Tính ổn định của một lớp hệ rời rạc có trễ luận văn thạc sỹ toán học

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH PHẠM THỊ MINH TÂM TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ RỜI RẠC CÓ TRỄ CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH MÃ SỐ : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Lê Na NGHỆ AN - 2011 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu …………………………… ………………………………… Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số yếu tố đại số tuyến tính 1.2 Một số yếu tố phương trình sai phân 1.3 Một số sở lý thuyết ổn định Lyapunov hệ sai phân 1.4 Sự ổn định hệ rời rạc tuyến tính………………………………… 1.5 Sự ổn định hệ rời rạc phi tuyến ………………………………… 10 1.6 Sự ổn định hệ tuyến tính có trễ…………………………………….11 Chương Tính ổn định lớp hệ rời rạc có trễ …………………… 16 2.1 Bài tốn ổn định hóa………………………………………………… 16 2.2 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính …………………………………… 16 2.3 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính có trễ 17 2.4 Tính ổn định vững ổn định hóa hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ .20 2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định hệ 21 Kết luận ……………………………………………………………… … 30 Tài liệu tham khảo ……………………………………………………… 31 LỜI NÓI ĐẦU Một lớp quan trọng hệ động lực hỗn hợp lớp thuộc hệ chuyển đổi theo thời gian rời rạc mà thường xuất dạng toán hệ di truyền, hệ Lotka-Volterra, hệ điều khiển tăng trưởng kinh tế toàn cầu, kiểm soát loại bệnh dịch vv… Một hệ biến đổi theo thời gian biểu diễn dạng phương trình sai phân x  k  1  f  x  k  , x  k  h   , k   Trong : h 1,  f   :  M  tập hợp hàm số từ n tới 2n tham số hoá tập hợp hữu hạn M   M số khơng đổi gọi tín hiệu (chiến lược chuyển đổi) Trong trường hợp cụ thể giá trị  giá trị cho phụ thuộc vào x  k  Các hệ có chuyển đổi theo thời gian có nhiều ứng dụng việc kiểm soát hệ thống cơ, điện, viễn thông lĩnh vực khác Ổn định cho hệ chuyển đổi phải tìm điều kiện đảm bảo ổn định tiệm cận cho giá trị chuyển đổi tùy ý   M Nói cách khác, hệ thống ổn định trạng thái cân ta thay kiện ban đầu hệ thay đổi chút lâu dài hệ có xu hướng trở trạng thái cân lúc ban đầu hệ Những vấn đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học Trên sở tài liệu phương trình vi phân lý thuyết ổn định, áp dụng phương pháp thứ hai Lyapunov, số bất đẳng thức ma trận, luận văn đề cập đến việc trình bày số kết liên quan đến tính ổn định (ổn định tiệm cận, ổn định vững) hệ trạng thái cân x 0 Mục đích luận văn dựa vào báo tác giả Hy Đức Mạnh (2006), V.N.Phát (2002), A.S.Matveev (2000), A.V.Savkin (2002) để nghiên cứu tính ổn định, ổn định hố, ổn định vững hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ Luận văn chia làm hai chương: Chương 1:Trình bày số kiến thức chuẩn bị gồm nội dung sau: 1.1 Một số yếu tố đại số tuyến tính 1.2 Một số yếu tố phương trình sai phân 1.3 Một số sở lý thuyết ổn định Lyapunov hệ sai phân 1.4 Sự ổn định hệ rời rạc tuyến tính 1.5 Sự ổn định hệ rời rạc phi tuyến 1.6 Sự ổn định hệ tuyến tính có trễ Chương 2: Tính ổn định lớp hệ rời rạc có trễ nội dung luận văn gồm nội dung sau: 2.1 Bài tốn ổn định hóa 2.2 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính 2.3 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính có trễ 2.4 Tính ổn định vững ổn định hóa hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ 2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định hệ Luận văn thực trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo giáo TS Phan Lê Na Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cơ Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Trường Đại Học Vinh Tác giả xin cảm ơn q Thầy giáo, Cơ giáo tổ Giải tích khoa tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, đặc biệt Ban Giám Hiệu, Tổ Văn hóa Trường TCN Hưng Yên anh chị lớp Cao học 17 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, song Luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Kính mong q Thầy Cơ bạn đọc đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng 12 năm 2011 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày số kết phương trình sai phân, số sở lý thuyết ổn định Lyapunov hệ sai phân Cụ thể trình bày số kiến thức liên quan đến phương trình sai phân, khái niệm ổn định ổn định tiệm cận; ổn định hệ rời rạc tuyến tính, hệ rời rạc phi tuyến có trễ số kiến thức đại số tuyến tính cần dùng luận văn 1.1 Một số yếu tố đại số tuyến tính Ma trận A  aij  , i 1, m , j 1, n , với aij   có m hàng n cột gọi ma trận cấp  m n  Giả sử R nm tập hợp tất ma trận cấp  n m  , chuyển vị ma trận A kí hiệu A' , I I m ma trận đơn vị R nn R nm tương ứng Ma trận Q R nn xác định không âm (Q ≥ 0) x 'Qx 0 , tất x n Nếu x 'Qx 0 ( x 'Qx 0 , tương ứng), tất x ≠ 0, Q xác định dương (âm, tương ứng) kí hiệu Q > 0, (Q < 0, tương ứng) Ta thấy Q > (Q < 0, tương ứng)   : x 'Qx  x , x  n (   : x 'Qx   x , x  n , tương ứng) Giả sử A ma trận vuông cấp  n n  , A  aij  , i, j 1, n , chuẩn ma trận A xác định  n n 2 A   aij   i 1 j 1  Véctơ v  n , v 0 gọi véctơ riêng ma trận A -  n n  ứng với giá trị riêng  (số thực hay số phức) Av  v Tập giá trị riêng A kí hiệu   A  Các giá trị riêng A xác định từ phương trình đặc trưng A det   I  A  0 hay p     n  a1 n    an  1  an 0 Nếu ma trận A  A' A gọi ma trận đối xứng Ta ln có AA ' ' đối xứng  AB  B ' A' Ma trận A xác định dương tồn ma trận ngược A ta có khẳng định sau 1.1.1 Định lý (Định lý bổ sung Schur) Giả sử ma trận M có cấp (n n), P có cấp (n m), Q có cấp (m m) cho Q  0, Q Q ' , 1.1.2 Định lý Cho  P M'  M    P  M 'Q  1M   Q  P  0, F '  k  F  k  I , M, N ma trận Nếu tồn số   cho  I – M 'PM  ta có bất đẳng thức ma trận sau '  A  MF  k  N  P  A  MF  k  N   A' R  A   N ' N , R :P   MM '  1.1.3 Định lý Các điều kiện sau tương đương i) A ma trận xác định dương ii) c  0,  Ax, x  c x , x  n 1.1.4 Định lý (Sylvester conditions) Ma trận A -  n n  xác định dương i det  Di  > , i 1, 2, , n xác định âm   1 det  Di  > , i 1, 2, , n Trong a D1 a11 , D2  11  a21  a11 a12 a12    , D3  a21 a22 a22  a  31 a32 a13   a23  , …, Dn  A a33  Ba bổ đề quan trọng sử dụng phần sau Bổ để Giả sử A, B ma trận vng (n  n) Khi I  AB khả nghịch I + BA khả nghịch, I Điều ngược lại  BA  1 1 I  B  I  AB  A Bổ đề Giả sử A, B, C ma trận vuông (n  n), B khả nghịch Khi ta có khẳng định sau: i) B + AC không suy biến I  CB  A không suy biến ii) Nếu B + AC không suy biến  B  AC  1 1 B   B  A  I  CB  A  CB  Bổ đề Giả sử F, G hai ma trận có cấp, với  số dương ta ln có bất đẳng thức sau '  F  G   F  G      F ' F       G 'G 1.2 Một số yếu tố phương trình sai phân Mục trình bày kiến thức phương trình sai phân Xét hệ phương trình x  k  1  f  k , x  k   , k 0,1, (1.1) f   :  n  n cho trước Khi với trạng thái ban đầu x   x0 hệ ln có nghiệm xác định cơng thức truy hồi   x  1  f  0, x0  , x    f 1, f  0, x    , Khác với hệ vi phân, tồn hệ nghiệm (1.1) đơn giản, không cần điều kiện liên tục Lipschitz hàm f   Trường hợp hệ (1.1) tuyến tính dạng x  k  1  A  k  x  k   g  k  , (1.2) với điều kiện ban đầu x   x0 tùy ý dãy g  g   , g  1 , , g  k  1 ,  , nghiệm x  k  bước k  cho công thức Cauchy k1 x  k  F  k ,  x0   F  k , s  1 g  s  s 0 F  k , s  ma trận nghiệm hệ tuyến tính x  k  1  A  k  x  k  , k   Ta biểu diễn công thức F  k , s  sau F  k , s   A  k  1 A  k   A  s  , k s 0 , F  k , k  I k s Nếu A   ma trận số F  k , s   A , k s 0 nghiệm hệ tuyến tính dừng với thời gian rời rạc k1 x  k   Ak x0   Ak  s  g  s  s 0 Bất đẳng thức ma trận quan trọng ta nghiên cứu tính ổn định ổn định hóa hệ phương trình rời rạc 1.3 Một số sở lý thuyết ổn định Lyapunov hệ sai phân Xét hệ (1.1) ta có định nghĩa 1.3.1 Định nghĩa Hệ (1.1) gọi ổn định với   , k0   tồn   (  phụ thuộc vào  , k0 ) cho với nghiệm x  k  hệ mà x     x  k    với k k0 1.3.2 Định nghĩa Hệ ổn định tiệm cận ổn định có số   x  k  0 với nghiệm x  k  mà x     cho lim k  1.4 Sự ổn định hệ rời rạc tuyến tính Mục trình bày số khái niệm tính ổn định ổn định tiệm cận theo Lyapunov Xét hệ rời rạc tuyến tính x  k  1  Ax  k  , k   (1.3) k với x   x0 nghiệm (1.3) cho x  k   A x0 Để x  k   k   theo định nghĩa ổn định tiệm cận A q  k A   k   , A ổn định phần thực tất giá trị riêng A âm Do ta có định lý sau 1.4.1 Định lý Hệ (1.3) ổn định tiệm cận hai điều kiện sau xẩy i) Tồn số q :  q  cho A q  ii)   với     A  :  : det A   E 0 Bây ta xét hệ tuyến tính dừng x  k  1  A  k  x  k  , (1.4) k   1.4.2 Định lý Đối với hệ (1.4) ta có khẳng định sau i) Nếu A  k   A  C  k  A ma trận ổn định C  k  a hệ ổn định với a đủ nhỏ ii) Hệ ổn định tiệm cận tồn q   0,1 cho A  k  q với k   1.4.3 Ví dụ Xét hệ phương trình 1  x  x  yk k  k  2(k  1) 4(k  1)   y  yk  k 1 2(k  1) Xét tính ổn định tiệm cận hệ Giải Ta có   2(k  1) A(k)     Vì A(k)  cận  4(k  1)  ,   2(k  1)  k   3  q  nên theo định lý 1.4.2 hệ ổn định tiệm 4(k  1) 10 1.5 Sự ổn định hệ rời rạc phi tuyến Xét hệ rời rạc phi tuyến x  k  1  f  k , x  k   , (1.5) k  1.5.1 Định lý Trong (1.5), với f(k, x) = A(k)x + g(k, x), giả sử i) Tồn q  (0, 1) cho A(k) q, k   sup L(k) 0 ii) g(k, x) L(k) x , k  q, k   với klim  Khi hệ (1.5) ổn định tiệm cận Định lý áp dụng phương pháp thứ hai Lyapunov cho hệ rời rạc 1.5.2 Định lý.(Lyapunov) Nếu tồn hàm số V(x): n   thoả mãn: 2 i) 1  0, 2  : 1 x V  x  2 x ii) 3  : V  x  V ( x  k  1  V  x  k    3 ( x  k  ) Khi hệ (1.5) ổn định tiệm cận Nếu vi phạm hai điều kiện hệ (1.5) khơng ổn định Khi (1.5) có dạng tuyến tính dừng, ta có hệ Hệ Xét hệ phương trình x  k  1  Ax  k  k  Nếu tồn hai ma trận đối xứng xác định dương P, Q cho A ' PA  P  Q 0 hệ phương trình ổn định tiệm cận 1.5.3 Ví dụ Xét hệ phương trình 1  x(k  1)  x(k)  y(k),k    ,  1  y(k  1)  x(k)  y(k)  17 Giải Ta có 1  A    1  , B  1  B   1   1 0  1      4  0 Ta thấy B khả nghịch, lấy P I   , với điều khiển ngược  1 u(k) = Kx(k) 1   1  K  B 1A     1         1 2  1  4 1   1   4  hệ ổn định hố 2.3 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính có trễ Xét hệ phương trình x (k+1) = Ax(k) + Bx(k - h) + Cu(k), k  + (2.4) với điều kiện ban đầu hệ x(0) = x(-1) =  = x(-h) = x0 , A, B  R nn , C  R nm , x  n , u  m ( m  n) biến điều khiển Ta nghiên cứu tính ổn định tiệm cận (khơng phụ thuộc độ trễ) hệ (2.4) trường hợp khơng có điều khiển Ở ta nghiên cứu tính ổn định hóa (2.4), tức ta phải tìm hàm điều khiển ngược u(k) = h(x(k)) cho thay vào (2.4) hệ ổn định tiệm cận 2.3.1 Định nghĩa Hệ (2.4) ổn định hóa (khơng phụ thuộc độ trễ) tồn hàm u(k) = Kx(k), với K ma trận (m  n) cho hệ x(k + 1) = (A + CK)x (k) + Bx(k - h), k  + 18 ổn định tiệm cận không phụ thuộc độ trễ 2.3.2 Định lý Xét hệ phương trình (2.4) hệ ổn định hoá tồn hai ma trận đối xứng xác định dương P, W cho  X(P) G V H  1E E U  1V    W 0 0   G'  V' U 0    0 , 0  U 0   E 'H    0 H   E'  V 'U  0 0  H    (2.5) với điều khiển ngược u(k) = Kx(k) mà K = -H-1E - U-1V (2.6) ký hiệu X(P) = A'PA + W + B'PB - P, G = B'PA, U C ' PBW  1B ' PC V C ' PBW  B ' PA H= C'PC, E = C'PA 2.3.3 Ví dụ Xét tính ổn định hố hệ phương trình 1    x1 (k  1)  x1 (k)  x1 (k  h)  u1 (k),k    1  x (k  1)  x (k)  x (k  h)  u (k) 2  Giải Ta có 1 A  I  A'  I 4 1 ' ' B  I  B  I,C I C 2 1 Chọn P  I, W  I  W -1 4I với điều khiển ngược K  I 2 Khi 19 X  P  A 'PA  W+B'PB  P  I 32 1 H C'PC  I, E C'PA  I 1 G ' B'PA  I, U C 'PBW  1B'PC  I 16 Theo điều kiện (2.5) định lý 2.3.2 1 1     32 I 16 I 16 I I I I     I  1I 0 0   16     I I 0   16  0   0  4I 0   I     0 I   8I    1I 0 0  2I     điều tương đương với  I 0 64 Vậy hệ ổn định hóa 2.3.4 Hệ Hệ (2.4) ổn định hóa tồn ma trận đối xứng xác định dương P, R, A W nghiệm hệ (A ' K 'C')A  (A  CK)  W  B'PB  R P  B(W  B'PB)  B' A P   (2.7) với điều khiển ngược u(k) = Kx(k) K = -H-1E - U-1V (2.8) ký hiệu H , E ,U ,V định lý (2.3.2) 2.3.5 Hệ Hệ (2.4) ổn định hóa B khơng suy biến tồn hai số dương p, q cho 20 1  1 p q (2.9) ma trận đối xứng xác định dương X, Q thoả mãn phương trình p(A' + K'C') X (A + CK) + qB'XB + Q = X , (2.10) với điều khiển ngược u(k) = Kx(k) K = -(C'XC)-1C'XA - (C'XBW-1 B'XC)-1C'XBW-1B'XA, (2.11) W = (q - 1)B'XB (2.12) 2.4 Tính ổn định vững ổn định hóa hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ Xét hệ chuyển đổi tuyến tính có độ trễ có dạng: x  k  1  A  A  k   x  k    B  B  k   x  k  h    C  C  k   u  k  ( 2.13) n m đó: k   ,   M  1, 2, , N  , h ≥ 1, x  k    , u  k    , n ≥ m, A , B  R nn , C  R nm ma trận hằng, ∆Aŋ(k), ∆Bŋ(k), ∆Cŋ(k) tham số biến động dạng: ∆Ai(k) = EiF(k)Fi , ∆Bi(k) = HiF(k)Gi , ∆Ci(k) = QiF(k)Ti Trong Ei, Fi, Hi, Gi, Qi, Ti, i = 1, ma trận có chiều thích hợp F(k) ma trận biến động thỏa mãn điều kiện F  k  F '  k  I 2.4.1 Định nghĩa Nghiệm hệ chuyển đổi tuyến tính (2.13) (đặt u(k)=0, F(k) = 0) gọi có tính chất ổn định tiệm cận tồn hàm số vô hướng xác định dương V(x): n   tín hiệu chuyển đổi ŋ  {1,2, , N} cho ∆V(x(k)) = V(x(k+1)) - V(x(k)) < 0, dọc theo nghiệm hệ ... Lyapunov hệ sai phân 1.4 Sự ổn định hệ rời rạc tuyến tính 1.5 Sự ổn định hệ rời rạc phi tuyến 1.6 Sự ổn định hệ tuyến tính có trễ Chương 2: Tính ổn định lớp hệ rời rạc có trễ nội dung luận văn gồm... a) hệ ổn định tiệm cận Chương TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP HỆ RỜI RẠC CÓ TRỄ 16 Chương trình bày tốn ổn định hóa, khái niệm, tính chất ổn định, ổn định hóa hệ tuyến tính; khái niệm, tính chất ổn định, ... tốn ổn định hóa 2.2 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính 2.3 Sự ổn định hóa hệ tuyến tính có trễ 2.4 Tính ổn định vững ổn định hóa hệ chuyển đổi tuyến tính có trễ 2.5 Một số điều kiện đủ cho tính ổn định