Một số vấn đề về đồ thị và đường kính khuyết của đồ thị luận văn thạc sỹ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH VÕ THANH BÌNH Mét sè vÊn ®Ò vÒ ®å thÞ vµ ®êng kÝnh khuyÕt cña ®å thÞ CHUYÊN NGÀNH: HÌNH HỌC - TÔ PÔ Mã số: 60.46.10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. PHẠM NGỌC BỘI VINH - 2011 MỤC LỤC Trang L I NÓI UỜ ĐẦ 3 Ch ng 1ươ M T S V N V LÝ THUY T THỘ Ố Ấ ĐỀ Ề Ế ĐỒ Ị 5 1.1. CÁC KHÁI NI M C B NỆ Ơ Ả 5 1.2. TH LIÊN THÔNGĐỒ Ị .9 1.3. CHU S , S C TỐ Ắ Ố 15 1.4. CÂY VÀ B IỤ .18 1.5. TH EULERĐỒ Ị .21 1.6. TH HAMILTONĐỒ Ị 24 Ch ng 2ươ NG K NH KHUY T H N H PĐƯỜ Í Ế Ỗ Ợ 26 2.1. CÁC NH NGH A VÀ V DĐỊ Ĩ Í Ụ 26 2.2. NG K NH KHUY T C NH, NHĐƯỜ Í Ế Ạ ĐỈ .28 2.3. NG K NH KHUY T H N H PĐƯỜ Í Ế Ỗ Ợ 31 K T LU NẾ Ậ 36 TÀI LI U THAM KH OỆ Ả 37 2 LỜI NÓI ĐẦU Trong cuộc sống hằng ngày, chúng ta thường bắt gặp những hình ảnh như mạng lưới của hệ thống điện, sơ đồ các mạch điện trong các thiết bị điện, bản đồ các thành phố, hình ảnh các mũi tên chỉ dẫn đường đi,vv . Các hình ảnh như vậy rất phổ biến trong nhiều lĩnh vực nghiên cứu khác nhau như: giao thông vận tải, điện kỹ thuật, vật lý tinh thể, hóa học, sinh học, toán học,vv Nhà toán học D.Koning là người đầu tiên đề nghị một tên chung: “graph” (đồ thị) cho các loại sơ đồ như vậy và đề nghị nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất của chúng. Sau công trình nổi tiếng của Euler về bài toán 7 cây cầu ở Konigsberg (1736), nhiều nhà toán học khác đã quan tâm xây dựng lý thuyết này và để lại nhiều kết quả nổi tiếng. Trong mấy chục năm gần đây, lý thuyết đồ thị phát triển cực kỳ nhanh chóng và lớn mạnh về mặt số lượng và chất lượng các công trình đã trở thành một công cụ hữu hiệu để nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác nhau về lý thuyết cũng như ứng dụng. Lý thuyết đồ thị và các vấn đề liên quan là chủ đề luôn được quan tâm của các nhà toán học. Luận văn với chủ đề “Một số vấn đề về đồ thị và đường kính khuyết của đồ thị” tập trung vào việc trình bày một số khái niệm cơ bản về đồ thị, tính liên thông của nó và đường kính khuyết của đồ thị. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Một số vấn đề về lý thuyết đồ thị Trong chương này, chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về đồ thị, các loại đồ thị, đồ thị có hướng, đồ thị vô hướng, đồ thị đơn, đa đồ thị, tính liên thông của đồ thị, đồ thị Euler, đồ thị Hamilton. 3 Chương 2. Đường kính khuyết hỗn hợp Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm đường kính của đồ thị, đường kính của đồ thị con, đường kính khuyết hỗn hợp. Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo của thầy giáo PGS.TS. Phạm Ngọc Bội. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Hữu Quang, TS. Nguyễn Duy Bình, PGS. TS. Phan Thành An và các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã tận tâm dạy bảo chúng em trong thời gian học tập vừa qua. Qua đây, tác giả cũng chân thành cảm ơn tới các học viên K17 Hình học-Tô pô, Ban Giám hiệu trường THPT Ngô Trí Hòa đã tạo điều kiện, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã cố gắng rất nhiều nhưng vì năng lực có hạn nên trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi sai sót về kiến thức cũng như cách trình bày. Tôi rất mong nhận được đóng góp ý kiến của quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 12 năm 2011 Tác giả 4 Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1. Các khái niệm cơ bản về đồ thị • Cho V là một tập hữu hạn và VVE ×⊂ . Một cặp ( ) ,G V E= được gọi là đồ thị; trong đó V (viết rõ hơn là ( )V G ) được gọi là tập hợp đỉnh của G; E (viết rõ hơn là ( )E G ) là tập con của tích Đềcác V×V, được gọi là tập hợp cạnh của G. Cho một đồ thị ( ) ,G V E= ta còn dùng kí hiệu đồ thị này ở dạng ( ) ( )G V G E G= U . • Cho hai đỉnh A và B, nếu ( ) )(, GEBA ⊂ thì AB được gọi là cạnh nối đỉnh A với đỉnh B và cạnh AB được gọi là cạnh vô hướng. • Cho hai đỉnh A và B, cạnh nối đỉnh A với đỉnh B đồng thời chỉ rõ hướng (hướng từ A đến B hay hướng từ B đến A) được gọi là cạnh có hướng. • Ta nói cạnh vô hướng hoặc cạnh có hướng u kề với đỉnh A của đồ thị nếu A là đỉnh đầu hoặc đỉnh cuối của cạnh u. • Hai đỉnh A và B được gọi là kề nhau (còn gọi là láng giềng) nếu chúng được nối với nhau bởi một cạnh. • Đồ thị mà có tất cả các cạnh đều vô hướng thì được gọi là đồ thị vô hướng (xem Hình 1.1) A D B C Hình 1.1 5 • Đồ thị mà có tất cả các cạnh đều có hướng thì được gọi là đồ thị có hướng (xem Hình 1.2 ). A B D C Hình 1.2 • Đồ thị mà có cả cạnh vô hướng và cạnh có hướng thì được gọi là đồ thị hỗn hợp. • Một đỉnh được nối với chính nó bởi một cạnh được gọi là khuyên. • Đồ thị không có khuyên và giữa hai đỉnh có không quá một cạnh nối giữa chúng được gọi là đồ thị đơn (xem Hình 1.1). • Đồ thị kép (còn gọi là đa đồ thị) là đồ thị hoặc có khuyên hoặc tồn tại hai đỉnh nào đó mà giữa chúng có ít nhất hai cạnh nối giữa chúng (xem Hình 1.3). A D B C F E Hình 1.3 • Đồ thị có hữu hạn đỉnh được gọi là đồ thị hữu hạn. • Đồ thị mà mỗi cạnh của nó được gán cho một giá trị được gọi là đồ thị có trọng số (xem Hình 1.4 ). 6 1 5 4 3 6 A B D C Hình 1.4 • Đồ thị mà các cạnh của nó không được gán một giá trị được gọi là đồ thị không có trọng số (xem Hình 1.1 ). • Đồ thị rỗng là đồ thị không có đỉnh và không có cạnh nào cả. • Đồ thị điểm là đồ thị chỉ có một đỉnh. 1.1.2. Đồ thị con ([1]). Đồ thị );( 111 EVG = được gọi là đồ thị con của đồ thị );( 222 EVG = nếu 21 VV ⊂ và 21 EE ⊂ . 1.1.3. Đường đi, chu trình, độ dài của đường đi ([1]) • Trong một đồ thị hai cạnh được gọi là nối tiếp nếu chúng có chung một đầu mút. • Một dãy n cạnh 1 2 , , ., n k k k được gọi là kề nhau nếu không có cạnh nào xuất hiện hai lần và đỉnh cuối của cạnh bất kỳ là đỉnh đầu của cạnh tiếp theo. • Một dãy cạnh nối tiếp ),(), .,,(),,( 13221 nn AAAAAA − được gọi là đường đi (còn gọi là quỹ đạo) từ đỉnh 1 A đến n A nếu như không có đỉnh nào được đi qua hai lần và kí hiệu n AAA . 21 . Trong đó đỉnh 1 A được gọi là đỉnh đầu, đỉnh n A được gọi là đỉnh cuối của đường đi. Còn các đỉnh (2 1) i A i n≤ ≤ − là đỉnh trong (điểm trong) của đường đi. Chiều dài của một quỹ đạo P, kí hiệu ( )Pl là số cạnh của P. 7 • Trong một đồ thị G khoảng cách giữa hai đỉnh x và y của đồ thị được kí hiệu ),( yxd G là quỹ đạo có chiều dài ngắn nhất nối giữa đỉnh x và y trong G. Nếu không có một quỹ đạo nào giữa x và y thì ta qui ước ∞=),( yxd G . • Một quỹ đạo P trong G được định nghĩa bởi dãy yvevevevx kkk == − ,,, .,,,, 12110 có thể xem như một đồ thị con của G với tập đỉnh { } k vvvPV , .,,)( 10 = và tập cạnh { } k eeePE , .,,)( 21 = . Nếu ta lấy dãy đỉnh trên theo thứ tự ngược lại ta cũng được một đồ thị con, do đó ta có thể dựng quỹ đạo P như một trong hai con đường từ x tới y hoặc từ y tới x . • Một đường đi khép kín (có đỉnh đầu và đỉnh cuối trùng nhau) được gọi là một chu trình. 1.1.4. Định nghĩa bậc của đỉnh ([1]) • Bậc của một đỉnh v trong đồ thị G là tổng số cạnh được nối với nó và số khuyên có đỉnh là v (các khuyên sẽ được tính gấp đôi). Ta ký hiệu bậc của v trong G là deg(v). • Đỉnh treo là đỉnh có bậc bằng 1. • Một đỉnh được gọi là đỉnh cô lập nếu bậc của nó bằng 0. 1.1.5. Ví dụ. Đồ thị trong Hình 1.1. Ta có deg(A) = deg(C) = 2, deg(B) = deg(D) = 1. Đỉnh B và đỉnh D trong đồ thị Hình 1.1 là các đỉnh treo. 1.1.6. Định nghĩa ([1]). Trong đồ thị có hướng bậc vào của đỉnh v được ký hiệu là deg(v) là số các cạnh có đỉnh cuối là v. Bậc ra của đỉnh v được ký hiệu là deg(v) là số các cạnh có đỉnh đầu là v. Ta thấy: deg(v) + deg(v) = deg(v). 1.1.7. Định lí. Cho G = (V,E) là một đồ thị vô hướng, có số cạnh là n . Khi đó 2n = ∑ ∈Vv v)deg( . 8 Chứng minh. Theo định nghĩa bậc của đỉnh v thì trong tổng trên mỗi cạnh của G được tính hai lần, do đó tổng các bậc của các đỉnh trong G gấp hai lần số cạnh của nó. 1.1.8. Định lí. Trong một đồ thị tùy ý, số các đỉnh có bậc lẻ luôn là một số chẵn. Chứng minh. Giả sử 1 V , 2 V tương ứng là tập hợp các bậc chẵn và tập hợp các bậc lẻ. Khi đó 2n = ∑∑∑ ∈∈∈ += 21 )deg()deg()deg( VvVvVv vvv . Vì v là số chẵn với mọi v 1 V∈ do đó tổng ∑ ∈ 1 )deg( Vv v là số chẵn. Mặt khác vế phải của tổng trên là chẵn (theo Định lí 1.1.7), do đó ta suy ra ∑ ∈ 2 )deg( Vv v là một số chẵn. 1.1.9. Định nghĩa ([1]) Bậc lớn nhất của đồ thị G, ký hiệu là ∆ (G): ∆ (G) = max{ deg(v): v ∈ V(G) }. Bậc nhỏ nhất của đồ thị G, ký hiệu là δ (G): δ (G) = min{ deg(v): v ∈ V(G)}. 1.2. ĐỒ THỊ LIÊN THÔNG 1.2.1. Định nghĩa ([1]) • Đồ thị G được gọi là liên thông nếu hai đỉnh bất kỳ của nó được nối bởi một đường đi. Trong trường hợp đồ thị không liên thông, nó là hợp của một số đồ thị con đôi một không có điểm chung. Những đồ thị con như vậy được gọi là các thành phần liên thông của đồ thị G. • Đường kính của một đồ thị liên thông G, kí hiệu )(Gd là khoảng cách lớn nhất giữa hai đỉnh bất kỳ trong G. • Đồ thị đơn vô hướng có n đỉnh và có đường kính bằng 1 được gọi là đồ thị đầy đủ n đỉnh và kí hiệu n K . 9 • Một đỉnh của đồ thị liên thông G được gọi là đỉnh mút nếu đồ thị thu được sau khi xóa đỉnh này đi không còn liên thông. 1.2.2. Ví dụ. Đồ thị ở Hình 1.5 là một ví dụ về đồ thị không liên thông, nó có 3 thành phần liên thông. a) b) c) Hình 1.5 1.2.3. Định lý ([2]). Đồ thị liên thông khi và chỉ khi nó chỉ có một thành phần liên thông. Chứng minh. Điều kiện cần. Hiển nhiên Điều kiện đủ. Giả sử G có hai thành phần liên thông X và Y rời nhau, theo định nghĩa thì G không liên thông, bởi vì khi đó trong X có đỉnh A và trong Y có đỉnh B mà không có đường đi nào nối A với B. 1.2.4. Chú ý. Từ nay về sau ta sử dụng đến các thuật toán xóa đỉnh và xóa cạnh của đồ thị. Khi nói xóa một đỉnh nào đó nghĩa là xóa đi đỉnh đó cùng với tất cả các cạnh kề đỉnh đó, khi nói xóa một cạnh nào đó thì không xóa đi các điểm mút của nó. 1.2.5. Định nghĩa i) Một tập đỉnh của đồ thị liên thông G được gọi là tập đỉnh tách nếu ta xóa các đỉnh này đi (theo quy tắc xóa nói trên) thì phần còn lại của G không 10 . quan tâm của các nhà toán học. Luận văn với chủ đề Một số vấn đề về đồ thị và đường kính khuyết của đồ thị tập trung vào việc trình bày một số khái niệm. bản về đồ thị, tính liên thông của nó và đường kính khuyết của đồ thị. Luận văn được chia làm hai chương. Chương 1. Một số vấn đề về lý thuyết đồ thị Trong