0

Về tính ổn định của một lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

27 395 2

Đang tải.... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/12/2013, 19:22

- 1 - Trờng đại học vinh Khoa toán Hồ Ngọc Hân Về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Vinh 2007 - 2 - Trờng đại học vinh Khoa toán Về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành cử nhân s phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoá luận PGS. TS. Phan Đức Thành Sinh viên thực hiện: Hồ Ngọc Hân Lớp: 44A1 Toán Vinh 2007 - 3 - Lời mở đầu Tính ổn địnhmột trong những tính chất chủ yếu của lý thuyết định tính các hệ động lực mà đợc bắt đầu từ cuối thế kỷ XIX, bằng những công trình xuất sắc của nhà toán học Nga A.M Lyapunov. Mỗi khi phân tích và thiết kế các hệ thống kỹ thuật hoặc các mô hình kinh tế mô tả bằng các hệ ph- ơng trình toán học, ngời ta cần nghiên cứu tính ổn định của hệ thống đó. Cho đến nay, tính ổn định đã đợc nghiên cứu và phát triển nh một lý thuyết toán học độc lập, có rất nhiều ứng dụng hữu hiệu trong kinh tế, khoa học và kỹ thuật. Đặc biệt, từ năm 60 của thế kỷ XX, bằng sự ra đời của lý thuyết điều khiển hệ thống, tính ổn định ngày càng đợc quan tâm nghiên cứu và ứng dụng vào mô hình điều khiển kỹ thuật. Từ đó xuất hiện các bài toán nghiên cứu tính ổn định hoá các hệ điều khiển toán. Nội dung luận văn này giới thiệu các phơng pháp bài toán ổn định Lyapunov, các tiêu chuẩn để một hệổn định hoặc ổn định hoá, đặc biệt là về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bao gồm: Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định Chơng II: Về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân - ngẫu nhiên Qua đây, em xin chân thành cảm ơn sự chỉ dẫn, giúp đỡ tận tình của thầy giáo Phan Đức Thành đã giúp em hoàn thành luận văn này. Sinh viên thực hiện Hồ Ngọc Hân - 4 - Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định Một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó, nếu các nhiễu bé trong các điều kiện ban đầu hoặc trong cấu trúc của hệ thống không làm thay đổi hệ thống quá nhiều so với trạng thái ban đầu. 1.1. Các khái niệm cơ bản Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân = = 00 0 x)x(t x)f(t,(t) x , t0 (1) Trong đó x(t)R n là hàm véc tơ cho trớc. Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán cauchy hệ (1) với x(t 0 ) = x 0 , t 0 0 luôn có nghiệm. Khi đó, dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức: = t t x(s))dsf(s,xx 0 0 Nếu giả thiết thêm f(t,0) = 0 thì x = 0 là nghiệm tầm thờng hay trạng thái cân bằng của hệ. Trong trờng hợp đó, ta nói hệ (1) là ổn định thay cho nghiệm x = 0 của hệlà ổn định. Bây giờ ta xét hệ (1) với f(t, 0) = 0, tR + . Ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1. Hệ (1) là ổn định nếu > 0, tR + , (phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kì nghiệm x(t): x(t 0 ) = x 0 thoả mãn ||x 0 || < thì ||x(t)|| < , t t 0 . Định nghĩa 2: Hệ (1) là ổn định tiệm cận nếu hệổn định > 0 sao cho: nếu ||x 0 || < thì - 5 - 0)( iml = tx t Nếu số trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào t 0 , thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều). Định nghĩa 3: Hệ (1) là ổn định mũ nếu M > 0, > 0 sao cho nghiệm của hệ (1) với x(t 0 ) = 0 thoả mãn )( .)( 0 tt eMtx , t t 0 Là nghiệm không của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. Thí dụ: Xét phơng trình vi phân xtatx )()( = , t 0 Trong đó a(t): R + R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi = t t da extx 0 0 )( .)( - Hệổn định nếu +< )(t t t )da( 0 0 - Hệổn định đều nếu à(t 0 ) không phụ thuộc t 0 . - Hệổn định tiệm cận nếu = - t t )da( 0 1.2. Tính ổn định của các hệ vi phân tuyến tính Xét hệ tuyến tính: Ax(t)x(t) = , t 0 (2) Trong đó: A là (nxn) ma trận Nghiệm của (2) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi )tA(t .exx(t) 0 0 = , t t 0 - 6 - 1.2.1 Định lý 1. (tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov) Hệ (2) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là Re<0, (A) Thí dụ: Xét tính ổn định hệ: = = 1 1 2 2 2 xx xx Ta thấy ( ) 0 2 1 0 = A Vậy giá trị riêng của A là = -1, -2. Hệổn định tiệm cận 1.2.2. Định lý 2. Giả sử đa thức đặc trng mà phơng trình vi phân (2) đã cho là: f(z) = z n + a 1 z n-1 + . . . + a n-1 z + a n Khi đó, nếu định thức tất cả các ma trận con D k , k=1, 2, . . . , n là dơng thì phần thực của tất cả nghiệm của f(z) là âm, tức hệ đã cho là ổn định tiệm cận, trong đó: DetD 1 = a 1 = 2 31 1 det a aa DetD k = k k k k k a aa aaa aaaa DetD .000 .10 .1 . det 32 3 2242 12531 k=1, 2, . . . , n Và a r =0 nếu r>n Xét phơng trình Lyapunov dạng AX+XA=-Y (LE) X,Y là ma trận (nxn) chiều gọi là cặp nghiệm của (LE) - 7 - Xét hệ (2), ta nói ma trận A là ổn định nếu phần thực tất cả giá trị riêng của A là âm (2) ổn định tiệm cận. 1.2.3. Định lý 3. Ma trận A là ổn định mọi ma trận Y đối xứng, xác định dơng, phơng trình (LE) có nghiệm là ma trận đối xứng, xác định dơng X. 1.3 ổn định của hệ tuyến tính không dừng )( )()( t xt A tx = , t0 (3) Hệ (3) có nghiệm x(t) = (t,t 0 )x 0 (t,s) là ma trận nghiệm cơ bản Nếu A(.) là hằng số thì )( ),( stA est = 1.3.1. Định lý 1: Xét hệ (3) trong đó A(t) = A+c(t). Giả sử A là ma trận ổn định và giả sử c(t) là khả tích trên R + và: atc )( , a > 0 Khi đó, hệ ổn định tiệm cận với a > 0 đủ nhỏ. Thí dụ: Xét hệ phơng trình vi phân: += += txx txxx 2 1 1 2 21 2 cos 4 1 3 1 sin 4 1 2 1 5 1 Ta có: = 2 1 5 1 0 3 1 A , = t t tc 2 2 sin 4 1 cos 4 1 )( Vì (A) = -1/3, -1/2 < 0 nên A là ma trận ổn định M=1, =1/2 2 1 4 1 )( <= atc nên hệổn định tiệm cận. - 8 - 1.3.2. Định lý 2: Xét hệ (3) trong đó A(t) là ma trận liên tục theo t. Giả sử M > 0, > 0, k > 0 sao cho: i) t ek tsA e . )( , t, s 0 ii) MtASup Rt + )( Hệổn định tiệm cận nếu k M 2 < 1.4. ổn định của các hệ tựa tuyến tính: Xét hệ ) )(, ( )( tx t f tx = , t 0 (4) Trong đó f(t,x) : R + xR n R n là hàm phi tuyến f(t,0) = 0 tR + Có nghiệm thoả mãn x(t 0 ) = x 0 , t o 0. Trờng hợp f(t,x) khả vi liên tục tại x = 0 thì theo khai triển Taylor bậc một tại x = 0. Ta có: f(x) = Ax+g(x) Trong đó: )(0)(, )0( xxg x f A = = 1.4.1. Định lí 1: Xét hệ (4)trong đó f(t,x)=Ax+g(x). Giả sử A là ma trận ổn định và )(0)( xxg = thì hệổn định tiệm cận. Nhận xét: Thay điều kiện )(0)( xxg = bằng điều kiện: L > 0: x L xg )( , xX thì khẳng định trên vẫn đúng với L > 0 thoả mãn k L < Thí dụ: Xét tính ổn định hệ += += txxx txxx 22 11 1 22 22 2 sin 2 1 sin 2 1 2 Ta có: - 9 - = 20 01 , = tx tx x t g 2 2 sin 2 1 sin 2 1 ) , ( 2 2 2 1 Vì A là ma trận ổn định và 2 2 1 4 2 4 1 2 sin 2 1 ) , ( x xxt x t g + = )(0) , ( xx t g = hệổn định tiệm cận 1.4.2.Định lí 2: Xét hệ phi tuyến ))(,()()( txtgtxtAx += , t 0 (5) Giả sử: i) k > 0, > 0: )( )( st kex , t s 0 ii) xtLxtg )(),( , t 0, xR n iii) k MtL Sup < + )( Rt Khi đó hệổn định tiệm cận. 1.5. Tính ổn định của hệ với thời gian rời rạc Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình sai phân x(k+1) = f(k, x(k)) , kZ + (6) Trong đó: f: Z + x XX là hàm cho trớc Các định nghĩa cơ bản: Định nghĩa 1: Hệ rời rạc (6)gọi là hệ ổn định nếu với > 0, k 0 Z + , > 0 (phụ thuộc vào k 0 , ) sao cho mọi nghiệm x(k) của hệ với < )0(x thì < )(kx , k k 0 - 10 - Định nghĩa 2: Hệ (6)là ổn định tiệm cận nếu hệổn định và có một số > 0 sao cho: 0)(lim = kx k với mọi nghiệm x(k) với < )0(x 1.5.1. ổn định của các hệ tuyến tính Xét hệ rời rạc: x(k+1) = Ax(k) , ì + nn n RA Zk Rx (7) Với x(0) = x 0 thì nghiệm của (2) là: x(k) = A k x 0 1. Định lí 1: Hệ rời rạc (7) là ổn định tiệm cận một trong hai điều kiện sau đợc thoã mãn: i) 0 < q <1 : 1qA <= ii) <1 , (A) Chứng minh: (*) Giả sử hệ (7) là ổn đinh tiệm cận hệổn định >0 sao cho: 0)( 0 = = x k A k kx k Lim Lim Với mọi nghiệm x(k) thoả mãn < )0(x Ta có: 00 x k Ax k A + Nếu 0 0 x k A khi k 0 k A khi k 0 < q <1 : 1qA <= 0 0 x k A khi k + Nếu A không suy biến, ma trận T, 0det T sao cho 1 1 0 0 = n . kx khi k + hệ là ổn định tiệm cận. Chơng II Về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân - ngẫu nhiên Các tiêu chuẩn về tính ổn định tiệm cận. hoặc ổn định hoá, đặc biệt là về tính ổn định của một lớp hệ phơng trình sai phân ngẫu nhiên bao gồm: Chơng I: Một số kiến thức cơ bản về lí thuyết ổn định
- Xem thêm -

Xem thêm: Về tính ổn định của một lớp hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên ,

Từ khóa liên quan