Tổng hợp một số bài tập về lý thuyết biểu diễn nhóm

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ DUYỀN TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHĨM KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC HÀ NỘI, 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ DUYỀN TỔNG HỢP MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN NHĨM Chun ngành: Vật lí lý thuyết Vật lí Tốn KHỐ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN HUY THẢO HÀ NỘI, 2012 Lời cảm ơn Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Vật Lý- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tổ Vật Lý lý thuyết , đặc biệt thầy hướng dẫn ThS Nguyễn Huy Thảo người tận tình hướng dẫn, bảo, tạo điều kiện giúp đỡ em thời gian thực luận văn Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên em trình học tập nghiên cứu Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Duyền Lời cam đoan Khóa luận kết thân em trình học tập nghiên cứu sở hướng dẫn thầy giáo Th.S Nguyễn Huy Thảo Trong nghiên cứu hoàn thành khóa luận, em có tham khảo số tài liệu tham khảo Em xin khẳng định kết đề tài: “ Tổng hợp số tập lý thuyết biểu diễn nhóm” trung thực không trùng lặp với kết đề tài khác Hà Nội, ngày 10 tháng năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Duyền MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn Lời cam đoan PHẦN 1: MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: Một số định nghĩa lý thuyết nhóm Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm 2.1 Định nghĩa phép biểu diễn nhóm 2.2 Đặc biểu 11 2.3 Biểu diễn khả quy bất khả quy 12 2.4 Biểu diễn Unita 16 2.5 Biểu diễn quy 17 2.6 Biểu diễn tích trực tiếp 18 2.7 Các định lý thường dùng Vật Lý 19 2.8 Bổ đề Schur 22 Chương 3: Một số tập 23 PHẦN 3: KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN I: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết biểu diễn nhóm nội dung quan thường sử dụng vật lý học nói chung, vật lý hạt nói riêng việc giải tập biểu diễn nhóm nhằm củng cố lý thuyết trau dồi kĩ thực hành Đồng thời qua giúp hiểu sâu sắc nội dung kiến thức học Trước thực tế đó, tơi chọn đề tài “Tổng hợp số tập lý thuyết biểu diễn nhóm” nhằm đưa phương pháp giải số tập biểu diễn nhóm, giúp bạn sinh viên rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo q trình giải tập, nắm vững cơng cụ tốn cách tư nhạy bén, khơng cịn lúng túng gặp toán biểu diễn hiểu rõ lý thuyết biểu diễn nhóm Tơi hi vọng luận văn tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên bước đầu làm quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết nhóm biểu diễn nhóm Giải số tập lý thuyết biểu diễn nhóm Đối tượng nghiên cứu Một số tập lý thuyết biểu diễn nhóm Nhiệm vụ nghiên cứu Đưa sở lý thuyết biểu diễn nhóm Giới thiệu số tập biểu diễn nhóm cách giải tập Phương pháp nghiên cứu Đọc, dịch tài liệu tra cứu Phương pháp vật lý lý thuyết vật lý tốn Cấu trúc khóa luận Khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số định nghĩa lý thuyết nhóm Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm Chương 3: Một số tập PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số định nghĩa lý thuyết nhóm  Định nghĩa nhóm Một tập G : a, b, c,  gọi nhóm có tốn tử “  ” gọi phép nhân nhóm thỏa mãn tính chất sau: Tính kín: Nếu a, b  G a.b  G Tính kết hợp: a.b.c   a.b.c với a, b, c  G Phần tử đơn vị: Trong G tồn phần tử e gọi phần tử đơn vị thỏa mãn tính chất a.e  a với a  G Phần tử nghịch đảo: Với phần tử a  G tồn phần tử a 1  G gọi phần tử nghịch đảo thỏa mãn tính chất a.a-1 = e Ví dụ: Tập hợp số thực với phép cộng tạo thành nhóm tập hợp ma trận có det  tạo thành nhóm Nhưng khơng phải phép nhân xác định tập hợp cho trước tạo thành nhóm, nói chung tất bốn tính chất khơng đồng thời thỏa mãn Ví dụ: tập hợp vector không gian ba chiều thơng thường với phép nhân vơ hướng,…  Nhóm Mọi tập H nhóm G làm thành nhóm với phép nhân nhóm G gọi nhóm G Mỗi nhóm G có phần tử trung hòa e phần tử G nhóm G Các phần tử nhóm G phân chia thành lớp liên hợp Phần tử liên hợp: phần tử b  G gọi liên hợp với phần tử a  G tồn phần tử khác p  G cho b = pap-1 Chúng ta biểu thị mối liên hệ liên hợp kí hiệu ~ Lớp liên hợp: phần tử nhóm liên hợp với phần tử khác hình thành lớp liên hợp Mỗi phần tử nhóm thuộc lớp Phần tử đơn vị hình thành riêng lớp Đối với nhóm ma trận, tất phần tử lớp có mối liên hệ với phần tử khác vài biến đổi tương tự Các lớp kề: Cho H nhóm G a  G Thế tập hợp aH gọi lớp kề trái nhóm G theo nhóm H, xác định phần tử a Tương tự vậy, tập hợp Ha gọi lớp kề phải nhóm G Tất nhiên, e  H, nên a  aH Mặt khác, b  aH, tức b = ah1, h1  H, bH = ah1H = aH h1H = H Như thế, phần tử tùy ý lớp kề trái đại diện cho lớp kề đó, hai lớp kề trái hoàn toàn trùng khơng có phần tử chung Số phần tử lớp kề bậc nhóm H Mọi phần tử G thuộc lớp kề  Nhóm Abelian Nhóm Abelian nhóm mà phép nhân nhóm địi hỏi có tính chất giao hốn: a  b  b  a với a, b  G  Bậc nhóm Số phần tử nhóm gọi bậc nhóm (nếu nhóm hữu hạn) Nhóm mà số phần tử nhóm hữu hạn gọi nhóm hữu hạn, ngược lại nhóm vơ hạn  Bảng nhân nhóm Bảng nhân nhóm bảng thể luật nhân nhóm phần tử nhóm Bảng 1.1: Bảng nhân nhóm e a b ……… e e a b ……… a a a.a a.b ……… b b b.a b.b ……… … … … … ……… Ví dụ: Bảng 1.2: Bảng nhân nhóm D3 e (12) (23) (31) (123) (321) e e (12) (23) (31) (123) (321) (12) (12) e (23) (23) (321) (31) (31) (123) (321) (123) (321) e (23) (31) (123) (31) (12) e (12) (23) (123) (123) (31) (12) (23) (321) e (321) (321) (23) (31) (12) e (123) X thuận nghịch, khơng có djs = Bây ta viết: D '( g )  XD( g ) X 1 (2.7-5) Điều bất ngờ xảy biểu diễn biểu diễn Unita D '( g )  D '( g )  X 1D( g )  SD( g ) X 1 (2.7-6) Nhưng mà D  ( g ) SD( g )  D( g )    D( g )  D( g )  D( g )  hG    D(hg )  D(hg ) hG   D ( h)  D ( h)  S  X hG (2.7-7) Trong dịng cuối hg chạy tất phần tử G h QED (Quantum electron dynamics) 1 x Chúng ta thấy biểu diễn D( x)    nhóm phép cộng 0 0 số nguyên, ví dụ biểu diễn khả quy (rút gọn được) biểu diễn khả quy hồn tồn Phương pháp làm có P, chiếu P vào không gian bất biến (1-P) khơng Đây điều khơng thể xảy với biểu diễn Unita, biểu diễn nhóm hữu hạn khả quy hoàn toàn Định lý Mọi biểu diễn nhóm hữu hạn khả quy hồn tồn Định lý điều kiện để xem biểu diễn có Unita hay khơng Nếu biểu diễn bất khả quy cơng việc ta hồn thành, viết dạng thức đường chéo Nếu khả quy tồn chiếu xạ P cho DP( g ) P  D( g ) P g  G 21 (2.7-8) Đây điều kiện cho P không gian bất biến Tiếp theo lấy liên hợp điều kiện ta có PD  ( g ) P  PD( g )  g  G (2.7-9) Nhưng D(g) Unita, D(g)+ = D(g-1) = D(g)-1 g-1 chạy tất G, PD(g)P = PD(g) g  G , có nghĩa 1  P  D  g 1  P   D  g 1  P g  G , chiếu lên không gian bất biến, tiếp tục làm ta có biểu diễn nhóm khả quy hoàn toàn Định lý Maschke: Mỗi biểu diễn khả quy nhóm hữu hạn phân giải thành tổng biểu diễn bất khả quy 2.8 Bổ đề Schur Bổ đề Cho A B hai hệ phép biến đổi tuyến tính bất khả quy, tương ứng tác dụng hai không gian tuyến tính Vn ={x} Vm = {y} Giả sử có ma trận chữ nhật P(n  m) thực phép biến đổi tuyến tính từ Vn vào Vm, cho với A  A ta tìm B B – ngược lại – với tính chất: PA = BP (2.8-1) có hai khả loại trừ nhau: P = 0, P kỳ dị Trong trường hợp thứ hai, ta có m = n hai hệ A B gọi đồng dạng với Bây giả sử Vn = Vm A = B Thế ta có: Bổ đề Mọi ma trận P có tính chất giao hoán với phần tử A hệ bất khả quy A phải bội đơn vị Từ bổ đề Schur trên, ta suy Định lý: Các biểu diễn bất khả quy nhóm giao hoán chiều 22 Chương 3: Một số tập Bài tập Xem xét sáu phép biến đổi kết hợp với nhóm nhị diện D3 xác định theo hình 3.1 3’ 2’ 1’ Hình 3.1 Cho V khơng gian Euclide hai chiều kéo dài eˆx eˆ y Hãy viết phép biểu diễn ma trận phần tử D3 V liên quan đến sở Đêcac vng góc Bài làm Nhóm D3  S3 bao gồm: S3 = {e, (12), (23), (31), (123), (321)} Cho D phép biểu diễn Rõ ràng ma trận tương ứng với e là: 1 0 D ( e)    0 1 Hai chu kỳ phép quay 2 4 ; từ phương trình (2.1-5) thực ma trận cho hai chu kỳ là: 23   D(321)      1 3           D(123)      3   1   2 D(23) eˆx   eˆx Nó sáng tỏ hình (3.2), D(23) eˆy   eˆy eˆy  31 eˆ (321)eˆx x 3’ 2’ (23)eˆx eˆx (321)eˆy  (12)eˆy  31 eˆ (123)eˆx (12)eˆx 1’ Hình 3.2 Điều có nghĩa là: 1  D(23)     1 Nhớ lại, D đồng cấu: 24 y  123 eˆy D(12) = D((123)(23)) = D(123)D(23) Tiến hành phép nhân ma trận ta được:    D(12)       3      Tương tự ta có:   D(31)      3      Bài tập Cho ánh xạ:  D(2): D(e) = 1, D(123) = 1, D(321) = 1, D(12) = -1, D(23) = -1, D(31) = -1 (3.1-1) từ nhóm C3 lên nhóm Z2 biểu diễn chiều nhóm D3  1  D(23) =  , 0 1 1  D(3): D(e) =  , 0    D(31) =     3  ,      D(12) =      3     , D(321)=        2    D(123) =      3  ,    3   1   2 (3.1-2) Hãy chứng minh rằng: ánh xạ D(3) biểu diễn nhóm D3 Bài làm 25 Để chứng minh ánh xạ D(3) biểu diễn nhóm D3 ta phải chứng minh ánh xạ D(3) thỏa mãn phương trình (2.1-1) Thật vậy, sử dụng bảng nhân nhóm nhóm S3 nêu bảng 1.2 ta có:       D(e)D(23) =   1   1      = D(23) = D(e.(23)) ,   1 0  D(e)D(31) =       3           = D(31) = D(e.(31)), Tương tự ta có:  D(e)D(12) = D(12) = D(e.(12)),  D(e)D(321) =D(321) = D(e.(321)),  D(e)D(123) = D(123) = D(e.(123)),       D(23)D(e) =      1   1 = D(23) = D(e.(23)),       D(23)D(23) =   1          = D(e) = D((23)(23)), Tương tự ta có:  D(23)D(31) = D(123) = D((23).(31)),  D(23)D(12) = D(321) = D((23)(12)),  D(23)D(123) = D(31) = D((23)(123)),  D(23)D(321) = D(12) = D((23)(321)), 26 3         D(31)D(e) =      3      0 1         2  3      = D(31) = D(e.(31)),    D(31)D(23) =      3       1         2  3        = D(321) = D((31)(23)), Tương tự ta có:  D(31)D(31) = D(e) = D((31)(31)),  D(31)D(12) = D(123) = D((31)(12)),  D(31)D(123) = D(12) = D((31)(123)),  D(31)D(321) = D(23) = D((31)(321)),    D(12)D(e) =       3    1       0      2   3      = D(12) = D((12).e),    D(12)D(23) =       3  1     0 1         2  = D(123) = D((12)(23)), Tương tự ta có:  D(12)D(31) = D(321) = D((12)(31)),  D(12)D(12) = D(e) = D((12)(12)), 27 3   1   2  D(12)D(123) = D(23) = D((12)(123)),  D(12)D(321) = D(31) = D((12)(321)),    D(123)D(e) =      3  1     0    1       2 3   1   2 = D(123) = D((123).e),    D(123)D(23) =      3  1     0 1   1       2  3      = D(12) = D((123)(23)), Tương tự ta có:  D(123)D(31) = D(23) = D((123)(31)),  D(123)D(12) = D(31) = D((123)(12)),  D(123)D(123) = D(321) =D((123)(123)),  D(123)D(321) = D(e) = D((123)(321)),    D(321)D(e) =      3  1     0           2   3        = D(321) = D((321).e),    D(321)D(23) =      3  1     0 1          2   = D(31) = D((321)(23)), Tương tự ta có: 28 3       D(321)D(31) = D(12) = D((321)(31)),  D(321)D(12) = D(23) = D((321)(12)),  D(321)D(123) = D(e) = D((321)(123)),  D(321)D(321) = D(123) = D((321)(321)) Như vậy, ánh xạ D(3) biểu diễn nhóm D3 Bài tập Tìm đặc biểu biểu diễn nhóm D3 Bài làm Nhóm D3 chia thành lớp (s = 3): K1 = {e}, K2 = {(123), (321)}, K3 = {(12), (23), (31)} Đặc biểu biểu diễn nhóm D3 vector ba chiều Với biểu diễn cụ thể (3.1-1) (3.1-2) ta có:  Đặc biểu biểu diễn chiều (3.1-1) là: X 1 2  X K1  Tr D  e   1, X 2 2  X K   Tr D 123  Tr D  321  1, X 3 2  X K   Tr D 12   Tr D  23  Tr D  31  1  Đặc biểu biểu diễn hai chiều (3.1-2) là: X 13  X 3 K1  Tr D  e   2, X 23  X 3 K   Tr D 123  Tr D  321  1, X 33  X 3 K   Tr D 12   Tr D  23  Tr D  31   Đối với biểu diễn đơn vị (2.1-4), ta có: X11  X 21  X 31  Bài tập Hãy trình bày bảng đặc biểu nhóm D3 Bài làm 29 Từ đặc biểu biểu diễn nhóm D3 tìm tập bảng đặc biểu nêu bảng 2.1 ta có bảng đặc biểu nhóm D3 là: D e 2(123) 3(12) D(1) 1 D(2) 1 -1 D(3) -1 Bài tập Hãy chứng minh biểu diễn nhóm D3 bất khả quy Bài làm Theo tập 3, nhóm D3 có biểu diễn chiều D(1), D(2) biểu diễn hai chiều D(3) Theo định lý rút từ bổ đề Schur nêu mục (2.8) hai biểu diễn D(1) D(2) bất khả quy chiều Cịn biểu diễn hai chiều D(3) bất khả quy biểu diễn thỏa mãn định lý tiêu chuẩn bất khả quy (2.3-1) Thật vậy, ta biết nhóm D3 chia thành lớp: K1 = {e}, K2 = {(123), (321)}, K3 = {(12), (23), (31)} có số phần tử lớp là: g1 = 1, g2 = 2, g3 = Từ (2.3-1) ta có: s 3 g p X p X p  1.2.2  2.(1)(1)  3.0.0   p=1 Như vậy, biểu diễn nhóm D3 bất khả quy Bài tập Hãy tìm số biểu diễn bất khả quy nhóm D3 30 Bài làm Với nhóm D3, theo cơng thức Burnside nêu mục 2.5, ta được: n    hay (n1 )  (n )  (n )  Nhưng theo định lý 2, nêu mục 2.5, tổng vế trái khơng q ba thành phần nhóm D3 có ba lớp Vì vậy, phương trình có nghiệm là: n1 =1, n =1, n  2, tức nhóm D3 có ba biểu diễn bất khả quy gồm hai biểu diễn chiều biểu diễn hai chiều Bài tập Hãy chứng minh rằng: D(G) biểu diễn nhóm hữu hạn G bên khơng gian tích V x, y  V thì:  x, y    D( g ) x D( g ) y gG Xác định tích vơ hướng nói V Bài làm Giả sử  tích bên trong, kiểm tra xem  ,  thỏa mãn tiền đề cho tích bên trong: i) Tiền đề thứ quy định (x, y) phải  y, x    x, y    gG D g  x D g  y 31   D g  y D g  x  gG      D g  y D g  x   gG     y, x   ii) Kiểm tra tính chất tuyến tính    a1 D  g  x D  g  y1  a2 D  g  x D  g  y2  gG      a1   D  g  x D  g  y1   a2   D  g  x D  g  y2   gG   gG   a1  x, y1   a2  x, y2  iii) Tính dương quy tắc sau từ:  x, x    gG D g  x D g  x 0 Từ D( g ) x D( g ) x  Bài tập Hãy tìm tập hợp ma trận biểu diễn (unita) D  p  , p  S3 , cho   , biểu diễn bất khả quy hai chiều nhóm S3 Bài làm Từ tập 1, biết tập hợp ma trận: 1  D(e) =  ,     D(31) =     3  , 1   2 32 D(23) =  1 0 , 0   D(12) =     1 3  ,        3      2 D(321) =   , D(123) =           2  hình thành biểu diễn hai chiều D3 3   1   2  S3 Biểu diễn unita Thật vậy, phép nhân ma trận ma trận với chuyển vị được:   D(31)DT(31) =       T D(321)D (321) =     3   1   2 3    1     0    2 3          3    1     0    2 Tương tự ta có: 1  D(e)DT(e) =   0  1  D(23)DT(23) =   0  1  D(12)DT(12) =     1  D(123)DT(123) =     Nhóm D3 chia thành lớp, nên đặc biểu biểu diễn là: X: (2 -1) Khi đó, theo tập 5, biểu diễn nhóm D3 bất khả quy 33 PHẦN III: KẾT LUẬN Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài hoàn thành mục tiêu đặt Đề tài giới thiệu số nội dung lý thuyết nhóm lý thuyết biểu diễn nhóm Đề tài đưa số tập lý thuyết biểu diễn nhóm Qua nội dung lý thuyết biểu diễn nhóm như: đặc biểu, biểu diễn khả quy – bất khả quy, biểu diễn Unita, biểu diễn quy, biểu diễn tích trực tiếp với cơng cụ phục vụ cho việc giải tập biểu diễn nhóm như: bổ đề Schur, định lý tiêu chuẩn bất khả quy, định lý Burnside thể rõ ràng Đề tài hoàn thiện toán thực tế liên quan đến lý thuyết biểu diễn nhóm đưa vào Tuy nhiên, thời gian nghiên cứu có hạn nên nghiên cứu đề tài chắn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong góp ý, dẫn thầy cô bạn sinh viên 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hoàng Phương (2002), Lý thuyết nhóm ứng dụng vào Vật lý học lượng tử, NXB khoa học kỹ thuật, Hà Nội [2] Michael Aivazis, Wu-Ki-Tung (1991), Group theory in physics: Problems and Solutions, NXB World Scientific [3] Wu-Ki-Tung (1985), Group theory in physics, NXB World Scientific 35 ... quen với lý thuyết biểu diễn nhóm Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết nhóm biểu diễn nhóm Giải số tập lý thuyết biểu diễn nhóm Đối tượng nghiên cứu Một số tập lý thuyết biểu diễn nhóm Nhiệm... thiệu số nội dung lý thuyết nhóm lý thuyết biểu diễn nhóm Đề tài đưa số tập lý thuyết biểu diễn nhóm Qua nội dung lý thuyết biểu diễn nhóm như: đặc biểu, biểu diễn khả quy – bất khả quy, biểu diễn. .. Chương 1: Một số định nghĩa lý thuyết nhóm Chương 2: Lý thuyết biểu diễn nhóm Chương 3: Một số tập PHẦN II: NỘI DUNG Chương 1: Một số định nghĩa lý thuyết nhóm  Định nghĩa nhóm Một tập G : a,