skkn một số bài tập về hệ thức vietphương trình bậc hai

Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học : Luật Giáo dục 2005 Điều 5 quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡn

1

THÔNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN

1.Tên sáng kiến: Một số bài tập về hệ thức Viet-phương trình bậc hai

2 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến này được áp dụng trong môn toán lớp 9- Trung học cơ sở

3.Thời giang áp dụng sáng kiến: Từ tháng 2 năm 2012 đến tháng 5 năm 2012

4 Tên tác giả:

Họ và tên: Dương Thị Thu Hà

Năm sinh: 1971

Nơi thường trú: xã Thành Lợi – huyện Vụ Bản – tỉnh Nam Định

Trinhđộ chuyên môn: Đại học Sư phạm

Chức vụ công tác: phó hiệu trưởng

Nơi làm việc : Trường THCS Thành Lợi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định

Địa chỉ liên hệ: Dương Thị Thu Hà - trường THCS Thành Lợi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định

Điện thoại: 0987765320

5 Đơn vị áp dụng sáng kiến:

Tên đơn vị : Trường THCS Thành Lợi, huyện Vụ Bản, tỉnh Nam Định

Địa chỉ : xã Thành Lợi – huyện Vụ Bản – tỉnh Nam Định

Điện thoại: 03503820666

PHẦN I : ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN Đất nước ta hiện nay đang trên đà phát triển công nghiệp hoá và hiện đại hoá đất nước nên phải nhanh chóng tiếp thu khoa học và kỹ thuật hiện đại của thế giới Do sự phát triển như vũ bão của khoa học và kỹ thuật, kho tàng kiến thức của nhân loại tăng lên nhanh chóng Cái mà hôm nay còn là mới ngày mai đã trở thành lạc hậu Nhà trường không thể nào luôn luôn cung cấp cho học sinh những hiểu biết cập nhật được Điều quan trọng là phải trang bị cho các em năng lực tự học để có thể tự mình tìm kiếm những kiến thức khi cần thiết trong tương lai

Sự phát triển của nền kinh tế thị trường, sự xuất hiện nền kinh tế tri thức trong tương lai đòi hỏi người lao động phải thực sự năng động, sáng tạo và có những phẩm chất thích hợp để bươn chải vươn lên trong cuộc cạnh tranh khốc liệt này Việc thu thập thông tin, dữ liệu cần thiết ngày càng trở lên dễ dàng nhờ các phương tiện truyền thông tuyên truyền, máy tính, mạng internet v.v Do đó, vấn đề quan trọng đối với con người hay một cộng đồng không chỉ là tiếp thu thông tin, mà còn là sử lý thông tin để tìm ra giải pháp tốt nhất cho những vấn đề đặt ra trong cuộc sống của bản thân cũng như của xã hội

Như vậy yêu cầu của xã hội đối với việc dạy học trước đây nặng về việc thuyết trình truyền thụ kiến thức, thì nay đã thiên về việc hình thành những năng lực hoạt động cho học sinh Để đáp ứng yêu cầu mới này cần phải thay đổi đồng bộ các thành

tố của quá trình dạy học về mục tiêu, nội dung, phương pháp, hình thức tổ chức, phương tiện, cách kiểm tra đánh giá…

Quan điểm về đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp dạy học tích cực :

1 Quan điểm đổi mới phương pháp dạy học :

Luật Giáo dục 2005 (Điều 5) quy định : "Phương pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên" Với mục tiêu giáo dục phổ thông là "giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc";

Chương trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo Quyết định số 16/2006/QĐ-BGD ĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trưởng Bộ giáo dục và Đào tạo cũng đã nêu :

"Phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trưng môn học, đặc điểm đối tượng học sinh, điều kiện của từng đối tượng học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dưỡng cho học sinh phương pháp tự học, khả năng hợp tác; rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú và trách nhiệm học tập cho học sinh "

- Quan điểm dạy học : là những định hướng tổng thể cho các hành động phương pháp, trong đó có sự kết hợp giữa các nguyên tắc dạy học làm nền tảng, những cơ sở

lý thuyết của lý luận dạy học, những điều kiện dạy học và tổ chức cũng như những

3

định hướng về vai trò của giáo viên và học sinh trong quá trình dạy học Quan điểm dạy học là những định hướng mang tính chiến lược, là mô hình lý thuyết của Phương pháp dạy học Những quan điểm dạy học cơ bản : Dạy học giải thích minh hoạ, Dạy học gắn với kinh nghiệm, Dạy học kế thừa, Dạy học định hướng học sinh, Dạy học định hướng hành động, giao tiếp; Dạy học nghiên cứu, Dạy học khám phá,

2 Phương pháp dạy học tích cực : (PPDHTC)

Thực hiện đổi mới chương trình giáo dục phổ thông đòi hỏi phải đổi mới đồng

bộ từ mục tiêu, nội dung, phương pháp, Phương pháp dạy học đến cách thức đánh giá kết quả dạy học, trong đó khâu đột phá là đổi mới Phương pháp dạy học

Mục đích của việc đổi mới Phương pháp dạy học ở trường phổ thông là thay đổi lối dạy học truyền thụ một chiều sang dạy học theo PPDHTC, nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo, rèn luyện thói quen và khả năng tự học, tinh thần hợp tác, kỹ năng vận dụng kiến thức vào những tình huống khác nhau trong học tập và trong thực tiễn; tạo niềm tin, niềm vui, hứng thú trong học tập Làm cho "Học" là quá trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá, phát hiện luyện tập khai thác và sử lý thông tin… học sinh tự hình thành hiểu biết, năng lực và phẩm chất Tổ hoạt động nhận thức cho học sinh, dạy học sinh cách tìm ra chân lý Trú trọng hình thành các năng lực(tự học, sáng tạo, hợp tác,…) dạy phương pháp và kỹ thuật lao động khoa học, dạy cách học Học để đáp ứng những yêu cầu của cuộc sống hiện tại

và tương lai Những điều đã học cần thiết, bổ ích cho bản thân học sinh và cho sự phát triển xã hội

PPDHTC được dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái với không hoạt động, thụ động

PPDHTC hướng tới việc tích cực hoá hoạt động nhận thức của học sinh, nghĩa là hướng vào phát huy tính tích cực, chủ động của người học chứ không chỉ hướng vào phát huy tính tích cực của người dạy

Muốn đổi mới cách học phải đổi mới cách dạy Cách dạy quyết định cách học, tuy nhiên, thói quen học tập thụ động của học sinh cũng ảnh hưởng đến cách dạy của thầy Mặt khác, cũng có trường hợp học sinh mong muốn được học theo PPDHTC nhưng giáo viên chưa đáp ứng được Do vậy, giáo viên cần phải được bồi dưỡng, phải kiên trì cách dạy theo PPDHTC, tổ chức các hoạt động nhận thức từ đơn giản đến phức tạp, từ thấp đến cao, hình thành thói quen cho học sinh Trong đổi mới phương pháp phải có sự hợp tác của thầy và trò, sự phối hợp hoạt động dạy với hoạt động học thì mới có kết quả PPDHTC hàm chứa cả phương pháp dạy và phương pháp học

* Đặc trưng của phương pháp dạy học tích cực :

a) Dạy học tăng cường phát huy tính tự tin, tính tích cực, chủ động, sáng tạo thông qua tổ chức thực hiện các hoạt động học tập của học sinh

b) Dạy học trú trọng rèn luyện phương pháp và phát huy năng lực tự học của học sinh

c) Dạy học phân hóa kết hợp với học tập hợp tác

d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của bạn, với tự đánh giá

e) Tăng cường khả năng, kỹ năng vận dụng vào thực tế, phù hợp với điều kiện thực tế về cơ sở vật chất,

3 Căn cứ vào mục tiêu của ngành giáo dục Đào tạo con người phát triển toàn diện, căn cứ vào nhiệm vụ năm học 2011 - 2012 là tiếp tục dạy theo chuẩn kiến thức kỹ năng, nội dung phương pháp giáo dục ở tất cả các bậc học, cấp học, ngành học Xây dựng đội ngũ giáo viên, cán bộ quản lý giáo dục có đủ phẩm chất giáo dục chính trị, đạo đức, đủ về số lượng, đồng bộ về cơ cấu, chuẩn hoá về trình độ đào tạo…Nhằm nâng cao chất lượng giáo dục

- Hiện nay mục tiêu giáo dục cấp THCS đã được mở rộng, các kiến thức và kỹ năng được hình thành và củng cố để tạo ra 4 năng lực chủ yếu :

+) Năng lực hành động

+) Năng lực thích ứng

+) Năng lực cùng chung sống và làm việc

+) Năng lực tự khẳng định mình

Trong đề tài này tôi quan tâm để đi khai thác đến 2 nhóm năng lực chính là:

"Năng lực cùng làm việc" và "Năng lực tự khẳng định mình" vì kiến thức và kỹ năng

là một trong những thành tố của năng lực học sinh

Trong quá trình giảng dạy thực tế trên lớp, tôi đã phát hiện ra rằng còn rất nhiều học sinh thực hành kỹ năng giải toán còn kém trong đó có rất nhiều học sinh chưa thực sự hiểu kỹ về phương trình bậc hai và trong khi thực hiện các phép toán về phương trình bậc hai rất hay có sự nhầm lẫn hiểu sai đầu bài, thực hiện sai mục đích… Việc giúp học sinh nhận ra sự nhầm lẫn và giúp các em tránh được sự nhầm lẫn đó là một công việc vô cùng cần thiết và cấp bách nó giúp các em có một sự am hiểu vững trắc về lượng kiến thức Hệ thức Viet-phương trình bậc hai : chươngIV - Đại số 9 trong phạm vi “hẹp” của kho tàng kiến thức, tạo nền móng để các em tiếp tục nghiên cứu các dạng toán cao hơn sau này./

5

PHẦN II THỰC TRẠNG CỦA VIỆC TỔNG KẾT KINH NGHIỆM :

1 Qua giảng dạy bộ môn toán và tham khảo ý kiến của các đồng nghiệp nhiều năm kinh nghiệm, tôi nhận thấy : trong quá trình hướng dẫn học sinh giải toán Đại số

về phương trình bậc hai - Hệ thức Viet thì học sinh rất lúng túng khi vận dụng các khái niệm, định lý, bất đẳng thức, các công thức toán học.Sự vận dụng lí thuyết vào việc giải các bài tập cụ thể của học sinh chưa linh hoạt Khi gặp một bài toán đòi hỏi phải vận dụng và có sự tư duy thì học sinh không xác định được phương hướng để giải bài toán dẫn đến lời giải sai hoặc không làm được bài

Một vấn đề cần chú ý nữa là kỹ năng giải toán và tính toán cơ bản (khi thực hiện dạy theo chuẩn kiến thức kỹ năng) của một số học sinh còn rất yếu Để giúp học sinh

có hệ thống các dạng bài tập cơ bản và có thể làm tốt các bài tập về phương trình bậc hai trong phần chương IV - đại số 9 bản thân tôi tìm tòi sưu tầm một số dạng bài tập

về hệ thức Viet-phương trình bậc hai, giảng dạy để hình thành phương pháp giải lưu ý được các khuyết điểm mà học sinh thường mắc phải, từ đó có phương án giúp học sinh phát hiện và tránh sai lầm khi giải toán về phương trình bậc hai

2.Do thời gian có hạn nên tôi nghiên cứu với mục đích như sau :

*) Giúp giáo viên toán THCS quan tâm hơn đến một phương pháp dạy học tích cực rất dễ thực hiện

*) Giúp giáo viên toán THCS nói chung và bản thân tôi dạy toán 9 THCS nói riêng có thêm thông tin về phương pháp dạy học để có thể hệ thống cho học sinh các kiến thức về phương trình bậc hai- hệ thức viet, các dạng bài tập và phương pháp giải các dạng bài tập trong nội dung kiến thức này

*)Qua sáng kiến này tôi muốn tìm ra một số lỗi mà học sinh hay mắc phải trong quá trình lĩnh hội kiến thức ở chương phương trình bậc hai để từ đó có thể giúp học sinh khắc phục các lỗi mà các em hay mắc phải trong quá trình giải bài tập hoặc trong thi cử, kiểm tra Cũng qua sáng kiến này tôi có thêm cái nhìn mới sâu sắc hơn, chú ý đến việc rèn luyện kỹ năng thực hành giải toán về phương trình bậc hai cho học sinh

để từ đó khai thác hiệu quả và đào sâu suy nghĩ tư duy lôgic của học sinh giúp học sinh phát triển khả năng tiềm tàng trong con người học sinh

*) Qua sáng kiến này tôi cũng tự đúc rút cho bản thân mình những kinh nghiệm

để làm luận cứ cho phương pháp dạy học mới của tôi những năm tiếp theo

3 Trong sáng kiến này tôi chỉ nêu ra một số Nhóm sai lầm mà học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài tập về phương trình bậc hai – Hệ thức Viet trong chương IV - Đại số 9

Phân tích sai lầm trong một số bài toán cụ thể để học sinh thấy được những lập luận sai hoặc thiếu chặt chẽ dẫn tới bài giải không chính xác

Từ đó định hướng cho học sinh phương pháp giải bài toán về phương trinh bậc hai – Hệ thức Viet

PHẦN III – CÁC GIẢI PHÁP :

1 Như tôi đã trình bày ở trên nên trong sáng kiến này tôi chỉ nghiên cứu trên hai nhóm đối tượng cụ thể sau :

1.1 Giáo viên dạy toán 9 - THCS

1.2 Học sinh lớp 9- THCS : bao gồm 1 lớp 9 với tổng số 42 học sinh

2 Tôi nghiên cứu theo các bước sau:

- Đọc sách, tham khảo tài liệu, lựa chọn bài tập

- Thảo luận cùng đồng nghiệp

- Thông qua học tập chuyên môn

- Dạy học thực tiễn giảng dạy trên lớp để rút ra kinh nghiệm

Cụ thể:

Trong những năm học vừa qua tôi đã quan tâm đến những vấn đề mà học sinh mắc phải Qua những giờ học sinh làm bài tập tại lớp, qua các bài kiểm tra dưới các hình thức khác nhau, bước đầu tôi đã nắm được các sai lầm mà học sinh thường mắc phải khi giải bài tập Sau đó tôi tổng hợp lại, phân loại thành hai nhóm cơ bản

*)Quá trình thực hiện tổng kết kinh nghiệm ôn tập cho học sinh về phương trình bậc hai – hệ thức Viet này tôi đã sử dụng những phương pháp sau :

-Hệ thống lí thuyết; hệ thống các dạng bài tập cơ bản và phương pháp giải; luyện tập các bài tập tương tự, gợi ý, mở rộng, nâng cao

- Quan sát trực tiếp các đối tượng học sinh để phát hiện ra những vấn đề mà học sinh thấy lúng túng, khó khăn khi giáo viên yêu cầu giải quyết vấn đề đó

- Điều tra toàn diện các đối tượng học sinh trong 1 lớp 9 của khối 9 với tổng số

42 học sinh để thống kê học lực của học sinh Tìm hiểu tâm lý của các em khi học môn toán, quan điểm của các em khi tìm hiểu những vấn đề về giải toán có liên quan đến phương trình bậc hai (bằng hệ thống các phiếu câu hỏi trắc nghiệm )

- Nghiên cứu về các hoạt động của giáo viên và học sinh để phát hiện trình độ nhận thức, phương pháp và chất lượng hoạt động nhằm tìm giải pháp nâng cao chất lượng giáo dục

- Thực nghiệm giáo dục trong khi giải bài mới, trong các tiết luyện tập, tiết trả bài kiểm tra tôi đã đưa vấn đề này ra hướng dẫn học sinh cùng trao đổi, thảo luận bằng nhiều hình thức khác nhau như hoạt động nhóm, giảng giải, vấn đáp gợi mở để học sinh khắc sâu kiến thức, tránh được những sai lầm trong khi giải bài tập Yêu cầu học sinh giải một số bài tập theo nội dung trong sách giáo khoa rồi đưa thêm vào đó những

3 nội dung các dạng bài tập chủ yếu :

3.1.Các dạng bài tập và phương pháp giải

Dạng 1: Giải phương trình bậc hai: Học sinh cần nắm vững công thức để giải

phương trình bậc hai, lưu ý các phương trình hệ số phức tập

Dạng 2: Điều kiện phương trinh bậc 2 có nghiệm , có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt, vô nghiệm

a, Giải phương trình với m= 2

b, Tìm m để phương trình có nghiệm ; có 2 nghiệm phân biệt

 Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm x1; x2 với mọi giỏ trị của m

 Phương trỡnh (1) luụn cú hai nghiệm phân biệt khi > 0 hay m  3

).

1 ( 50 49

50 ) 1 ( 49

2 1 2

1

2 1

x

x x

x

x x

Vậy phương trỡnh cú nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50

3 2

-Biến đổi biểu thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm

Chú ý –Nếu gặp Hiệu ,Căn thì tính bình phương rồi suy ra

-Nếu mũ quá lớn thì có thể nhẩm nghiệm

Ngoài ra ở những bài khó cần khéo léo vận dụng linh hoạt

VD: Cho phương trỡnh x2 + 3x - 5 = 0 cú 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trỡnh hóy tớnh giỏ trị của biểu thức sau:

9

A =

2 2

1 1

x

x  ; B = x12 + x22 ; C = 2

2 2 2

11

3

1 1

2 1

2 1 2 2

x x x

5 2 3

2 2

1

2 2 2

x x

( Lưu ý : phần i và g cần điều kiện xác định của biểu thức)

Dạng 5 : Viết 1 hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm độc lập với tham số

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét

Bước 2 : Rút tham số từ tổng thay vào tích hoặc ngược lại

Chú ý : Nếu bậc của tham số ở tổng và tích đều là 2 trở lên ta phải khử bậc cao

trước bẳng cách như phương pháp cộng trong giải HPT

VD: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - 3 = 0 (1)

a Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình (1) mà không phụ thuộc vào m

c Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x21 + x22 (với x1, x2 là nghiệm của phương trình (1))

2 1

2 1

m x x

m x

2 2

2 1

2 1

m x x

m x x

<=> x1+ x2 – 2x1x2 – 4 = 0 không phụ thuộc vào m

c P = x12 + x12 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m - 1)2 – 2 (m-3)

Bước1 : Tìm ĐK có nghiệm Tính tổng và tích 2 nghiệm theo Viét

Bước 2 : Biến đổi tương đương hệ thức về dạng toàn Tổng ,Tích 2 nghiệm Nếu không được thì giải hệ ( Hệ thức có bậc 1 )

Chú ý : -Phải đối chiếu với ĐK có nghiệm - Nếu hệ thức chứa Hiệu ,căn thì có thể

bình phương ,chứa dấu giả trị tuyệt đối thì có thể thành 2 phần

2 1

2 1

2 1

m x x

m x

VD3: Cho PT: x2 – 2mx – 1 = 0 (m là tham số)

a) Chứng minh phương trỡnh trờn luụn cú 2 nghiệm phõn biệt

b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trỡnh trờn Tỡm m để x12 x22 x x1 2  7

Cỏch 1: Ta cú: ' = m2 + 1 > 0 với mọi m nên phương trỡnh trờn luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Cỏch 2: Ta thấy với mọi m, a và c trái dấu nhau nên phương trỡnh luụn cú hai phõn

biệt

Theo a) ta có với mọi m phương trỡnh luụn cú hai nghiệm phõn biệt

Khi đó ta có S = x1 x2  2m và P = x1x2 = –1

Do đó x12 x22 x x1 2  7  S2 – 3P = 7  (2m)2 + 3 = 7  m2 = 1  m =  1

Vậy m thoả yờu cầu bài toỏn  m =  1

Dạng 7 : Lập phương trình bậc 2 biết 2 nghiệm

VD: Cho phương trỡnh: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)

a) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm x1; x2 thoả món 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trỡnh ẩn y thoả món

2 1 1

1

x x

y   ;

1 2 2

1

x x

y   với x1; x2 là nghiệm của phương trỡnh ở trờn

1

0 2

m P

Dạng 8 :Tìm 2 số biết tổng và tích :

Dùng phương pháp thế đưa về PTB2

Khi lập PT B2 cần biết 2 nghiệm và ẩn

- Muốn lập PTB2 có 2 nghiệm x x1 , 2 ta làm như sau :

a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24

c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10

2 Tỡm kớch thước mảnh vườn hỡnh chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tớch bằng 30m2

Dạng 9 : Tìm tham số khi biết một nghiệm và tìm nghiệm còn lại

VD : Cho phương trình bậc hai sau, với tham số m :

x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1)

1 Giải phương trình (1) khi m = 2

2 Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phương trình (1) Khi đó,tìm nghiệm còn lại

Giải :

a) Khi m = 2 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x2 – 3x + 2 = 0 (*)