Một số bài toán về đa thức

Một số bài toán ứng dụng của đa thức đối xứng .... Lý do chọn đề tài Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn

Lời Cảm ơn

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của sự cố gắng của bản thân em sau một thời gian học tập và nghiên cứu dưới sự hướng dẫn của thầy cô Qua đây em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo, đặc

biệt là cô Dương Thị Luyến – người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em

trong quá trình hoàn thành khóa luận

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Thảo

Lời cam đoan

Em xin cam đoan: Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả của quá trình học tập và nghiên cứu của em Khóa luận hoàn thành trên cơ sở những kiến thức mà em đã được học, một số tài liệu tham khảo và sự chỉ bảo của

các thầy cô giáo, đặc biệt là sự chỉ bảo tận tình của cô Dương Thị Luyến Với đề tài “ Một số bài toán về đa thức” , khóa luận này không có sự

trùng lặp với các khóa luận khác

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Bùi Thị Thảo

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức cơ bản 2

1 Vành đa thức một ẩn 2

1.1 Xây dựng vành đa thức một ẩn 2

1.2 Một số tính chất của đa thức một ẩn 3

1.2.1 Phép chia đa thức 3

1.2.2 Nghiệm của đa thức 3

1.3 Đa thức bất khả quy 8

1.4 Đa thức với hệ số thực và phức 9

1.5 Đa thức đồng dư 9

2 Vành đa thức nhiều ẩn 10

2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn 10

2.2 Bậc của đa thức nhiều ẩn 11

2.3 Đa thức đối xứng 11

Chương 2 Một số bài toán về đa thức 13

1 Một số bài toán về đa thức một ẩn 13

1.1 Bài toán chia hết 13

1.1.1 Bài toán chứng minh chia hết 13

1.1.2 Tìm giá trị của tham số m để f(x, m) chia hết cho g(x,m) 15

1.2 Xác định đa thức trong phép chia có dư 19

1.3 Bài toán về nghiệm của đa thức 20

1.3.1 Định lý Viéte và một số ứng dụng 20

1.3.2 Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng 25

1.3.3 Nghiệm của đa thức hệ số nguyên 27

1.3.4 Bài toán về đạo hàm đa thức và nghiệm bội 31

1.4 Bài toán về đa thức bất khả quy 33

2 Bài toán về đa thức nhiều ẩn 37

2.1 Tìm biểu diễn của đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản 37

2.2 Một số bài toán ứng dụng của đa thức đối xứng 39

2.2.1 Phân tích đa thức thành nhân tử 39

2.2.2 Chứng minh đẳng thức 42

2.2.3 Chứng minh bất đẳng thức 44

2.2.4 Tìm nghiệm nguyên của phương trình đối xứng 46

2.2.5 Giải hệ phương trình đối xứng 48

2.2.6 Giải phương trình căn thức 51

2.2.7 Trục căn thức ở mẫu 52

Kết luận 54 Tài liệu tham khảo

Mở ĐầU

1 Lý do chọn đề tài

Đa thức có vị trí rất quan trọng trong Toán học, nó không những là

đối tượng nghiên cứu trọng tâm của Đại số mà còn là công cụ đắc lực của giải tích trong lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết nội suy, lý thuyết tối ưu, … Ngoài ra, các định lý và các đặc trưng cơ bản của đa thức còn được sử dụng nhiều trong Toán Cao cấp, Toán ứng dụng

Các bài toán về đa thức và được xem như những dạng toán khó ở THPT, được đề cập nhiều trong các kỳ thi HS giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế và kỳ thi Olympic sinh viên giữa các trường Đại học, Cao đẳng Vì các lý do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu khoa học, dưới sự hướng dẫn tận tình của cô Dương Thị Luyến, em đã chọn đề tài “ Một số bài toán về đa thức” với mong muốn ứng dụng những kiến thức đã học vào chương trình toán THPT

2 Mục đích nghiên cứu và nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu các bài toán về đa thức

3 Đối tượng nghiên cứu

Các bài toán về đa thức

4 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu ; Phân tích; So sánh ; Hệ thống hóa

là bằng nhau nếu và chỉ nếu ai = bi, i = 0, 1, 2, … Ta có:

∗ ( , , ,a a0 1 a n, )( , , , , )b b0 1 b n (a0 b a0, 1b1, ,a nb n, ) (1)

∗ (a a0, , ,1 a n, ).( , , ,b b0 1 b n, )( , , ,c c0 1 c n, ) (2) với k 0 k 1 k 1 k 0 i j

i j k

c a b a b a b a b

 

      , k 0,1, 2,

Khi đó (P,+, ) lập thành một vành giao hoán có đơn vị gọi là vành đa thức

Thật vậy, ta có hai quy tắc (1) và (2) cho ta hai phép toán trong P

• (P, + ) là một nhóm giao hoán Thật vậy:

+ Hiển nhiên phép cộng có tính chất giao hoán và kết hợp

+ Phần tử không là dãy (0,0,…,0,…)

+ Phần tử đối của dãy (a0, a1,…, an,…) là dãy (- a0, - a1,…,- an,…)

Vậy P là nhóm cộng giao hoán

• (P, ) là một nhóm giao hoán Thật vậy,

Nhận thấy f là đơn cấu vành, do vậy ta đồng nhất phần tử a  A với dãy (a, 0, …, 0, )  P thì A là vành con của P

Đặt x = (0, 1, 0, …, 0, …) Khi đó mỗi phần tử của P là dãy

(a0, a1, …, an,…) với các ai  A, i = 0, 1, 2, … có thể viết dưới dạng: f(x) = a0 + a1x + …+ anxn Nếu an ≠ 0 (n ≥ 0) thì được gọi là bậc của đa thức f(x), kí hiệu n = degf(x)

Đa thức không là đa thức không định nghĩa bậc hoặc có bậc – ∞

Kí hiệu P = A[x] gọi là vành đa thức ẩn x, A là vành cơ sở, các phần tử của nó được gọi là các đa thức ẩn x, thường kí hiệu là f(x), g(x),…

1.2.Một số tính chất của đa thức một ẩn

1.2.1 Phép chia đa thức

Định lí 1 (Định lý về phép chia có dư)

Cho A[x] là vành đa thức, A – là một trường Với hai đa thức f(x), g(x)  A[x] (g(x) ≠ 0) luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x)

Nếu r(x) ≠ 0 thì deg r(x) < deg g(x), r(x) là dư của phép chia f(x) cho g(x)

Nếu r(x) = 0 ta nói f(x) chia hết cho g(x), kí hiệu f(x) ⋮ g(x)

1.2.2 Nghiệm của đa thức

a) Định nghĩa 1

Cho f(x)  A[x] , f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 , c  A , f(c) = ancn + an-1cn-1 + … + a1c + a0  A, f(c) là giá trị của f(x) tại x= c Nếu f(c) = 0 thì c là nghiệm của đa thức f(x)

c) Lược đồ Hoorne

Định lí 3

Cho đa thức f(x) = a0xn + a1xn -1 +…+an (a0 ≠ 0) và g(x) = x – a Khi

đó thương của f(x) chia cho g(x) là một đa thức bậc n – 1 có dạng

Định lí 4

Số α là nghiệm của f(x) khi và chỉ khi f(x) chia hết cho (x – α) Giả

sử A là một trường, α  A, f(x)  A[x] và m  , m ≥ 1 Khi đó, α là

nghiệm bội cấp m của f(x) ( ) ( ) 1

m m

ở đây  1, 2, ,n là những nghiệm của đa thức

Sau khi ta nhân các thừa số với nhau và nhân các hệ số theo các dạng đa thức chuẩn tắc và so sánh các hệ số của đa thức P(x) ta nhận

a a

a a

a a

* Định lý Viéte đảo

Nếu x1,x2,…,xn thỏa mãn hệ

1 2 1

f) Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng

Định nghĩa 3 Một đa thức P(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, gọi là đa thức hệ số đối xứng, nếu những hệ số trong dạng chuẩn tắc của nó cách

hệ số đầu và hệ số cuối bằng nhau thì có giá trị bằng nhau, nghĩa là:

  với x ≠ 0, còn Q(y) là đa thức bậc m

g) Nghiệm của đa thức hệ số nguyên

Định lí 9

Nếu phân số tối giản p ( , ) 1p q 

q  là nghiệm của đa thức với hệ số

nguyên f(x) = a + ax + …+ a xn thì p là ước của a và q là ước của a

Chøng minh

Gi¶ sö ph©n sè tèi gi¶n p ( , ) 1p q 

q  là nghiÖm cña ®a thøc f(x)

HÖ qu¶ 2 NÕu ph©n sè tèi gi¶n p

q lµ nghiÖm cña ®a thøc víi hÖ sè

Cho T là một trong các trường số , , Đa thức p(x)  T[x]

được gọi là đa thức bất khả quy (đa thức không phân tích được ) trên T nếu p(x) khác đa thức không; p(x) không khả nghịch và các ước của p(x)

là một phần tử khả nghịch hoặc liên kết với p(x)

b) Tính chất

Định lý 10

Cho P(x) là một đa thức với hệ số trong T, P(x) bất khả quy trên T khi

và chỉ khi ước duy nhất của nó với những hệ số thuộc T có dạng  và

 P(x), ở đây  ≠ 0 là một số bất kỳ trong T

Định lý 11

Nếu P(x) là một đa thức bất khả quy trên T, Q(x) là một đa thức bất

kỳ trong T thì hoặc Q(x) ⋮ P(x) hoặc (Q(x), P(x)) = 1

Định lý 12

Cho P(x) là đa thức bất khả quy trên T, Q(x) và R(x) là những đa thức với hệ số thuộc T Nếu Q(x) R(x) ⋮ P(x) thì ít nhất một trong các thừa số Q(x) và R(x) chia hết cho P(x)

Định lý 13

Nếu một đa thức hệ số nguyên không phân tích được thành tích hai

đa thức hệ số nguyên thì nó không phân tích được thành tích hai đa thức

hệ số hữu tỉ

c) Tiêu chuẩn Eisenstein

=  n n n n

f x a x a  x    a xa  Z [x] Giả sử p  thỏa mãn đồng thời :

i) an không chia hết cho p ii) ai ⋮ p, i  0, n 1 

iii) a0 không chia hết cho p2 Khi đó f(x) bất khả quy trên

1.4 Đa thức với hệ số thực và phức

Cho một đa thức với hệ số thực thì chưa chắc đa thức đó có nghiệm trong trường số thực, nhưng luôn có nghiệm trong trường số phức Với mọi đa thức bậc n có đúng n nghiệm phức Ta có các bổ đề sau:

Bổ đề 1 Mọi đa thức với hệ số thực bậc lẻ có ít nhất một nghiệm thực

Bổ đề 2 Mọi đa thức bậc > 0 với hệ số thực có ít nhất một nghiệm phức

Cho ( ) x là một đa thức khác không Ta nói rằng đa thức P(x) và Q(x)

đồng dư với nhau theo mô đun đa thức ( ) x nếu P x( )Q x( )( ).x

Kí hiệu ( ) P x Q x( )(mod ( )). x

2.1 Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn

Xây dựng vành đa thức nhiều ẩn bằng phương pháp quy nạp

Giả sử A là vành giao hoán có đơn vị

Đặt A1 = A[x1] là vành đa thức ẩn x1, lấy hệ tử trên A,

Đa thức f(x1,…,xn) = 0 khi và chỉ khi ci = 0 với mọi i1, m

Hai đa thức f(x1,…,xn) và g(x1,…,xn) bằng nhau khi và chỉ khi chúng có các hạng tử như nhau

2.2 BËc cña mét ®a thøc nhiÒu Èn

b) Tính chất

Tổng và tích của hai đa thức đối xứng là một đa thức đối xứng

c) Định lý 1.16 (Định lý về sự biểu diễn đa thức đối xứng qua các đa thức đối xứng cơ bản)

Cho đa thức đối xứng f x x( ,1 2, ,x n)A x x[ ,1 2, ,x n] Khi đó tồn tại duy nhất một đa thức h(x1,x2,…,xn) sao cho

Chương ii Một số bài toán về đa thức

1 Một số bài toán về đA thức một ẩn

1.1 Bài toán chia hết

1.1.1 Bài toán chứng minh chia hết

a) Cơ sở lí luận Sử dụng định nghĩa và tính chất của phép chia hết b) Phương pháp giải

∗ Phương pháp 1: Để chứng minh f(x) ⋮ g(x) ta biến đổi f(x) = g(x).h(x)

∗ Phương pháp 2: Chứng minh quy nạp

∗ Phương pháp 3: Phương pháp đồng dư

c) Một số ví dụ

Ví dụ 1

Chứng minh rằng với mọi giá trị n  +, đa thức (x + 1)2n+1 + xn+2

chia hết cho đa thức x2 + x + 1

Lời giải

Ta chứng minh bằng quy nạp theo n  

Với n = 1 khẳng định đúng vì khi đó (x + 1)2n+1 + xn+2 = (2x+1)(x2+x+1) Giả sử khẳng định đúng với n – 1, nghĩa là (x + 1)2n+1 + xn+2 chia hết cho

x2 + x + 1

Khi đó (x + 1)2n+1 + xn+2 = (x + 1)2(x + 1)2n-1 + x.xn+1

= (x2 + x + 1)(x + 1)2n-1 + x.xn+1

= (x2 + x + 1)(x + 1)2n-1 + x((x + 1)2n-1 + xn+1) cũng chia hết cho đa thức x2 + x + 1

Vậy khẳng định được chứng minh đúng với mọi n

Ví dụ 2

Chứng minh đa thức x9999 + x8888 + x7777 + x6666 + …+ x1111 + 1 chia hết cho x9 + x8 + x7 + x6 + …+ x + 1

Ta thấy với mọi số tự nhiªn k th×:

(x10)k-1 = (x10 – 1)[ x10(k-1) + x10(k-2) + …+ x10 + 1] chia hÕt cho ®a thøc

x10 – 1, mà x10 – 1 = (x – 1)( x9 + x8 + x7 + x6 + …+ x + 1) nªn đa thức (x10)k – 1 chia hÕt cho ®a thøc x9 + x8 + x7 + x6 + …+ x + 1

Do đã B – A chia hết cho A, và do đã B chia hết cho A

∗ Phương ph¸p 2: Sử dụng định nghĩa phÐp chia hết, đồng nhất c¸c hệ số

∗ Phương ph¸p 3: Phương ph¸p đồng dư

∗ Phương ph¸p 4: Sử dụng định lÝ BÐzout

b) Mét sè vÝ dụ

VÝ dụ 1 T×m m để đa thức f(x) = 4x4 – 5x3 + m2x2 – mx – 80 chia hết cho x – 2

Lời giải C¸ch 1

Ta cã

f(x) = [4x3 + 3x2 + (6 + m2)x + 2m2 – m + 12](x – 2) + 4m2 – 2m – 56 Đặt g(x) = x – 2;

m   thoả mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 2 Xác định các số thực p, q sao cho đa thức 4

a p

b ap q

bp aq bq

điều này vô lí

+ Nếu b p, thay vào (4) ta được b p hoặc 1 b p  1

MÆt kh¸c, thay vµo (2) ta ®­îc 2ba2  nªn 0 b  V× vËy ta cã 0

VÝ dô 3 T×m a và b sao cho hai ®a thøc f(x) = 4x3 – 3x2 + 2x + 2a + 3b

và g(x) = 5x4 – 4x3 + 3x2 – 2x –3a + 2b còng chia hÕt cho (x – 3)

Lêi gi¶i C¸ch 1

VÝ dô 4 T×m n  sao cho f(x) = (x + 1)n – xn – 1 ⋮ g(x) = x2 + x + 1

1.2 Xác định đa thức trong phép chia có dư

a) Cơ sở lí luận Dựa vào định lí của phép chia có dư

b) Phương pháp giải

∗ Phương pháp 1: Tìm dư thức, cho bằng dư thức đã cho ở đề bài

∗ Phương pháp 2: Sử dụng định lí phép chia có dư (chú ý các giá trị đặc biệt

của x)

c) Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm a, b, c biết rằng f(x) = 2x4 + ax2 + bx +c chia hết cho x + 2

và khi chia f(x) cho x2 – 1 thì được dư là x

Lời giải

Từ giả thiết ta có: 2 1

2

( ) ( 2) ( )( ) ( 1) ( )

a b c

Ví dụ 2 Tìm đa thức f(x) bậc ba biết đa thức đó chia hết cho x – 2 và có

cùng số dư là – 4 khi chia lần lượt cho x – 1, x + 1, x + 2

Vì khi chia f(x) lần lượt cho x – 1, x + 1, x+ 2 và có cùng số dư là – 4 nên ta có: – 8a + 4b – 2c + d = – 4 (2)

b d

Lời giải

Ta kí hiệu x1, x2, x3 là độ dài các cạnh của tam giác và y1, y2, y3 là

độ dài các đường cao xuống cạnh tương ứng và S là của tam giác

Ví dụ 3 Cho a b c d , , , 0 thoả mãn

2(ab + ac + ad + bc + bd + cd) + abc + abd + bcd + acd = 16

1

34

Xét đa thức với biến x: P(x) = (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 (1)

Ta có P(–y) = z3 – (– y)3 – y3 – z3 = 0, nên y là nghiệm của P(x) Theo

định lí Béout thì P(x) ⋮ (x + y), tức là (x + y + z)3

– x3 – y3 – z3 ⋮ x + y Tương tự cho y và z: (x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ⋮ z + y

(x + y + z)3 – x3 – y3 – z3 ⋮ x + z

d) Bài tập tương tự

1 Tìm  sao cho các nghiệm của 4 3 2

P x x  x  x  x thoả mãn  1 2  3 4

2 Tìm  sao cho các nghiệm    1, 2, 3, 4 của

P x x x x  x thoả mãn điều kiện 12 1

3 Tìm những giá trị của  sao cho các nghiệm 1,2,3 của đa thức

3 2

P x x x  x thoả mãn điều kiện 12  1 2

4 Hãy lập đa thức bậc ba mà những nghiệm của nó 1,2,3 thoả mãn những đẳng thức sau :

1.3.2 Nghiệm của đa thức hệ số đối xứng

a) Cơ sở lí luận Các định lí đa thức hệ số đối xứng

x x x x x x

2 Kiểm tra bằng lược đồ Hoorne ta được   1

2 là nghiệm hữu tỉ duy nhất

u \ (- 4) ; Ư(- 4) = {± 1; ± 2; ± 4}

v \ 2 ; Ư( 2 ) = {± 1; ± 2 }

(*)

Dạng 2 Tìm đa thức có hệ số nguyên nhận số vô tỉ làm nghiệm

a) Phương pháp giải Từ nghiệm hữu tỉ biến đổi bằng cách nâng lũy

thừa để tạo ra đa thức có hệ số nguyên

Suy ra, ®iÒu ph¶i chøng minh

VÝ dô 2 ( HSG Quèc gia 1984)

T×m ®a thøc víi hÖ sè nguyªn nhËn 233 lµm nghiÖm

b) Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ thì f(x) có nghiệm nguyên là ước của 9 Nhưng 13 23 4  Ư(9) nên 1 32 34 là số vô tỉ

Do đó nó không là nghiệm của đa thức bậc nhất hệ số nguyên

 q(x) là đa thức bậc nhất nên f(x) có nghiệm hữu tỉ (vô lý )

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 4 Cho đa thức P(x) = x3 + ax2 + bx +c, trong đó a, b, c là các số hữu tỷ, biết rằng 3 là một nghiệm của đa thức Tìm các nghiệm khác của đa thức (nếu có)

Suy ra, nghiệm còn lại của đa thức là:  3, a

1.3.4 Bài toán về đạo hàm đa thức và nghiệm bội

a) Cơ sở lí luận Sử dụng định nghĩa đạo hàm đa thức, định nghĩa nghiệm bội và tính chất sau:

 

1

.0

m m

c) Mét sè vÝ dô

D¹ng 1 T×m sè béi cña nghiÖm

VÝ dô T×m sè béi cña nghiÖm  = 2 cña ®a thøc

D¹ng 2 T×m mèi liªn hÖ gi÷a c¸c hÖ sè cña ®a thøc khi biÕt mèi liªn

hÖ cña c¸c nghiÖm béi

Tìm giá trị ,  sao cho p(x) = x4 – 3x3 + 5ix2 +  có nghiệm bội

bậc hai mà nó bằng tổng hai nghiệm còn lại

i i i

1.4 Bài toán về đa thức bất khả quy

a) Cơ sở lí luận Định nghĩa, tính chất của đa thức bất khả quy

b) Phương pháp giải Sử dụng tiêu chuẩn Eisenstein