Một số bài tập về mạng đảo

Các tính chất và quá trình đặc biệt này chỉ bộc lộ khi các nguyên tử hoặc các phân tử liên kết mạnh với nhau và sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong tinh thể.. Tinh thể lý tưởng phả

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ HUẤN

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học TS.PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Một số bài tập về mạng đảo” đã

được hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của gia đình, bạn bè và thầy cô

Qua đây, tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hướng dẫn –

Ts.Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo tôi trong suốt quá

trình làm khóa luận

Đồng thời, tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết, khoa Vật lý trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tôi hoàn thành khóa luận này

Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè trong suốt quá trình làm khóa luận

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày ,tháng ,năm 2017

Sinh viên

Đinh Thị Huấn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn

thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hướng dẫn của Ts.Phạm Thị Minh Hạnh Các dữ liệu đưa ra trong khóa luận là hoàn toàn trung thực và không

trùng với các công trình nghiên cứu của các tác giả khác

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đ ch nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 1

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc khóa luận 2

NỘI DUNG 3

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN 3

1.1 Mạng tinh thể 3

1.1.1 Mạng tinh thể lý tưởng 3

1.1.2 Ô cơ sở 3

1.1.3 Cấu trúc tinh thể 5

1.2 Các phép đối xứng của mạng tinh thể 5

1.2.1 Phép đối xứng tinh thể 5

1.2.2 Nhóm điểm trong mạng tinh thể 6

1.3 Các chỉ số Miller 6

1.3.1 Chỉ số nút 6

1.3.2 Chỉ số hướng 7

1.3.3 Chỉ số mặt phẳng 8

1.4 Mạng Bravais 10

1.4.1 Mạng Bravais trong không gian ba chiều 10

1.4.2 Phân loại các mạng Bravais ba chiều 11

1.5 Một số cấu trúc tinh thể đơn giản 12

1.5.1 Cấu trúc Natri Clorua 12

1.5.2 Cấu trúc Xêsi Clorua 13

1.5.3 Cấu trúc kim cương 14

1.5.4 Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phương (Sphalerite) và vuazit (wurtzite) 15

1.5.5 Cấu trúc xếp chặt các quả cầu 16

1.6 Mạng đảo 18

1.6.1 Định nghĩa mạng đảo 18

1.6.2 Một vài tính chất của mạng đảo 19

1.6.3 Ý nghĩa vật lý của mạng đảo 20

Kết luận chương 1 21

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO 22

Kết luận chương 2 33

KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý chất rắn nghiên cứu các tính chất và các quá trình vật lý xảy ra bên trong vật rắn Các tính chất và quá trình đặc biệt này chỉ bộc lộ khi các nguyên tử hoặc các phân tử liên kết mạnh với nhau và sắp xếp một cách đều đặn, tuần hoàn trong tinh thể

Mạng đảo là một khái niệm quan trọng trong vật lý chất rắn Khái niệm về mạng đảo lần đầu tiên được nhà vật lý người Pháp Auguste Bravais

đề xuất vào năm 1850 và nhà vật lý người Mỹ Josiah Willard Gibbs xây dựng vào năm 1881, nhưng không được chú ý nhiều Khái niệm này lại được Paul Peter Ewald và Max Theodor Felix von Laue Tái phát minh và phát triển trong thời gian từ 1911-1914 cùng với các phát hiện về sự nhiễu xạ tia X trên tinh thể Khái niệm này tiếp tục được hoàn thiện bởi Paul Peter Ewald cho đến năm 1962 Mạng đảo giúp đơn giản hóa các bài toán tinh thể học và nhiễu

xạ các sóng trên tinh thể

Chính vì các lí do trên tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài "Một số bài tập về mạng đảo"

2 Mục đ ch nghi n cứu

Nghiên cứu cấu trúc tinh thể của vật rắn

Nghiên cứu về mạng đảo

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Mạng tinh thể của vật rắn

Mạng đảo

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của vật rắn

Giải quyết một số bài tập về mạng đảo

Phư ng ph p nghi n cứu

Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Đọc, nghiên cứu tài liệu

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm hai chương:

CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO

NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN

bố như nhau Tinh thể lý tưởng phải có k ch thước trải rộng vô hạn để không

có mặt giới hạn làm ảnh hưởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hoàn của các nguyên tử, phân tử [4]

Vị trí của 1 hạt bất kì của mạng được xác định nhờ vectơ:

⃗⃗ = n1 + n2 ⃗ + n3 trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên

⃗⃗⃗ , ⃗ , là các vectơ cơ sở Hình hộp được tạo từ ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗ , ⃗ , được gọi là ô cơ sở

Tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng một hình dạng và thể tích Tại tất cả các đỉnh của ô có các nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như nhau gắn vào Vì vậy tất cả các đỉnh của ô là tương đương nhau và được gọi

Hình 1.2 Ô lập phương đơn giản

Hình 1.3 Ô lập phương tâm khối

Hình 1.4 Ô lập phương tâm diện

1.1.3 Cấu trúc tinh thể [4]

Chuyển từ mạng không gian là mô hình toán học trừu tượng sang cấu trúc tinh thể Ta có được cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng Chẳng hạn có thể đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của chúng nằm ở

các nút mạng không gian

Còn trong tinh thể hiđrô (ở thể rắn) tại mỗi nút mạng là một phân tử H2 Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân tử có chứa hàng chục, có khi hàng trăm nguyên tử Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử như vậy được gọi là gốc

Do đó, ta có thể viết một cách tượng trưng:

Mạng không gian + gốc = cấu trúc tinh thể

Vì l do đó mà cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà mạng không gian không có, đó là các trục xoắn ốc và mặt phẳng trượt

1.2 C c phép đối xứng của mạng tinh thể [1]

1.2.1 Phép đối xứng tinh thể

Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hoàn tịnh tiến, ngoài ra, tùy vào các trường hợp cụ thể chúng còn có thể có (hoặc không có) các tính chất đối xứng khác nữa

Phép đối xứng của tinh thể được định nghĩa chung như sau: Nếu sau một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới hoàn toàn giống như vị tr cũ (chỉ có sự đổi chỗ các nguyên tử cùng loại) thì phép biến đổi này được gọi là phép đối xứng của tinh thể

Các phép đối xứng chủ yếu của mạng tinh thể là:

+ Tịnh tiến + Quay quanh một trục

+ Phản xạ gương (qua một mặt phẳng)

và các tổ hợp khác nhau của chúng

Chú ý: Có những trường hợp mà một phép biến đổi trên đây, nếu xét đơn lẻ thì không phải là một phép đối xứng, nhưng nếu xét một tổ hợp nhất định nào đó của chúng với nhau thì lại là một phép đối xứng

1.2.2 Nhóm điểm trong mạng tinh thể [1]

Một tập hợp các biến đổi đối xứng đi kèm thêm với hai định nghĩa: định nghĩa t ch của hai yếu tố và định nghĩa yếu tố nghịch đảo sẽ lập thành một nhóm Các thí dụ về nhóm trong tinh thể là:

Tập hợp tất cả các phép đối xứng khác nhau của tinh thể lập thành một nhóm gọi là nhóm không gian của tinh thể Có tất cả 230 nhóm không gian, tức là có 230 loại tinh thể có các tính chất đối xứng không gian khác nhau

Nếu tọa độ của nút M là x = ma, y = nb, z = pc, thì chỉ số của nút M là [[mnp]] Nếu nút có tọa độ âm thì ghi dấu “-“ ở phía trên chỉ số tọa độ đó, th dụ: tọa độ của nút N là x = ma, y = nb, z = -pc, chỉ số của nút N là [[mn ̅]]

Hình 1.5 Chỉ số nút của điểm M và N

1.3.2 Chỉ số hướng [3]

Để biểu thị một hướng người ta dựng đường thẳng đi qua gốc tọa độ và song song với hướng đó Vị trí của đường thẳng này (cũng là vị trí vủa hướng nói trên) được xác định bằng chỉ số nút [[mnp]] của nút đầu tiên mà đường thẳng này đi qua và chỉ số hướng đó được kí hiệu là [mnp]

Hình 1.6 Chỉ số của một số nút và một số hướng trong mạng lập phương

Các hướng tương đương nhau về tính chất đối xứng tạo thành một họ hướng và được kí hiệu là <mnp> Thí dụ trong hệ lập phương, họ hướng

<100> biểu thị các hướng [100], [ ̅00], [0 ̅0], [001], và [00 ̅]

1.3.3 Chỉ số mặt phẳng [4]

Trong mạng không gian, đường thẳng đi qua vô số các nút mạng được gọi là đường thẳng mạng Có thể chứng minh được rằng đường thẳng đi qua hai nút mạng, thì nó là đường thẳng mạng

Mặt phẳng có chứa vô số các nút mạng được gọi là mặt phẳng mạng Mặt phẳng chứa ba nút mạng là mặt phẳng mạng

Lấy nghịch đảo của chúng , ,

Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho:

Vậy chỉ số Miller của mặt phẳng đó là (4, 3, 6)

Các mặt phẳng mạng song song nhau có cùng chỉ số Miller Vì vậy chỉ

số Miller (h k l) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các mặt phẳng song song với nhau

O

B (0, n2a2, 0)

C (0, 0, n3a3)

A (n1a1, 0, 0)

Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ, thì coi như nó cắt trục đó ở vô cực, và chỉ số Miller tương ứng với trục đó bằng 0

Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số Miller tương ứng có dấu âm, và được kí hiệu bằng dấu “-“ bên trên chỉ số đó

Ví dụ (h ̅ l)

1.4 Mạng Bravais [3]

1.4.1 Mạng Bravais trong không gian ba chiều

Trong tinh thể ba chiều, ta cũng luôn luôn chọn được ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ , sao cho khi dịch chuyển tinh thể theo vectơ: ⃗ = n1 ⃗⃗⃗ + n2 ⃗ + n3

với n1, n2, n3 là những số nguyên bất kì, thì tinh thể lại trùng với chính nó

Hình 1.8 Mạng không gian ba chiều

Vectơ tịnh tiến tinh thể ⃗ ⃗

Nói cách khác những điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ được xác định bằng biểu thức: ⃗⃗ = + ⃗ hoàn toàn tương đương với điểm có bán k nh vectơ

Phép dịch chuyển ⃗ nói trên gọi là phép tịnh tiến tinh thể

𝑟

⃗⃗

𝑎 𝑏⃗

𝑐

𝑟

𝑅⃗

Tập hợp các điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ tạo thành một mạng không gian gọi là mạng Bravais, còn ch nh các điểm đó gọi là các nút mạng

Ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ , gọi là các vectơ cơ sở, chiều dài của chúng gọi là hằng số mạng hay chu kì mạng, hình hộp tạo bởi các vectơ cơ sở gọi là ô đơn

vị hay ô cơ sở

1.4.2 Phân loại các mạng Bravais ba chiều

Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, người ta chia chúng thành 7 hệ tinh thể, ứng với 14 loại mạng Bravais như sau:

Bảng 1.1 Phân loại các mạng Bravais ba chiều

Số

thứ tự

Hệ tinh thể Đặc điểm của ô cơ sở 14 loại mạng Bravais

4 Tứ giác a = b # c

α = β = γ =

Tứ giác đơn giản

Tứ giác tâm khối

Tam giác đơn giản

phương α = β = γ = Lập phương tâm khối

Lục giác đơn giản

1.5 Một số cấu trúc tinh thể đ n giản [3]

1.5.1 Cấu trúc Natri Clorua

Mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất, do đó

số phối vị là 6 Một số tinh thể có cấu trúc NaCl đƣợc dẫn ra trong bảng 1.2 trong đó a là hằng số mạng

Bảng 1.2 Các tinh thể có cấu trúc NaCl

1.5.3 Cấu trúc kim cương

Hình 1.11 Cấu trúc kim cương

Mạng không gian của cấu trúc kim cương là mạng lập phương tâm mặt, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại các vị trí: 0 0 0;

Mỗi ô cơ sở gồm 8 nguyên tử nằm ở các vị trí sau

Trong một ô cơ sở có 4 nguyên tử Zn và 4 nguyên tử S nằm ở các vị trí sau:

Zn: 0

Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất và có

12 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận thứ hai Các tinh thể có cấu trúc tương

Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử nằm ở lân cận gần nhất và có 12 nguyên

tử khác loại nằm ở lân cận thứ hai

1.5.5 Cấu trúc xếp chặt các quả cầu

Các loại nguyên tử có tính chất đối xứng cầu như các nguyên tử kh trơ hay các nguyên tử mà sự liên kết giữa chúng không có phương hướng rõ rệt như liên kết kim loại, thường có cấu trúc như các quả cầu xếp chặt sao cho phần thể tích còn lại giữa chúng là bé nhất

Thường có hai cách xếp các quả cầu: cách một dẫn đến cấu trúc lập phương xếp chặt, cách hai dẫn đến cấu trúc lục giác xếp chặt

Hãy xét hai cách xếp chặt này

Ta lần lượt xếp các quả cầu thành từng lớp Lớp thứ nhất (gọi là lớp A) nằm trên một mặt phẳng, mỗi quả cầu tiếp xúc với 6 quả cầu khác tạo thành 6 hốc rỗng (ký hiệu là B và C) ở xung quanh Ở lớp thứ 2 các quả cầu được đặt vào những hốc B (gọi là lớp B)

Hình 1.13 Sự sắp xếp các quả cầu lớp A và các hốc rỗng B và C

Lớp thứ 3 có hai cách xếp: nếu các quả cầu của lớp này được xếp vào những chỗ ngay phía trên các hốc rỗng C của lớp thứ nhất, rồi tiếp đó lớp thứ

tư lại trùng với lớp thứ nhất, sao cho trình tự các lớp là ABCABCABC… thì

ta nhận được cấu trúc lập phương tâm mặt Tinh thể các loại khí trơ như Ne, Ar… các kim loại như Ag, Au, Pt… có cấu trúc loại này Nếu các quả cầu của lớp thứ 3 được xếp ngay phía trên tâm của các quả cầu của lớp thứ nhất, sao cho trình tự các lớp là ABABAB… thì ta nhận được cấu trúc lục giác

Cấu trúc lục giác có mạng không gian là mạng lục giác, gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2

Ô cơ sở của mạng lục giác xếp chặt có trị số c/a có giá trị bằng (8/3)1/2

= 1,633 Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt đƣợc dẫn ra trong bảng 1.5

Bảng 1.5 Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt

Mạng thuận: là mạng không gian đƣợc xây dựng từ ba vectơ cơ sở

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , vị trí của mỗi nút mạng đƣợc xác định nhờ vectơ:

= n1⃗⃗⃗⃗ + n2⃗⃗⃗⃗ + n3⃗⃗⃗⃗ với n1, n2, n3 Z

Mạng đảo: là mạng được xây dựng từ ba vectơ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , được xác định như sau: ⃗⃗⃗ = 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗ là các vectơ cơ sở của mạng đảo

Vị trí của nút mạng đảo được xác định bởi vectơ mạng đảo :

Có thể tính ra rằng thể tích V của ô cơ sở của mạng Bravais và thể tích V’ của ô cơ sở của mạng đảo liên hệ với nhau theo công thức:

1.6.2 Một vài tính chất của mạng đảo [3]

Mỗi nút có tọa độ h k l trong mạng đảo tương ứng với một mặt phẳng (h k l) trong mạng thuận

Vectơ mạng đảo = h ⃗⃗⃗ + k ⃗⃗⃗⃗ + l ⃗⃗⃗⃗ vuông góc với mặt phẳng (h k l) trong mạng thuận

Chiều dài của vectơ mạng đảo | ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = (

trong đó là khoảng cách giữa hai mặt phẳng mạng liên tiếp trong họ mặt

phẳng (hkl), n là số nguyên

1.6.3 Ý nghĩa vật lý của mạng đảo [3]

Mạng đảo là khung của không gian chuyển động

Cấu trúc của tinh thể cho ta thấy rằng không gian vị trí (biểu diễn qua r) trong tinh thể không phải là một không gian đồng nhất, mà là một không gian

có tính chất tuần hoàn tịnh tiến, thể hiện thông qua sự tồn tại của mạng Bravais R Như vậy một cách hình tượng có thể nói rằng mạng thuận R là khung của không gian vị trí trong tinh thể

Nếu dùng kí hiệu k để biểu diễn các vectơ khai triển Fourier của một hàm nào đó phụ thuộc vào vị trí (r) trong tinh thể thì ý nghĩa vật lý của k là chúng là các vectơ sóng biểu diễn chuyển động xảy ra trong tinh thể, hay nói cách khác, không gian mà k biểu diễn là không gian chuyển động Quan hệ giữa k và G giống như quan hệ giữa r và R, nên có thể nói rằng mạng đảo G là khung của không gian chuyển động trong tinh thể Nói tóm lại:

Không gian vị trí (r)

(Bức tranh tĩnh)

Mạng thuận (R)

(Khung của không gian vị trí)

Không gian chuyển động (k) (Bức tranh động)

Mạng đảo (G) (Khung của không gian chuyển động) Mạng đảo thể hiện tính chất: tinh thể tuần hoàn dẫn đến chuyển động cũng tuần hoàn

Ý nghĩa thực tế: Khi nghiên cứu cấu trúc tinh thể bằng phương pháp nhiễu xạ tia X thì bức tranh thu được chỉ là ảnh của chùm tia bị tinh thể nhiễu

xạ (chứ không phải ảnh chụp cách sắp xếp các nguyên tử trong tinh thể), bức tranh này chính là hình ảnh mạng đảo của tinh thể và từ đó ta phải suy ra mạng thuận (mạng tinh thể thực)