Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ lí thuyết

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ CHU THỊ HẰNG ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ LÝ THUYẾT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA VẬT LÝ

CHU THỊ HẰNG

ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP

CƠ LÝ THUYẾT

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn Thị Hà Loan

HÀ NỘI, 2017

LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn ban chủ nhiệm Khoa Vật lý và các thầy, cô giáo trong khoa đã giúp đỡ tôi trong những năm học tai Khoa Vật lý

và tạo điều kiện cho tôi làm khóa luận này

Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH

TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ

LÝ THUYẾT” đã hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận

tình, chu đáo của cô giáo PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN, cùng các

thầy cô trong Khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Trong quá trình nghiên cứu, bản thân tôi là một sinh viên bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học nên đề tài không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót Vì vậy, tôi mong được ý kiến đóng góp của quý thầy cô và các bạn sinh viên để đề tài này hoàn thiện hơn nữa

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng năm 2017

Sinh viên

Chu Thị Hằng

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu, bên cạnh đó em nhận được sự quan tâm và tạo điều kiện của thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của cô

giáo PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

Trong quá trình nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận này em có tham khảo một số tài liệu có ghi trong phần Tài liệu tham khảo

Em xin cam đoan kết quả của đề tài “ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH

TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ

LÝ THUYẾT” không có sự trùng lặp với bất kỳ đề tài nào

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm !

Hà Nội, tháng năm 2017

Sinh viên

Chu Thị Hằng

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Bố cục của đề tài 2

CHƯƠNG I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4

1.1 Khái niệm về liên kết 4

1.1.1 Số bậc tự do – Liên kết 4

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo 9

1.2 Tọa độ suy rộng 11

1.3 Liên kết lí tưởng 13

CHƯƠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC 19

2.1 Phương trình tổng quát của động lực học 19

2.2 Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng 19 2.3 Nguyên lý D’ Alambert 25

CHƯƠNG 3: ÁP DỤNG PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ HỌC LÝ THUYẾT 26

3.1 Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập

cơ học lý thuyết 26

3.2 Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập 38

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Vật lý lý thuyết là bộ môn chuyên đi sâu vào vấn đề xây dựng các thuyết vật lý, thuyết vật lý là sự hiểu biết tổng quát trong một lĩnh vực, một phạm vi vật lý nhất định Bằng các phương pháp suy diễn, phương pháp suy luận toán học các nhà vật lý lý thuyết đã đề ra một hệ thống các quy tắc, các định luật các nguyên lý vật lý dùng làm cơ sở để giải thích các hiện tượng, các sự kiện vật lý và để tạo ra khả năng tìm hiểu, khám phá các định luật, quy luật mới

Cơ học lý thuyết là một bộ phận của vật lý lý thuyết, nó nghiên cứu

về cân bằng và chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực Thực tế một số lớn các lực là những đại lượng biến đổi và có thể phụ thuộc vào nhiều tham số Quy luật chuyển động của vật thể phụ thuộc vào hình dáng, kích thước, khối lượng của vật … và các lực tác dụng lên nó Động lực học là một phần của cơ học nghiên cứu các quy luật chuyển động của các vật thể dưới tác dụng của các lực Trong phần động lực học ta có thể

sử dụng các phương trình tổng quát để tìm ra các định luật, các phương trình mới,… giúp người đọc có thêm kiến thức mới trong việc giaỉ quyết các bài tập Việc vận dụng các phương trình tổng quát để giải bài tập trong

cơ lý thuyết là một yếu tố quan trọng đối với người đọc Nó giúp người đọc được hiểu sâu hơn về lý thuyết, các tính chất, bản chất của sự vật hiện tượng; phát triển khả năng tư duy, sáng tạo trong học tập

Với những lý do trên em đã quyết định và lựa chọn nghiên cứu đề tài “Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập

cơ lý thuyết”

2 Mục đích nghiên cứu

- Nghiên cứu các phương trình tổng quát của động lực học

- Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập cơ

lý thuyết

3 Đối tượng nghiên cứu

- Nghiên cứu cơ hệ có chịu liên kết

- Các phương trình tổng quát viết cho cơ hệ có chịu liên kết

- Áp dụng phương trình tổng quát để giải quyết một số bài toán về cơ hệ có chịu liên kết

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu các phương trình tổng quát của động lực học và áp dụng vào một số bài tập trong cơ học lý thuyết

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp của vật lý lý thuyết

- Phương pháp cơ học

- Phương phán giải tích

6 Bố cục của đề tài

Chương 1: Các khái niệm cơ bản

1.1 Khái niệm về liên kết

1.2 Tọa độ suy rộng

1.3 Liên kết lý tưởng

Chương 2: Phương trình tổng quát của động lực học

2.1 Phương trình tổng quát của động lực học

2.2 Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng 2.3 Nguyên lý D’ Alambert

Chương 3: Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một

số bài tập cơ học lý thuyết

3.1 Áp dụng phương trình tổng quát của động lực học để giải một số bài tập

cơ học lý thuyết

3.2 Áp dụng nguyên lý D’ Alambert để giải một số bài tập

CHƯƠNG I CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Khái niệm về liên kết

1.1.1 Số bậc tự do – Liên kết

Ta hãy xét một cơ hệ gồm N chất điểm chuyển động đối với hệ quy chiếu quán tính Vị trí của chất điểm trong không gian được xác định bởi bán kính véctơ ⃗⃗ hay ba tọa độ Đềcác Để xác định vị trí của cơ hệ ta cần xác định N bán kính véctơ ⃗⃗ , hay 3N tọa độ Đề-các

Số thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ

hệ được gọi là số bậc tự do của nó

Cơ hệ được gọi là cơ hệ tự do nếu những chất điểm tạo thành cơ hệ có thể chiếm những vị trí bất kỳ trong không gian và có những vận tốc bất kỳ Nói khác đi, cơ hệ tự do thì vị trí và vận tốc của những chất điểm của cơ hệ không bị hạn chế bởi một điều kiện nào Số bậc tự do của cơ hệ tự do của hệ gồm N chất điểm ở trên là 3N

Cơ hệ gồm Mặt trời và các hành tinh là một ví dụ về cơ hệ tự do Trong thực tế ta thường gặp cả những cơ hệ không tự do, nghĩa là cơ hệ mà vị trí và vận tốc của những chất điểm tạo thành nó bị hạn chế bởi những điều kiện nào

đó Những điều kiện hạn chế vị trí và vận tốc của các chất điểm của cơ hệ trong không gian gọi là liên kết Những điều kiện này không phụ thuộc vào

lực tác dụng lên cơ hệ và các điều kiện đầu của chuyển động

Ví dụ: Cơ hệ gồm hai chất điểm nối với nhau bằng một thanh

có độ dài là một cơ hệ không tự do Sáu tọa độ Đề-các xác định vị trí hai chất điểm phải thỏa mãn điều kiện:

Do đó những tọa độ Đề-các này không phải là những thông số độc lập vì giữa chúng có mối liên hệ với nhau bởi phương trình (1.1) Chỉ có 5 trong 6 tọa độ Đề-các này là độc lập Vậy cơ hệ gồm hai chất điểm mà khoảng cách giữa chúng không thay đổi có 5 bậc tự do

Nếu cơ hệ gồm ba chất điểm không nằm trên một đường thẳng và khoảng cách giữa các chất điểm là không đổi thì 9 tọa độ Đề-các xác định vị trí của ba chất điểm phải thỏa mãn ba điều kiện:

{

Chín tọa độ Đề-các liên hệ với nhau bởi ba phương trình (1.2) nên chỉ có

6 trong 9 tọa độ Đề-các là độc lập Số bậc tự do của cơ hệ gồm ba chất điểm không nằm trên một đường thẳng mà khoảng cách giữa các chất điểm không thay đổi là 6

Vị trí của vật rắn trong không gian được xac định bởi ba điểm không nằm trên cùng một đường thẳng Ba điểm như vậy có 6 bậc tự do Vì vậy vật rắn chuyển động bất kỳ trong không gian có 6 bậc tự do

Ta xét trường hợp đặc biệt khi vật rắn là quả cầu lăn không trượt trên mặt phẳng nằm ngang (hình 1) Chọn gốc tọa độ là một điểm nằm trên mặt phẳng, trục Oz vuông góc với mặt phẳng và hướng từ dưới lên trên, là vị trí khối tâm của quả cầu đồng chất, là hai điểm bất kì của vật rắn Chín tọa độ Đề-các xác định vị trí của ba điểm phải thỏa mãn ba phương trình (1.2) và phương trình:

trong đó a là bán kính quả cầu Vậy số

bậc tự do của quả cầu là 5 Vì quả cầu

lăn không trượt (vận tốc tại điểm tiếp

xúc của quả cầu và mặt phẳng ngang

bằng không) nên ngoài bốn phương

trình mô tả sự hạn chế vị trí của quả

cầu, còn có thêm một phương trình mô

tả sự hạn chế vận tốc khối tâm của

̇ ̇ ̇ ̇ ̇ ̇

hay viết dưới dạng tương đương:

Để tiện việc trình bày ta viết những phương trình này dưới dạng ngắn gọn:

( ⃗⃗ ⃗⃗ ̇ ) Trường hợp đặc biết, khi các phương trình liên kết không phụ thuộc vào vận tốc ⃗⃗ thì liên kết đặt lên cơ hệ gọi là liên kết hình học Đối với liên kết

hình học ta có:

⃗⃗ Những phương trình liên kết (1.7) phụ thuộc vào vận tốc ⃗⃗ biểu diễn

những liên kết động học đặt lên cơ hệ

Trong thực tế ta thường gặp những liên kết đặt lên cơ hệ được biểu diễn bởi n phương trình liên kết hình học (1.8) và m phương trình liên kết động học có dạng:

( ⃗⃗ ⃗⃗ ̇ ) ∑( ̇ ̇ ̇ )

hay

( ⃗⃗ ⃗⃗ ̇ ) ∑ ⃗⃗⃗⃗⃗ ̇

trong đó là những hàm của ⃗⃗ và là ba hình chiếu của véctơ ⃗⃗⃗⃗⃗ trên các trục tọa độ Đề-các

Những phương trình (1.9) có thể viết dưới dạng tương đương:

số thì liên kết động học như vậy gọi là liên kết động học không tích phân được Phương trình (1.4) là một ví dụ về phương trình liên kết động học không tích phân được, vì ⃗⃗ trong trường hợp tổng quát không phải là vi phân toàn phần của một tọa độ nào đó

Cơ hệ tự do, cơ hệ chịu liên kết hình học hay liên kết động học tích phân được gọi là cơ hệ Hôlônôm Đối với cơ hệ Hôlônôm liên kết đặt lên nó luôn luôn có thể biểu diễn bằng những phương trình (1.8)

Cơ hệ chịu liên kết động học không tích phân được có thể biểu diễn bằng những phương trình (1.9) được gọi là cơ hệ không Hôlônôm

Xét cơ hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt lên cơ hệ được xác định bởi k phương trình (1.9) và m phương trình (1.8), trong 3N toạ độ xi, yi, zi

(i=1,2, ,N) xác định vị trí của cơ hệ chỉ có toạ độ là độc lập Số toạ độ độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ gọi là số bậc tự do của cơ hệ

1.1.2 Dịch chuyển khả dĩ và dịch chuyển ảo

Một tập hợp những véctơ dịch chuyển vô cùng bé

thỏa mãn các phương trình liên kết (1.10) và (1.11) gọi là những dịch chuyển

khả dĩ hay những dịch chuyển có thể

Ví dụ: Chất điểm chuyển

động trên một mặt bàn phẳng cho

trước (hình 2) Mặt bàn là liên kết đặt

lên chất điểm Ở thời điểm t vị trí của

chất điểm là M được xác định bởi bán

kính véctơ ⃗⃗ Ở thời điểm t + dt vị trí

của chất điểm là N được xác định bởi

Có thể tìm được nhiều điểm N nằm trong mặt phẳng của bàn cạnh điểm

M cho nên qua điểm M trên mặt bàn ta xây dựng được nhiều véctơ dịch chuyển khả dĩ

Các dịch chuyển thực ⃗⃗ của các chất điểm cũng thỏa mãn các phương trình liên kết (1.10) và (1.11).Vì vậy dịch chuyển thực ⃗⃗ của chất điểm là một trong những dịch chuyển khả dĩ

Giả sử tại thời điểm t ta lấy hai hệ

thống véctơ dịch chuyển khả dĩ

⃗⃗ ⃗⃗⃗

(hình 3).Hiệu hai véctơ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ là

một véctơ vô cùng bé và được kí hiệu

Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ không phụ thuộc tường minh vào thời gian và hay (Hay 0; 0

 ) thì liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết dừng

Các véctơ dịch chuyển khả dĩ ⃗⃗ ⃗⃗⃗ thỏa mãn những phương trình liên kết:

có tọa độ độc lập Vậy muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần thiết phải xác định s thông số độc lập

Ta kí hiệu s thông số độc lập là Những thông số độc lập cần thiết để xác định một cách đơn giá vị trí củ cơ hệ được gọi là những tọa độ suy rộng Số tọa độ suy rộng đủ để xác định vị trí của cơ

hệ đúng bằng số bậc tự do của cơ hệ

Giữa tọa độ suy rộng và các bán kính véctơ

có mối liên hệ được biểu diễn bởi các phương trình sau:

⃗⃗

(1.19)

hay

1.3 Liên kết lí tưởng

Giải sử có chất điểm chuyển động dưới tác dụng của lực ⃗⃗ Nếu chất điểm chuyển động tự do, thì theo định luật II Niutơn, ta có:

∑ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ∑ ⃗⃗⃗

(

⃗⃗ )

Hình 5

{

̈

̈

̈

Nếu chưa biết được tính chất của các liên kết đặt lên cơ hệ thì từ 3N phương trình vô hướng (1.23) và k phương trình liên kết (1.18) ta chưa đủ để xác địn 6N đại lượng vô hướng vì số đại lượng vô hướng lớn hơn số phương trình vô hướng (6N > 3N + k) Để giải được bài toán động lực học của cơ hệ không tự do cần phải có them 6N đại lượng Ta có thể nhận được

hệ thức này nếu liên kết đặt lên cơ hệ là liên kết lý tưởng Liên kết gọi là liên kết lý tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết dặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: ∑ ⃗⃗⃗ ⃗⃗ ∑( )

Trong 3N đại lượng vô hướng có s đại lượng độc lập và 3N – s = k đại lượng phụ thuộc Vì vậy trong đẳng thức (1.25) ta biểu diễn k đại lượng phụ thuộc này qua s đại lượng độc lập nói trên và đặt các hệ số của các đại lượng độc lập bằng không Khi đó ta nhận được hệ thức giữa các đại lượng và như vạy bài toán

về động lực học của cơ hệ không tự do về nguyên tắc đã được giải quyết

Những ví dụ về liên kết lý tưởng thường gặp trong thực tế

Ví dụ 1: Một chất điểm chuyển

động trên một mặt nhẵn (không ma

sát) thì phản lực liên kết ⃗⃗ vuông góc

𝑁⃗⃗

𝛿𝑟

với dịch chuyển ảo nên ⃗⃗ (Hình 5)

Ví dụ 2: Hai chất điểm M1 và M2 nối với nhau bởi một thanh có độ dài không đổi và khối lượng của thanh bỏ qua(Hình 16.2) thanh là liên kết đặt lên hai chất điểm

Gọi ⃗⃗ ⃗⃗ là phản lực liên

kết do thanh tác dụng lên chất điểm

thứ nhất và thứ hai

Theo định luật III NiuTơn, chất

điểm M1 và M2 sẽ tác dụng lên thanh

.Những liên kết đặt lên vật rắn kiểu như vậy là liên kết lý tưởng

Ví dụ 3: Hai vật rắn nối liền với nhau bằng một bản lề mà khối lượng và

kích thước của bản lề có thể bỏ qua

Hình 6

O

𝑟

𝑟 𝑁⃗⃗ M1 M2 𝑁⃗⃗

Gọi ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ là những bán kính

vectơ xác định vị trí tiếp xúc của vật

thứ nhất và vật thứ hai đối với bản lề

Ví dụ 4: Vật rắn quay quanh một điểm cố định O Vì điểm đặt của phản

lực liên kết không dịch chuyển nên ⃗⃗

Ví dụ 5: Một vật rắn lăn không trượt trên mặt một vật rắn khác (hình 8)

Điểm tiếp xúc M giữa hai vật có vận tốc tương đối bằng không Điểm M

chính là điểm đặt của phản lực liên

Vậy đối với liên kết dừng thì dịch chuyển ảo trùng với dịch chuyển

có thể ⃗⃗⃗ Tại điểm tiếp xúc M ta có nên ⃗⃗⃗ Vậy ⃗⃗

Trong thực tế, một máy dù phức tạp đến đâu cũng cấu tạo từ những cặp vật rắn theo các kiểu sau đây Hoặc hai vật rắn liên kết với nhau bằng thanh rắn, hoặc chuyển động quanh một điểm cố định, hoặc tiếp xúc với nhau bằng

bề mặt của chúng Một máy phức tạp như vậy có thẻ khảo sát như một cơ hệ chịu những liên kết lý tưởng đặt lên nó

Chú ý: Trong thực tế không phải

mọi liên kết đều là liên kết lý tưởng

Ví dụ một vật rắn trượt trên mặt một

vật rắn khác có ma sát

Trong trường hợp này phản lực liên

kết ⃗ không vuông góc với dịch

Ta có thể phân tích phản lực ⃗ thành hai thành phần ⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Thành phần ⃗⃗ vuông góc với dịch chuyển ảo nên ⃗⃗ , còn thành phần song song với dịch chuyển ảo chính là lực ma sát ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , giá trị của lực ma sát tỉ lệ, ta

có thể coi lực ma sát như lực chủ động đã biết Như vậy tác dugnj liên kết không lý tưởng bất kỳ lên cơ hệ tương đương với tác dụng của liên kết lý tưởng và một lực chủ động bằng lực ma sát

CHƯƠNG 2 PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNGLỰC HỌC

2.1 Phương trình tổng quát của động lực học

Chúng ta xét một cơ hệ gồm N chất điểm chịu những liên kết lý tưởng đặt lên nó Phương trình chuyển động của chất điểm I của cơ hệ có dạng:

Phương trình (2.2) được gọi là phương trình tổng quát của động lực học

2.2 Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng

Phương trình tổng quát của động lực học viết trong hệ tọa độ suy rộng còn được gọi là phương trình Lagrangiơ loại II

Xuất phát từ phương trình tổng quát của động lực học (2.2) ta thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong hệ toạ độ suy rộng

Trước hết ta biểu diễn dịch chuyển ảo qua biến thiên của toạ độ suy rộng Giả sử có toạ độ suy rộng, trong đó t là biến

số thời gian, là thông số Khi thì xác định vị trí thực của cơ hệ trong không gian Khi thì toạ độ suy rộng xác định vị trí có thể có của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó Ứng với những giá trị α khác nhau ta có những vị trí có thể có khác nhau của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó Dạng của hàm q thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số α thay đổi được xác định bằng: