Tính ổn định p moment của phương trình vi phân ngẫu nhiên với bước nhảy

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh * Hồ Ngọc Hân Tính ổn định p-moment của phơng TRình vi phân ngẫu nhiên với bớc Nhảy Luận văn thạc sĩ toán học Vinh 200 Mục lục Trang 1 Lời nói đầu 2 Chơng I Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định 4 1.1 Các khái niệm cơ bản 4 1.2 Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính 5 1.3 ổn định của hệ tuyến tính không dừng 7 1.4 ổn định của các hệ tựa tuyến tính 8 1.5 Tính ổn định với xác suất 1 của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên 10 1.6. Tính ổn định của hệ với thời gian rời rạc 12 Chơng II Tính ổn định p-moment của phơng trình vi phân ngẫu nhiên với bớc nhảy 27 2.1 Các khái niệm 27 2.2 Bổ đề 29 2.3 Các điều kiện đủ của tính ổn định p-môment đều 31 Kết luận 42 tàI LIệU THAM KHảO 43 Lời nói đầu Bất kì một hệ thống nào, dù là hệ thống kĩ thuật, hệ sinh thái hay hệ thống kinh tế xã hội, bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất. Đó là trạng thái mà khi có nhiễu bé kéo hệ ra khỏi trạng thái ban đầu thì hệ có xu hớng quay trở lại trạng thái cân bằng vốn có. Mọi hệ thống đều có thể mô tả bởi một hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Do đó, tính ổn định của hệ thống liên quan chặt chẽ đến tính ổn định của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. 2 Phơng trình vi phân ngẫu nhiên đã và đang đợc phát triển rộng lớn và đóng một vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực nh dự đoán sự phát triển của dân số. Vì vậy tầm quan trọng của phơng trình vi phân ngẫu nhiên rất rõ ràng. Gần đây, tính ổn định của phơng trình vi phân ngẫu nhiên với 1 bớc nhảy đã đợc nhiều nhà toán học quan tâm. Chẳng hạn Ji, Chizeek và Mariton đã nghiên cứu tính ổn định của phơng trình vi phân ngẫu nhiên với 1 bớc nhảy dạng: ),())(()( 0 txtrAtx = ở đây, r(t) là một xích Markov nhận giá trị trong S ={1, 2, }. Mao đã nghiên cứu tính ổn định mũ của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến với . ))t(r,t),t(x(gdt))t(r,t),t(x(f)t(dx t dw += Hệ phơng trình vi phân này có thể xem nh là kết quả của hệ N phơng trình sau đây: .ni , t dW)i,t),t(x(gdt)i,t),t(x(f)t(dx += 1 Luận văn gồm 2 chơng: Chơng I: trình bày tính ổn định của hệ phơng trình vi phân và sai phân. Ch- ơng này đa ra khái niệm và các tính chất cơ bản của lí thuyết ổn định, xét tính ổn định của hệ tuyến tính, hệ phi tuyến và hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên. Chơng II: nghiên cứu tính ổn định p-moment của hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến dạng: = === += 00 21 x)t(x ,i ,t),),(x,(I)(x t ,dW))t(x,t(bdt))t(x,t(a)t(dx i i iiii it ở đây, i là dãy ngẫu nhiên và { i } là một dãy số. Luận văn đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn trực tiếp của T.S Phan Lê Na và sự giúp đỡ của PGS.TS Phan Đức Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy và Cô về sự quan tâm nhiệt tình mà Thầy và Cô đã dành cho tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng. Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Văn Quảng, PGS.TS Trần Xuân Sinh, TS Nguyễn Trung Hoà, cùng các thầy cô giáo ở bộ 3 môn xác suất thống kê và ứng dụng, Khoa toán, Khoa sau đại học trờng Đại học Vinh . Vinh, tháng 10 năm 2009 Tác giả Hồ Ngọc Hân CHƯƠNG i Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định Một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó, nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm thay đổi hệ thống quá nhiều so với trạng thái ban đầu (xem [1]). 1.1. Các khái niệm cơ bản Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân o x(t) f (t, x) , t . ( . ) x(t ) x = = 0 0 0 11 trong đó x(t) n Ă là hàm véctơ cho trớc. 4 Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 , t 0 0 luôn có nghiệm. Khi đó, dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức: . t t ds))s(x,s(fxx = 0 0 Nếu giả thiết thêm f(t,0) = 0 thì x = 0 là nghiệm tầm thờng hay trạng thái cân bằng của hệ. Trong trờng hợp đó, ta nói hệ (1.1) là ổn định thay cho nghiệm x = 0 của hệ là ổn định. Bây giờ ta xét hệ với f(t,0) = 0, t R + . Ta có các định nghĩa sau: 1.1.1 Định nghĩa. Hệ (1.1) đợc gọi là ổn định nếu > 0, t 0 R + , (phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kì nghiệm x(t): x(t 0 ) = x 0 thoả mãn || x 0 || < thì || x(t) || < , t t 0 . 1.1.2 Định nghĩa. Hệ (1.1) đợc gọi là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và > 0 sao cho: nếu || x 0 || < thì . )t(x im l t 0 = Nếu số trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào t 0 , thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều). 1.1.3 Định nghĩa. Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu M > 0, > 0 sao cho nghiệm của hệ (1) với x(t 0 ) = 0 thoả mãn: )( 0 .)( tt eMtx , t t 0 . Tức là nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. Thí dụ: Xét phơng trình vi phân xtatx )()( = , t 0. trong đó a(t): R + R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi: 5 = t t da extx 0 0 )( .)( - Hệ là ổn định nếu . +< )(t t t )da( 0 0 - Hệ là ổn định đều nếu à (t 0 ) không phụ thuộc t 0 . - Hệ là ổn định tiệm cận nếu . = - t t )da( 0 1.2. Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính: .t),t(Ax)t(x 0 = (1.2) trong đó: A là (nxn) là ma trận hằng. Nghiệm của (1.2) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi: )( 0 0 .)( ttA extx = , t t 0 . 1.2.1 Định lý. (Tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov) Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là: Re < 0, (A). Thí dụ: Xét tính ổn định hệ: = = 1 1 2 2 2 xx xx Ta thấy ( ) 0 2 1 0 A = giá trị riêng của A là = -1, -2. Vậy hệ là ổn định tiệm cận. 1.2.2 Định lý. Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (1.2) đã cho là: f(z) = z n + a 1 z n-1 + . . . + a n-1 z + a n Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k =1, 2, . . . , n là dơng thì phần thực của tất cả nghiệm của f(z) là âm, tức hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó: det D 1 = a 1 6 = 2 31 1 a aa detDet d k = k k k k k a . a .a a .aa a .aaa detDet d 000 10 1 321 2242 12531 , k =1, 2, . . . , n và a r = 0 nếu r > n . Xét phơng trình Lyapunov dạng A X+XA = -Y (LE). X,Y là ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE). Xét hệ (1.2), ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả giá trị riêng của A là âm (1.2) ổn định tiệm cận. 1.2.3. Định lý. Ma trận A là ổn định khi và chỉ khi mọi ma trận Y đối xứng, xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dơng X. 1.3 ổn định của hệ tuyến tính không dừng (1.3) .t),t( x)t( A )t(x 0 = Hệ (1.3) có nghiệm: x(t) = (t,t 0 )x. (t,s) là ma trận nghiệm cơ bản. Nếu A(.) là hằng số thì .e)s,t( )st(A = 1.3.1. Định lý. Xét hệ (1.3) trong đó A(t) =A+c(t). Giả sử A là ma trận ổn định và giả sử c(t) là khả tích trên R + và: atc )( , a > 0 Khi đó, hệ ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ. Thí dụ: Xét hệ phơng trình vi phân: += += tcosxx tsinxxx 2 1 1 2 21 2 4 1 3 1 4 1 2 1 5 1 Ta có: = 2 1 5 1 0 3 1 A , = t t tc 2 2 sin 4 1 cos 4 1 )( 7 Vì (A) =-1/3, -1/2 < 0 nên A là ma trận ổn định . M =1, =1/2 2 1 4 1 <= a)t(c nên hệ là ổn định tiệm cận. 1.3.2 Định lý. Xét hệ (1.3), trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t. Giả sử M > 0, > 0, k > 0 sao cho: i) t tsA eke . )( , t, s 0; ii) ; M)t(ASup Rt + thì hệ là ổn định tiệm cận nếu k M 2 < . 1.4 ổn định của các hệ tựa tuyến tính Xét hệ ) )(, ( )( tx t f tx = , t 0. (1.4) trong đó f(t,x) : R + xR n R n là hàm phi tuyến f(t,x) = 0, t R + có nghiệm thoả mãn x(t 0 ) = x 0 , t 0. Trờng hợp f(t,x) khả vi liên tục tại x = 0 thì theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0. Ta có: f(x) = Ax + g(x) trong đó: . )x()x(g, x )(f A 0 0 = = 1.4.1. Định lí. Xét hệ (1.4) trong đó f(t,x) = Ax + g(x). Giả sử A là ma trận ổn định và )(0)( xxg = thì hệ là ổn định tiệm cận. Nhận xét: Thay điều kiện )(0)( xxg = bằng điều kiện: L > 0: x L xg )( , x X thì khẳng định trên vẫn đúng với L > 0 thoả mãn: k L < . Thí dụ: xét tính ổn định hệ: += += txxx txxx 22 11 1 22 22 2 sin 2 1 sin 2 1 2 8 Ta có: = 20 01 A , = tx tx x t g 2 2 sin 2 1 sin 2 1 ) , ( 2 2 2 1 vì A là ma trận ổn định và 2 4 2 4 1 2 x 2 1 xxt sin 2 1 )x , t (g + = )(0) , ( xx t g = . Vậy hệ là ổn định tiệm cận. 1.4.2.Định lí. Xét hệ phi tuyến 0 += t)),t(x,t(g)t(x)t(Ax (1.5) giả sử: i) k > 0, > 0: )( )( st kex , t s 0 ii) xtLxtg )(),( , t 0, x R n iii) k MtL Sup < + )( Rt khi đó hệ là ổn định tiệm cận. 1.5. TíNH ổn định VớI XáC SUấT 1 CủA Hệ PHƯƠNG TRìNH VI PH ÂN NGẫU NHIÊN 1.5.1 Định nghĩa. Quá trình W = (W t , t > 0 ) xác định trên không gian xác suất ),F,( đợc gọi là quá trình Wiener nếu: i) W 0 = 0 ii) (W t ) là quá trình có gia số độc lập , tức với mọi t 1 < t 2 < t 3 < t 4 các biến ngẫu nhiên 3 4 tt WW và 1 2 tt WW độc lập. iii) Biến ngẫu nhiên W t W s ( 0 < s < t ) có phân phối chuẩn với trung bình 0 và phơng sai t - s . iv) Với hầu hết các quỹ đạo W t ( ) là hàm liên tục. 1.5.2 Định lí ( Quy tắc vi phân Itô ). Cho X = X(t) là một quá trình ngẫu nhiên có vi phân: dX t = A(t,X t )dt + B(t,X t ) dW t . 9 trong đó (W t ) là quá trình Wiener một chiều. Giả sử y = g(t, x) là hàm một lần khả vi liên tục theo biến t 0, hai lần khả vi liên tục theo biến x R. Khi đó, quá trình ngẫu nhiên Y t = g(t,X t ) có vi phân Itô đợc tính theo công thức sau đây đ- ợc gọi là qui tắc vi phân Itô: .dtB x g dX x g dt t g dY tt 2 2 2 2 1 + + = 1.5.3 Mệnh đề. Cho phơng trình vi phân ngẫu nhiên: dx(t) = A(t,x(t))dt + B(t,x(t)) dW t , 0 t 0 < t < . trong đó x(t 0 ) = x 0 , x R n , A, B R nxn là ma trận hằng. Khi đó, vi phân Itô của hàm V = x T x là: d x T x = x T dx + d x T x + (Bx) T Bxdt. 1.5.4 Mệnh đề. Cho x có vi phân ngẫu nhiên: dx = Axdt + BxdW t trong đó x(t 0 ) = x 0 , x R n , A,B R nxn là ma trận hằng. Khi đó,vi phân Itô của hàm V = x T Hx có kỳ vọng EdV = x T (A T H + HA +B T HB)xdt. 1.5.5 Định nghĩa. Xét hệ phơng trình vi phân ngẫu nhiên dx(t) = Ax(t)dt + Bx(t) dW (1.6) trong đó A, B R nxn là ma trận hằng, W t là quá trình Wiener. Ta giả thiết ma trận A ổn định. Nghiệm x(t) = 0 của hệ đợc gọi là ổn định với xác suất 1 theo Liapunov nếu M > 0, > 0 sao cho xác suất có điều kiện của biến cố M ) t (x sup tt 0 thỏa mãn: .1},)0(0)(suplim{ 00 0 =<== + xxxtxP tTt T 10