Luậ văn một số bài tập về lý thuyết đường cong

Trang 1 Trang 2 PHẦN MỞ ĐẦU @…? I. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết, hình học vi phân nghiên cứu những vấn đề hình học mà có thể được giải quyết bằng công cụ giải tích. Đối với sinh viên ngành Toán, những kiến thức hình học vi phân được trang bị vào năm thứ ba, đó là những lý thuyết về đường và mặt trong không gian hai chiều, ba chiều cũng như khảo sát một số đặc trưng cơ bản của đường và mặt dựa vào phép tính vi tích phân trong không gian E 2 , E 3 . Qua việc tìm hiểu các khái niệm và tính chất về đường trong không gian E 2 , E 3 , em nhận thấy lý thuyết về hình học vi phân còn khá mới mẻ đối với nhiều sinh viên ngành Sư phạm Toán. Nhờ có sự gợi ý và hướng dẫn tận tình của thầy Đặng Văn Thuận, em đã chọn đề tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” để hoàn thành luận văn tốt nghiệp ngành Toán. II. Mục đích nghiên cứu Luận văn với đề tài “Một số bài tập về lý thuyết đường cong” nhằm tiếp cận sâu hơn về các tính chất có liên quan đến đường cong, những đối tượng hình học vốn đã quen thuộc với chúng ta như đường tròn, parabol, cycloid,… thông qua giải các bài tập cụ thể. Ngoài ra việc thực hiện đề tài cũng giúp cho em có dịp củng cố kiến thức về giải tích, phép tính vi tích phân và làm quen với cách nghiên cứu những vấn đề mới của Toán học. III. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng phương pháp tổng hợp, phân tích và so sánh: tổng hợp, hệ thống hóa những kiến thức được trình bày trong các tài liệu và các vấn đề đã học, phân tích các dạng bài tập nhằm làm rõ những đặc điểm lý thuyết của đường cong trong E 2 , E 3 và so sánh để có sự trình bày tương đối rõ ràng và hợp lý ở các vấn đề có liên quan. IV. Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu các vấn đề xung quanh lý thuyết đường cong trong 32 , EE thông qua một số dạng bài tập cụ thể. Trang 3 V. Nội dung của luận văn Nội dung của đề tài đề cập đến một số vấn đề về đường cong trong 32 ,EE , được chia thành các phần sau: Chương 1: Đó là các định nghĩa về hàm vectơ, vectơ tiếp xúc, trường vectơ, trường mục tiêu, cung tham số, trường vectơ dọc một cung tham số, đạo hàm của trường vectơ nhằm tạo nền tảng về kiến thức cho phần sau. Bài tập chương 1: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính chất trong phần trên. Chương 2: Chương này tóm tắt lý thuyết về định nghĩa cung trong )3,2( =nE n các tính chất mêtric của nó (độ cong, độ xoắn, cung túc bế, cung thân khai của một cung), giải phương trình tự nhiên. Bài tập chương 2: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính chất trong phần trên. Phụ lục : Chương trình Maple để vẽ đường cong và giải một số bài toán về đường cong. Trang 4 PHẦN NỘI DUNG @…? CHƯƠNG 1: PHÉP TÍNH GIẢI TÍCH TRÊN KHÔNG GIAN EUCLIDE E n A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1.1 Hàm vectơ: Định nghĩa: U là một tập hợp tùy ý, ánh xạ : n XUE →→ → là một hàm vectơ xác định trên U. Khi UJ = là một khoảng trong R, cho hàm vectơ :,() n XJEtXt →→→ → a thì đạo hàm của X → tại t (nếu có) là () ( ) () 0 'lim t XttXt Xt t →→ → ∆→ +∆− = ∆ Nếu X → khả vi thì X → là hàm hằng khi và chỉ khi () '0, XttJ →→ =∀∈ Với các hàm vectơ X → , Y → xác định trên U, hàm số ϕ xác định trên U, có thể xác định được các hàm vectơ , XYX ϕ →→→ + , hàm số X → . Y → và khi 3 n = có thể xác định hàm vectơ XY →→ ∧ trên U. Khi UJ = , ta có các công thức ''' .'' ' à khi n=3 ''' XYXY XYXYXY v XYXYXY →→→→ →→→→→→ →→→→→→  +=+    =+    ∧=∧+∧   Với hàm vectơ : n XJE →→ → (J là một khoảng trong R) thì có thể xét đạo hàm cấp cao () ( ) 1 ',(2) kk XXk − →→  =≥   . )'( )1()( − →→ = kk XX Nói X → khả vi lớp C k nếu nó có đạo hàm đến cấp k liên tục. Nói X → trơn nếu nó có đạo hàm đến mọi cấp. Với hàm vectơ nhiều biến số ta định nghĩa được các đạo hàm riêng theo các biến của X → . Trang 5 Với hàm vectơ : n XJE →→ → (J là một khoảng trong R), có thể xét nguyên hàm Y → của nó (nếu có), đó là hàm vectơ : n YJE →→ → mà ' YX →→ = . 1.2 Vectơ tiếp xúc Xét tập tích nnn TEEE =× uur Định nghĩa: Mỗi phần tử , n pTE α →  ∈   , còn viết p α , được gọi là một vectơ tiếp xúc của n E tại p, hay → α có gốc tại p . n TE gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của n E , mỗi phần tử được ký hiệu là α . pn TE được gọi là không gian các vectơ tiếp xúc của n E tại p . 1.3 Trường vectơ Định nghĩa: Trường vectơ trên tập mở n UE ⊂ là ánh xạ TUUX → : sao cho với mọi UTpXUp p ∈∈ )(, ( ) pXp a Trường vectơ TUUX → : xác định ánh xạ : n XUE →→ → bởi ))(,()( pXppX → = . X khả vi lớp k C nếu → X khả vi lớp k C . Khi → X là ánh xạ hằng thì trường vectơ X được gọi là một trường vectơ song song. 1.4 Trường mục tiêu Định nghĩa: Trường mục tiêu (khả vi) trên tập mở n UE ⊂ là hệ n trường vectơ (khả vi) { } n UUU , ,, 21 trên U sao cho với mỗi ( ) ( ) ( ) { } pUpUpUUp n ,, ,, 21 ∈ là một cơ sở của T P U. Nếu với mọi ,)()(, ijji pUpUUp δ=∈ hay ijji UU δ= thì trường mục tiêu { } ni i U 1= gọi là một trường mục tiêu trực chuẩn. 1.5 Cung tham số Định nghĩa: Mỗi ánh xạ : n JE ρ → ,( J là một khoảng trong R ) gọi là một cung tham số trong n E . Lấy O cố định trong n E thì cho cung tham số : n JE ρ → tương đương với cho hàm vectơ :,() n JEtOt ρρ →→ → uuuuuur a , → ρ (t) gọi là bán kính vectơ của điểm )(t ρ đối với gốc , → ρ khả vi lớp k C thì ta cũng có ρ khả vi lớp k C . Trang 6 1.6 Trường vectơ dọc cung tham số Định nghĩa: Trường vectơ dọc cung tham số : n JE ρ → là ánh xạ : n XJE → mà với mọi ( ) () , tn tJXtTE ρ ∈∈ : n JE ρ → là một cung tham số trong n E , khi đó () () () ':,,' n t JTEttt ρ ρρρ → →  →   a là một trường vectơ dọc ρ . Kí hiệu là ' ρ . 1.7 Ánh xạ khả vi U là tập mở trong m E , V là tập mở trong n E , VUf → : là một ánh xạ thì f khả vi (lớp k C ) ( ) pfp a nếu với n OE ∈ , hàm vectơ : n UE ϕ → → là khả vi lớp k C )(pOp ρ a Ta nói f là một vi phôi ( lớp 1, ≥kC k ) nếu f khả vi lớp k C và f có ánh xạ ngược cũng khả vi (lớp k C ). 1.8 Ánh xạ tiếp xúc của : fUV → Cho ánh xạ (khả vi) : fUV → (U mở trong m E , V mở trong n E ), với mỗi p xác định ánh xạ ( ) : pp fp TfTUTV → xác định bởi: cho ( ) 0 ,',: ppp TUftJU ααρ∈=→ là một cung tham số, thì ( ) ( ) ( ) 0 ' pp Tfft αρ=o Nếu p Tf là đơn ánh, toàn ánh, song ánh thì f được gọi theo thứ tự là dìm, ngập, hay trải tại p . Nếu điều đó đúng với mọi p thì nói f là dìm, ngập, trải. 1.9 Đạo hàm của trường vectơ dọc cung tham số Định nghĩa: Cho cung tham số : n JE ρ → và cho trường vectơ dọc ρ , X xác định hàm vectơ n JE → → với () () ()       = → tXttX ,ρ , thì có thể xét trường vectơ dọc ρ là () () ()       = → tXttXt ',' ρa , gọi là đạo hàm của X dọc ρ trong n E . Ký hiệu trường vectơ ' X dọc ρ là dt DX , ' ' X là 2 2 dt XD ,… Trang 7 Cho ánh xạ khả vi tλ(s)sJ, λ:I = → a , từ khoảng vàoI khoảng J thì với trường vectơ X dọc ρ ta có trường vectơ λ o X dọc cung tham số : n IE ρλ → o và       = λ λλ o o dt DX ds d ds XD )( X, Y là trường vectơ dọc cung tham số ( ) :, n JEtt ρρ → a , và ϕ là hàm số trên J , ta định nghĩa bởi ảnh tại từng điểm các trường vectơ , XYX ϕ + dọc ρ , hàm số YX. trên J , và khi 3 = n , 3 E có hướng thì ta định nghĩa được trường vectơ Y X ∧ dọc ρ . Ta có: ( ) dt DX X dt d dt XD dt DY dt DX YX dt D += +=+ ϕϕ )( dt DY XY dt DX YX dt D dt DY XY dt DX YX dt d ∧+∧=∧ += )( ).( Định nghĩa: Trường mục tiêu dọc cung tham số ( ) :, n JEtt ρρ → a , là hệ n trường vectơ { } n UUU , ,, 21 dọc ρ sao cho với mọi ,Jt ∈ { } )(), ,(),( 21 tUtUtU n là một cơ sở của () tn TE ρ . Khi đó, mọi trường vectơ X dọc ρ được biểu diễn duy nhất dưới dạng i n i i i UX ϕϕ , 1 ∑ = = là hàm số trên J , và ∑ = += n i i i i i dt DU U dt d dt DX 1 ϕ ϕ Trang 8 B. BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Bài 1 Cho hàm vectơ khả vi () :, n XJEtXt →→→ →a trên khoảng JR ⊂ , () 0 Xt →→ ≠ với mọi tJ ∈ . Chứng minh rằng () Xt → có phương không phụ thuộc t khi và chỉ khi () Xt → và () ' Xt → phụ thuộc tuyến tính với mọi tJ ∈ . Giải Giả sử () Xt → có phương không đổi với mọi () () tJXtfta →→ ∈⇒= trong đó f là hàm số, a → là vectơ hằng. () () '' Xtfta →→ ⇒= . Vậy () Xt → và () ' Xt → phụ thuộc tuyến tính với mọi tJ ∈ Ngược lại nếu () () ,,' tJXtXt →→ ∀∈ phụ thuộc tuyến tính và () 0 Xt →→ ≠ . Đặt () () () Xt ut Xt → → → = (1) () 3 2 .'.' ' XXXXX ut X →→→→→ → →  −   ⇒= Áp dụng công thức abcacbbca →→→→→→→→→  ∧∧=−   ta có () 3 ' ' XXX ut X →→→ → →  ∧   ⇒= Vì () Xt → và () ' Xt → phụ thuộc tuyến tính nên () '0 ut →→ = suy ra () ut → không đổi Vậy () Xt → có phương không đổi. Bài 2 Cho hàm vectơ () :, n XJEtXt →→ →a khả vi lớp C 2 trên khoảng JR ⊂ và giả sử () Xt → và () ' Xt → độc lập tuyến tính với mọi tJ ∈ . Trang 9 a. Chứng minh rằng khi 3 = n , điều kiện cần và đủ để () Xt → luôn thuộc một không gian vectơ con hai chiều cố định của 3 E → là hệ () () () { } ,','' XtXtXt →→→ phụ thuộc tuyến tính với mọi tJ ∈ . b. Xét điều đó khi 3 > n Giải a. Khi 3 = n , giả sử () () () ,','' XtXtXt →→→ phụ thuộc tuyến tính. Đặt ' YXX →→→ =∧ suy ra ''' YXX →→→ =∧ Ta có '''' YYXXXX →→→→→→  ∧=∧∧∧   ,','',','' ,','' XXXXXXXX XXXX →→→→→→→→ →→→→  =−    =   '0 YY →→→ ⇒∧= khi và chỉ khi ,',''0 XXX →→→→  =   áp dụng bài 1 ta có →→→→ ⇔=∧ YYY 0' có phương không đổi. Khi đó () Xt → luôn thuộc một không gian vectơ con hai chiều cố định của 3 E → (bù vuông góc với Y → <> ) b. Khi 3 > n , trong n E → với cơ sở { } i e → khi đó () 1 n i i i Atxe →→ = = ∑ suy ra () () () ,','' XtXtXt →→→ phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) '''0 iii xtftxtgtxt ++= (1) (i=1…n) trong đó f, g là các hàm số. Mỗi phương trình của hệ (1) có nghiệm duy nhất thỏa ( ) ( ) 00 00 ,'' iiii xxtxxt == Đặt 00 ,' iiii axbx == thì ta có nghiệm của hệ (1) là () () () Xttatb αβ →→→ =+ hay () Xt → có phương không đổi. Bài 3 Tìm hàm vectơ 3 : XRE →→ → (có hướng) thỏa mãn ' XlX →→→ =∧ , trong đó l → là một hàm vectơ hằng cho trước. Trang 10 Giải Ta có alXlXXlX =⇒=⇒∧= →→→→→→→ .0'.' là hằng số và 1 Xc → = là hằng số. Khi 0 l →→ ≠ , không mất tính tổng quát ta giả sử lk α →→ = trong cơ sở trực chuẩn { } ,, ijk →→→ của 3 E → . Khi đó ( ) 12 () Xtceatbck →→→ =++ trong đó c 1 , c 2 , a, b là hằng số Bài 4 Xét hàm vectơ () 2 :,cossin,, eREettitjij →→→→→→→  →=+   là cơ sở trực chuẩn của 2 E → . Hãy tìm các nguyên hàm của hàm vectơ () ttet → a . Giải Đặt () ftte → = , gọi ( ) Ft là nguyên hàm của ( ) ft thì ta có () () () Ftftdttetdt → == ∫∫ Đặt utdudt =⇒= () 2 dvetdtvet π →→  =⇒=−   () 22 Fttetetdt ππ →→  ⇒=−−−   ∫ ( ) () 2 2 tetetc tetetc π π π →→ →→  =−−−+    =−−+   Bài 5 Cho hệ tọa độ Aphin 12 ,, Oee →→    trong mặt phẳng Euclide E 2 . Hãy phác họa ảnh của các cung tham số ( ) 2 :, REtt ρρ → a xác định bởi: a. () 2 12 tOtete ρ →→ =++ b. () 12 ossin tOctete ρ →→ =++ c. () 12 s tOchtehte ρ →→ =++ [...]... quy Định nghĩa: Một tham số hoá r : [ a, b ] → En , s a r ( s ) của một cung chính quy Γ gọi là một tham số hoá tự nhiên của nó nếu r ' = 1 (s còn gọi là tham số hoá độ dài cung) Trang 18 2.5 Độ cong của một cung chính quy trong En Định nghĩa: Độ cong của Γ tại điểm s trong tham số hoá tự nhiên s → r (s) của nó là k ( s) = k1 = DT Dr ' ( s) = ( s ) Vậy ta có hàm độ cong (hay độ cong) k1 dọc Γ là ds ds... hướng 2.12 Định lý cơ bản của lý thuyết đường trong E3 Định lý: Cho 2 hàm số k1 và k2 (khả vi lớp C l , l ≥ 0 ) trên khoảng J ⊂ R và k1 > 0 Khi đó 1) Có tham số hóa tự nhiên r : J → E3 (khả vi lớp C l + 2 ) của một cung song chính quy định hướng trong E3 nhận k1 và k2 làm độ cong và độ xoắn 2) Nếu có 2 tham số hóa r và ρ của 2 cung như thế thì có đẳng cấu Aphin trực giao bảo tồn hướng tức một phép dời... =R 2 1+ t 1+ t2 Giải Tương tự bài 5 ta có a Ảnh của cung là hyperpol x2 y 2 − =1 a 2 b2 b Hợp của ba cung là hyperpol c Ảnh của cung là elip x2 y 2 − =1 a 2 b2 x2 y 2 + =1 a 2 b2 Bài 7 Xác định quỹ đạo trong E2 của một điểm gắn chặt trên một đường tròn lăn không trượt a) trên một đường thẳng (cycloid) b) trên và bên ngoài một vòng tròn (epicycloid) c) trên và bên trong một vòng tròn (hypocycloid) Giải... En (n=2,3) @…? A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 2.1 Định nghĩa Hai cung tham số ρ : J → En , t a ρ ( t ) và r : I → En , t a r(t) gọi là tương đương nếu có vi phôi λ : J → I , t a λ (t ) = u sao cho r o λ = ρ Đây là một quan hệ tương đương Mỗi lớp tương đương của nó là một cung trong En , mỗi cung tham số của lớp tương đương gọi là một tham số hóa của cung, vi phôi λ gọi là phép đổi tham số của cung 2.2 Điểm chính... 2.13.3 Các đường tròn mật tiếp của một cung chính quy phẳng, cung túc bế của nó: *Đường tròn mật tiếp: Cho tham số hóa tự nhiên s a ρ (s) ∈ E2 của Γ thì đường tròn mật tiếp của Γ tại điểm ứng với s0 là đường tròn (C) trong mặt phẳng mà lim s → so đường tròn có bán kính q = ρ ( s0 ) + 1 k ( s0 ) d (ρ (s ), C ) = 0 Đó là (s − so )2 (gọi là bán kính cong của Γ tại s0) có tâm 1 N ( s 0 ) (tâm cong hay khúc... )2 2.14 Bao hình của họ các cung phẳng phụ thuộc tham số 2.14.1 Định nghĩa: Giả sử họ S (Γα ) các cung chính quy trên mặt phẳng phụ thuộc tham số α Cung chính quy Γα được gọi là bao hình của họ S (Γα ) nếu tại mỗi điểm của nó đều tiếp xúc với ít nhất một đường cong thuộc họ và một phần bất kỳ của Γ đều có vô số cung của họ tiếp xúc 2.14.2 Định lý: Giả sử các cung phẳng Γα của họ S (Γα ) trong miền... O1 M P R = 4r Bài 8 Cho trường vectơ liên tục X trên một tập mở U của E3 mà có điểm O ∉U → → sao cho X ( p ) cùng phương với Op với mọi p ∈U (X gọi là một trường vectơ xuyên → → tâm với tâm O) Xét cung tham số ρ : J → U , t a ρ ( t ) sao cho ρ ' ' (t ) = X (ρ (t )) 1) Chứng minh rằng ρ ( J ) nằm trong một mặt phẳng qua O Trang 14 → k 2) Khi X ( p ) = uuu r Op với mọi p ∈U (k là hằng số dương), chứng... có một vectơ chỉ phương là ρ (to )ρ (t ) dần về ρ ' (to ) khi t → to , hay ta có thể nói: tiếp tuyến của Γ tại t − to điểm ρ (to ) = M o là vị trí giới hạn của cát tuyến M o M khi M dần về M o dọc cung 2.3 Dáng điệu của cung tham số trong lân cận một điểm của nó Xét cung tham số ρ : J → En trong lân cận điểm to ∈ J Giả sử ρ ' (to ) = ρ ' ' (to ) =…= ρ ( k −1) (to ) = 0 và ρ ( k ) (to ) ≠ 0 thì số k... k2 ( s ) trong đó s a k1(s), s a k 2 ( s ) là 2 hàm số khả vi lớp C l , l ≥ 0 cho trước trên khoảng J ⊂ R , gọi là phương trình tự nhiên của cung song chính quy định hướng trong E3 với độ cong k1 , độ xoắn k2 xác định bởi các hàm số đó trong một tham số hóa tự nhiên của nó 2.13 Cung phẳng (trong E2 ) 2.13.1 Cung chính quy định hướng trong E2 và độ cong của nó: Gọi T là trường vectơ tiếp xúc đơn vị dọc... một mặt phẳng qua O Trang 14 → k 2) Khi X ( p ) = uuu r Op với mọi p ∈U (k là hằng số dương), chứng minh 2 rằng ρ ( J ) nằm trên một đường thẳng qua O hay một đường bậc hai nhận O làm một tiêu điểm Giải → → → 1) Ta viết ρ (t ) = Oρ (t ) , vì ρ ' ' (t ) = X (ρ (t )) và X là một trường xuyên tâm nên → → → → → ρ ' ' cùng phương với ρ hay ρ ' '∧ ρ = 0 với mọi t ∈ J → → → → → → → → → Ta có  ρ ∧ ρ '  ' . Đặng Văn Thuận, em đã chọn đề tài Một số bài tập về lý thuyết đường cong để hoàn thành luận văn tốt nghiệp ngành Toán. II. Mục đích nghiên cứu Luận văn với đề tài Một số bài tập về lý thuyết. quanh lý thuyết đường cong trong 32 , EE thông qua một số dạng bài tập cụ thể. Trang 3 V. Nội dung của luận văn Nội dung của đề tài đề cập đến một số vấn đề về đường cong trong 32 ,EE. của một cung), giải phương trình tự nhiên. Bài tập chương 2: Trình bày một số bài tập có liên quan và làm rõ một số tính chất trong phần trên. Phụ lục : Chương trình Maple để vẽ đường cong