ 2kN, k ⩾ k0(, ω)∨k1(). Từ đó suy ra c1|Xt|pλ(t)m ⩽
V(x0,0) +ξ( k
2N)−1log(k−1 2N ) +
Z t 0
ψ1(s)ds +(c2/c1)λ(l)m
Z l 0
ψ3(s)ds sup
0⩽t⩽T
|η(r)|p
.exp Z t
0
(c2/c1)ψ2(s)ds+ Z t
0
(c2/c1)λ(l)mψ3(s)ds
với mọi 0⩽ t ⩽ 2kN, k ⩾k0(, ω)∨k1(). Do đó, sử dụng điều kiện 3 suy ra với >0 bất kỳ tồn tại một số nguyên dương k2(, ω) sao cho
víi k−12N ⩽t ⩽ 2kN, k ⩾k0(, ω)∨k1()∨k2(, ω) th×
log(c1|Xt|pλ(t)m) ⩽ log
V(x0,0) +λ(t)(à+)(1+)logk −1 2N + (c2/c1)λ(l)m
Z l 0
ψ3(s)ds
sup
0⩽t⩽T
|η(r)|p
+λ(t)(ν+)
+ (c2/c1) Z t
0
ψ2(s)ds+ (c2/c1)λ(l)m Z l
0
ψ3(s)ds
⩽
V(x0,0) +λ(t)(à+)(1+)+λ(t)(ν+) + (c2/c1)λ(l)m
Z l 0
ψ3(s)ds
sup
0⩽t⩽T
|η(r)|p
+ log logk −1
2N + (c2/c1)(θ+) logλ(t) + (c2/c1)λ(l)m(γ +) logλ(t).
Từ đó ta có lim sup
t→∞
log(c1|Xt|pλ(t)m)
logλ(t) ⩽ (ν + )∨(à+)(1 +) +τ + +(c2/c1)(θ +) + (c2/c1)λ(l)m(γ + ).
Cho → 0 lim sup
t→∞
log(c1|Xt|pλ(t)m)
logλ(t) ⩽ ν ∨à+τ + (c2/c1)θ + (c2/c1)λ(l)mγ.
Do đó lim sup
t→∞
log|Xt(η)|
logλ(t) ⩽ lim sup
t→∞
log[λ(t)−m(c1|Xt|pλ(t)m)]
logλ(t)
⩽ −m−[(ν ∨à) +τ + (c2/c1)θ+ (c2/c1)λ(l)mγ]
p .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.2.2. Lấy ψ1(t), ψ2(t) và ψ3(t) là ba hàm liên tục không âm. Giả sử với mọi x∈ Rn và t⩾ 0, tồn tại các hằng số dương c1, c2, p, m và các số thực à, θ, ν, ρ,0< α < 1và ξ(t) > 0là một hàm không giảm sao cho
1) c1|x|pλ(t)m ⩽V(x, t) ⩽c2|x|pλ(t)m, (x, t) ∈ Rn ×R+
2) LV(x, t) +ξ(t)QV(x, t) ⩽ ψ1(t) +ψ2(t)V(x, t) +ψ3(t)V(y, t)α, (x, y) ∈ Rn, t ∈ [0,+∞]
3) Các bất đẳng thức sau thỏa mãn lim sup
t→∞
log(Rt
0 ψ1(s)ds)
logλ(t) ⩽θ; lim sup
t→∞
Rt
0 ψ2(s)ds)
logλ(t) ⩽ ν(1−α);
lim sup
t→∞
Rt
0 log(ψ3(s)ds)
logλ(t) ⩽ρ(1−α); lim inf
t→∞
logξ(t)
logλ(t) ⩾ −à.
Khi đó, nghiệm của phương trình (2.13) thỏa mãn lim sup
t→∞
log|Xt(η)|
logλ(t) ⩽−m−[τ + (c2/c1)ν +à∨θ∨ρ]
p h.c.c.
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Định lí 2.2.1, từ (2.15) với mỗi > 0 tùy ý, tồn tạiN > 0 vàk0(, ω) > 0 sao cho
c1|Xt|pλ(t)m ⩽ exp
c2 c1(1−α)
Z t 0
ψ2(s)ds ξ( k 2N)−1
logk −1 2N +V(x0,0) +
2 sup
−l⩽r⩽0
|η(r)|p α
.(cα2/c1)λ(l)αm Z l
0
ψ3(s)ds +
Z t 0
ψ1(s)ds 1−α
+ (cα2/c1)2αλ(l)αm Z t
0
ψ3(s)ds 1−α1
với mọi0 ⩽ t⩽ 2kN, k ⩾ k0(, ω).
Do đó, sử dụng điều kiện 3, với > 0 bất kỳ, tồn tại một số nguyên dương k1 = k1(, ω) sao cho
víi k−12N ⩽t ⩽ 2kN, k ⩾k1(, ω)∨k0() th×
log(c1|Xt|pλ(t)m) ⩽ (c2/c1)(ν +) logλ(t) + log
λ(t)(à+)(1+)logk −1
2N +V(x0,0) +λ(t)(θ+)(cα2/c1)λ(l)αm
2 sup
−l⩽r⩽0
|η(r)|p α
. Z l
0
ψ3(s)ds
(1−α)
+ (cα2/c1)2αλ(l)αmλ(t)(1−α)(β+) 1−α1
. Từ đó ta có
lim sup
t→∞
log(c1|Xt|pλ(t)m)
logλ(t) ⩽ τ ++ (c2/c1)(ν +)
+ (θ +)∨(ρ+)∨(à+)(1 +) h.c.c.
Cho → 0 lim sup
t→∞
log(c1|Xt|pλ(t)m)
logλ(t) ⩽ τ ++ (c2/c1)ν +à∨θ∨ρ h.c.c.
Do đó
lim sup
t→∞
log|Xt(η)|
logλ(t) ⩽lim sup
t→∞
1 p
log[λ(t)−m(c1|Xt|pλ(t)m)]
logλ(t)
⩽−m−[τ + (c2/c1)ν +à∨θ∨ρ]
p h.c.c.
Sau đây, chúng tôi trình bày hai ví dụ để làm rõ nội dung các định lí trên.
Ví dụ 2.2.3. Giả sử ν > 0, l > 0. Xét một phương trình Itô ngẫu nhiên có trễ δ(t) = 2l > 0. Giả sử η(t) : [−2l,0] ì Ω → R là một quá trình ngẫu nhiên F0-đo được và với t > 0,
dXt = (−νXt + Xt−2l)dt+ 2t3e−νtg(t, Xt, Xt−2l)dWt, Xt = η(t), t∈ [−2l,0]
ở đây Wt là quá trình Wiener 1- chiều và tồn tại một hằng số dương M sao cho
|g(t, Xt, Xt−2l)2| ⩽M. Ta cã
|XtXt−2l| ⩽ γ|Xt|2 + 4
γ|Xt−2l|2, trong đó γ là một hằng số dương thỏa mãn
h(γ) = ν −γ − 4e2vl γ > 0.
Do đó
ν −√
ν2 −16e2vl
2 < γ < ν +√
ν2 −16e2vl
2 .
Xét hàm số
V(x, t) = etx2
. Nếuν > 4evl thì luôn chọn được số γ phù hợp để phương trình trên ổn định mũ hầu chắc chắn. Hơn nữa
lim sup
t→∞
log|Xt(η)|
t ⩽ −(ν −γ − 4e2νl γ ).
Ví dụ 2.2.4. Xét phương trình vi phân ngẫu nhiên 1- chiều có trễ dXt = − p
1 +tXtdt+ 1
1 +tXt−ldt+ (1 +t)−p 1 +|Xt−l|dWt
với Xt = ξ(t), t ∈ [−l,0], ở đây Wt là một chuyển động Brown1-chiều và p, l là 2 số dương.
Xét hàm số V(x, t) = (1 +t)2px2, t ∈ R+, x ∈ R Víi δ > 1ta suy ra
LV(x, y, t) + 1
4(1 +t)δQV(x, t) ⩽
1
(1 +t)δ + 1 1 +t
V(x, t)
+ 1
1 +tV(y, t) + 1
Sử dụng định lí 2.2.1 và cho δ → 1ta thu được rằng với mỗi p > 32, nghiệm của phương trình ổn định đa thức hầu chắc chắn. Hơn nữa, ta có
lim sup
t→∞
1
logtlog|Xt| ⩽ −(p− 3 2).
kÕt luËn
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau
1) Trình bày một cách có hệ thống một số khái niệm và tính chất của tích phân ngẫu nhiên và phương trình vi phân ngẫu nhiên.
2) Trình bày và chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên Itô.
3) Trình bày và chứng minh chi tiết điều kiện đủ cho tính ổn định hầu chắc chắn
đối với phương trình vi phân ngẫu nhiên có trễ.
4) Trình bày các ví dụ áp dụng kết quả của các định lí trong mỗi phần.
Tài liệu tham khảo
[1] L. Arnold, (1974),Stochastic differential equation: Theory and applicar- ion,Wiley:New York.
[2] D. R. Bell and E. A. Mohammed, (1989), On the Solution of Stochastic Ordinary Differential Equations via Small Delays, Stochastic, 29,293-299.
[3] R. Z. Has'minskii, (1980), Stochastic stability of diffential equations, Si- jthoff and Noordhoff. Alphen.
[4] G. S. Ladde and V. Lakshmikantham, (1980), Random Differential In- equalities, Academic Press: New York.
[5] U. G. Haussmann, (1978), Asymptotic stability of lineat Ito equation in infinite dimensional, J. Math. Anal. Appl., 65, 219-235.
[6] A. Ichiikawa, (1982), Stability of Semilinear stochastic evolution equations, J. Math. Anal. Appl., 90,12- 44.
[7] V. B. Kolmanovskii, V. R. Nosvos, (1986),Stability of functional diffential equations, Academic Press: New York.
[8] X. Mao, K. Liu, (2001), Large time decay behavior of dynamical equations with random perturbation features, Stochastic analysis and applications, 19(2), 295-327.