Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn trong cơ học lượng tử

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2018 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “Một số tập lý thuyết biểu diễn học lượng tử” hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình gia đình, bạn bè thầy cô Qua đây, xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến giáo hướng dẫn –Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan tận tình hướng dẫn, bảo tơi suốt q trình tham gia khóa luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện để tơi hồn thành khoa luận Xin chân thành cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình,bạn bè suốt q trình làm khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu tơi, hồn thành với nỗ lực thân hướng dẫn Pgs.Ts Nguyễn Thị Hà Loan Các liệu đưa khóa luận hồn tồn trung thực khơng trùng với cơng trình nghiên cứu tác giả khác Hà Nội, ngày 19 tháng 04 năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Nga MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƯƠNG NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Tọa độ 1.2 Xung lượng 1.3 Mômen xung lượng 1.4 Năng lượng Kết luận chương CHƯƠNG LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN 10 2.1 Biểu diễn tọa độ 10 2.2 Biểu diễn xung lượng 11 2.3 Biểu diễn lượng 13 2.4 Biểu diễn Schrodinger 16 2.5 Biểu diễn Heisenberg 16 2.6 Biểu diễn tương tác 20 Kết luận chương 22 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 23 3.1 Bài tập trạng thái lượng tử biểu diễn khác 23 3.2 Bài tập toán tử biểu diễn khác 29 Kết luận chương 38 KẾT LUẬN 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Thế kỷ XX kỷ của, vật lý học đại với khuynh hướng xâm nhập sâu vào cấu trúc vi mơ vật chất, vật thể vô nhỏ bé nguyên tử, hạt nhân hạt Cho đến nay, đối tượng nghiên cứu quan trọng vật lý học đại giới vi mô mà học lượng tử sở giúp người tìm hiểu chinh phục giới Cơ học lượng tử phần trừu tượng vật lý lý thuyết, có khái niệm vốn quen thuộc vật lý học cổ điển Có thể định nghĩa cách tóm tắt học lượng tử lý thuyết -8 nguyên tử hạt nhân Ngun tử có kích thước vào cỡ 10 cm, -13 hạt nhân có kích thước vào cỡ 10 cm Những vật có kích thước nhỏ gọi vật vi mô Để nghiên cứu đại lượng động lực hệ hạt vi mơ, người ta dùng biểu diễn khác Mỗi toán học lượng tử có cách giải riêng việc chọn dùng biểu diễn để giải toàn đơn giản nhất, mà cho kết mơ tả đầy đủ tính vật lý hệ vật lý vi mô cần thiết quan trọng Thêm vào việc giải tập mặt rèn luyện kỹ năng, mặt khác để củng cố lý thuyết Phải nắm lý thuyết, hiểu vận dụng để tìm tòi nhiều điều khác có liên quan Giúp nắm hiểu lý thuyết sâu sắc Vì vậy, tơi định chọn nghiên cứu đề tài về: “ Một số tập lý thuyết biểu diễn học lượng tử” Mục đích nghiên cứu Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập lý thuyết hạt vi mô Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đại lượng động lực học lượng tử Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập học lượng tử Đối tượng nghiên cứu Các đại lượng động lực dạng chúng biểu diễn khác Một số tập lý thuyết biểu diễn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp vật lý lý thuyết vật lý toán học Phương pháp lý thuyết biểu diễn học lượng tử Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm ba chương: CHƯƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN CHƯƠNG 2: LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CHƯƠNG 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ     k   k 1 a  k 1 a k ξ  2ξ  k 1  k 2 k0 k a ξ =0 ξ  ε  k1 k0    k   k 1 a   k ξ 2 ka ξ   ε k 1  k 2 k0  k k k k0 k0 k a ξ =0 k0   k  2 k 1 a k2  ε  a 2k 1 k0 2k   ε  a k2  a Đặt k=n,  2n+1= ε k k   k 1 =0 Phổ lượng: = (n )ħ Để xác định hàm sóng ta sử dụng đa thức hermite +2n =0  =  φ( )= A n e ξ 2 n =  1 e Hn  ξ  ξ2 dn dξ  e  mw  = πħ  n   n! Bài tập 2: ξ k k ξ =0 Tìm tốn tử tọa độ xung lượng biểu diễn xung lượng Lời giải: Toán tử ̂ ⃗ ⃗ -biểu diễn (trong biểu diễn xung lượng ) xã định từ đẳng thức: ̅̂ ⃗ φ(⃗ )=∫ φ(⃗ )d⃗ ⃗⃗ Trong φ(⃗ ) hàm sóng p-biểu diễn ̅⃗⃗ ⃗ ∫ ⃗ ̂ ⃗ Với ̂ toán tử trong⃗⃗ -biểu diễn lượng ̂⃗ ⃗ r-biểu diễn hàm riêng toán tử xung ψp   Hàm: ̂ *Khi ̂ r  2πħ  e i pr ħ ta có: ∫ ̅⃗ ⃗ ⃗ ⃗  ipr e  2πħ   iħ e iħ   2πħ  ħ i pr ħ  2πħ  p' i re pr ħ dr i  e ħpr d r  p' i  ppr ħ e rd Chú ý rằng: i e  pp  r rd   i e  i y y  i z z (p  p' )dx  e (p  p' )dy  e (p  p' )dz x x ħ  ħ ħ   ħ  p y  p'y   p  p'   p  p'z  =2 πδ x x 2πδ 2πδ  z    ħ ħ  ħ   = 2πħ δ  p x  p'x  δ p y   δ =  2πħ  δ  p  p p'y pz  p'z Ta có:  rpp  iħ δ  p  p  p  Toán tử p-biểu diễn xác định phương trình: ̅ ̂⃗ ∫ ⃗ ⃗ ⃗ ̅⃗⃗ ⃗  δ  p  p φp'  dp'   p iħ  ' iħd δ  p  p p'φ dp φ p' '  p p δ   =0+ iħ    p dp  = iħ r p  iħ Vậy *Khi ̂  p φ  p  p ̂ ̅⃗ ∫ ⃗ ⃗ ̂⃗ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ⃗ ∫ =⃗ ̅̂ ⃗ ⃗ ̅̂ ⃗ ⃗ ∫ ⃗ ∫⃗ [ ̅⃗ ⃗ Vậy ̂⃗ ⃗ ̅⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ] ⃗ ⃗ Trong p-biểu diễn có: r  iħ  p pp Bài tập 3: Tìm tốn tử tọa độ biểu diễn Heisenberg hạt chuyển động tự Lời giải: Heisenberg qua Schrodinger i ˆ H t i  Hˆ t xˆ  t   e xˆ se ħ ħ Vì hạt tự ̅̂ P̂ i 1 i   ˆ xˆ  t   xˆ  t Hˆ , xˆ  + t H ,  Hˆ , xˆ          ħ   2! ħ  [̂ ] [P̂ ̂ ̂ [̂ ̅̂ ̂] ] ̅̂ Bài tập 4: Tìm tốn tử tọa độ xung lượng dao động tử tuyến tính tranh Heisenberg cách giải phương trình chuyển động cho tốn tử Lời giải dxˆ  t  i  Hˆ , xˆ Phương trình chuyển động : t     dt ħ (9) dpˆ  t  i ˆ   H , pˆ Tương tự:  t  (10) dt ħ  Liên hệ toán tử Heisenberg với toán tử Schrodinger trạng thái bất kỳ: i i ˆ Hˆ t  H fˆ  t   fˆ t ħ ħ e e Thay vào (9) dxˆ  t  dt Với i ˆ H  tħ i e ħ i  Hˆ pˆ Hˆ , xˆ t  ħ t e  μ pˆ dxˆ i ˆ t   vˆ  xˆ   H, xˆ    dt μ ħ  pˆ  t  (11) μ Tương tự cho (10), dao động tử điều hòa ̂ ̅̂ ̂ dpˆ  t   ̂ = dt (12) Như ta thu phương trình: (11) (12) Giải ta được: ̅̂ ̅̂ Xác định toán tử hệ số từ điều kiện ban đầu: xˆ     xˆ     c1  xˆ xˆ Vậy: pˆ    pˆ c1 pˆ    cˆ 2μω p ˆ c2  μω ̅̂ ̅̂ ̅̂ Kết luận chương Trong chương 3, tơi trình bày dạng tập lý thuyết biểu diễn học lượng tử: tập trạng thái lượng tử biểu diễn khác nhau, tập toán tử biểu diễn khác Và áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập dạng nêu Qua đây, nhận thấy tốn tìm đại lượng động lực trạng thái hạt vi mơ hạt có đại lượng động lực xác định nên giải tốn biểu diễn đại lượng động lực dễ KẾT LUẬN Trong khóa luận này,tơi nghiên cứu trình bày khái niệm bản: Tọa độ, Xung lượng, Mômen xung lượng, Năng lượng Các biểu diễn học lượng tử như: biểu diễn tọa độ, biểu diễn xung lượng, biểu diễn lượng, biểu diễn Schrodinger, biểu diễn Heisenberg, biểu diễn tương tác Và dạng tập lý thuyết biểu diễn học lượng tử: tập trạng thái lượng tử biểu diễn khác nhau, tập toán tử biểu diễn khác Ở phần trọng tâm khóa luận, tơi áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải tập trạng thái lượng tử biểu diễn khác tập toán tử biểu diễn khác Tùy toán khác mà ta dùng biểu diễn phù hợp để giải đơn giản nhanh chóng Tuy nhiên, trình độ, kinh nghiệm thời gian nhiều hạn chế nên khóa luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn để luận văn hoàn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Quý Tư (1986), Cơ học lượng tử, NXB Giáo dục Trần Thái Hoa (2005), Cơ học lượng tử, NXB Đại học sư phạm Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết Vật lý lượng tử, NXB ĐHQG Hà Nội Bài giảng Cơ lượng tử Thầy cô Tổ Vật Lý Lý Thuyết,khoa Lý, ĐHSP Hà Nội Nguyễn Hữu Mình, Bài tập vật lý lý thuyết tập 2, NXB Giáo dục ... 22 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄNTRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 23 3.1 Bài tập trạng thái lượng tử biểu diễn khác 23 3.2 Bài tập toán tử biểu diễn khác 29 Kết... tài về: “ Một số tập lý thuyết biểu diễn học lượng tử Mục đích nghiên cứu Áp dụng lý thuyết biểu diễn để giải số tập lý thuyết hạt vi mô Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu đại lượng động lực học lượng. .. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NGA MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học