Một số vấn đề về lý thuyết galois luận văn tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ----------------------------------- PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC VINH - 2011 2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ------------------------------------- PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐÀO THỊ THANH HÀ VINH - 2011 4 MỤC LỤC MỞ ĐẦU .1 Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 Chương 2: LÝ THUYẾT GALOIS 5 2.1. Tự đẳng cấu trường .5 2.2. Nhóm Galois 7 2.3. Đa thức tách được và mở rộng tách được .12 2.4. Một số tính chất của nhóm Galois .14 2.5. Tính không giải được của phương trình bậc 5 .20 Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG 24 KẾT LUẬN .32 TÀI LIỆU THAM KHẢO 33 MỞ ĐẦU Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số, tập hợp nhiều kiến thức và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau, nhằm giải quyết các bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của đại số hiện đại. Lý thuyết Galois sẽ tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương pháp được sử dụng một thế kỉ rưỡi sau đó để chinh phục Định lý cuối cùng của Fermat. Nguồn gốc của lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng căn thức, đó là một trong những vấn đề quan trọng nhất của toán học. Từ thế kỷ XVI, nhiều thế hệ các nhà toán học đã phải vất vả để tìm các công thức nghiệm cho các phương trình bậc 5 ≥ , nhưng mãi đến thế kỷ XIX vấn đề này mới được giải quyết bởi nhà toán học Nauy N. Abel (1802-1829) và nhà toán học Pháp E. Galois (1811-1833). Họ đã chỉ ra rằng không thể giải được các phương trình bậc 5 ≥ bằng căn thức. Công trình của họ chứa đựng những ý tưởng cực kì độc đáo và chính những ý tưởng đó đã mở đường cho sự ra đời của đại số hiện đại. Vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài khóa luận "Một số vấn đề về lý thuyết Galois" để nghiên cứu. Trong khóa luận này, chúng tôi hệ thống hóa lại một số kết quả của lý thuyết Galois. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luận gồm ba chương. Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở về lý thuyết trường có sử dụng trong Chương 2 và Chương 3. Chương 2: Một số vấn đề về lý thuyết Galois. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số định nghĩa, tính chất của lý thuyết Galois và ứng dụng của lý thuyết Galois vào giải các phương trình đại số. Chương 3: Bài tập áp dụng, đưa ra một số bài tập vận dụng các kết quả của Chương 2. Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của TS. Đào Thị Thanh Hà. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm 6 ơn sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình, nghiêm túc và những góp ý thiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận. Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy, cô trong khoa Toán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ trong thời gian qua. Xin cảm ơn lớp 48B Toán đã động viên, giúp đỡ tác giả trong thời gian làm khóa luận này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo góp ý của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 5 năm 2011 Tác giả 7 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Mệnh đề. Nếu K là một trường có đặc số nguyên tố p thì p aa  là một tự đơn cấu KK p →− :)( của trường K . 1.2. Mệnh đề. Nếu )(uK và )(vK là hai mở rộng đơn đại số của trường K , theo thứ tự sinh bởi hai nghiệm u và v của cùng một đa thức bất khả quy ][xKq ∈ , thì )()( vKuK ≅ Đặc biệt có một đẳng cấu trường duy nhất λ : )()( vKuK → sao cho vu = )( λ và aa = )( λ , Ka ∈∀ . 1.3. Mệnh đề. Cho một trường K và một phần tử u thuộc một mở rộng của K . (i). Nếu u là siêu việt trên K thì mở rộng đơn )(uK đẳng cấu với trường )(xK các phân thức hữu tỉ theo một biến x với hệ tử thuộc K qua một đẳng cấu trường. )()(: uKxK ≅ ϕ sao cho ux = )( ϕ và aa = )( ϕ với mỗi Ka ∈ . (ii). Nếu u là đại số trên K thì u là nghiệm của một đa thức bất khả quy ][xKq ∈ và mở rộng đơn )(uK đẳng cấu với trường )/(][ qxK qua một đẳng cấu: )()/(][: uKqxK u ≅ ϕ sao cho uqx =+ ))(( ϕ và aqa =+ ))(( ϕ với mọi Ka ∈ 1.4. Định lý. Nếu một phần tử u trong mở rộng của trường K là đại số trên K thì (i) u là nghiệm của một đa thức bất khả quy ][ . 10 xKxcxccq n n ∈+++= )( * Kc n ∈ (ii) Mọi đa thức ][xKf ∈ nhận u làm nghiệm, là một bội của đa thức q trong ][xK . (iii) Mở rộng đơn đại số )(uK của K gồm các phần tử ω có thể đặt đưới dạng một đa thức duy nhất theo u có hệ tử trong K , . 1 110 − − +++= n n uauaa ω Ka i ∈ 8 1.5. Định lý. Nếu F là một mở rộng hữu hạn của trường K thì mọi phần tử Fv ∈ là đại số trên K và v là nghiệm của một đa thức bất khả quy ][xKq ∈ với bậc ]:[ KFnq =≤ , bậc của mở rộng F trên K . 1.6. Tính chất của đồng cấu trường. Một đồng cấu trường hoặc là đơn cấu hoặc là đồng cấu tầm thường. 1.7. Định lý. Cho K là một trường và q là một đa thức bất khả quy bậc n của ][xK . Nếu F là một mở rộng hữu hạn của K với bậc mKF = ]:[ sao cho 1),( = mn thì q cũng là một đa thức bất khả quy của ][xF . 9 CHƯƠNG 2 LÝ THUYẾT GALOIS 2.1. Tự đẳng cấu trường 2.1.1. Định nghĩa. Cho E là một trường, một tự đồng cấu của trường E là một ánh xạ EET → : , sao cho : TvTuvuT +=+ )( )(uvT )().( vTuT = , với Evu ∈∀ , (1) Nếu tự đồng cấu T không tầm thường, nghĩa là 0 = Tu kéo theo 0 = u , Eu ∈∀ , thì ta phải có 1)1( = T , và khi đó T là đơn ánh. Đặc biệt, mọi tự đồng cấu EET → : là toàn ánh thì cũng là song ánh, tức là một tự đẳng cấu của trường E . Nếu T là một tự đẳng cấu của trường E , thì T cũng là tự đẳng cấu của nhóm cộng, đồng thời cũng là tự đẳng cấu của nhóm nhân các phần tử khác 0 của E Khi đó 0)0( = T ; 1)1( = T )()( uTuT −=− , Eu ∈∀ 11 )()( −− = TuuT , Euu ∈≠∀ ,0 2.1.2. Mệnh đề. Tất cả các tự đẳng cấu của trường E tạo thành một nhóm. Ký hiệu là )(EAut K . Chứng minh. Vì tích TS của hai tự đẳng cấu T và S của trường E là một tự đẳng cấu của trường E . Ánh xạ nghịch T -1 của mỗi tự đẳng cấu T của E là một tự đẳng cấu và ánh xạ đồng nhất I của E là một tự đẳng cấu. Do đó tất cả các tự đẳng cấu của trường E tạo thành một nhóm . □ Bây giờ, cho K là một trường và E là mở rộng của K . Ta biết E cũng là không gian vectơ trên trường K hay E có cấu trúc của − K không gian vectơ. Một tự đồng cấu của K – không gian vectơ là một ánh xạ T : EE → sao cho )()()( vTuTvuT +=+ )(.)( vTaavT = (2) với Evu ∈∀ , và ∀ a ∈ K . 10 . đời của đại số hiện đại. Vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài khóa luận " ;Một số vấn đề về lý thuyết Galois& quot; để nghiên cứu. Trong khóa luận. TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH ----------------------------------- PHẠM THỊ THÙY LINH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LÝ THUYẾT GALOIS KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC VINH