Một số vấn đề về tính ổn định và ổn định hoá các phương trình vi phân và sai phân

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh -------------------- Nguyễn thị Bích hạnh Một số vấn đề về tính ổn định và ổn định hoá của các hệ phơng trình vi phân và sai phân Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 Luận văn thạc sĩ toán học Vinh - 2007 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học Vinh -------------------- Nguyễn thị Bích hạnh Một số vấn đề về tính ổn định và ổn định hoá của các hệ phơng trình vi phân và sai phân Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60 46 01 Luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: TS. Phan Lê Na 2 Vinh - 2007 Mục lục Trang Lời nói đầu .3 Chơng I. Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định .5 1.1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov .5 1.2. ổn định các hệ tuyến tính 7 1.3. ổn định hệ phi tuyến 16 Chơng II. Tính ổn định và ổn định hoá của các hệ phơng trình sai phân 20 2.1. Tính ổn định của hệ sai phân theo nghĩa Lyapunov 20 2.2. ổn định các hệ tuyến tính 20 2.3. Sự ổn định của các hệ phi tuyến 23 2.4. Sự ổn định của hệ tuyến tính có chậm .24 2.5. Định nghĩa tính ổn định hoá 28 2.6. Sự ổn định hoá của hệ tuyến tính .28 2.7. Sự ổn định hoá của hệ có chậm .29 Kết luận . 35 Tài liệu tham khảo . 36 3 Lời nói đầu Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn, là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân. Với những lý do trên lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ và đợc áp dụng nhiều trong lĩnh vực khác nhau, nhất là trong lĩnh vực kinh tế và khoa học kỹ thuật, trong lĩnh vực sinh thái học và môi trờng Nói một cách hình tợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với hệ thống cân bằng đó. Bài toán ổn định hệ thống đợc nhiều nhà toán học, đặc biệt là V.Lyapunov nghiên cứu và đến nay đã trở thành một hớng nghiên cứu không thể thiếu trong lý thuyết ph- ơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống và ứng dụng. Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định, ổn định hoá của hệ điều khiển. Vấn đề đợc đặt ra là với các tiêu chuẩn nào để một hệ là ổn định hoặc ổn định hoá và mối liên hệ giữa các bài toán ổn định và điều khiển. Trên cơ sở các tài liệu về phơng trình vi phân và lý thuyết ổn định, áp dụng phơng pháp thứ hai Lyapunov, một số bất đẳng thức ma trận, luận văn trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản của lý thuyết ổn định, tính ổn định của các hệ với thời gian liên tục và rời rạc theo nghĩa Lyapunov. Sau đó dựa vào các tính chất của tính ổn định tìm điều kiện để hệ điều khiển rời rạc là ổn định hoá đợc. Luận văn gồm hai chơng: Ch ơng 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định đối với phơng trình vi phân gồm các nội dung sau: 1.1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov. 1.2. ổn định các hệ tuyến tính. 1.3. ổn định các hệ phi tuyến. 4 Ch ơng 2: Về tính ổn định và ổn định hoá của các hệ phơng trình sai phân là nội dung chính của luận văn gồm các nội dung sau: 2.1. Tính ổn định của hệ sai phân theo nghĩa Lyapunov. 2.2. ổn định các hệ tuyến tính. 2.3. Sự ổn định của các hệ phi tuyến. 2.4. Sự ổn định của hệ tuyến tính có chậm. 2.5. Định nghĩa tính ổn định hoá. 2.6. Sự ổn định hoá của hệ tuyến tính. 2.7. Sự ổn định hoá của hệ có chậm. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn trực tiếp tận tình của cô giáo TS. Phan Lê Na. Tác giả xin đợc bày tỏ biết ơn sâu sắc đến cô giáo đã dành cho tác giả những giúp đỡ tận tình trong thời kỳ hình thành và hoàn thành luận văn. Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, trong khoa Toán và khoa Sau Đại Học trờng Đại học Vinh cùng các bạn học viên cao học 13 - Toán, những ngời đã quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Rất mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè. Vinh, tháng 11 năm 2007 Tác giả Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 5 Chơng này trình bày một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định đối với các hệ phơng trình vi phân với thời gian liên tục. Các khái niệm về tính ổn định, ổn định tiệm cậnvà tính chất cơ bản đối với các hệ vi phân (xem [1], [2], [4], [5]). 1.1. Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân theo nghĩa Lyapunov Xét một hệ thống mô tả bởi phơng trình vi phân & x = f(t, x) , t 0 (1.1) trong đó x(t) n R là vectơ trạng thái của hệ, f: n n+ ì R RR là hàm vectơ cho trớc. Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho nghiệm của bài toán Cauchy hệ (1.1) với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 , t 0 0 luôn có nghiệm. Khi đó dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức x(t) = x 0 + 0 t t f(s,x(s))ds . 1.1.1. Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định nếu với mọi số > 0, t 0 0 sẽ tồn tại > 0 (phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm y(t), y(t 0 ) = y 0 của hệ thoả mãn 0 0 y x < thì sẽ nghiệm đúng bất đẳng thức ( ) ( ) y t x t < , t t 0 . Nói cách khác, nghiệm x(t) là ổn định khi mọi nghiệm khác của hệ có giá trị ban đầu đủ gần với giá trị ban đầu của x(t) thì vẫn đủ gần nó trong suốt thời gian t t 0 . 1.1.2. Định nghĩa. Nghiệm x(t) của hệ (1.1) gọi là ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và có một số > 0 sao cho với 0 0 y x < thì 0 = t lim y(t) x(t) . Nghĩa là, nghiệm x(t) là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và mọi nghiệm y(t) khác có giá trị ban đầu y 0 gần với giá trị ban đầu x 0 sẽ tiến tới gần x(t) khi t tiến tới vô cùng. 6 Nhận xét: Bằng phép biến đổi (x - y) a z, (t - t 0 ) a hệ phơng trình (1.1) sẽ đợc đa về dạng quy đổi & z = F (, z), (1.2) trong đó F(, 0) = 0, khi đó sự ổn định của một nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ đợc đa về nghiên cứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2). Để ngắn gọn, ta sẽ nói hệ (1.2) là ổn định thay cho nói nghiệm 0 của hệ là ổn định. Do đó từ bây giờ ta chỉ xét hệ (1.1) với giả thiết hệ có nghiệm 0, tức là f(t, 0) = 0, t + R . Ta nói: - Hệ (1.1) là ổn định nếu với bất kỳ > 0, t 0 + R sẽ tồn tại số > 0 (phụ thuộc vào , t 0 ) sao cho bất kỳ nghiệm x(t): x(t 0 ) = x 0 thoả mãn 0 x < thì t x < với mọi t t 0 . - Hệ (1.1) là ổn định tiệm cận nếu hệ là ổn định và có một số > 0 sao cho nếu 0 x < thì = t lim x(t) 0 . Nếu số > 0 trong các định nghĩa trên không phụ thuộc vào thời gian bắt đầu từ t 0 , thì tính ổn định (hay ổn định tiệm cận) đợc gọi là ổn định đều (hay ổn định tiệm cận đều). 1.1.3. Định nghĩa. Hệ (1.1) là ổn định mũ nếu tồn tại các số M > 0, > 0 sao cho mọi nghiệm của hệ (1.1) với x(t 0 ) = x 0 thoả mãn x(t) 0 (t t ) Me , t t 0 tức là nghiệm 0 của hệ không những ổn định tiệm cận mà mọi nghiệm của nó tiến tới 0 nhanh với tốc độ theo hàm số mũ. 1.1.4. Ví dụ. Xét phơng trình vi phân trong R & x = ax, t 0 nghiệm x(t), với x(t 0 ) = x 0 cho bởi công thức 7 x(t) = x 0 e at , t 0. Khi đó hệ là ổn định (tiệm cận, mũ) nếu a < 0. Nếu a = 0 thì hệ là ổn định. Hơn nữa, hệ sẽ là ổn định đều (hoặc ổn định tiệm cận đều) vì số > 0 chọn đợc sẽ không phụ thuộc vào trạng thái ban đầu t 0 . 1.1.5. Ví dụ. Xét phơng trình vi phân & x (t) = a(t)x, t 0 trong đó a(t): + R R là hàm liên tục, nghiệm x(t) của hệ với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 cho bởi x(t) = 0 0 t t a( )d x e . Do đó kiểm tra đợc hệ là ổn định nếu 0 t t a( )d à(t 0 ) < + , là ổn định đều với số à(t 0 ) là hằng số không phụ thuộc vào t 0 , là ổn định tiệm cận nếu = 0 t t t lim a( )d . 1.2. ổn định các hệ tuyến tính với thời gian liên tục Xét hệ tuyến tính & x (t) = Ax(t), t 0. (1.3) trong đó ma trận A cỡ (n ì n). Nghiệm của hệ (1.3) xuất phát từ trạng thái ban đầu x(t 0 ) cho bởi x(t) = 0 0 A( t t ) x e , t t 0 . 1.2.1. Định lý ([3]). (Sylvester conditions). Ma trận A cỡ (n ì n) là xác định dơng nếu det(D i ) > 0, i = 1, 2, , n và xác định âm nếu (-1) i det(D i ) > 0, i = 1, 2, , n. Trong đó 8 11 12 13 11 12 1 11 2 3 21 22 23 n 21 22 31 32 33 a a a a a D a , D , D a a a , ., D A a a a a a ữ = = = = ữ ữ ữ . Ba bổ đề dới đây khá quan trọng và đợc sử dụng ở phần sau. Bổ để 1 ([3]). Giả sử A, B là các ma trận vuông cỡ (n ì n). Khi đó nếu I + AB khả nghịch thì I + BA khả nghịch, hơn nữa (I + BA) -1 = I - B (I + AB) -1 A . Điều ngợc lại cũng đúng. Bổ đề 2 ([3]). Giả sử A, B, C là các ma trận vuông cỡ (n ì n) , B khả nghịch. Khi đó ta có các khẳng định sau: i) B + AC không suy biến khi và chỉ khi I + CB -1 A là không suy biến. ii) Nếu B + AC không suy biến thì (B + AC) -1 = B -1 - B -1 A(I + CB -1 A) -1 CB -1 . Bổ đề 3 ([3]). Giả sử F, G là hai ma trận bất kì có cùng số chiều, với là một số dơng nào đó ta luôn có bất đẳng thức sau (F + G)' (F + G) (1 + ) F'F + (1 + -1 ) G'G . Định lý dới đây cho một tiêu chuẩn đầu tiên về tính ổn định của hệ (1.3), thờng gọi là tiêu chuẩn ổn định đại số Lyapunov. 1.2.2. Định lý. Hệ (1.3) là ổn định mũ khi và chỉ khi phần thực của tất cả các giá trị riêng của A là âm, tức là Re < 0, với mọi (A). Chứng minh. Từ lý thuyết ma trận và theo công thức Sylvester (Định lý 1.2.1) áp dụng cho f() = e , ta có 1 2 1 1 = = + + + t k k k q At k k k k e (Z Z . Z t )e , 9 trong đó là các giá trị riêng của A, k là chỉ số mũ bội của các k trong ph- ơng trình đa thức đặc trng của A, Z ki là các ma trận hằng số. Do đó ta có đánh giá sau 1 1 1 1 1 1 = = = = = k k k k i i q q Re t Re t At i i k k k i k i e t e Z t e Z . Vì Re k < 0 nên t x 0 khi t + . Ngợc lại nếu hệ là ổn định mũ, khi đó mọi nghiệm x(t), x(t 0 ) = x 0 của hệ (1.3) thoả mãn điều kiện x(t) à 0 x 0 ( t t ) e , t t 0 (1.4) với à > 0, > 0 nào đó. Ta giả sử phản chứng: có một 0 (A) sao cho Re 0 0. Khi đó với vectơ riêng x 0 ứng với 0 ta có Ax 0 = 0 x 0 và khi đó nghiệm của hệ với x 0 (t) = x 0 là x 0 (0) = x 0 0 t e , lúc đó 0 0 0 = Re t x (t) x e . Vậy nghiệm x 0 (t) này tiến tới + khi t +, mâu thuẫn với điều kiện (1.4). Định lý đợc chứng minh. 1.2.3. Ví dụ. Xét tính ổn định hệ 1 1 2 2 2 = = & & x x x x ta thấy 1 0 0 2 = ữ . Vậy giá trị riêng của A là 1,2 = -1, -2, hệ là ổn định tiệm cận. Nh vậy để xét một hệ tuyến tính dừng có ổn định hay không ta chỉ cần tìm nghiệm phơng trình đa thức đặc trng hay giá trị riêng của ma trận A của hệ. Đôi khi việc tìm các giá trị riêng của A nếu ma trận A có số chiều lớn là khó (khi đó đa thức đặc trng cũng có bậc cao) nên việc tìm nghiệm đa thức đặc trng 10