Một số bài tập về mạng đảo (2017)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LY ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LY ĐINH THỊ HUẤN MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học TS.PHẠM THỊ MINH HẠNH HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Một số tập mạng đảo” hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình gia đình, bạn bè thầy Qua đây, tơi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn – Ts.Phạm Thị Minh Hạnh tận tình hướng dẫn, bảo tơi suốt q trình làm khóa luận Đồng thời, xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội tạo điều kiện để tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn động viên, giúp đỡ gia đình, bạn bè suốt q trình làm khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày ,tháng ,năm 2017 Sinh viên Đinh Thị Huấn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành với nỗ lực thân hướng dẫn Ts.Phạm Thị Minh Hạnh Các liệu đưa khóa luận hồn tồn trung thực khơng trùng với cơng trình nghiên cứu tác giả khác MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đ ch nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƯƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1 Mạng tinh thể 1.1.1 Mạng tinh thể lý tưởng 1.1.2 Ô sở 1.1.3 Cấu trúc tinh thể 1.2 Các phép đối xứng mạng tinh thể 1.2.1 Phép đối xứng tinh thể 1.2.2 Nhóm điểm mạng tinh thể 1.3 Các số Miller 1.3.1 Chỉ số nút 1.3.2 Chỉ số hướng 1.3.3 Chỉ số mặt phẳng 1.4 Mạng Bravais 10 1.4.1 Mạng Bravais không gian ba chiều 10 1.4.2 Phân loại mạng Bravais ba chiều 11 1.5 Một số cấu trúc tinh thể đơn giản 12 1.5.1 Cấu trúc Natri Clorua 12 1.5.2 Cấu trúc Xêsi Clorua 13 1.5.3 Cấu trúc kim cương 14 1.5.4 Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phương (Sphalerite) vuazit (wurtzite) 15 1.5.5 Cấu trúc xếp chặt cầu 16 1.6 Mạng đảo 18 1.6.1 Định nghĩa mạng đảo 18 1.6.2 Một vài tính chất mạng đảo 19 1.6.3 Ý nghĩa vật lý mạng đảo 20 Kết luận chương 21 CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO 22 Kết luận chương 33 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý chất rắn nghiên cứu tính chất trình vật lý xảy bên vật rắn Các tính chất q trình đặc biệt bộc lộ nguyên tử phân tử liên kết mạnh với xếp cách đặn, tuần hoàn tinh thể Mạng đảo khái niệm quan trọng vật lý chất rắn Khái niệm mạng đảo lần nhà vật lý người Pháp Auguste Bravais đề xuất vào năm 1850 nhà vật lý người Mỹ Josiah Willard Gibbs xây dựng vào năm 1881, không ý nhiều Khái niệm lại Paul Peter Ewald Max Theodor Felix von Laue Tái phát minh phát triển thời gian từ 1911-1914 với phát nhiễu xạ tia X tinh thể Khái niệm tiếp tục hoàn thiện Paul Peter Ewald năm 1962 Mạng đảo giúp đơn giản hóa tốn tinh thể học nhiễu xạ sóng tinh thể Chính lí tơi định chọn nghiên cứu đề tài "Một số tập mạng đảo" Mục đ ch nghi n cứu Nghiên cứu cấu trúc tinh thể vật rắn Nghiên cứu mạng đảo Đối tượng phạm vi nghiên cứu Mạng tinh thể vật rắn Mạng đảo Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu cấu trúc tinh thể vật rắn Giải số tập mạng đảo Phư ng ph p nghi n cứu Vật lý lý thuyết vật lý toán Đọc, nghiên cứu tài liệu Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm hai chương: CHƯƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO NỘI DUNG CHƯƠNG CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 1.1 Mạng tinh thể 1.1.1 Mạng tinh thể lý tưởng Trong vật rắn tinh thể, nguyên tử phân tử xếp cách đặn, tuần hồn khơng gian tạo thành mạng tinh thể Mạng tinh thể lý tưởng: Tinh thể xếp nguyên tử, phân tử hoàn toàn tuần hoàn Tinh thể lý tưởng phải hoàn tồn đồng nhất, nghĩa nơi, chứa loại nguyên tử nhau, phân bố Tinh thể lý tưởng phải có k ch thước trải rộng vơ hạn để khơng có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất xếp tuyệt đối tuần hoàn nguyên tử, phân tử [4] 1.1.2 Ơ sở Có thể xây dựng nên tinh thể cách lặp lại không gian theo quy luật định đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi ô sơ cấp hay ô sở Ở tinh thể đơn giản tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại kiềm, ô sở chứa nguyên tử Ở tinh thể phức tạp, sở chứa nhiều nguyên tử, phân tử.[4] Hình 1.1 Mạng tinh thể Vị trí hạt mạng xác định nhờ vectơ: ⃗⃗⃗ = n1 + n2 ⃗ + n3 đó: n1, n2, n3 số nguyên ⃗⃗⃗ , ⃗ , vectơ sở Hình hộp tạo từ ba vectơ sở ⃗ , ⃗ , gọi ô sở Tất sở tạo thành mạng có hình dạng thể tích Tại tất đỉnh có ngun tử nhóm ngun tử gắn vào Vì tất đỉnh ô tương đương gọi nút mạng Về mặt nguyên tắc, để mô tả ô sở phải biết đại lượng: cạnh (a, b, c) ba góc chúng (α, β, γ) Ô sở mà chứa hạt đỉnh gọi ô đơn giản hay ô nguyên thủy Với loại ô có hạt sở Trong nhiều trường hợp, để mô tả cách đầy đủ tính chất đối xứng mạng, sở xây dựng cách chứa hạt khơng đỉnh mà điểm khác Ơ sở gọi phức tạp, ví dụ: lập phương tâm khối, lập phương tâm diện… Hình 1.2 Hình 1.3 Hình 1.2 Ơ lập phương đơn giản Hình 1.3 Ơ lập phương tâm khối Hình 1.4 Ơ lập phương tâm diện Hình 1.4 ⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗) ⃗ ⃗ ) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ = Vậy Suy ⃗ ) = ⃗ ⃗ ) = ⃗ vuông góc với mặt phẳng (h k l) (điều phải chứng minh) Bài 4: Xét t ch vô hướng ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Vì ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ = ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ nên ⃗⃗ Tương tự ta có: ⃗ ⃗ ,⃗ ⃗ Xét t ch vô hướng ⃗ ⃗ (2) ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ Vì ⃗ ⃗ vng góc với ⃗ nên ⃗ ⃗ = Tương tự ta có: ⃗ ⃗ Kết hợp với (2) ta có: ⃗ ⃗ ���� = đó: i = j i # j Mà ⃗ có thứ nguyên chiều dài chiều dài (điều phải chứng minh) Bài 5: ⃗ có thứ nguyên nghịch đảo Phkl Qhkl O �⃗ ⃗�⃗� �⃗ �⃗ Hình 2.2 Trên hình 2.2 biểu diễn số mặt phẳng mạng song song thuộc họ mặt phẳng (h k l) Theo tập ta có vectơ ⃗ vng góc với mặt phẳng Từ gốc O ta vẽ vectơ mạng ⃗ nút mạng nằm mặt Phkl Hình chiếu lên phương vectơ đoạn OH Mọi vectơ mạng có điểm cuối nằm mặt phẳng mạng Phkl có hình chiếu lên phương đoạn OH ⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ đồng thời vectơ pháp vectơ đơn vị theo phương tuyến đơn vị mặt phẳng (h k l) Ta có: ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ với ⃗ số nguyên Như vậy, mặt phẳng Phkl cách gốc O số nguyên lần ⃗ Mặt phẳng Qhkl nằm kề sát với Phkl (hình 2.2) ứng với hình chiếu ⃗⃗⃗ Vậy khoảng cách hai mặt phẳng (h k l) liên tiếp là: ⃗⃗⃗ (điều phải chứng minh) Bài 6: Trước giải tập, ta tm hiểu hệ lập phương Hệ lập phương bao gồm mạng Bravais sau đây: Lập phương đơn, lập phương tâm khối hay gọi tâm thể, lập phương tâm mặt hay gọi tâm diện a) b) c) Hình 2.3 a) Mạng lập phương đơn b) Mạng lập phương tâm khối c) Mạng lập phương tâm mặt Đây hệ quan trọng, mạng lập phương tâm mặt lập phương tâm khối, nhiều chất rắn kết tinh dạng mạng này, sau ta xét hệ cụ thể [1]  Cấu trúc lập phư ng đ n [1] Cách thường làm để chọn vectơ sở cho mạng lập phương đơn chọn cạnh hình lập phương ⃗⃗⃗ ;⃗ ;⃗ Trong công thức công thức sau , ⃗ vectơ đơn vị trực giao song song với cạnh hình lập phương Hình 2.4 Ơ sở lập phương, rõ ô nguyên tố Thể tích ô sở là: ⃗ ⃗ ⃗ Ô sở mạng lập phương đơn hình lập phương  Cấu trúc lập phư ng tâm khối [1] Một cách chọn vectơ sở chọn hai cạnh hình lập phương nửa đường chéo không gian hình lập phương ⃗⃗⃗ ;⃗ ;⃗ Một cách chọn khác là: Nối đỉnh hình lập phương với ba tâm ba hình lập phương khác liền kề với nó, lấy đoạn thẳng làm vectơ sở Khi cách chọn sở chọn hình khối tạo nên vectơ sở này: ;⃗ ⃗⃗⃗ ;⃗ ; Hình 2.5 Ơ sở lập phương tâm khối, rõ ngun tố Thể tích sở là: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ Thật vậy: ; ; nên: 30 Vậy V= 1 � -1 ; = ; ; -1 1 ; -1 (1, 1, -1) 1nên: -1 (2, 2, 0).(1, 1, -1) = Ô sở mạng lập phương tâm khối hình khối 14 mặt, mặt hình lục giác mặt hình vng, với hình lục giác to hẳn hình vng, hình khối 14 mặt coi hình khối mặt bị cắt góc  Cấu trúc lập phư ng tâm mặt [1] Cách thường dùng chọn vectơ nối đỉnh hình lập phương với tâm ba mặt bên xung quanh đỉnh làm vectơ sở Khi cách chọn sở dùng hình khối tạo nên ba vectơ sở ;⃗ ⃗⃗⃗ ;⃗ ; Hình 2.6 Ơ sở lập phương tâm mặt, rõ ngun tố Thể tích sở là: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ Thật vậy, ta có: [ ] 30 ; ; 31 0) Vậy 1 � V= ; = 1 ;0 (1, 1, 0) (1, 1, -1).(1, 1, 0) = Ô sở mạng lập phương tâm mặt hình khối 12 mặt đều, mặt hình thoi a) Chứng minh: Mạng đảo mạng lập phương đơn giản mạng lập phương đơn giản Thực vậy, vectơ tịnh tiến sở mạng lập phương là: ⃗⃗⃗ ;⃗ ;⃗ (3) đó: , , vectơ đơn vị vng góc với Thể tích ngun tố là: Sử dụng cơng thức định nghĩa ta tìm vectơ sở mạng đảo sau: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Các vectơ sở mạng đảo có dạng giống vectơ sở mạng thuận (3) Điều chứng tỏ mạng đảo mạng lập phương, có điều khác số mạng 32 Thể tích ô sở mạng đảo là: b) Chứng minh mạng đảo mạng lập phương tâm mặt mạng lập phương tâm khối Các vectơ tịnh tiến sở mạng lập phương tâm mặt là: ;⃗ ⃗⃗⃗ ;⃗ ; : , , vectơ đơn vị vng góc với Thể tích ngun tố là: Sử dụng cơng thức định nghĩa ta tìm vectơ sở mạng đảo sau: ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ Các vectơ sở mạng đảo có dạng giống vectơ sở mạng lập phương tâm khối Điều chứng tỏ mạng đảo mạng lập phương tâm khối Hằng số mạng Thể tích ô sở mạng đảo là: c) Chứng minh mạng đảo mạng lập phương tâm khối mạng lập phương tâm mặt Các vectơ tịnh tiến sở mạng lập phương tâm khối là: 32 ⃗⃗⃗ ;⃗ ;⃗ đó: , , vectơ đơn vị vng góc với 33 ; Thể tích nguyên tố là: Sử dụng công thức định nghĩa ta tìm vectơ sở mạng đảo sau: ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ Các vectơ sở mạng đảo có dạng giống vectơ sở mạng lập phương tâm mặt Điều chứng tỏ mạng đảo mạng lập phương tâm mặt Hằng số mạng Thể tích sở mạng đảo là: Kết luận chư ng Trong chương 2, tơi trình bày về: - Một số tập mạng đảo - Lời giải số tập mạng đảo 33 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày vấn đề sau: - Cấu trúc tinh thể vật rắn - Mạng đảo - Một số tập mạng đảo Qua việc nghiên cứu đề tài giúp tơi nâng cao trình độ kiến thức môn Vật lý chất rắn, đặc biệt vấn đề mạng đảo số tập mạng đảo Tuy nhiên, với t nh chất luận văn tốt nghiệp, nên luận văn khơng sâu vào t nh tốn chi tiết, mà tập trung làm bật t nh chất ý nghĩa vật lý nội dung trình bày, dừng lại cách nhìn tổng thể Do trình độ, kinh nghiệm, thời gian nhiều hạn chế nên luận văn nhiều thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đào Trần Cao (2007), “Cơ sở vật lý chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Hữu Mình (1998), “Vật lý chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Ngọc Long (2007), “Vật lý chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Nguyễn Thế Khơi, Nguyễn Hữu Mình (1998), “ Vật lý chất rắn”, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Hùng (2000), “Lý thuyết chất rắn”, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 35 ... Bravais - Một số cấu trúc tinh thể đơn giản - Mạng đảo CHƯƠNG MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO Bài 1: Chứng minh: ⃗ ⃗ vng góc với ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ vng góc với ⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ vng góc với ⃗ ⃗ đó: ⃗ , ⃗ , ⃗ ba vectơ sở mạng. .. 1.6 Mạng đảo 18 1.6.1 Định nghĩa mạng đảo 18 1.6.2 Một vài tính chất mạng đảo 19 1.6.3 Ý nghĩa vật lý mạng đảo 20 Kết luận chương 21 CHƯƠNG MỘT SỐ... 1.6 Mạng đảo 1.6.1 Định nghĩa mạng đảo [4] Mạng thuận: mạng không gian xây dựng từ ba vectơ sở ⃗⃗⃗ ⃗ , ⃗ , vị trí nút mạng xác định nhờ vectơ: = n1 ⃗ + n ⃗ + n ⃗ với n1, n2, n3 Z Mạng đảo: mạng