MỘT số bài TOÁN về đa THỨC và áp DỤNG

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG PT VÙNG CAO VIỆT BẮC CHUYÊN ĐỀ KHOA HỌC MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG Người thực hiện: Lại Quỳnh Nguyên Nguyễn Hồng Hạnh Tổ môn: Toán - Tin Năm học 2014 - 2015 A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn chuyên đề Đa thức có vị trí quan trọng Toán học, đối tượng nghiên cứu trọng tâm Đại số mà công cụ đắc lực Giải tích lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, lý thuyết điều khiển, tối ưu, Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp toán đa thức đề cập đến nhiều xem dạng toán khó bậc phổ thông Tuy nhiên nay, đa thức trình bày mức độ sơ lược, tập đa thức chưa phân loại hệ thống hoá cách chi tiết Vì vậy, để bồi dưỡng kiến thức đa thức cho em học sinh tham gia ôn luyện thi học sinh giỏi môn Toán, chọn chuyên đề MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VÀ ÁP DỤNG Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu xây dựng hệ thống tập xác định đa thức, tính tổng hệ số đa thức, thực phép chia đa thức tính chất liên qua đến nghiệm đa thức; tính chất đa thức với hệ số nguyên giải phương trình hàm đa thức, Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách, báo, tạp chí, đề thi học sinh giỏi cấp, phương pháp giảng dạy toán, phương pháp nâng cao, phát triển tư toán học - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp Bố cục A Phần mở đầu Lý Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu B Một số toán đa thức áp dụng Đa thức – Phép chia đa thức Đa thức với hệ số nguyên phương trình hàm đa thức C Kết luận Tài liệu tham khảo B- MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC §1 ĐA THỨC - PHÉP CHIA ĐA THỨC 1.1 Đa thức khái niệm Định nghĩa 1.1 a) Đa thức f(x) biểu thức có dạng (Trong n số nguyên dương; x số thực ) b) Nếu f(x) đa thức hàm số y = f(x) hàm đa thức Với số thực a, f(a) gọi giá trị hàm đa thức f(x) điểm a c) Số tự nhiên n gọi bậc f(x) ký hiệu deg f = n d) Các hệ số , gọi hệ số f(x) , gọi hệ số tự gọi hệ số bậc cao gọi hạng tử bậc k hạng tử bậc cao Định lý 1.1 a) Đa thức không b) Mỗi đa thức f(x) khác cách viết dạng ) Hệ 1.1 Hai đa thức khác không chúng có bậc hệ số hạng tử bậc Chú ý Tập hợp tất đa thức với hệ số thực ký hiệu tương tự , tương ứng tập hợp tất đa thức với hệ số hữu tỉ, hệ số nguyên 1.2 Các phép toán đa thức Cho hai đa thức Ta định nghĩa phép toán số học: 1.3 Các tính chất đa thức Định lí 1.3.1 Giả sử A = A = , hai đa thức thuộc tồn hai đa thức thuộc cho: Khi Nếu ta nói Định lí 1.3.2 Giả sử A = A = , Số dư phép chia Định lí 1.3.3 a nghiệm Giả sử A = A = , m số tự nhiên lớn hay Khi a nghiệm bội cấp m và không chia hết cho Định lí 1.3.4 (Định lí Viète) Giả sử phương trình có n nghiệm (1) thì: Ngược lại, số thỏa mãn hệ chúng nghiệm phương trình (1) Hệ (2) có n thành phần vế trái thành phần thứ k có vế trái thành phần thứ k, số Các hàm xuất số hạng, lần gọi hàm đa thức đối xứng Viète bậc 1, , n (một cách tương ứng) Chú ý: Hệ (2) viết lại sau: 1.4 Công thức nội suy Lagrange Tồn đa thức không lớn bậc n nhận n + giá trị cho trước n + điểm khác cho trước Chứng minh Giả sử nhận giá trị điểm i = 1, 2, , n+1 Khi đó: Hay viết gọn Đa thức có bậc không lớn n Minh họa cho công thức nội suy Lagrange : Ví dụ khác cho trước, Tìm đa thức bậc hai mà , , Lời giải Theo công thức nội suy Lagrange Ví dụ Tính giá trị biểu thức : Lời giải Áp dụng công thức nội suy Lagrange cho đa thức P(x) = x2 (1) với điểm a,b,c giá trị tương ứng a2, b2, c2 ta có: (2) So sánh hệ số x2 (1) (2) ta A = Thực hành 1: Xác định hệ số đa thức Ví dụ Tìm a, b, c biết : Lời giải Ta có Theo hệ 1.1 , ta có: giải hệ ta a = - 1; b = 1; c = Bài tập tự giải 1) Tìm a, b biết bình phương đa thức khác ( Hướng dẫn : Đặt Đáp số : a = 2; b = ) 2) Tìm a, b, c biết ( Đáp số : a = -1; b = -2; c = ) 3) Xác định số a, b, c để đa thức phân tích thành Đáp số: Trường hợp 1: a tùy ý , b = c = Trường hợp 2: a = b = -1 , c = Ví dụ (HSG lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - 2000) Cho f(x) đa thức bậc có hệ số x4 Biết f(1) = 9; f(2) = 18; f(3) = 27 Hãy tìm f(12) + f(-8) Lời giải Đặt g(x) = f(x) - 9x Theo giả thiết, ta có: g(1) = f(1) - = - = g(2) = f(2) - 9.2 = 18 - 9.2 = g(3) = f(3) - 9.3 = 27 - 9.3 = Do f(x) đa thức bậc có hệ số nên g(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - x0) Suy f(x) = g(x) + 9x = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - x0) + 9x Vậy f(12) + f(-8) = 11.10.9.(12 - x0) + 9.12 + [(-9)(-10)(-11)(-8 - x0)+9.(-8)] = 11.10.9.(12 - x0 + + x0) + 9.(12 - 8) = 11.102.18 + 36 = 19836 Ví dụ 3* (Vô địch Toán Rumani ) Tìm tất đa thức khác không thỏa mãn : Lời giải Gọi (Trong ) Ta có : Đồng hệ số Mà (do ) ta có 16 = nên n = 0, 1, Với n = ta có Với n = ta có nên thay vào (1) ta có (do (1) với Vậy f(x) = 4x Với n = ta có nên thay vào (1) ta có 10 ) Mặt khác Từ suy điều phải chứng minh Thực hành 6: Các toán đa thức liên quan đến số học Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơ-du định nghĩa 1.5.3.2 Ví dụ Cho đa thức với hệ số nguyên, có Hỏi đa thức có nghiệm nguyên hay không? Lời giải Gọi nghiệm nguyên , ta có với với Nên Suy Do nên 34 vô lí Mâu thuẫn chứng tỏ điều ta giả sử sai Vậy có nghiệm nguyên Ví dụ 2* Cho đa thức với hệ số nguyên Chứng minh , không chia hết cho m phương trình nghiệm nguyên Lời giải Giả sử phương trình có nghiệm nguyên , ta có: với với đa thức với hệ số nguyên Khi Vì: , chia hết cho m m số m số nguyên liên tiếp nên phải có số , phải có số chia hết cho m, mâu thuẫn giả thiết Vậy điều ta giả sử sai, suy phương trình Ví dụ 3* 35 nghiệm nguyên Cho đa thức với hệ số nguyên Giả sử phương trình nghiệm nguyên phân biệt Chứng minh phương trình có nhiều nghiệm nguyên Lời giải Giả sử phương trình Vì phương trình có nghiệm nguyên α, ta có: có nhiều nghiệm nguyên phân biệt nên có nghiệm nguyên khác nhau, gọi nghiệm là: Ta có: Suy Trong đó: số nguyên phân biệt Vậy -2 phân tích thành tích số nguyên khác nhau, vô lí Suy phương trình nghiệm nguyên Ví dụ 4* Chứng minh : a) Mọi đa thức bậc n biểu diễn dạng : b) Đa thức P(x) nhận giá trị nguyên hệ số b0, b1, ,bn số nguyên Lời giải 36 Chứng minh phương pháp quy nạp n = ta có Giả sử mệnh đề với : , deg theo giả thiết quy nạp thì: Suy ra: với b) Giả sử Pn(x) đa thức nhận giá trị nguyên với x nguyên Khi P(0) = b0 nguyên, P(1), P(2), , P(n) nguyên hệ số nhị thức Newton nguyên nên bi nguyên, i = 1,2, ,n Ngược lại bi nguyên, i = 1,2, ,n ta có số nguyên nên P(x) đa thức nhận giá trị nguyên Bài tập tự giải 37 1) Cho đa thức với hệ số nguyên, nhận giá trị điểm nguyên khác Chứng minh f(x) giá trị nguyên Hướng dẫn: Dùng phương pháp phản chứng Ta có , số nguyên khác nhau, i = 1, ,5 f(ai) = Giả sử trái lại, tồn số nguyên a0 cho f(a0) = Khi , đồng thời a0-a1, ,a0- a5 khác ước -5, mâu thuẫn thực tế -5 có ước nguyên 2) Biết đa thức với hệ số nguyên nhận giá trị giá trị nguyên khác x Chứng minh rằng: nhận giá trị 1, 3, 5, 7, ( Hướng dẫn: Đặt 3) Biết đa thức với hệ số nguyên có tính chất với x nhận giá trị nguyên khác Chứng minh rằng: có nghiệm nguyên 4) Chứng minh đa thức đa thức nhận giá trị nguyên Hướng dẫn: Biến đổi từ suy f(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên 38 2.2 Phương trình hàm đa thức Định lí 2.2 ( Khai triển đa thức theo nghiệm) Giả sử a1, a2, , an nghiệm đa thức k1, k2, , kn , tồn đa thức với bội tương ứng cho: ( Với ) Hệ 2.2 a) Mọi đa thức bậc b) Nếu đa thức có không n nghiệm thực có bậc n mà tồn số thực phân biệt a1, a2, , an+1 cho với số thực x Thực hành 7: Tìm phương trình hàm đa thức Phương pháp giải Sử dụng định lí 2.2 hệ 2.2 Ví dụ 1* Tìm tất đa thức thỏa mãn : với x số thực (1) Lời giải Từ (1): cho 39 Suy ra: với Vậy nhận 0, 1, làm nghiệm, nên theo hệ 2.1 ta có: Thay vào (1) ta có: Suy ra: Suy tức nhận giá trị vô số điểm, nên Vậy Thử lại ta thấy thỏa mãn đề Ví dụ 2* Tìm tất đa thức thỏa: (2) Lời giải Cách 40 Ta có (2) ⇔ (3) Đặt Mặt khác : (3) ⇔ Suy tức nhận giá trị vô số điểm, nên: Vậy Thử lại ta thấy thỏa mãn đề Ví dụ (Bài toán chìa khóa để giải phương trình hàm đa thức) Xác định đa thức thỏa mãn hệ thức: Lời giải: Từ giả thiết ta có: Đặt: , Khi ta có: Từ Suy ra: Khi ta đặt: ta có: 41 Vậy: Thử lại thấy * Trong trường hợp , ta giải toán sau: Ta chứng minh có đa thức bậc thỏa mãn yêu cầu đề Thật vậy, giả sử dạng đa thức có bậc lớn 1, dạng: Khi đó, nên so sánh hệ số vô lí Vậy đa thức bậc Thử lại thấy Ví dụ Tìm tất đa thức thỏa mãn: Ta có: Lời giải Đặt Suy 42 ta thu Tức là: Hay nhận giá trị vô số điểm nên Như vậy: Đổi kí hiệu ta có: Thử lại thấy Ví dụ Tìm tất đa thức thỏa mãn: (1) Lời giải Từ (1) ta có n bội bậc Đặt thay vào (1) ta Do với 43 vô số điểm ( c số) Vậy Thử lại thấy Ví dụ 6* a) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn b) Tìm đa thức P(x) với hệ số thực thỏa mãn Hướng dẫn a) Đặt P(x) = Q(x) - x Q(0) = Giả sử x = k nghiệm Q(x) P(k) = k mà Q(x) = có vô số nghiệm suy Q(x) = hay P(x) = x b) Đặt Q(x) = P(x) - 32 Q(2011) = 2011 suy Q(x) = x Bài tập tự giải 1)* Tìm tất đa thức thỏa mãn: ĐS: 44 nên 2)* Tìm tất đa thức thỏa mãn: ĐS: C KẾT LUẬN 45 Trên hệ thống tập liên quan đến đa thức phân loại thành dạng cụ thể Chúng đưa chuyên đề vào dạy bồi dưỡng ôn luyện học sinh giỏi môn Toán chủ yếu hai khối 10 11 trường phổ thông Vùng Cao Việt Bắc, bước đầu thu số kết sau: - Học sinh nắm kiến thức vận dụng tương đối linh hoạt - Các em nhận dạng toán thể chúng tương đối tốt - Qua phần có tác dụng việc gây hứng thú học tập cho học sinh, lôi em vào hoạt động Toán học tự giác, tích cực Tuy nhiên khả hạn chế nên sáng kiến nhiều khiếm khuyết, mong nhận ý kiến đóng góp từ đồng nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 Đa thức Đại số Phân thức hữu tỷ – Nguyễn Văn Mậu – NXB Giáo dục, 2007 Chuyên đề bồi dưỡng chuyên toán: Đa thức – Nguyễn Vũ Thanh – NXB Mũi Cà Mau, 1993 Tuyển tập 200 thi vô địch Toán, tập 2: Đại số - Nguyễn Quý Di, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thỏa - NXB Giáo Dục, 2003 Tạp chí Toán học tuổi trẻ Toán nâng cao Đại số cho học sinh THPT -Tập - Phan Huy Khải NXB Hà Nội Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 tháng 4, lần thứ XVII - 2011- Toán Học MỤC LỤC 47 A Phần mở đầu .1 Lý Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu .1 Phương pháp nghiên cứu B Một số toán đa thức áp dụng §1 Đa thức – Phép chia đa thức 1.1Đa thức tính chất đa thức 1.2 Phép chia đa thức………………………………… .…… … 16 §2 Đa thức với hệ số nguyên phương trình hàm đa thức……….… … 21 2.1 Đa thức với hệ số nguyên .………………………… 21 2.2 Phương trình hàm đa thức………………… .… 27 C Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 48 [...]... 1; x + 2; x - 1 (ĐS: 28 § 2 ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ĐA THỨC 2.1 Đa thức với hệ số nguyên Tính chất 2.1 Nếu là một đa thức với những hệ số nguyên và a, b là những số nguyên chia hết cho a - b Chứng minh: Vì nên ] Thực hành 5: Các bài toán liên quan đến số học Phương pháp giải: Sử dụng tính chất 2.1 Ví dụ 1 Cho là đa thức với hệ số nguyên, có 29 là những số lẻ Chứng minh rằng phương... nếu tồn tại một đa thức h(x) sao cho f(x) = g(x) h(x) 1.5.2 Phép chia có dư Định lí 1.5.2 Với hai đa thức f(x) và g(x) luôn tồn tại duy nhất hai đa thức q(x) và r(x) sao cho , trong đó (Đa thức gọi là thương, đa thức hoặc gọi là dư của phép chia ) 1.5.3 Nghiệm của đa thức Định nghĩa 1.5.3.1 Ta nói a là nghiệm của đa thức nếu Định lí 1.5.3 ( Định lí Bơ-du) Số là nghiệm của đa thức khi và chỉ khi Định... giải Sử dụng kết quả Nếu ) 11 thì Ví dụ Hãy tính tổng các hệ số của đa thức : Lời giải Ta viết f(x) dưới dạng Ta có tổng cá hệ số của đa thức đã cho là : = =0 Bài tập tự giải: Với , hãy tính tổng các hệ số của đa thức ( áp số : 32) Bài tập nâng cao Bài 1 (Dự tuyển Ôlympic 30/4 năm 2011) Tìm tất cả các đa thức f(x) thỏa mãn : 2f(x) + f(1 - x ) = mx2 ( m ) và f(1) = 2 Lời giải Vì các biểu thức dưới... đầu bài Từ giả thiết ta có vô lí Vậy điều giả sử là sai Tức là không tồn tại đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn yêu cầu của bài toán Bài 3* Cho và là hai đa thức với hệ số nguyên thỏa mãn điều kiện: Chứng minh rằng: ƯCLN Lời giải Ta có: Theo giả thiết Mà Suy ra 33 Mặt khác Từ đó suy ra điều phải chứng minh Thực hành 6: Các bài toán đa thức liên quan đến số học Phương pháp giải: Sử dụng định lí Bơ-du và. .. Viết đa thức bậc nhỏ nhất với các hệ số nguyên không âm nhỏ nhất sao cho với mọi số nguyên dương n thì chia hết cho 27 Lời giải Ta có: 31 Nên từ suy ra Vậy đa thức phải tìm là: Bài tập nâng cao Bài 1 Cho là đa thức với hệ số nguyên thỏa điều kiện: với mọi số nguyên không âm a, b Chứng minh rằng: Lời giải: Ta có mà Tương tự có: Bài 2 Có hay không đa thức ? 32 Lời giải Giả sử tồn tại đa thức với hệ số. .. 1.5.3.2 Ta nói a là nghiệm bội k của đa thức mà Thực hành 3: Xác định đa thức chia trong phép chia hết Phương pháp giải Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa phép chia hết và nguyên lí so sánh các hệ số của đa thức Phương pháp 2: Sử dụng định lí phép chia có dư sau đó cho dư thức bằng không Phương pháp 3: Sử dụng định lí Bơ-du 22 Ví dụ 1 Tìm a biết rằng: chia hết cho đa thức Lời giải Đặt Ta có Suy ra Vậy... Theo công thức nội suy Lagrange ta có: Theo đàu bài : Đặt Khi đó: Ta có: 19 nên: Bài 6 Chứng minh rằng nếu thì Lời giải Đặt Ta có: Từ đó suy ra: và Bởi vậy: Bài 7* Chứng minh rằng mọi nghiệm của đa thức: 20 Đều thỏa mãn bất đẳng thức Lời giải * Nếu thì hiển nhiên bài toán đúng * Xét Ta có: ⇔ ⇔ 1.5 Phép chia đa thức 1.5.1 Phép chia hết Định nghĩa 1.5.1 21 Ta nói rằng đa thức f(x) chia hết cho đa thức g(x),... đó tồn tại sao cho Ta có = Mâu thuẫn Vậy đa thức f(x) = x2 + 2x - 1 là đa thức duy nhất cần tìm Bài 2* Tìm tất cả các đa thức với hệ số nguyên khác không , thỏa mãn : Lời giải 1 Giả sử 13 Ta chứng minh rằng: Giả sử trái lại nghĩa là tồn tại ít nhất một trong các hệ số Gọi Ta định nghĩa của số k, suy ra đa thức Vì có dạng: (1) Do nên hệ số của là trong đa thức vế phải của (1) trong đó lũy thừa ,... Vậy Bài 3 Xét các đa thức bậc hai thỏa mãn điều kiện Chứng mính rằng: Lời giải Ta có Tương tự Suy ra Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 16 Bài 4 Cho đa thức biết rằng: Chứng minh rằng: nói trên Lời giải Gọi Khi đó Khi đó, theo công thức nội suy Lagrange ta có: Gọi Khi đó: Theo giả thiết: Ta có: 17 Cũng có thể thay A, B, C vào và có: và Vì nếu nên cùng dấu thì: Còn nếu trái dấu thì: Do đó: Bài 5 Cho đa thức. .. giải Ta coi F là một đa thức theo x, kí hiệu F(x) Vì và Vì nên Suy ra Đẳng thức trên đúng Ví dụ 4 Giả sử đa thức Đặt có 5 nghiệm: Chứng minh rằng: Lời giải Do là nghiệm của 25 nên Mà Bài tập tự giải 1) Tìm a, b biết rằng chia hết cho đa thức (Hướng dẫn: Đặt ĐS: 2) Tìm a, b biết rằng (Hướng dẫn: Đặt ĐS: ) 26 Thực hành 4: Xác định đa thức chia trong phép chia có dư Phương pháp giải Sử dụng định lí phép