Mục tiêu nghiên cứu của luận văn này là xây dựng lại về vành đa thức; giới thiệu một số bài toán về đa thức, trong đó chú ý nhiều đến các bài toán trong các kì thi học sinh giỏi, thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và áp dụng giải một số bài toán về đa thức ở trường phổ thông.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG NGUYỄN THỊ THU HIỀN – Mã học viên: C00838 VÀNH ĐA THỨC VÀ TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS BÙI HUY HIỀN Hà Nội - Năm 2018 Mục lục MỞ ĐẦU Chương Vành đa thức 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Bậc định giá đa thức 1.3 Phép nhân Cấu trúc A - đại số A[X] 1.4 Phép đạo hàm 1.5 Hàm đa thức 1.6 Số học vành A[X] 1.7 Nghiệm đa thức 1.8 Vành đa thức nhiều ẩn 1.9 Đa thức trường số 1.9.1 Định lý đại số học số phức 1.9.2 Đa thức trường số thực Chương Tuyển chọn số toán đa thức 2.1 2.2 Một số toán nghiệm đa thức 2.1.1 Chứng minh đa thức khơng có nghiệm hữu tỉ 2.1.2 Chứng minh đa thức khơng có nghiệm thực 2.1.3 Chứng minh đa thức có nghiệm thực 2.1.4 Tìm mối liên hệ hệ số phương trình biết mối quan hệ nghiệm 10 Bài toán xác định đa thức 10 2.2.1 Xác định đa thức phép biến đổi biến số 10 2.2.2 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng hàm 11 2.2.3 Xác định đa thức dựa vào đặc trưng nghiệm 12 2.2.4 Xác định đa thức theo đặc trưng nội suy 13 2.3 Khai triển biểu diễn đa thức 13 2.4 Ứng dụng đa thức vào giải số tốn phổ thơng 14 2.4.1 Tìm điểm đặc biệt họ đường cong 14 2.4.2 Chứng minh đẳng thức 15 2.4.3 Chứng minh bất đẳng thức 16 2.4.4 Giải hệ phương trình 17 2.4.5 Một số toán lượng giác 18 2.4.6 Một số toán tổ hợp 19 KẾT LUẬN 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO 21 MỞ ĐẦU Đa thức phần quan trọng chương trình Tốn học bậc phổ thơng Cùng với số nguyên, khái niệm đa thức đề cập đến sớm Toán học giảng dạy trường học Trong chương trình phổ thơng, học sinh làm quen với khái niệm đa thức từ bậc Trung học sở, với phép cộng, trừ, nhân, chia đa thức đến phân tích đa thức thừa số, dùng sơ đồ Hocner để chia đa thức, giải phương trình đại số Các toán đa thức xem dạng tốn khó THPT, đề cập nhiều phần đại số kì thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic Quốc tế kì thi Olympic sinh viên trường Đại học, Cao đẳng Chính vậy, chọn đề tài “ Vành đa thức tuyển chọn số toán đa thức” Để luận văn trình bày cách có hệ thống, trước hết xây dựng lại vành đa thức sau giới thiệu số tốn đa thức, ý nhiều đến tốn kì thi học sinh giỏi, thi Olympic Tốn sinh viên toàn quốc áp dụng giải số tốn đa thức trường phổ thơng Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương Vành đa thức Trình bày xây dựng vành đa thức ẩn nhiều ẩn, cấu trúc vành đa thức hàm đa thức, nghiệm đa thức, đa thức trường số Qua ta thấy cấu trúc vành đa thức ẩn trường giống cấu trúc vành số nguyên Chương Tuyển chọn số tốn đa thức Trình bày số toán đa thức thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, thi Olympic Toán sinh viên: nghiệm đa thức, xác định đa thức, khai triển biểu diễn đa thức vài ứng dụng đa thức vào giải số tốn phổ thơng Dù cố gắng chắn nội dung trình bày luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, tơi mong nhận góp ý thầy, đồng nghiệp Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn đến tập thể thầy, cô giáo truyền đạt lại tri thức quý giá thời gian em học tập trường Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Bùi Huy Hiền giúp đỡ, hướng dẫn tận tình đầy trách nhiệm để em hoàn thành luận văn Cuối tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp động viên, ủng hộ tạo điều kiện cho xuyên suốt thời gian học tập nghiên cứu Trân trọng! Hà Nội, tháng 12 năm 2018 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hiền Chương Vành đa thức Trong chương trình bày nội dung sau: 1.1 Xây dựng vành đa thức ẩn 1.2 Bậc định giá đa thức 1.3 Phép nhân Cấu trúc A - đại số A[X] 1.4 Phép đạo hàm 1.5 Hàm đa thức 1.6 Số học vành A[X] 1.7 Nghiệm đa thức 1.7.4 Công thức Viète Định lý 1.7.1 (Định lý Viète thuận) Cho P = a0 X n + a1 X n−1 + · · · + an ∈ A [X], n ≥ 1, a0 = 0, α1 , α2 , , αn không điểm A[X] Khi ta có α1 + α2 + · · · + αn = −a1 a0 α1 α2 + α1 α3 + · · · + αn−1 αn = a2 a0 1≤i1