Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ

NGUYEN THI DUYEN

TONG HOP MOT SO BAI TAP VE LY THUYET BIEU DIEN NHOM

KHOA LUAN TOT NGHIEP DAI HOC

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ

NGUYÊN THỊ DUYÈN

TONG HOP MOT SO BAI TAP VE LY THUYET BIEU DIEN NHOM

Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và Vật lí Tốn KHỐ LUẬN TĨT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học

Th.S NGUYÊN HUY THÁO

Trang 3

Lời cảm ơn

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Vật Lý- trường

Đại học Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô trong tổ Vật Lý lý thuyết , đặc biệt là

thầy hướng dẫn 7S Nguyễn Huy Thảo người đã tận tình hướng dẫn, chỉ bao, tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian thực hiện luận văn này

Đồng thời em cũng xin gửi lời cảm ơn tới gia đình và bạn bè đã động viên em trong quá trình học tập và nghiên cứu

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 nam 2012 Sinh viên

Trang 4

Lời cam đoan

Khóa luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập và nghiên cứu trên cơ sở hướng dẫn của thầy giáo Tb.S Nguyễn Huy Thảo

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khóa luận, em có tham khảo

một số tài liệu tham khảo

Em xin khang định kết quả của đề tài: “ Tổng hợp một số bài tập

về lý thuyết biểu diễn nhóm” là trung thực và không trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Trang 5

MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan PHAN 1: (27 aa 3 ÔỎ 1 1 Lý do chọn để tài - 2s <2 <2 2122112 1121112121111 crrcrey 1

2 Mure dich nghién 1 3 Đối tượng nghiên COU wo eececcccsssssssssssessseessessssssssssssssessssssssessecsseeeseeeseees 1

4, Nhiệm vụ nghiÊn CỨU - - G s 1k9 9x vn nh re rưy 1

B00 bi) 1

6 Cau tric Kh6a LUAN vee eceesesscesseccecssssssccecsuvssvececsussavececsussueesuesucsaveaveneceeves 1 PHAN 2: NOI DUNG weesssssssssssssssssessssecsssccsssssssscsssscssssesssscssuscsseccssecessecessecssee 3

Chuong 1: Mét sé dinh nghia cơ bản về lý thuyết nhóm -. 3

Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm 2-22 2£+E£+EE2EEe+EEeerxerrs 9 2.1 Định nghĩa phép biểu điễn nhóm . 2-2 +£++£+£xecrxecrx 9 2.2 Đặc biểu c1 111111011 111111111 111111111111 rxrry 11 2.3 Biéu dién kha quy va bat kha QUY .ccccscsssesssesssesssesssesssessseessecsseesseesseees 12 J Này 8 n.: ỒẢ ÔÒ 16 2.5 Biéu diễn chính quy . ¿<+2+++EE++EEEEEEEEEEErEkerrkerrkrrrkcrek 17 2.6 Biểu diễn tích trực tiếp 2.7 Các định lý thường dùng trong Vật Lý 2.8 Bé dé Schur Chương 3: Một số bài tập 23

Trang 6

PHAN I: MO DAU

1 Lý do chọn đề tai

Lý thuyết biểu diễn nhóm là một nội dung quan trong thường được sử dụng trong vật lý học nói chung, của vật lý hạt cơ bản nói riêng và việc giải bài tập biểu diễn nhóm nhằm củng cố lý thuyết và trau đồi kĩ năng thực hành Đồng thời qua đó giúp chúng ta hiểu sâu sắc hơn nội dung kiến thức đã học

Trước thực tế đó, tôi chọn đề tài “Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết

biếu diễn nhóm” nhằm đưa ra phương pháp giải của một số bài tập về biểu diễn nhóm, giúp các bạn sinh viên rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo trong quá trình giải bài tập, nắm vững các công cụ toán cũng như cách tư duy nhạy bén, không còn lúng túng khi gặp các bài toán biểu diễn và hiểu rõ hơn về lý

thuyết biểu diễn nhóm

Tôi hi vọng rằng luận văn này sẽ một tài liệu tham khảo cho các bạn

sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm 2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu lý thuyết nhóm và biểu diễn nhóm Giải một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

3 Đối tượng nghiên cứu

Một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đưa ra cơ sở lý thuyết của biểu diễn nhóm

Giới thiệu một số bài tập về biểu điễn nhóm cùng cách giải các bài

tập đó

5% Phương pháp nghiên cứu

Đọc, dịch tài liệu và tra cứu

Trang 7

Khóa luận gồm 3 chương:

Chương I: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm

Trang 8

PHAN II: NOI DUNG

Chương 1: Một số định nghĩa cơ bản về lý thuyết nhóm s* Định nghĩa về nhóm

Một tập {G : a,b,€, } được gọi là một nhóm nếu có một toán tử “.”

gọi là phép nhân nhóm thỏa mãn 4 tính chất sau:

Tính kin: Néu 4,0 €G thi abeG

Tính kết hợp: a.(b.c) =(ab)c voi Va,b,c eG

Phần tử đơn vi: Trong G luôn tồn tại một phần tử e được gọi là phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất ae=a với Va 6G,

Phần tử nghịch đảo: Với mỗi phần tử ae luôn tồn tại một phần tử a €G goi la phan tử nghịch đảo thỏa mãn tính chat a.a’ = e

Vi du: Tap hợp các số thực với phép cộng tạo thành một nhóm hoặc tập

hợp các ma trận có det # Ú cũng tạo thành một nhóm

Nhưng như vậy không phải bắt kỳ phép nhân nào xác định trên một tập hợp cho trước đều tạo thành nhóm, vì nói chung tất cả bốn tính chất trên không đồng thời được thỏa mãn

Ví dụ: tập hợp các vector trong không gian ba chiều thông thường với phép nhân vô hướng,

* Nhóm con

Mọi tập con H của nhóm G cũng làm thành một nhóm với phép nhân nhóm của Ớ gọi là nhóm con cua G

Mỗi nhóm G đều có phần tử trung hòa e và các phần tử của G đều là nhóm con của Ở

Trang 9

Phân tử liên hợp: phần tử be G được gọi là liên hợp với phan tt a eG

nếu tồn tại một phần tử khác pe G sao cho b = pap” Chúng ta sẽ biểu thị mối

liên hệ liên hợp bằng kí hiệu ~

Lớp liên hợp: phần tử của một nhóm là liên hợp với mỗi phần tử khác thì hình thành một lớp liên hợp

Mỗi phần tử của một nhóm thuộc về một và chỉ một lớp Phần tử đơn vị

hình thành riêng một lớp Đối với các nhóm ma trận, tất cả các phần tử trong

cùng một lớp có mối liên hệ với mỗi một phần tử khác bằng một vài biến đổi

tương tự

Các lớp kê: Cho H là một nhóm con nào đó của G va a eG Thé thì tập

hợp aH gọi là lớp kề trái của nhóm Ở theo nhóm con #1, xác định bởi phan tir a Tương tự như vậy, tập hợp Ha gọi là lớp kề phải của nhóm Ở

Tất nhiên, vì e e H, nên a e aH

Mặt khác, nếu b € aH, tức là b = ahy, hy € H, thi

bH = ah|H = aH

do h,H = H Nhu thé, moi phan tir tiy ý của lớp kề trái đều có thể đại diện cho

cả lớp kề đó, và hai lớp kề trái hoặc hoàn toàn trùng nhau hoặc không có phần

tử chung

Trang 11

* Nhóm con bất biến Mỗi nhóm con # của một nhóm Ø gọi là bất biến, nếu aa” = G với mọi a cG Đẳng thức trên có thể viết đưới dạng sau: aH = Ha,

tức là các lớp kề trái và phải theo một nhóm con bắt biến là như nhau

Theo định nghĩa, ta thấy ngay rằng nhóm con bắt biến khi đã chứa phần

tử nào đó, sẽ chứa mọi phần tử liên hợp với phần tử đó hay nói cách khác, nếu đã chứa một phần tử của lớp [a] thì phải chứa cả toàn thể lớp [a]

Nhóm con bắt biến tầm thường: e và bản thân G

Tất cả các nhóm con của nhóm giao hoán đều bất biến Tính bất biến của nhóm con không phải là một tính chất bắc cầu: nhóm con bắt biến H; của

một nhóm bất biến H của Ở không nhất thiết là một nhóm con bắt biến cua G

* Đồng cấu và đắng cấu

Sự tồn tại của một nghịch đảo cho mọi phần tử là một tính chất quan trọng của một nhóm Một hệ quả quan trọng của tính chất này là bổ đề sắp xếp, nó sẽ được sử dụng nhiều lần trong phép lấy đạo hàm của các kết quả quan trọng

Bồ đề sắp xếp: Nếu p, b, c e G và pb = pc thì b = c

Thật vậy, nếu ta nhân cả hai về của phương trình pb = pc với p” thì ta sẽ thu được kết quả b = c

Kết quá này có nghĩa: nếu b và c là các phần tử khác nhau của G, thi pb va pe cũng khác nhau Do đó, nếu tất cả các phần tử của G được sắp xếp trong

một chuỗi và được nhân vào bên trái bởi một phần tử p thì chuỗi kết quả là

Trang 12

Một phép ánh xạ từ nhóm G đến nhóm G' trong đó phép nhân nhóm được bảo toàn gọi là phép đồng cấu từ G đến G” Hay nói cách khác, nếu

g, €G<—_>g, €G va 88, =8; thÌ 8,8; =g¿

Hai nhom G va G’ dugc gọi là dang cấu nếu tồn tại một sự tương ứng 1- 1 giữa các phần tử của chúng và bảo toàn phép nhân nhóm Hay nói cách khác, nếu ø,<Œ<—>g,eŒ và ø,#;=g; trong G thì g;øg; =ø; trong G và ngược lại Ký hiệu là G~G'

Trang 13

Va €G hình thành một nhóm con của $„ mà đẳng cấu đến G +* Nhóm tích trực tiếp

Cho Hy va H> 1a hai nhóm con của nhóm Ở có các tính chất sau:

* Moi phan tử của H giao hoán với bat ky phan tử nào của #; Ví dụ: hh, =h,h, với Vh, cH,,h, cH.,

** Moi phan tr @€Œcó thể được viết nhu sau: g= hh, với h,cH,,h,cH, Trong trường hợp này ỞG được gọi là tích trực tiếp của H; và H,;, tượng trưng bởi Ơ= H, ©H,

Ví dụ: nhóm Œs có các phần tử : C, ={e=a,„a,a,,a,„a,„a,} và có hai

nhóm con H, ={e,a,} va H, ={e,a,,a,}

Các nhóm con H, và H; đều là các nhóm Abelian nên tính chất thứ nhất được thỏa mãn

Tính chất thứ hai có thể xác minh bang sự ghi nhận:

c=ee, a=d`ad', a =ead”, @ =a e, a =e4d°, a=a`a” Trong mỗi trường hợp trên, thừa số đầu tiên của tích thuộc Hj, thira sé thir hai của tích

Trang 14

Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm

2.1 Định nghĩa phép biểu diễn nhóm

Cho một không gian tuyến tính n chiều V, va một nhóm Ð các phép biến đổi nào đó trong không gian đó Lại cho một nhóm Ở nào đó Phép đồng

cấu:

GD

gọi là một phép biểu diễn của nhóm G trong khéng gian V, Ta goi V, 1a

không gian biểu diễn, n là chiều biếu diễn; gọi là phép biểu diễn tuyến tính, nếu D là nhóm biến đổi tuyến tính (hay nhóm ma trận) Trái lại, biểu diễn gọi là phi tuyến Theo định nghĩa, ta có: D(gh) = D(g) D(h), @,h eỚ, D(g), D() eD, (2.1-1) De) = 1, (2.1-2) D(g `) = [D@)]” (2.1-3)

%* Pháp biếu diễn đơn vị

Phép biểu diễn đơn vị là phép biểu diễn đặc biệt khi:

D(g) = 1, voi moi geG (2.1-4)

-Vi du:

Trang 15

Hinh 2.1

Từ hình 2.1 ta có:

ê,'=U(Ø)ê, =ê,.cosó + ê,.sin ê,'=U()ê, = ê.(—sin Ø) + é,.cos¢ Chúng ta thu được: cosớ —sin ‘| sing cos¢ DQ) = ( Chú ý rằng: néu x là một vector tùy ¥ trong V2, x=ê,x' thì x'=U()x=ê,x"” x" =D(0)jx x"\ (cos@ —sing)/ x' x” (as ae x hoặc (2.1-5) (2.1-6) (2.1-7) (2.1-8)

Áp dụng hai phép quay bằng các góc ¢ và Ø trong phần tiếp theo, chúng ta có thể xác minh được rằng tích ma trận ?(Ø)D(Ø) cũng như là của chỉ một phép quay bằng (2+Ø), D(ø+Ø) Do đó, {D(Ø)} cung cấp một biểu

Trang 16

diễn hai chiều của nhóm quay {R(ø) € R(2)} Tương ứng, {D(2)} là ma trận hiện thực của {U(Ø)} có liên quan đến tập hợp quy định cụ thể của cơ sở {é}

2.2 Dac biéu

% Biểu diễn trơng đương

Nếu thay đối cơ sở trong không gian V„ thì các ma trận D(ø) thực hiện biểu diễn D của nhóm G biến thành các ma trận đồng dạng:

D’(g) = SD(g)S" (2.2-1)

với S là ma trận thực hiện phép biến đổi (khả nghịch) của co sở Dễ thấy rằng các ma tran D’(g) cting lam thành một biểu diễn của nhóm ỞƠ, gọi là biểu diễn tương đương

Vì quan hệ đồng dạng là một quan hệ tương đương nên các biểu diễn tương đương làm thành một lớp và tất cả các thành viên thuộc lớp đều xem như nhau Vì vậy, về phương diện biếu diễn, tất cả các biểu diễn tương đương với nhau đều xem là như nhau

‹* Đặc biếu của biếu diễn

Các biểu diễn thuộc cùng một lớp được xem như nhau, nên cần nêu lên

các đặc trưng nội tại cho toàn lớp biểu diễn, nghĩa là tìm các đại lượng liên

quan đến biểu diễn, nhưng bất biến đối với các biến đổi (khả nghịch) cơ sở của không gian biêu diễn

Một trong những đặc trưng nêu lên ở trên chính là vết:

TrD(g)=3,D,(s) i=l (2.2-2)

Thật vậy, vì giá trị của vết khơng thay đổi khi hốn vị vòng quanh các nhân tử có mặt trong biểu thức của vết, nên ta có:

TrDtg) = Tr[SD(g)S""]= Tr[S`SD(g)]= TrD(g) Đó là điều phải chứng minh

Trang 17

Vết của biểu diễn gọi là đặc biêu của biêu diễn và ký hiệu là X (g) X(g)=TrD(g) (2.2-3) Bây giờ cho hai phần tử h và g của nhóm, liên hợp với nhau h = xÍøx; x, h, g € Œ Theo (2.2-l) ta có: TrD(h) = TrD(x" gx) = Tr(D(@”)D(g)D@)} = = Tr{D(x)'D(g)D(x)} = Tr{ D@)Day'D(g)} = TrD(g) Từ đó ta có: X(x'gx)=X(g),

ttc 14 cdc phan tir thuéc cing mét lép cua nhém G cho cing một giá trị của

đặc biểu Ta nói đặc biểu là một hàm của lớp Vì vậy, nếu nhóm có s lớp

K,.K, K,, thì đặc biểu là một tập hợp của s lượng:

X,=X(K,).(i=1,2 s)

Như thế, đặc biểu của mỗi biếu diễn có thể xem như một vector trong một không gian s chiều nào đó

Tắt nhiên với biểu điễn đơn vị ta luôn có:

X, =1, G@=1, 2, , 5) Luu y rang: vi D(e) = J, nén: X(e)=n

2.3 Biéu dién kha quy va bat kha quy

Cho một không gian tuyến tính V„ và một ma trận (phép biến đổi tuyến tính) A Hệ A gọi là khả quy trong không gian W„ nếu có một không gian con

V<V,, V#z0, sao cho:

AV< Vvwới mọi A€A, tức là Ax eV với mọi xeV, AeA

Không gian con V gọi là bất biến đối với hệ A

Trang 18

Trái lại, nếu mọi không gian con bất biến của W„ hoặc bằng 0 hoặc

trùng với V„„ thì hệ A gọi là bat khả quy và không gian V„ cũng gọi là bat khả quy đối với hệ A

Nếu không gian con bắt biến V có r chiều và nếu ta chọn r vector cơ sở của W làm các vector cơ sở đầu tiên của không gian V„, thì mọi vector

x€V đều có biểu diễn: << p 1«ể o0

Các + ở ma trận cột chỉ những phần tử nói chung khác không Từ đó,

theo giả thiết V bất biến đối với hệ A, ta có:

*

Như thế, theo các biểu diễn của x và x', tất ca cdc ma tran AG A đều

có dạng:

Trang 19

A = A, K AeA > EA,

0 A,

trong do A, là ma trận con vuông cấp r, A; là ma trận vuông cấp n-r,Kla ma trận con chữ nhật r x (n - r)

s* Hệ phân giải được

Một trường hợp quan trọng là ngồi V, khơng gian V„ có một không gian con thứ hai bất biến „ sao cho V, =V +77 Thé thì chọn (n — r) vector cơ sở của z; làm các vector cơ sở còn lại của W„, ta thấy rằng tất cả các A phải có dạng: a= 0 -^ ®A,.AGA 0 A, Trong trường hợp nay, hé A gọi là phân giải thành hai hệ con khác: A, ={Aj}, A, = {Aj}, va ta viet A= A, ® A,

s* Hệ hồn toàn khả quy

Một hệ A gọi là hoàn toàn khả quy nếu hoặc A là bất khả quy, hoặc A

có thế phân giải thành nhiều hệ con bất khả quy Tương ứng, không gian V„ phân thành tổng trực tiếp nhiều không gian con bất khả quy

%% Biếu diễn khả quy, bất khả quy và hoàn toàn khả quy

Nếu biểu diễn D là một hệ khả quy, bất khá quy hay hoàn toàn khả quy thì biểu diễn đó tương ứng gọi là khả quy, bất khả quy hay hoàn toàn khả quy

Theo nghĩa trên, các biêu diễn bất khả quy là những biểu diễn đơn giản nhất

%% Định lý vềtiêu chuẩn bất khá quy

Điều kiện cần và đủ để một biểu diễn có đặc biểu X là bất khả quy là

Trang 20

le Geek; =1 c (2.3-1) trong đó: G là bậc của nhóm g, la số phần tử của lớp thứ p của nhóm đó s* Không gian đồng nhất

Cho một nhóm G các phép biến đổi tuyến tính trong một không gian V

nào đó Nếu với một cặp điểm x và y của không gian V, ta luôn tìm được một

phần tử g của nhóm sao cho gx = y, thì nhóm Œ gọi là nhóm bắc cầu của không gian V và không gian V được gọi là không gian đồng nhất của nhóm Ở

% Biểu diễn T,

Cho một không gian đồng nhất nào đó V của nhóm Ó, và gọi L là tập

hợp tất cả các hàm ự (x) có đối số xe V Thế thì không gian L gọi là bất biến

đối với nhóm G nếu, khi đã chứa ự (x), nó sẽ chứa mọi hàm y (gx), g €G

Bây giờ, giả sử không gian L là bất biến đối với nhóm Œ và đặt T;ự (x) = ự(E'X),g<G,X eV (2.3-2) Theo định nghĩa này, ta có: T,T.w(x)=T,w(ø,'x)=w(ø, 'ø,'x)=w|(sg.) ` x |, tức là, theo (2.3-2), TT, =T,

điều này chứng tỏ rằng các toán tử T, lam thành một biểu diễn của nhóm G trong không gian L các hàm ự, và ký hiệu là 7s

Theo định nghĩa chung của ma trận toán tử, nếu ' là cơ sở của không gian L, ta c6:

T.y' =Di(g)y', (2.3-3)

trong đó D¡(g) là ma trận của toán tu Ty

Trang 21

2.4 Biéu diễn Unita

Dinh ly 1

Mỗi biểu diễn của các nhóm hữu hạn đều tương đương với một biểu diễn unita nào đó

Một biểu dién D goi 1a unita, néu tất cả các ma trận D(g) đều unita Như thế, với các nhóm hữu hạn, ở đó có sự tỒn tại trung bình bất biến, mọi biểu diễn đều tương đương với một biểu diễn unita Chính biểu diễn unita này là biểu diễn chúng ta cần phải chọn trong lớp tất cả các biểu diễn tương đương với nhau, do các ma trận unita có những đặc tính riêng của nó Đối với những nhóm vô hạn, có những biểu diễn không tương đương với biểu diễn unita

Tu nay vé sau, khi nói đến biểu diễn các nhóm hữu hạn, ta thường hiểu

là biểu diễn unita Trong trường hợp này, từ tính chất unita và tính chất

(2.1-3), ta có:

D*(h) = D"(h) = Dik"),

Từ đó ta được đẳng thức sau cho đặc biểu các biểu diễn unita:

X(w')=X'(n) (24-1)

Bây giờ, giả sử lớp K; của nhóm Ở có tính chất là: đồng thời với phần

tử g, nó chứa cả phần tử g' Một lớp như thế được gọi là tương nghịch

Trang 22

2.5 Biéu diễn chính quy

Không gian biểu diễn của nhóm G là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính:

4,8 voi a, EC, g EG (2.5-1)

Không gian này gọi là không gian đại số nhóm của nhóm Œ Như thế, không gian biểu diễn là một không gian G chiều, G là bậc của nhóm Œ Cơ sở của không gian này là G phần tử của nhóm Khi tác dụng mỗi phần tử của nhóm lên các phần tử khác bằng cách nhân nhóm, ta có một hoán vị của G vật Vì là những phép biến đổi tuyến tính trong không gian G chiều, các hoán vị này có thé biểu diễn bởi những ma trận GxG

Biểu diễn này gọi là biểu diễn chính quy của Ơ và ký hiệu là D” % Dac biéu Theo định nghĩa trên, ma trận của biểu diễn chính quy có thể viết dudi dạng: hg= D(a) f (2.5-2) feG

Từ đó, đồng nhất hai vé, ta thay rang D\")(h)=1 khi f = g va bang

không khi f #hg, tir là:

Di (2) = ig > (2.5-3)

Vì vậy, các phần tử chéo của ma tran D")(h) có dạng:

D" (h) = yyy + (2.5-4)

tức là chỉ bang 1 khi h = e va bang khéng khi h#e Tw do ta duoc tính chất

đặc trưng của đặc biểu của biểu diễn chính quy:

x(e)=G, X"(g)=0,¢ #e (2.5-5)

Trang 23

Nếu ký hiệu K, là lớp chứa e thì từ phương trình (2.5-5), ta được đẳng

thức:

X\ =G6., (2.5-6)

s Định lý I

Tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm đều chứa trong biểu bién chính quy với một số lần bằng số chiêu biểu diễn của mình: D”=3@n,D!” (2.5-7) n trong dé: n, 1a chiều của biểu diễn bất khả quy Ð1° “* «Dinh ly Burnside din =G (2.5-8) „ s* Định lý 2

Số biểu diễn bắt khả quy của các nhóm hữu hạn bằng số lớp của nhóm

2.6 Biểu diễn tích trực tiếp

% Hệ thống các biểu diễn bất khả quy của tích trực tiếp

Cho một tích trực tiếp G của hai nhóm Ớ; và G¿:

G=G,8G,,

& = Lie, Li2 = Ski, B1 SG, B SG

diễn bất khả quy D"” va D?' tương ứng của các nhóm con Œ; và G¿

Tap hop 1,n, hàm W'@* làm thành cơ sở của một biểu diễn nào đó của nhóm , lý hiệu là “? Thực vậy, theo (2.3-2) ta có:

T.w'=70/2(g,)#', T,®':=7j”'(g,)®',

Trang 24

Từ đó ta được biểu diễn cần tìm: T, , YO! =T, ¥'T,,& = Dy (g,) Dy (g,)W*œ., Với ma trận thực hién biéu diễn có đạng: DiS (g.8.) = DL" (g,) Dy (2:) (26-1) hay 1a DY” (g.g,)=D"(g,)@D”(g,) (2.6-2)

Như thế các ma trận biểu diễn tích trực tiếp hai nhóm bằng tích trực tiếp các ma trận biểu diễn các nhân tử

s* Đặc biểu

Trong (2.6-1) cho k = ¡ và l = j rồi lấy tổng theo ¡ và j, ta được đặc biểu của biểu diễn D“:

X)(gig,)= X??(g,)X?){(g,) (2.6-3)

s* Cách trình bày các bảng đặc biểu

Các đặc biểu được trình bày đưới đạng một bảng vuông mà các hàng chỉ các biểu diễn khác nhau (hàng đầu dành cho biểu diễn đơn vị), còn các cột chỉ các lớp khác nhau Trong bảng: ø, là ký hiệu số phần tử của lớp K,, n, ký hiệu giá trị của đặc biểu của lớp thứ s

Trang 25

2.7 Các định lý thường dùng trong Vật Lý Dinh ly 1

Mọi biểu diễn của một nhóm hữu han đều tương đương với một biểu

diễn Unita nào đó

Bởi vì theo giả thiết D(§) là một biểu diễn của một nhóm hữu hạn Œ Xây dựng một toán tử

$=>_D(g)°D(s)

geG (2.7-1)

S là hermitian và đương trén mét nira nhém.Vi vay né cé thé chéo héa va cé giá trị riêng là khơng âm

§=U"4U, (2.7-2)

Ở đây ở là ma trận chéo

d 0 d=|0 d,

Ở đây d, 20 Vj Bởi vì do tính chất của nhóm là mọi đj là thực sự

dương Bằng cách giả thiết có một djs = 0 Khi d6 có một vector 2 sao cho S4 =0, Nhưng khi đó:

Â'S42=0= ®|P(g)Al'

seo (2.7-3)

Vì vậy D(g)Ä phải bị triệt tiêu với mọi ø, đó là điều không thể tin

Trang 26

X là thuận nghịch, bởi vì không có một đ;s = 0 Bây giờ ta có thể viết: D'(g) = XD(g)X" (2.7-5) Điều bất ngờ xảy ra là biểu diễn này là biểu dién Unita D(g}'D(g)= X”D(g)' SD(g)Xˆ (2.7-6) Nhung ma D*(g)SD(g) = D(g)" (SP pœ) Du heG =3 Dúg)' D(hs) =>®`D(#)' D(h) =S a (hy D(h) = X? (27-7) Trong đó dòng cuối cùng ở day vi hg chay trên tất cá các phần tử của Œ khi b là QED (Quantum electron dynamics)

, og 1 x

Chiing ta thay trong biéu dién D(x) = 0 0 của nhóm các phép cộng các số nguyên, là một ví dụ của biểu diễn khả quy (rút gọn được) nhưng không phải là một biểu diễn khả quy hoàn toàn Phương pháp làm là có một P, chiếu P vào trong một không gian con bắt biến nhưng (7-P) thì không Đây

là một điều không thể xảy ra với một biểu diễn Unita, và như vậy biểu diễn

của một nhóm hữu hạn là khả quy hoàn toàn Dinh ly 2

Moi biểu diễn của một nhóm hữu hạn đều khả quy hoàn toàn

Định lý trên là điều kiện để xem một biểu diễn có là Unita hay không Nếu một biểu diễn 1a bat khả quy thì công việc của ta đã hoàn thành, bởi vì nó được viết dưới dạng thức đường chéo chính Nếu nó là khả quy thì khi ấy tồn

tại một chiếu xạ P sao cho

DP(g)P=D(g)P Vẹ <G (2.7-8)

Trang 27

Đây là điều kiện cho P ở trong không gian con bắt biến Tiếp theo lấy

liên hợp điều kiện trên ta có

PD'(sg)P=PD(g)` Vg cG (2.7-9)

Nhung vi D(g) 1a Unita, D(g)* = D(@?) = D()” và vì vậy g! chay trên tất cả G, PD(g)P = PD(g) Vg eG, nhung & đây có nghĩa rằng

(1-P)D(g)(1-P)= D(g)(1-P) Vg €G, va vi vay cing chiếu lên không

gian con bắt biến, cứ tiếp tục làm như vậy ta sẽ có biểu diễn của nhóm là khả quy hoàn toàn

Định lý Maschke: Mỗi biểu diễn khả quy của các nhóm hữu hạn đều có

thể phân giải được thành tổng các biểu diễn bắt khả quy 2.8 Bồ đề Schur

Bồ dè1

Cho A và B là hai hệ pháp biến đổi tuyến tính bất khả quy, tương ứng tác dụng trong hai không gian tuyến tính V„ ={x} và V„ = {y} Giả sử có một

ma trận chữ nhật Pín x m) thực hiện một phép biến đổi tuyến tính từ V„ vào Wạ, sao cho với mỗi AeA ta tìm được BEB — và ngược lại — với tính chất:

PA =BP (2.8-1)

thế thì có hai khả năng loại trừ nhau: hoặc P = 0, hoặc là P kỳ dị Trong

trường hợp thứ hai, ta có m = n và hai hệ A và B gọi là đồng dạng với nhau

Bây giờ giả sử V„ = V„ và A = B Thế thì ta có:

Bồ dè2

Mọi ma trận P có tính chất giao hoán với mọi phần tử A của một hệ bắt

khả quy A phải là bội của đơn vị

Từ các bố dé Schur trén, ta suy ra

Định lý: Các biểu diễn bắt khả quy của các nhóm giao hoán đều một

chiêu

Trang 28

Chương 3: Một số bài tập Bài tập I Xem xét sáu phép biến đối kết hợp với nhóm nhị diện Ð; được xác định theo hình 3.1 3’ ' 2 Hình 3.1

Cho V là không gian Euclide hai chiều kéo dài bởi Ê,và ê, Hãy viết

Trang 31

Để chứng minh ánh xạ D”” là một biểu diễn của nhóm D; thì ta phải

chứng minh được rằng ánh xạ Д” thỏa mãn phương trình (2.1-1)

Trang 35

Từ đặc biểu của các biểu diễn của nhóm D; đã tìm được trong bài tập 3

và bảng đặc biểu được nêu trong bảng 2.1 ta có bảng đặc biểu của nhóm Ð; la: D e 223) 3(12) D” 1 l l p2 1 1 -1 D® 2 + 0 Bài tập Š Hãy chứng minh rằng các biểu diễn của nhóm D; là bất khả quy Bài làm

Theo bài tập 3, nhóm D; có 2 biểu diễn một chiều D”, D® va 1 biéu diễn hai chiều DĐ”

Theo định lý rút ra từ các bổ đề Schur được nêu trong mục (2.8) thì hai

biếu diễn D”) và D'” là bắt khả quy vì là một chiều

Còn biểu diễn hai chiều Д” cũng là bất khả quy vì biểu diễn này thỏa mãn định lý về tiêu chuẩn bất khả quy (2.3-1)

Trang 36

Bài làm Với nhóm D;, theo công thức Burnside được nêu trong mục 2.5, ta được: din =6 „ hay (n,)+(n,)'+(n,) =6

Nhưng theo định lý 2, được nêu trong mục 2.5, thì tổng về trái không

quá ba thành phần vì nhóm Ð; có ba lớp Vì vậy, phương trình trên chỉ có nghiệm duy nhất là:

n,=l,n,=l,n, =2,

tức là nhóm Ð; chỉ có ba biểu diễn bất khả quy gồm hai biểu diễn một chiều

và một biểu diễn hai chiều

Bài tập 7

Hãy chứng minh rằng: nếu D(G) là bất kỳ một biểu diễn của một nhóm hữu hạn Ở ở bên trong không gian tích V và x, y € V thi:

(x.y) =X (D(g)x|D(g)y) we

Xác định một tích vô hướng nói trên V Bài làm

Giả sử rằng ( | ) là tích bên trong, chúng ta hãy đi kiểm tra xem nếu (, _) thỏa mãn tiền đề cho một tích bên trong:

i) Tién dé thir nhat quy định rằng (x, y) phải bằng ( y,x)`

(x.y)=3(0(8)xID(s)y) geG

Trang 37

1i) Kiểm tra tính chất tuyến tính

= dle (D(g)x|D(g)y,) +4,(D(g)x|D(g)y;) |

=a| X(P(s)IP(ø)s) |+a| E(P(e)xiP(a)s) | =a,(x,y,)+a,(x,y,) iii) Tinh duong cia quy tắc sau đây từ: (x.x)= >(D(4)x|D()x) seG >0 Từ mỗi một ((ø)x| D(g)+) >0 Bài tập 8

Hãy tìm một tập hợp của ma trận biểu diễn (unita) 2“(p), pe S,, cho

Trang 38

1 WB 1 3 DB21)=| 2 2 |, D”d23)s] 2 2

3 1 3 1

2 2 2 2

hình thành một biểu diễn hai chiều của D; 5;

Trang 39

PHAN III: KET LUAN

Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, về cơ bản đề tài đã hoàn thành

những mục tiêu đặt ra

Đề tài đã giới thiệu được một số nội dung cơ bản của lý thuyết nhóm và lý thuyết biêu diễn nhóm

Đề tài này cũng đưa ra được một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm Qua đó các nội dung cơ bản của lý thuyết biểu diễn nhóm như: đặc

biểu, biểu điễn khả quy — bat khả quy, biểu diễn Unita, biểu diễn chính quy,

biểu diễn tích trực tiếp cùng với các công cụ phục vụ cho việc giải các bài tập

biểu diễn nhóm như: các bố đề Schur, định lý về tiêu chuan bat khả quy, định lý Burnside được thê hiện rõ ràng hơn

Đề tài sẽ được hoàn thiện hơn khi những bài toán thực tế liên quan đến lý thuyết biểu điễn nhóm được đưa vào Tuy nhiên, đo thời gian nghiên cứu

có hạn nên khi nghiên cứu đề tài này chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót

Tôi rất mong được sự góp ý, chỉ dẫn của các thầy cô và các bạn sinh viên