sáng kiến kinh nghiệm đề tài một số bài toán về đa thức và áp dụng

TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH ĐỀ TÀI: Người thực : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2010-2011 MỤC LỤC I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Một số kết đạt II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC Chương II: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Chương III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chương IV: CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE Chương V: ĐỊNH LÝ VIETE Chương VI: ĐA THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương VII: ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TỐN Một số tốn Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh I PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Từ tham dự hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay, học tập chuyên đề giảng viên, chun gia Tốn Bộ trình bày động viên thầy Trương Thành Phú chuyên viên mơn Tốn Sở Giáo dục đào tạo Tiền Giang chúng tơi có tâm huyết cố gắng thực hồn chỉnh, cụ thể hố chun đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung Tỉnh kỳ thi HSG cấp khu vực cấp quốc gia Trong năm gần mơn Tốn tỉnh Tiền Giang có tiến đạt số thành tích đáng kể kỳ thi HSG khu vực Nhưng gần Bộ thay đổi mạnh quy chế thi HSG cấp Quốc gia khơng cịn phân chia hai bảng A, B trước mà có bảng thống chung tồn quốc Đề thi khó khối lượng kiến thức nhiều gây khó khăn cho Giáo viên học sinh mơn Tốn tỉnh nhà Trong điều kiện khó khăn việc tìm tài liệu viết chuyên đề việc cần thiết tình hình Được ủng hộ thầy cô tổ Tốn trường THPT Chun Tiền Giang chúng tơi thực viết chuyên đề: “ Một số toán đa thức áp dụng” Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng kiến thức Đa thức mà học sinh chuyên Toán học như: Phương trình hàm đa thức, Đa thức bất khả quy, Công thức nội suy Lagrange, Định lý Viét cho đa thức bậc n, Đa thức Tsêbưsep, Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức biết vận dụng đa thức vào giải toán lượng giác, hệ phương trình đại số đồng Một số tốn Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh thời định hướng trình suy nghĩ giải vấn đề, rèn luyện tư sáng tạo toán học khả vận dụng sáng tạo giải toán Nhiệm vụ nghiên cứu: Hệ thống kiến thức đa thức, phân dạng tập hướng dẫn giải tập áp dụng Tùy theo nội dung vấn đề đa thức, chọn lọc số tập có kiến thức liên quan như: số học, nghiệm phương trình, bất đẳng thức, tổ hợp, … mà kỳ thi học sinh giỏi tốn thường hay gặp Vì chun đề nâng cao đa thức để rèn luyện kỹ giải Tốn cho học sinh giỏi nên chúng tơi khơng trình bày hệ thống lý thuyết Đa thức, coi học sinh chun Tốn phải biết chương trình khóa đa thức để làm sở cho việc học chuyên đề Rèn luyện tư giải tốn thơng qua giải tập đa thức áp dụng đa thức để giải toán đồng thời trao đổi học tập kinh nghiệm với thầy mơn Tốn tỉnh Tiền Giang Phương pháp nghiên cứu - Dựa vào chuyên đề học Hà Nội tài liệu tất đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống toán Đa thức thường gặp kỳ thi học sinh giỏi Toán - Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan, phân loại tập, nhận xét cách giải, tạo tình có vấn đề để học sinh trao đổi nghiên cứu - Hệ thống xếp dạng tập từ dễ đến khó có hướng dẫn - Chúng tơi khơng trình bày chi tiết lời giải mà định hướng cách giải, phần giải dành cho học sinh.Tuy nhiên trước hướng dẫn cho học sinh tự giải vấn đề cách độc lập để phát từ Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh em nhiều cách giải hay, độc đáo góp phần bồi dưỡng rèn luyện tư sáng tạo cho học sinh - Phương pháp phân tích: giúp học sinh nắm rõ chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng tương tự hoá toán Một số kết đạt Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp tài liệu cần thiết để giải tập Đa thức áp dụng đa thức để giải toán Qua chuyên đề giúp học sinh khắc sâu thêm kiến thức Đa thức kiến thức khác : Số học, Phương trình, Phương trình hàm, Giải tích Tổ hợp,… Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết chuyên đề nâng cao khác II NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Các tập Đa thức áp dụng đa thức để giải toán thường gặp đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có chuyên đề Đa thức phong phú nên chúng tơi viết chun đề: “ Một số tốn đa thức áp dụng” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà Đề tài chia làm chương: Chương I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC Chương II: ĐA THỨC BẤT KHẢ QUY TRÊN TẬP SỐ NGUYÊN Chương III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chương IV: CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE Chương V: ĐỊNH LÝ VIETE Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Chương VI: ĐA THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương VII: ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN Trong chương sau phần trình bày vấn đề có liên quan hệ thống tập có hướng dẫn Dù cố gắng nhiều đề tài không tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp từ đồng nghiệp mơn Tốn tỉnh nhà Sau trình bày phần nội dung đề tài Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Chương I: PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC I.1 Sử dụng tính chất : Nếu P(x)  R[ x ] đa thức tuần hoàn, tức tồn a khác cho P(x+a) = P(x) với x P(x) = C , x  R Thật đặt Q(x) = P(x) – P(0) ta có Q(0) = Q(x+a) = Q(x) x  R suy Q(na) = với n số tự nhiên P(x) = có vơ số nghiệm nên Q( x)   P( x)  P(0)  C Bài 1:a/ Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa xP(x-1) = (x-3)P(x), x  R (Thi HSG cấp Tỉnh 2000) b/ Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa (x-1)2P(x) = (x-3)2P(x+2), x  R Hướng dẫn: a/Lần lượt thay x = 0, x = 1, x =2 vào xP(x-1) = (x-3)P(x) ta tìm P(0) = P(1) = P(2) = Theo định lý Bezout P(x) = x(x-1)(x-2)Q(x) từ suy Q(x) = Q(x-1)  Q ( x)  C Thử lại P ( x )  Cx( x  1)( x  2) ( với C số ) thỏa toán b/ x= nghiệm bội bậc lớn P(x) nên P(x) = (x3)2Q(x) từ suy Q(x) =Q(x+2)  Q ( x)  C Thử lại P ( x )  Cx( x  1)( x  2) ( với C số) thỏa tốn Bài 2: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(0) = P( x)   P( x  1)  P( x  1) Hướng dẫn: Đặt Q(x)=P(x+1)-P(x)  Q ( x)  Q ( x  1), x  Q ( x)  C P(n)= [P(n)-P(n-1)]+ [P(n-1)-P(n-2)] +…+ [P(1)-P(0)] + P(0) = nC với n  N  P( x)  Cx  có vơ số nghiệm P(x) = Cx Thử lại P ( x )  Cx thỏa toán Một số toán Đa thức áp dụng Bài 3: P ( x )  P(1)  đa Tìm ThS Nguyễn Vũ Thanh thức P(x) hệ số thực thỏa  P( x  1)  P( x  1) Hướng dẫn: Đặt P(1) = a Q ( x)  P( x)  ax Q(1)=0 Q ( x)  Q ( x  1)  Q ( x  1) Tương tự ta có Q( x)  bx  b Thử lại P ( x )  ax  bx  b , với a,b số thỏa tốn Bài 4: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(x+1) = P(x) + 2x + 1, x  R Hướng dẫn: Đặt Q ( x)  P( x)  x Q( x  1)  Q ( x)  Q ( x)  C Thử lại P( x)  x  C thỏa tốn Bài 5: a/Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(0) = P ( x  1)   P( x)  b/Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P(2011) = 2043 P ( x )  P( x  1)  33  32 ( x  0) Hướng dẫn: a/Đặt Q(x) = P(x) – x Q(0) = , giả sử x = k nghiệm Q(x) P(k) = k  P (k  1)  k   Q (k  1)  mà k   k nên Q(x)=0 có vơ số nghiệm suy Q ( x)   P ( x)  x b/ Đặt Q(x) = P(x) – 32 Q(2011) = 2011 Q ( x  1)  Q ( x)    Q( x)  x Bài 6: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P (u  v )  P (u  v ).P (u  v ) Hướng dẫn: Đặt x = u+v y = u-v ta có P( xy )  P( x).P( y ) (1).Cho x = y=0 P(0) = P(0) = Nếu P(0) =1 cho y = ta P( x )  Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Nếu P(0) = P(x) = xQ(x) với degQ = degP-1.Thay vào (1) ta Q ( xy )  Q( x).Q( y ) Tiếp tục trình lập luận ta có P( x )  P ( x )  x n , với n nguyên dương Bài 7: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa ( x  3x  3x  2) P( x  1)  ( x3  x  x  2) P( x) (1) (Thi HSG Quốc Gia 2003) Hướng dẫn: Ta có (1)  ( x  2)( x  x  1) P( x  1)  ( x  2)( x  x  1) P ( x ) (2) Lần lượt thay x  1, x  2 ta tính P(2)  P(1)  P(0)  P(1)  suy P( x )  ( x  1) x( x  1)( x  2)Q ( x) Tiếp tục thay vào (2) ta ( x  x  1)Q( x  1)  ( x  x  1)Q( x)  Q ( x )  ( x  x  1) R( x ) Từ tìm R( x  1)  R( x)  R( x)  C Thử lại P ( x )  C ( x  1) x ( x  1)( x  2)( x  x  1) thỏa toán Nhận xét : Các tập áp dụng nhiều lần tính chất sau: - Định lý Bezout : x0 nghiệm đa thức P(x) P(x0) chia hết cho x – x0 - Mọi đa thức P(x) bậc n ( n  ) khơng thể có q n nghiệm - Nếu đa thức P(x) bậc khơng q n có n nghiệm P( x )  I.2.Áp dụng phương pháp đồng Bài 8: Tìm đa thức P(x) hệ số nguyên thỏa 16 P ( x )   P(2 x) (1) Hướng dẫn: Gọi a hệ số bậc cao P(x) (a  0) Đồng hệ số bậc cao (1) ta 16a  2n a  a  16  Z  n  0;1; 4n  Với n =0 ta có P( x)  0, P( x )  16 Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh  Với n = a = P(x) = 4x + b Thay vào (1) đồng ta b = 0.Vậy P( x)  x  Với n = ta có a = P(x) = x2+bx+c Thay vào (1) đồng ta b = c = 0.Vậy P( x )  x 2 Bài 9: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P( x )   P( x) Hướng dẫn:  Với P(x) = C C2 = C suy C = C = 1.Ta có P( x)  0; P( x)  Với P( x )  an x n  an 1 x n1   a1 x  a0 ( an  0) Giả sử an 1 , an , , a0 không đồng thời 0.Chọn k < n số lớn cho ak  Ta có P( x )   P( x )  an x n  ak x k   a1 x  a0  (an x n  ak x k   a1 x  a0 )2 So sánh hệ số xn+k hai vế ta có 2an ak  ( ý 2k < n+k < 2n) Suy ak = ( vô lý ) Vậy an 1  an   a0  , từ suy an=1 P( x )  x n , với n nguyên dương Bài 10: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P( x  x )   P( x  2) Hướng dẫn: 2 Ta có P( x  x)   P( x  2)   P(( x  1)2  1)   P(( x  1)  1) Đặt Q ( y )  P( y  1)  Q[( x  1) ]  Q ( x  1) Theo Q  0, Q  1, Q  x n  P  0, P  1, P  ( x  1) n Bài 11: Tìm đa thức P(x) hệ số thực thỏa P( x )  x[3P( x)  P( x)]   P( x)   x (1) (Thi HSG Quốc Gia 2006) Hướng dẫn: Thay x –x trừ cho  P( x )  P( x ) P( x)  P( x)  x   -Hoặc P(x)+P(-x) = với vô số giá trị x Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh -Nếu Tn 3, n p  T1 3, T3   p  pq  m  m   r  Z Bài 12: Giả sử tam giác ABC có ba góc nhọn để tanA,tanB,tanC ba nghiệm PT: x  px  qx  p  0(q  1) CMR: p  3 q > 1(Thi HSG Quốc Gia 1988) Hướng dẫn: Áp dụng định lý Viet BĐT tan A  tan B  tan C  3 tan A tan B tan C  p  27  p  3 1 Áp dụng ( x  y  z )(   )  x y z Bài 13: Cho a,b,c,d > CMR: abc  abd  acd  bcd ab  ac  ad  bc  bd  cd  Dấu xảy ? Hướng dẫn: Giả sử a  b  c  d F(x)=(x-a).(x-b).(x-c).(x-d) Ta có F(a) = F(b) = F(c) = F(d) = nên F/(x) có nghiệm y1, y2, y3 đoạn [a;b], [b;c], [c;d] a  y1  b  y2  c  y3  d Ta có F(x) = x4-T1x3+T2x2-T3x+T4 với T1 = a+b+c+d , T2 = ab+ac+ad+bc+bd+cd , T3 = abc+abd+acd+bcd , T4 = abcd F/(x)= 4x3-3T1x2+2T2x-T3 có nghiệm dương y1,y2,y3 Theo định lí Viét ta : y1 y2  y2 y3  y3 y1  T2 T ; y1 y2 y3  Áp dụng BĐT Cơsi ta có : T T T T  ( y1 y2  y2 y3  y3 y1 )   y1 y2 y3       3  6 4 Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Bài 14: Cho a , b, c, d  thỏa 2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)+abc+abd+acd+bcd = 16 CMR: a  b  c  d  (ab  ac  ad  bc  bd  cd ) (Thi QG năm 1996) Hướng dẫn: Đặt F(x) , Ti (i=1,2,3,4) 12 ta có F/(x) có nghiệm khơng âm x1, x2, Theo x3 : x1  x2  x3  định lí Viet ta có 3T1 T T , x1 x2  x2 x3  x3 x1  , x1 x2 x3  4 Từ giả thiết ta có 2T2+T3 =16 suy x1 x2+ x2 x3+ x3 x1+ x1 x2 x3 = (1) Ta lại có T1  T2  x1  x2  x3  x1 x2  x2 x3  x3 x1 (*) Do (1) nên số x1 ,x2 ,x3 có nhiều số ,giả sử x1,x2 >0 từ (1) suy x3   x1 x2 x1  x2  x1 x2 Từ (*) ta có (*)  x1  x2   x1 x2  x1 x2   x1 x2  x1  x2  x1 x2 x1  x2  x1 x2 ( x1  x2  2)  x1 x2 (1  x1 )(1  x2 ) (**) Nếu (1-x1) (1-x2)  (**) Nếu (1-x1) (1-x2) > từ < (1-x1) (1-x2)  (2  x  y )2  xy  suy (**) Chương VI ĐA THỨC CHEBYSHEV ( TSÊBƯSEP ) VI.1 Đa thức Tsêbưsep VI.1.1 Định nghĩa: Với số nguyên dương n, Đa thức Tsêbưsep bậc n đa thức Tn ( x) xác định: Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh T1 ( x )  x ,T2 ( x)  x  (n  2)  Tn 1 ( x )  xTn ( x)  Tn 1 ( x)  VI.1.2 Nhận xét 1: Đa thức Tsêbưsep Tn ( x) thỏa mãn điều kiện Tn (cos u )  cos nu ( u  R ) (1) Thật ta chứng minh (1) quy nạp theo n.Ta có T1 (cos u )  cos u , T2 (cos u )  2cos u   cos 2u Giả sử Tk (cos u )  cos ku ( u  R) với k  n Ta CM Tn1 (cos u )  cos(n  1)u Từ cos( n  1)u  cos(n  1)u  2cos u cos nu  cos(n  1)u  2cos u cos nu  cos(n  1)u   2cos uTn (cos u )  Tn1 (cos u )  Tn1 (cos u ) Vậy Tn (cos u )  cos nu ( u  R ) VI.1.3 Nhận xét 2: Từ định nghĩa đa thức Tsêbưsep (1) ta biểu diễn cos nu thành đa thức theo cosu.Chẳng hạn cos3u  T3 (cos u )  2cos uT2 (cos u )  T1 (cos u )  2cos u (2cos u  1)  cos u  4cos3 u  3cos u cos 4u  T4 (cos u )  2cos uT3 (cos u )  T2 (cos u )  2cos u (4 cos3 u  3cos u )  (2cos2 u  1)  8cos4 u  8cos u  , VI.2 Các tính chất đa thức Tsêbưsep: VI.2.1.Tính chất 1: Đa thức Tsêbưsep Tn ( x) có bậc n hệ số bậ cao n1 Chứng minh: Sử dụng định nghĩa phép quy nạp VI.2.2.Tính chất 2: Tn ( x) hàm số chẵn n chẵn Tn ( x) hàm số lẻ n lẻ Chứng minh: Cách 1: Sử dụng định nghĩa phép quy nạp Cách 2: Ta có Tn ( cos u )  Tn [cos(  u )]  cos(n  nu )  (1) n cos nu  (1) n Tn (cos u ) Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Từ suy Tn ( x)  (1)n Tn ( x ) VI.2.3.Tính chất 3: Đa thức Tsêbưsep Tn ( x) có n nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;1] Chứng minh: Ta CM đoạn [-1;1] Tn ( x) =0 có n nghiệm phân biệt tất nghiệm Tn ( x) Vì x  nên đặt x  cos u , ta có  Tn ( x)  Tn (cos u )  cos nu  u  Đặt uk   k  (k  Z) 2n n  k   k   xk  cos uk  cos   2n n 2n n    Cho k = 0,1,2,…,n-1 ta có  x0 , x1 , , xn1 n nghiệm phân biệt Tn ( x) VI.2.4.Tính chất 4: i/ Tn ( x)  x  ii/Trên đoạn [-1;1] , Tn ( x)  xảy với n+1 giá trị khác / xk  cos k (k  0,1, , n) ,khi Tn ( xk/ )  (1) k n Chứng minh: i/ Với x 1 đặt x  cos u ta Tn ( x)  Tn (cos u )  cos nu  ii/ Trên đoạn [-1;1] , Tn ( x)  cos nu   sin nu   u  / xk  cos k (k  Z ) n k (k  0,1, , n) n+1 giá trị khác cho Tn ( x)  n VI.3 Áp dụng: Bài 1: Cho đa thức P ( x )  ax  bx  c thỏa P( x)  , x  [1;1] CMR Q( x)  cx  bx  a có Một số tốn Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh có tính chất Q( x )  , x  [1;1] Hướng dẫn: Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức bậc không hai f(x) với số 1,-1,0 ta có: P ( x )  P (1) P(1) ( x  x)  ( x  x)  P (0)(1  x ) Ta có 2 P (1) P (1) Q( x)  x P ( )  (1  x)  (1  x)  P(0)(1  x ) x 2  Q( x)  (1  x   x   x )   x  2, x  [1;1] Bài : Cho đa thức P ( x )  ax  bx  cx  d thỏa P( x)  , x  [1;1] CMR Q( x)  dx3  cx  bx  a có tính chất Q( x)  , x  [1;1] Hướng dẫn: Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức bậc không ba P(x) với số 1,  ta có: 1 P( ) P( ) P(1) 2 ( x  1)( x  )  ( x  1)( x  )  P ( x)   ( x  )( x  1)  3 2 P(1)  ( x  )( x  1) Ta có Một số tốn Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh 1 P( ) P( ) P (1) x (1  x )(1  x )  (1  x )(1  x )  Q( x)  x P ( )   (1  )(1  x )  x 3 2 2 P(1) x x x x  (1  )(1  x)  Q ( x)  (1  )(1  x)  (1  x )(1  )  (1  x )(1  )  4 3 2 x  (1  )(1  x)   x  4, x  [1;1] Bài 3: (Bài toán tổng quát):Cho đa thức P ( x)  a0 x n  a1 x n 1   an 1 x  an thỏa P( x)  , x  [1;1] CMR Q( x)  an x n  an 1 x n 1   a1 x  a0 có tính chất Q ( x)  2n 1 , x  [1;1] Hướng dẫn: / Gọi xk  cos k (k  0,1, , n) Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa n / / thức bậc không n P(x) với n+1 số x0 , x1/ , , xn ta có: / / ( x  x0 )( x  x1/ ) ( x  xn ) P ( x)   P ( x ) /  Q( x )  x n P( )  / / / / / ( xk  x0 )( xk  x1 ) ( xk  xn ) x k 0 n / k / / (1  xx0 )(1  xx1/ ) (1  xxn )   P( x ) / , x  0(1) / / / / ( xk  x0 )( xk  x1/ ) ( xk  xn ) k 0 n / k Vì hai vế đa thức nên (1) với x.Với x  [1;1] ta có: n Q ( x)   k 0 / / / / n (1  xx0 )(1  xx1/ ) (1  xxn ) (1  xx0 )(1  xx1/ ) (1  xxn )   (1)k / / / / / ( xk/  x0 )( xk/  x1/ ) ( xk/  xn ) k 0 ( xk  x0 )( xk/  x1/ ) ( xk/  xn ) (2) / / (Vì  x0  x1/   xn  1  xxi/  0, i ) Mặt khác áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức Tsêbưsep Tn ( x) / / n+1 số x0 , x1/ , , xn ta : n Tn ( x )   Tn ( xk/ ) k 0 / / / / n ( x  x0 )( x  x1/ ) ( x  xn ) ( x  x0 )( x  x1/ ) ( x  xn )   ( 1) k / / / / / ( xk/  x0 )( xk/  x1/ ) ( xk/  xn ) k 0 ( xk  x0 )( xk/  x1/ ) ( xk/  xn ) Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh 1 Xét đa thức Tn* ( x)  x nTn   Tương tự (1) ta có x / / (1  xx0 )(1  xx1/ ) (1  xxn ) T ( x)   (1) , x  (đẳng thức với x) (3) / / ( xk/  x0 )( xk/  x1/ ) ( xk/  xn ) k 0 n * n k So sánh (2) (3) ta có Q ( x)  Tn* ( x) , x  [1;1] Đa thức Tsêbưsep Tn ( x) có n   k  n-1 nghiệm xk  cos    ( k  0,1, , n  1) có hệ số bậc cao  2n n  nên: Tn ( x)  2n 1 ( x  x0 )( x  x1 ) ( x  xn1 )  Tn* ( x )  2n 1 (1  xx0 )(1  xx1 ) (1  xxn 1 ) Dãy x0 , x1 , , xn1 dãy đối xứng tức x0   xn 1 , x1   xn2 , x2   xn3 , nên Tn* ( x)  n1 (1  xx0 )(1  xx1 ) (1  xxn 1 )  Tn* ( x)   n1 (1  x x )(1  x x 21 ) (1  x x n1 )  4n1  Q ( x)  Tn* ( x)  n 1 , x  [1;1] Chương VII: ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TOÁN VII.1 Áp dụng lượng giác Bài 1:Cho đa thức f(x) có hệ số hữu tỷ.CMR f(x) nhận cos nghiệm nhận cos  làm 3 làm nghiệm Hướng dẫn:  3 nghiệm PT 5 cos x   cos3x  (1  cos x)(4cos x  2cos x  1)  ) cos 3  , cos hai 5 Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh nghiệm vô tỷ PT x  x   Giả sử f ( x)  (4 x  x  1)q( x )  r ( x) với  3 deg r(x)< r (cos )   r ( x)   f (cos )  5 Bài 2:Tìm số hữu tỷ p,q,r thỏa p cos  2 3  q cos  r cos 1 7 Hướng dẫn: Từ sin cos 4 3   sin suy cos nghiệm PT x3  x  x   7  số vô tỷ Ta CM không tồn đa thức bậc  nhận cos  làm nghiệm(CM tương tự 1) Từ đề suy   2r  2q    r  (2 r  2q )cos  ( p  r )cos   q     p  r   p  r  2, q  2 7 r   q 1 2 Bài 3: CMR với số tự nhiên n số T   cos n  3 cos n  5 cos số hữu tỷ Hướng dẫn:  3 5 ; ; nghiệm PT 7 cos x  cos3x  (cos x  1)(8cos3 x  4cos x  4cos x  1)   cos 3 5  , cos , cos nghiệm PT x3  x  x   7 n Một số toán Đa thức áp dụng Đặt S n  cos n ThS Nguyễn Vũ Thanh  3 7  cos n  cos n từ 8S n3  S n2  Sn 1  S n  suy 7 S n số hữu tỷ  3 3 5  3  3 5 cos n  cos n cos n  cosn cosn  Q;cos n cosn cos n Q  T Q 7 7 7 7  3 5 Bài 4:Tính tổng A  cos5  cos5  cos5 (Thi Chọn ĐT thi HSG 7  cos n Quốc Gia 2009, Tiền Giang) Hướng dẫn:  3 5 ; ; nghiệm PT 7 cos x  cos3x  (cos x  1)(8cos3 x  4cos x  4cos x  1)   cos 3 5  , cos , cos nghiệm PT x3  x  x   Từ 7 8S n3  S n2  Sn 1  S n  , S , S1 , S2  S5 Bài 5:Tính tổng A  tan  5 7  tan  tan 18 18 18 Hướng dẫn:  5 7 ; ; nghiệm PT tan x  18 18 18  tan  5 7 , tan , tan nghiệm PT x3  27 x  33 x   18 18 18 Bài 6:Cho tam giác ABC với ký hiệu quen thuộc CMR: a/ ab  bc  ca  r  p  Rr b/ r  p  R(ha  hb  hc  2r ) c/ bc ca ab 2r    (5  ) p pa pb pc R d/ p  3r  12rR Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Hướng dẫn: A A thay a/Từ công thức r  ( p  a ) tan ; a  R sin A;sin A  A  tan 2 tan tan A r vào a  R sin A ta  pa a  pa  ( p  r  Rr )a  pRr  tương tự cho b,c áp dụng định lý Viet b/Thay  2S vào câu a/ a c/Tìm PT bậc ba nhận cos A B C ,cos ,cos làm nghiệm áp dụng định 2 lý Viet d/ Áp dụng BĐT ( x  y  z )2  3( xy  yz  zx) VII.2 Áp dụng giải hệ phương trình: Bài 7:Giải hệ PT:   x  y  z  27   a/  xy  yz  zx  27 1 1    1 x y z  x  y  z  a  b/  x  y  z  a  x3  y  z  a  c/ x  y  z  a  b  c  2 2 2 x  y  z  a  b  c  x3  y  z  a  b  c3  Hướng dẫn: a/ Từ hệ tìm x  y  z  9, xy  yz  zx  27, xyz  27 Áp dụng định lý Viét đảo hệ có nghiệm (3;3;3) Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh b/ Hệ có ba nghiệm (a;0;0), (0;a;0), (0;0;a) c/ Hệ có nghiệm (a;b;c) hốn vị Bài 8:Cho sin a ,sin b,sin c  cos a,cos b,cos c khác đôi Giải hệ PT:  x sin a  y sin 2a  z sin 3a  sin 4a   x sin b  y sin 2b  z sin 3b  sin 4b  x sin c  y sin 2c  z sin 3c  sin 4c  Hướng dẫn: Từ hệ suy cos a,cos b,cos c ba nghiệm PT: 8t  zt  (4  y )t  z  x  Áp dụng định lý Viét ta có z  cos a  cos b  cos c    y   cos a cos b  cos b cos c  cos c cos a   zx  cos a cos b cos c     x  8cos a cos b cos c  2(cos a  cos b  cos c)    y  4(cos a cos b  cos b cos c  cos c cos a )   z  2(cos a  cos b  cos c )  Bài 9: Cho cos a,cos b,cos c  cos a,cos b,cos c khác đôi Giải hệ PT:  x cos a  y cos 2a  z cos 3a  cos 4a   x cos b  y cos 2b  z cos3b  cos 4b  x cos c  y cos 2c  z cos3c  cos 4c  Hướng dẫn: Từ hệ suy cos a,cos b,cos c ba nghiệm PT: 8t  zt  (2 y  8)t  (3z  x )t  y   Gọi u ghiệm thứ tư PT rối áp dụng định lý Viét suy kết Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh  x  ay  a z  a  Bài 10: Cho a,b,c phân biệt Giải hệ PT:  x  by  b z  b  x  cy  c z  c3  Hướng dẫn: a,b,c ba nghiệm PT: t  zt  yt  x    x  y  3z    Bài 11: Giải hệ PT:  xy  yz  zx  27 1 1    1  x y 3z  Hướng dẫn: Đặt u = x,v = 2y,w = -3z Đưa hệ đối xứng  a x  a y  az  t  a   b x  b y  bz  t  b  Bài 12: Cho a,b,c,d phân biệt Giải hệ PT:  c x  c y  cz  t  c   d x  d y  dz  t  d   Hướng dẫn: Giải tương tự 10 VII.3 Áp dụng toán tổ hợp: Sử dụng nhị thức Newton đồng hai đa thức để chứng minh đẳng thức k k k k k k Bài 13: CMR: Cn  4Cn 1  6Cn 2  4Cn 3  Cn 4  Cn 4 (  k  n) Hướng dẫn: n 4 (1  x) n n  (1  x) (1  x)   C k 0 k n 4  n k k x    Cn x  ( x  x  x  x  1)  k 0  k Đồng hệ số xk hai vế Bài 14: Cho k,n,m ba số tự nhiên thỏa m  k  n CMR: k k k m k k CmCn  CmCn 1  CmCn    Cm Cn  m  Cm  n Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Hướng dẫn: Khai triển đồng vế số hạng xk (1  x)m  n  (1  x )m (1  x) n 2 2 n n Bài 15: CMR:  Cn    Cn    Cn     Cn   C2 n Hướng dẫn: So sánh hệ số xn đồng thức (1  x )n (1  x)n  (1  x) n n n n n Bài 16: CMR: a/ Cn  Cn 1  Cn    Cn  k  Cnn k 1 b/ Cn  Cn  Cn   (1) p Cnp  (1) p Cnp1 Hướng dẫn: a/ Vế trái hệ số xn đa thức f ( x )  (1  x) n  (1  x) n1  (1  x )n   (1  x)n k  [(1  x) n  k 1  (1  x )n ] x n Vế trái hệ số xn đa thức  (1  x) n  k 1  (1  x) n Cn  k 1 b/ Vế trái hệ số xn đa thức f ( x)  x n (1  x )n  x n 1 (1  x )n  x n2 (1  x)n   (1) n x n  p (1  x)n   (1  x)n 1[(1) p x n p  x n1 ] Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh ... chuyên đề: “ Một số toán đa thức áp dụng? ?? Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống phân loại kiến thức tập có sử dụng kiến thức Đa thức mà học sinh chuyên Toán học như: Phương trình hàm đa thức, Đa thức. .. III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chương IV: CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE Chương V: ĐỊNH LÝ VIETE Chương VI: ĐA THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương VII: ÁP DỤNG ĐA THỨC ĐỂ GIẢI TỐN Một số tốn Đa thức áp dụng. .. III: NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Chương IV: CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE Chương V: ĐỊNH LÝ VIETE Một số toán Đa thức áp dụng ThS Nguyễn Vũ Thanh Chương VI: ĐA THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương VII: ÁP DỤNG ĐA