Một số vấn đề về lý thuyết galois luận văn tốt nghiệp đại học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỞ ĐẦU 1

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

Chương 2: LÝ THUYẾT GALOIS 5

MỞ ĐẦU

Lý thuyết Galois là một trong những lý thuyết đẹp đẽ nhất của đại số, tậphợp nhiều kiến thức và phương pháp của các lĩnh vực toán học khác nhau, nhằmgiải quyết các bài toán cổ điển và những vấn đề quan trọng khác của đại số hiệnđại Lý thuyết Galois sẽ tạo ra một bước tiến quan trọng trong phương pháp đượcsử dụng một thế kỉ rưỡi sau đó để chinh phục Định lý cuối cùng của Fermat.Nguồn gốc của lý thuyết Galois là vấn đề giải các phương trình đại số bằng cănthức, đó là một trong những vấn đề quan trọng nhất của toán học Từ thế kỷ XVI,nhiều thế hệ các nhà toán học đã phải vất vả để tìm các công thức nghiệm cho cácphương trình bậc 5, nhưng mãi đến thế kỷ XIX vấn đề này mới được giải quyếtbởi nhà toán học Nauy N Abel (1802-1829) và nhà toán học Pháp E Galois(1811-1833) Họ đã chỉ ra rằng không thể giải được các phương trình bậc 5 bằngcăn thức Công trình của họ chứa đựng những ý tưởng cực kì độc đáo và chínhnhững ý tưởng đó đã mở đường cho sự ra đời của đại số hiện đại.

Vì những lý do trên chúng tôi chọn đề tài khóa luận "Một số vấn đề về lýthuyết Galois" để nghiên cứu.

Trong khóa luận này, chúng tôi hệ thống hóa lại một số kết quả của lý thuyếtGalois Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khóa luậngồm ba chương.

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bày cáckiến thức cơ sở về lý thuyết trường có sử dụng trong Chương 2 và Chương 3.

Chương 2: Một số vấn đề về lý thuyết Galois Trong chương này, chúng tôitrình bày một số định nghĩa, tính chất của lý thuyết Galois và ứng dụng của lýthuyết Galois vào giải các phương trình đại số.

Chương 3: Bài tập áp dụng, đưa ra một số bài tập vận dụng các kết quả củaChương 2.

Khóa luận được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tậntình, chu đáo của TS Đào Thị Thanh Hà Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng cảm

ơn sâu sắc nhất đối với cô về sự giúp đỡ nhiệt tình, nghiêm túc và những góp ýthiết thực cho tác giả trong quá trình hoàn thành khóa luận Đồng thời tác giả xingửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy, cô trong khoaToán, đặc biệt là các thầy cô trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡtrong thời gian qua Xin cảm ơn lớp 48B Toán đã động viên, giúp đỡ tác giả trongthời gian làm khóa luận này.

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do trình độ và thời gian có hạn nên khóaluận không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo gópý của thầy cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn.

Vinh, tháng 5 năm 2011

Tác giả

( của trường K

1.2 Mệnh đề Nếu K(u) và K(v) là hai mở rộng đơn đại số của trường K , theo

thứ tự sinh bởi hai nghiệm u và v của cùng một đa thức bất khả quy q K[x], thì K(u)K(v)

Đặc biệt có một đẳng cấu trường duy nhất  : K(u) K(v) sao cho

vu )(

 và (a ) a , a K.

1.3 Mệnh đề Cho một trường K và một phần tử u thuộc một mở rộng của K

(i) Nếu u là siêu việt trên K thì mở rộng đơn K(u) đẳng cấu với trường K(x)

các phân thức hữu tỉ theo một biến x với hệ tử thuộc K qua một đẳng cấu trường :K(x)K(u)

sao cho (x ) u và (a ) a với mỗi a K.

(ii) Nếu u là đại số trên K thì u là nghiệm của một đa thức bất khả quy

sao cho (x(q))u và (a(q))a với mọi a K

1.4 Định lý Nếu một phần tử u trong mở rộng của trường K là đại số trên K

(iii) Mở rộng đơn đại số K(u) của K gồm các phần tử  có thể đặt đưới dạng

một đa thức duy nhất theo u có hệ tử trong K

1,

0 

 aiK

1.5 Định lý Nếu F là một mở rộng hữu hạn của trường K thì mọi phần tử v F

là đại số trên K và v là nghiệm của một đa thức bất khả quy q K[x] với bậc

(nm  thì q cũng là một đa thức bất khả quy của F[x].

CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT GALOIS 2.1 Tự đẳng cấu trường

2.1.1 Định nghĩa Cho E là một trường, một tự đồng cấu của trường E là một

ánh xạ T:E E, sao cho :

T(uv)T(u).T(v) , với u,vE (1) Nếu tự đồng cấu T không tầm thường, nghĩa là Tu0 kéo theo u 0,u E,thì ta phải có T(1)1, và khi đó T là đơn ánh Đặc biệt, mọi tự đồng cấu

T: là toàn ánh thì cũng là song ánh, tức là một tự đẳng cấu của trường E Nếu T là một tự đẳng cấu của trường E, thì T cũng là tự đẳng cấu củanhóm cộng, đồng thời cũng là tự đẳng cấu của nhóm nhân các phần tử khác 0 của

Khi đó T(0)0 ; T(1)1 T(u)T(u) , u E

(1)()1

Bây giờ, cho K là một trường và E là mở rộng của K Ta biết E cũng làkhông gian vectơ trên trường K hay E có cấu trúc của K  không gian vectơ.Một tự đồng cấu của K – không gian vectơ là một ánh xạ T : E E sao cho

T(uv)T(u)T(v)

T(av)a.T(v) (2) với u,vE và  a K

Một tự đồng cấu thỏa mãn (2) và là song ánh thì được gọi là tự đẳng cấu của K 

không gian vectơ E.

Để ý, khi E là một mở rộng của trường K , một tự đồng cấu của K  khônggian vectơ E không nhất thiết là tự đồng cấu của trường E, (vì điều kiện (1)không thỏa mãn) Ngược lại một tự đồng cấu của trường E cũng là tự đồng cấucủa K  không gian vectơ E nếu chỉ và nếu T giữ cố định mọi phân tử củatrường K , tức

T

cho nên a 1 KT

Vậy KT là trường con của E và T là KT  tự đồng cấu của E □

2.1.6 Hệ quả Cho E là một trường và  là tập hợp các tự đẳng cấu của trường

E Khi đó, tập hợp K các phần tử a E sao cho Ta a với  T   là mộttrường con của E và  là một tập hợp những K – tự đẳng cấu của trường E.

Chứng minh Với mỗi T   , theo Mệnh đề 2.1.5 ta có tập hợp KT aE/Ta a

là một trường con của E Do đó, giao K = 

TKT là một trường con của

E và mỗi T   hiển nhiên là mét K – tự đẳng cấu của E □

Trường con K thường được gọi là trường các phần tử bất biến đối với tập

hợp  các tự đẳng cấu của E Đặc biệt với  Aut(E) ta có trường con K của

E gồm các phần tử bất biến qua mọi tự đẳng cấu của E, chính là trường connguyên tố P của E.

2.1.7 Định lý Cho H là một nhóm hữu hạn gồm các tự đẳng cấu nào đó củatrường E Ký hiệu K KH là trường con của E gồm các phần tử bất biến đối với

H thì bậc [E:K] của mở rộng của E trên K không vượt quá cấp của nhóm H.

2.2 Nhóm Galois

Nhóm các tự đẳng cấu của một trường quan trọng nhất là nhóm các tự đẳngcấu của một trường những số đại số trên trường Q các số hữu tỉ Trước hết ta tìm

cách xác định ảnh của một số đại số qua một tự đẳng cấu.

Tổng quát, hai phần tử u và v thuộc một mở rộng của trường K được gọi là

liên hiệp trên K nếu u và v đều là nghiệm của một đa thức bất khả quy của

Chứng minh Vì F là mở rộng hữu hạn của một trường K nên u F thì u là

đại số trên K và u là nghiệm của đa thức bất khả quy tối tiểu của nó là

q 0 1   1 1K[x]

Với bất kỳ TAutK(F), vì T bảo toàn tổng và tích trong F và Ta a với a K

cho nên q(u)0 trong F kéo theo

( 1)

Đẳng thức này chứng tỏ Tu cũng là nghiệm của đa thức bất khả q, do đó Tu và

u liên hiệp trên K □

2.2.2 Ví dụ Xét trường E Q(2,i) là mở rộng bậc 4 của trường Q các số hữutỷ sinh bởi 2 và i1.

Trên trường trung gian FQ(i), E là mở rộng bậc 2 sinh bởi một trong hainghiệm liên hiệp 2 của đa thức bất khả quy x22 Q x Theo Định lý 1.2,có một S  AutQ(i)(E) đổi 2 thành 2

Mặt khác, ta có mở rộng trường QQ(i ) E. Cơ sở của E trên Q là 1, 2, i ,

Su 22

Tương tự trên trường trung gian Q(2), E là mở rộng bậc 2 sinh bởi mộttrong hai nghiệm liên hiệp i của đa thức bất khả quy x21Q(i), cho nên cómột T  AutQ(i)(E) chuyển i thành  i và tác dụng của T trên mỗi phần tử

u 22 là như sau

Tuab 2 ci d 2i

Nói ngắn gọn là T chuyển mỗi phần tử thành liên hiệp phức của nó Tích TS

cũng là một tự đẳng cấu của trường E= Q(2,i), giữ cố định mỗi số hữu tỷ Nhưthế, ta có 4 phần tử của nhóm AutQ(E) đó là các tự đẳng cấu với tác dụng củachúng trên các phần tử sinh 2 và i như sau :

2 S 

TS 

22

Ta chứng tỏ rằng nhóm AutQ(E) chỉ có 4 phần tử này Theo Mệnh đề 2.2.1, với

E là mở rộng hữu hạn của trường Q, bất kỳ U  AutQ(E) chuyển 2 thànhmột số liên hiệp 2 và chuyển i thành một số liên hiệp i Như thế tác dụngcủa U trên các phần tử sinh 2 và i phải trùng với tác dụng của một trong bốntự đẳng cấu I,S,T,TS trên các phần tử sinh đó Vậy U I, S, T, TS

Bảng nhân của các tự đẳng cấu này có thể suy trực tiếp từ tác dụng của chúng trêncác phần tử sinh Ta có

S 2 I ; T 2 I ; ST TS

Đây là bảng nhân của nhóm bốn phần tử gọi là nhóm Klein.

Vậy nhóm các tự đẳng cấu của trường Q(2,i) trên Q đẳng cấu với nhóm Klein.

2.2.3 Định nghĩa Cho một trường K , một đa thức 0f K[x] bậc n , và N K

(u1 un là trường nghiệm của f Nhóm AutK(N) được gọi là nhóm Galois củaphương trình f(x)0 (hay nhóm Galois của đa thức f), hay nhóm Galois củatrường N trên K.

Cho N K (u1, ,un) là trường nghiệm của đa thức f K[x] bậc n Để

miêu tả các tự đẳng cấu T của nhóm Galois AutK(N) của f ta có những nhận xétsau :

Theo Mệnh đề 2.2.1, T chuyển mỗi nghiệm ui thành một nghiệm Tui của f vàvì T là đẳng cấu nên T chuyển hai nghiệm phân biệt u iuj thành hai nghiệmphân biệt Tu iTuj của f Vì thế T cảm sinh một hoán vị  trên tập hợp các

nghiệm phân biệt u , ,1 uk của f sao cho

Tu1 u1, ,Tuk uk , (k n) (4)Mặt khác, mọi phần tử N K(u1, ,uk) có thể đặt dưới dạng một đa thức

], ,[,

(4) tạo thành một nhóm, đẳng cấu với nhóm AutK(N) các đẳng cấu Các hoán vị(4) không nhất thiết phải gồm tất cả các hoán vị của các nghiệm phân biệt u , ,1 uk

mà chỉ gồm các hoán vị bảo toàn tất cả các đa thức theo các nghiệm với các hệ tửtrong K , cho nên chúng tương ứng được với các tự đẳng cấu T AutK(N) Ta cóthể tóm tắt các kết quả này như sau

2.2.4 Định lý Cho K là một trường và một đa thức f K[x] bậc n1 có k

nghiệm phân biệt u , ,1 uk trong trường nghiệm N K(u1, ,uk) với nhóm Galois

G K Khi đó, mỗi T G xác định một hoán vị  của tập hợp {u1, ,uk}

sao cho Tui ui và đảo lại, tự đẳng cấu T được hoàn toàn xác định bởi hoán vị

q Đa thức q là đa thức bất khả quy của Q

[ x Bằng cách viết

[( 2 )2 92][(( )32) 2]4 (( 3)2)((2 ) 2)( 2 ( 2)2

Ta thấy q có 4 nghiệm phân biệt là :

u1i2, u2i2, u3i2, u4 i2.Trường nghiệm của qQ[ x] là

Từ đó có thể biểu diễn các đẳng cấu bằng các nhóm hoán vị của các nghiệm phânbiệt u1,u2,u3,u4 :

ISTTS

u1 u1 u2 u3 u4 u2 u2 u1 u4 u3 u3 u3 u4 u1 u2 u4 u4 u3 u2 u1 Hoán vị (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23)

Trong đó, các tự đẳng cấu đã được biểu diễn bởi các hoán vị của tập hợp 4 phần tử

{u1 u2 u3 u4 1,2,3,4  đặt dưới dạng phân tích thành tích các xích Nhóm cáchoán vị của 4 nghiệm phân biệt u1,u2,u3,u4 của q là nhóm có cấp là 4!=24 Cònnhóm Galois G  AutQ(Q(2,i)) của trường nhiệm N  Q(2,i) của q chỉ lànhóm cấp 4, gồm các tự đẳng cấu tương ứng với 4 hoán vị : hoán vị đồng nhất vàba hoán vị cấp 2, chúng tạo thành nhóm con của nhóm S4 tất cả các hoán vị.

Nhóm Galois G  AutQ(Q(2,i))I,S,T,ST  có ba nhóm con xyclic cấp 2 là [S] , [T], [TS]

Vì S  AutQ(i)(N), cho nên với dây chuyền giảm các nhóm con

ta có dây chuyền tăng các trường con cố định tương ứng

QQ(i) Q(2,i)

Một dây chuyền tăng các trường con như thế đưa đến cách giải phương trình đãcho nhờ kết nối nghiệm của những phương trình đơn giản hơn.

x 22

Tương tự, vì T  AutQ(2) (N) nên tương ứng với dây chuyền giảm các nhómcon

là dây chuyền tăng các trường con được giữ cố định

QQ(2)N Q(2,i)

biểu thị sự kết nối nghiệm của những phương trình đơn giản hơn :

Sau cùng, vì TS giữ cố định mỗi phần tử của trường con Q(2i) nên tương ứngvới dây chuyền giảm các nhóm con

là dây chuyền tăng các trường con

2.3 Đa thức tách được và mở rộng tách được

2.3.1 Định nghĩa Cho K là một trường, một đa thức 0f K x bậc n được gọilà tách được trên K nếu f có n nghiệm phân biệt trong một trường nghiệm N 

K; trong trường hợp ngược lại, đa thức được gọi là không tách được trên K Một mở rộng hữu hạn F của trường K được gọi là mở rộng tách được trên

K nếu mọi phần tử u F là nghiệm của một đa thức tách được f K x

Có một cách đơn giản để trắc nghiệm về tính tách được hay không tách đượccủa một đa thức cho sẵn

Tiêu chuẩn tách được của đa thức được phát biểu như sau.

2.3.2 Mệnh đề Cho K là một trường, một đa thức 0f K[x] là tách được trên

K nếu và chỉ nếu f và đạo hàm hình thức f  nguyên tố cùng nhau trong  Kx.

Ký hiệu ước chung lớn nhất của f , f  trong  Kx là ( f , f ), định lý trên khẳngđịnh rằng f là tách được nếu và chỉ nếu ( f , f ) = 1

Chứng minh Gọi N là trường nghiệm của đa thức 0f K x , nếu u1, , uklàcác nghiệm phân biệt của f thì trong N[x], f có thể viết dưới dạng :

ji

Lập luận này với i thay đổi cho suy ra rằng f và f  có một ước chung khác 1, trừkhi n1 n2  nk 1, tức trừ khi f tách được.

Như vậy f tách được trên N[x] nếu và chỉ nếu (f, f)1 Ngoài ra, với N làmột mở rộng của K , theo thuật toán Euclid tìm ước chung lớn nhất, ước chunglớn nhất của f và f  trong K[x] cũng là ước chung lớn nhất của chúng trong

Chứng minh Vì q là đa thức bất khả quy trên K nên (q,q)1 trừ khi q0

Vậy q tách được trên K trừ khi q0 □

2.3.4 Hệ quả Nếu K là một trường có đặc số 0, thì mọi đa thức bất khả quy của

K đều tách được trên K.

Chứng minh Nếu K có đặc số 0 và nếu một đa thức bất khả quy q K x vớihạng tử dẫn đầu n

a với 0anK, n1, thì đa thức đạo hàm q có hạng tử dẫnđầu . n10

n cho nên q0 Theo Mệnh đề 2.3.2, q là đa thức tách được trên

2.3.5 Hệ quả Nếu K là một trường có đặc số 0 thì trường nghiệm của mọi đathức bất khả quy bậc n của  Kx chứa đúng n nghiệm liên hiệp phân biệt của q.

Chứng minh Theo Hệ quả 2.3.4 đa thức bất khả quy q K x là đa thức táchđược

Do đó f có n nghiệm phân biệt u1,u2, ,un trong một trường nghiệm N của q

2.3.6 Hệ quả 4 Nếu K là một trường có đặc số 0 thì mọi mở rộng hữu hạn F

của K đều là tách được trên K.

Chứng minh Vì F là mở rộng hữu hạn của trường K nên F là mở rộng đại sốtrên K (theo Định lý 1.5 ) Do đó với mọi u F thì u là đại số trên K

Suy ra, tồn tại một đa thức bất khả quy q K[x] có bậc n1 nhận u làm nghiệm

với mọi u F Theo Hệ quả 2.2.4, q là đa thức tách được trên K

Vậy F là mở rộng tách được trên K □

Để ý rằng, đối với mỗi trường K có đặc số nguyên tố p, các Hệ quả 2.3.4,2.3.5, 2.3.6 không còn hiệu lực Ví dụ, đa thức bất khả quy fxptK[x]

 khôngtách được trên K Zp(t) vì đạo hàm f = (xp  t)= .10

2.4.1 Bổ đề Cho một đẳng cấu trường S:KK

(i) Nếu K(u) và K(u) lần lượt là các mở rộng đơn sinh bởi nghiệm u của mộtđa thức bất khả quy q K[x] và bởi nghiệm u của đa thức qSqK[x], thì S

có thể mở rộng thành một đẳng cấu S*:K(u)K(u) sao cho S*uu.

(ii) Nếu N và N  theo thứ tự là trường nghiệm của một đa thức f K[x] và đathức fSf K[x] thì S có thể mở rộng thành một đẳng cấu S*: N N 

Hơn nữa, nếu đa thức f là tách được trên K thì có đúng m [N:K] mở rộng

S*: của S.

Chứng minh (i) Nếu u là nghiệm của đa thức bất khả quy qQ[ x] bậc n thì

theo Định lý 1.4 , mỗi phần tử của mở rộng đơn K(u) có dạng duy nhất

111

với mọi phần tử 1()



nghiệm không thuộc K , cho nên f có ít nhất một ước bất khả quy q K[x] với bậc qd 1. Gọi u là một nghiệm của q trong N , vì q  Sq là ước của f  Sf

nên trường nghiệm N  chứa một nghiệm u của q, và theo (i) đẳng cấu đã cho S

có thể mở rộng thành một đẳng cấu :

S*:K(u)K(u), S*uu, q(u)0, q(u)0 (5)Vì trường nghiệm N được sinh bởi K và các nghiệm của f , N được sinh bởi

N  Tương tự, ta có N  là trường nghiệm của f  Sf trên

K Vì mdmuK

 cách khác nhau, vậy có mdm

m.() mởrộng S*:N N của S □

Tính duy nhất (sai khác một đẳng cấu) của trường nghiệm được phát biểu trong

2.4.2 Mệnh đề Với K là một trường, hai trường nghiệm N và N của cùng mộtđa thức cho sẵn f K[x] là đẳng cấu, có một đẳng cấu duy nhất từ N lên N giữcố định mỗi phần tử của K.

Chứng minh Áp dụng Bổ đề 2.4.1 với K K và đẳng cấu S là tự đẳng cấu đồngnhất I : K K suy ra điều phải chứng minh □

Theo Mệnh đề 2.4.2, các nhóm Galois G AutK(N) và GAutK(N) của

Tính chất nhóm Galois của một đa thức tách được, cho bởi :

2.4.3 Định lý Nếu K là một trường, f K[x] là mộtđa thức tách được trên K

và N là trường nghiệm của f thì nhóm Galois GAutK(N) có cấp bằng bậc