Đề tài Phương pháp giải và sáng tạo các bài toán tìm giới hạn của hàm số nghiên cứu các phương pháp để giải các bài toán tìm giới hạn của hàm số, đặc biệt là nghiên cứu các phương pháp sáng tạo ra các bài toán về giới hạn hàm số.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG HOÀNG THỊ DIỆU HIỀN PHƢƠNG PHÁP GIẢI VÀ SÁNG TẠO CÁC BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2016 Cơng trình hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƢỜI Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Nng é ỵ t ợ ởt ố tữủ ự trồ t➙♠ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ✈➔ ❧➔ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐↔✐ t➼❝❤ t♦→♥ ❤å❝✳ ◆â ❧➔ ❝ì sð ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❤➔♠ sè ❧✐➯♥ tö❝✱ ✤↕♦ ❤➔♠✱ t➼❝❤ ♣❤➙♥✱✳✳✳❚â♠ ❧↕✐✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè ❧➔ ✈✐➯♥ ❣↕❝❤ ✤➸ ①➙② ❞ü♥❣ ♥➯♥ ❝❤✉②➯♥ ♥❣➔♥❤ t♦→♥ ●✐↔✐ t➼❝❤✳ ❚r♦♥❣ ❝❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t♦→♥ ❚❍P❚✱ ●✐↔✐ t➼❝❤ ❝❤✐➳♠ t❤í✐ ❧÷đ♥❣ t÷ì♥❣ ✤è✐ ♥❤✐➲✉✱ tr♦♥❣ ✤â ♣❤➛♥ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝❤õ ②➳✉ ♥➡♠ ð ❍å❝ ❦ý ✷ ❝õ❛ ❧ỵ♣ ✶✶ ✈➔ ♠ët ✈➔✐ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ð ❧ỵ♣ ✶✷✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ ❤➛✉ ❤➳t ❤å❝ s✐♥❤ ✤➲✉ ❧ó♥❣ tó♥❣ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥ ✤➳♥ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♥❤÷ ❝→❝❤ ❦❤û ❝→❝ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤✱ ❝→❝❤ ①➨t t➼♥❤ ❧✐➯♥ tö❝ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❤♦➦❝ ❦❤✐ t➼♥❤ ✤↕♦ ❤➔♠ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❜➡♥❣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✱✳✳✳ ❈→❝ ❜➔✐ t ợ ụ ữủ ởt tr ♥❤ú♥❣ ❞↕♥❣ t♦→♥ ❦❤â ð ❜➟❝ ❚❍P❚✳ ❚r♦♥❣ ♣❤↕♠ ✈✐ ụ ữ ỗ ữù s ọ t❤➔♥❤ ♣❤è✱ tæ✐ ♥❤➟♥ t❤➜② ❤➛✉ ❤➳t ❤å❝ s✐♥❤ ✤➲✉ t❤➜② ❦❤â ❦❤➠♥ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ ♥❤➟♥ ❞↕♥❣ ✈➔ ❦❤û ❝→❝ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ ❦❤✐ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ❇↔♥ t❤➙♥ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❝ô♥❣ ❤↕♥ ❝❤➳ tr♦♥❣ ✈✐➺❝ tü r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❧✐➯♥ q✉❛♥✳ ❍✐➺♥ ♥❛②✱ t➔✐ ❧✐➺✉ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ✈➔ ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ❚❍P❚ t❤➻ r➜t ♥❤✐➲✉ ✱ t✉② ♥❤✐➯♥ r➜t ➼t t→❝ ❣✐↔✱ t➔✐ ❧✐➺✉✱ ❣✐→♦ tr➻♥❤ t✐➳♥❣ ✈✐➺t ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➔ ✤➲ ❝➟♣ ✤➳♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉②➯♥ s➙✉ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ▲➔ ♠ët ❣✐→♦ ✈✐➯♥ ✤❛♥❣ ❣✐↔♥❣ ❞↕② ♠æ♥ t♦→♥ ❚❍P❚✱ ❜↔♥ t❤➙♥ tü ♥❤➟♥ t❤➜② ✈❛✐ trá q✉❛♥ trå♥❣ ❝õ❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè tr♦♥❣ ❣✐↔✐ t➼❝❤✱ ✈ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ ✤÷đ❝ t➻♠ ❤✐➸✉ s➙✉ s➢❝ ❤ì♥ ✷ ✈➲ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✱ tỉ✐ q✉②➳t ✤à♥❤ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐✿ ✏P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❱⑨ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮✑ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✷✳ ▼ö❝ ✤➼❝❤ ✈➔ ♥❤✐➺♠ ✈ö ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ◆❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➸ ❣✐↔✐ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s→♥❣ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t ợ số ố tữủ ♣❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✯ ✣è✐ t÷đ♥❣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❦❤û ❝→❝ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✳ ✯ P❤↕♠ ✈✐ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉✿ ❈→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ợ số P ỗ ữù s ọ Pữỡ ự ợ t Pì P❍⑩P ●■❷■ ❱⑨ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮✑ tỉ✐ ✤➣ sû ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ s❛✉ ✿ ✰ ❚❤✉ t❤➟♣✱ tê♥❣ ❤ñ♣✱ ♣❤➙♥ t➼❝❤✱ s♦ s→♥❤✱ ✤→♥❤ ❣✐→✳ ✰ ❙û ❞ö♥❣✱ ♣❤→t tr✐➸♥ ✈➔ ù♥❣ ❞ư♥❣ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ✤➣ ❝â tr♦♥❣ ỵ tt ợ số ỵ ỗ ữớ ữợ Þ ♥❣❤➽❛ ❦❤♦❛ ❤å❝ ✈➔ t❤ü❝ t✐➵♥ ❝õ❛ ✤➲ t➔✐ t õ tr t ỵ tt ù♥❣ ❞ư♥❣✳ ❈â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥❤÷ ❧➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❞➔♥❤ ❝❤♦ ❤å❝ s✐♥❤ ❣✐ä✐ ❝❤✉②➯♥ ✸ t♦→♥ ✈➔ ❝→❝ ✤è✐ t÷đ♥❣ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ❝→❝ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t➻♠ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ✻✳ ❈➜✉ tró❝ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ◆❣♦➔✐ ♣❤➛♥ ♠ð ✤➛✉✱ ❦➳t ❧✉➟♥ ✈➔ t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ✤÷đ❝ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ✸ ❝❤÷ì♥❣✱ tr♦♥❣ ✤â✿ ❈❤÷ì♥❣ ✶ ✳ ❑✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❈❤÷ì♥❣ Pữỡ t ợ số ữỡ ✸ ✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ợ số ũ ợ sỹ ữợ P ỵ ữớ tổ t➔✐ ✧P❍×❒◆● P❍⑩P ●■❷■ ❱⑨ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮✧ ❝❤♦ ❧✉➟♥ ✈➠♥ t❤↕❝ s➽ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ✹ ❈❍×❒◆● ✶ ❑■➌◆ ❚❍Ù❈ ❈❒ ❇❷◆ ✶✳✶✳ ❍⑨▼ ❙➮✳ ❍⑨▼ ❙➮ ✣❒◆ ✣■➏❯✳ ❍⑨▼ ❙➮ ❇➚ ❈❍➄◆ ✶✳✷✳ ❈⑩❈ P❍➆P ❚➑◆❍ ✣❸■ ❙➮ ❚❘➊◆ ❈⑩❈ ❍⑨▼ ✶✳✸✳ ●■❰■ ❍❸◆ ❍⑨▼ ❙➮ ❱⑨ ▼❐❚ ❙➮ ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ❈❒ ❇❷◆ ❈❤♦ I ❧➔ ♠ët ❦❤♦↔♥❣ ❝õ❛ ✈➲ ♠ët ✤✐➸♠✳ ❑➼ ❤✐➺✉ I R✱ ❦❤ỉ♥❣ ré♥❣ ✈➔ ❝ơ♥❣ ❦❤ỉ♥❣ t❤✉ ❝❤➾ ❦❤♦↔♥❣ ✤â♥❣ ❝ò♥❣ ❝â ♠ót ✈ỵ✐ ❝❤➾ ❦❤♦↔♥❣ ♠ð ❝â ❝ò♥❣ ♠ót ✈ỵ✐ I o ✈➔ I I ❆✳ ❈→❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛✳ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✈ỉ ❝ò♥❣✮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✸✳ ✭✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ♠ët ❜➯♥✮ ❇✳ ▼ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè ✭❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✱ ♥➳✉ tỗ t f l l ợ ❤↕♥ t↕✐ a✱ t❤➻ l = l ✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✶✳ ◆➳✉ f : I → R ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ a ∈ I t❤➻ f ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ♠ët ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ✭❙û ❞ư♥❣ ❞➣② ✤➸ t❤➸ ❤✐➺♥ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤➔♠ sè✮ ✣➸ f : X → R ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a ∈ I ✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❧➔✿ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❞➣② (un )n∈N tr♦♥❣ I s❛♦ ❝❤♦ un → a ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ❝â f (un ) → l ❦❤✐ n → ∞✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ✺ ❈❤♦ a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f R, (c, d) ∈ R2 ✳ ●✐↔ sû f ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✹✳ : I → R, l ∈ ✶✳ ◆➳✉ c < l✱ t❤➻ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : c < f (x)✳ ✷✳ ◆➳✉ l < d✱ t❤➻ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : f (x) < d✳ ✸✳ ◆➳✉ c < l < d✱ t❤➻ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : c < f (x) < d✳ ✭❈❤✉②➸♥ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr♦♥❣ ❝→❝ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝✮ ❈❤♦ a ∈ I ∪ { − ∞; +∞}, f : I → R, l ∈ R, (c, d) ∈ R2 ✳ ●✐↔ sû f ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✺✳ ✶✳ ◆➳✉ c ≤ f (x) tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✱ t❤➻ c ≤ l✳ ✷✳ ◆➳✉ f (x) ≤ d tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✱ t❤➻ l ≤ d✳ ✸✳ ◆➳✉ c ≤ f (x) ≤ d tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a✱ t❤➻ c ≤ l d ỵ f, g, h : I → R, a ∈ I ∪ {−∞; +∞} , l ∈ R✳ f (x) → l x → a ◆➳✉ h(x) → l x → a ✱ t❤➻ g ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔ l t↕✐ a✳ f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✼✳ ◆➳✉ R)✳ ❈❤♦ f, g : I → R, a ∈ I ∪ {−∞, +∞}✳ f (x) → +∞ x → a ❚r♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a : f (x) g(x) ỵ õ ●✐↔ sû x→a lim f (x) = L, lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ❀ x→a , t❤➻ g(x) → +∞ x → a lim g(x) = M (L, M ∈ x→a ✻ ✷✳ lim [f (x).g(x)] = L.M ❀ x→a ✣➦❝ ❜✐➺t✱ ♥➳✉ ❈ ❧➔ ❤➡♥❣ sè t❤➻ x→a lim [C.f (x)] = C.L❀ f (x) L ✸✳ ◆➳✉ M = t❤➻ x→a lim = g(x) M ỵ xa lim ●✐↔ sû x→a lim f (x) = L ∈ R✳ ❑❤✐ ✤â✿ lim |f (x)| = |L|❀ x→a f (x) = √ L❀ ✸✳ ◆➳✉ f (x) ≥ t❤➻ L ≥ ✈➔ x→a lim f (x) = √ L✳ ✹✳ ◆➳✉ L = ✈➔ g(x) ❜à ❝❤➦♥ tr♦♥❣ ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a t❤➻ lim f (x).g(x) = xa ú ỵ ỵ ✶✱ ✷ ✈➝♥ ✤ó♥❣ ❦❤✐ t❤❛② x ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✽✳ → a ❜ð✐ x → ±∞✳ ❈❤♦ a ∈ I ∪ {−∞; +∞} , f, g : I → R✳ ✶✳ ◆➳✉ x→a lim f (x) = +∞ ✈➔ ♥➳✉ g ữợ tr a t lim (f (x) + g(x)) = +∞ x→a ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣✿ lim f (x) = +∞ ✯ x→a lim g(x) = +∞ ⇒ lim (f (x) + g(x)) = +∞✳ x→a ✯ lim f (x) = +∞ lim g(x) = l ∈ R∗+ x→a x→a x→a ⇒ lim (f (x) + g(x)) = +∞✳ x→a ✷✳ ◆➳✉ x→a lim f (x) = + g ữợ tr ❧➙♥ ❝➟♥ ❝õ❛ a ❜ð✐ ♠ët ❤➡♥❣ sè t❤ü❝ sü ❞÷ì♥❣✱ t❤➻✿ lim (f (x).g(x)) = +∞ x→a ❚r÷í♥❣ ❤đ♣ r✐➯♥❣✿ ✼ lim f (x) = +∞ lim g(x) = +∞ ✯ ⇒ lim (f (x).g(x)) = +∞✳ x→a x→a x→a lim f (x) = +∞ lim g(x) = l ∈ R∗+ ✯ x→a ⇒ lim (f (x).g(x)) = +∞✳ x→a x→a ❈❤♦ (a, b) ∈ (R ∪ {−∞; +∞})2 s❛♦ ❝❤♦✿ a < b, f : (a; b) → R ởt t ỵ ◆➳✉ f ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥✱ t❤➻ f ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ b ✈➔✿ limf = sup f (x) b x∈(a;b) ✷✳ ◆➳✉ f ❦❤æ♥❣ ❜à ❝❤➦♥ tr➯♥✱ t❤➻ f ❝â ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❧➔ +∞ t↕✐ b✳ ◆➳✉ f : I → R ❧➔ ♠ët →♥❤ ①↕ t➠♥❣✱ t❤➻ f ❝â ♠ët ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ tr→✐ ✈➔ ♠ët ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ♣❤↔✐ ❤ú✉ ❤↕♥ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ a o t❤✉ë❝ I ✱ ✈➔✿ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✾✳ lim f ≤ f (a) ≤ lim+ f x→a− x→a ✶✳✹✳ ✣❸■ ▲×Đ◆● ❱➷ ❈Ị◆● ❇➆ ✭❱❈❇✮ ❱⑨ ✣❸■ ▲×Đ◆● ❱➷ ❈Ị◆● ▲❰◆ ✭❱❈▲✮ ✶✳✹✳✶✳ ✣↕✐ ❧÷đ♥❣ ❱❈❇ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✹✳ ❈❤♦ ❍➔♠ sè α:I →R α(x) → 0✱ a x→a ❝â t❤➸ ❧➔ I ❣å✐ ❧➔ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ❱❈❇ t↕✐ +∞ ❤♦➦❝ ❍➺ q✉↔ tỗ t số (x) = f (x) − l ❧➔ t➟♣ ❦❤æ♥❣ ré♥❣ ❝õ❛ R✳ a∈I ♥➳✉ ♥❤÷ −∞✳ lim f (x) = l✱ x→a ❧➔ ❱❈❇ t↕✐ a✳ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❝➛♥ ✈➔ ✤õ ❧➔ ✽ ✣à♥❤ ỵ t số ỵ ✶✳✺✳ ✭❙♦ s→♥❤ ❝→❝ ❱❈❇✮ ❍➺ q✉↔ ✶✳✷✳ ◆➳✉ α ∼ α1 , β ∼ β ❍➺ q✉↔ ✶✳✸✳ ◆➳✉ α = o(β) t↕✐ a t↕✐ t❤➻ a t❤➻ lim x→a α+β ∼β α α1 = lim ✳ x→a β1 β t↕✐ a✳ ❍➺ q✉↔ ✶✳✹✳ ✭◗✉② t➢❝ ♥❣➢t ❜ä ❱❈❇ ❝➜♣ ❝❛♦✮ ◆➳✉ α∗ ❧➔ ❱❈❇ ❝➜♣ t❤➜♣ ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❝→❝ ❱❈❇ ∗ ✈➔ β ❧➔ ❱❈❇ ❝➜♣ t❤➜♣ ♥❤➜t tr♦♥❣ sè ❝→❝ ❱❈❇ a✳ ❑❤✐ ✤â✿ αi ✱ (i = 1, m) βj ✱ (j = 1, n) t↕✐ m αi lim i=1 x→a n α∗ xa = lim j j=1 ú ỵ õ ú ỵ s ợ tữỡ ữỡ ữủ ❱❈▲ ✶✳✺✳ ❚➑◆❍ ▲■➊◆ ❚Ö❈ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✺✳ ●✐↔ sû ❤➔♠ sè ①→❝ ✤à♥❤ tr➯♥ ✶✳ f X tử t ỗ t ởt số >0 X f ❧➔ ♠ët ε ❜➜t ❦➻✱ ❧✐➯♥ tö❝ t↕✐ ♠å✐ ✤✐➸♠ x ∈ X✳ ❧➔ ♠ët t➟♣ ❤ñ♣ sè t❤ü❝✱ ❚❛ ♥â✐ r➡♥❣ x0 ∈ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ❞÷ì♥❣ s❛♦ ❝❤♦ ∀x ∈ X, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 | < ε ✷✳ f ❧✐➯♥ tư❝ tr➯♥ t➟♣ ❤đ♣ X ♥➳✉ f ✶✵ ❈❍×❒◆● ✷ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮ ✷✳✶✳ ❚✃◆● ◗❯❆◆ ❱➋ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➑◆❍ ●■❰■ ❍❸◆ ❍⑨▼ ❙➮ ❱⑨ ❈⑩❈ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍ ✷✳✷✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍ 0 Pữỡ ũ ợ ỡ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim ❱➼ ❞ư ✷✳✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim ❱➼ ❞ư ✷✳✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ x→0 − cosax ✳ x2 eax − ebx ✳ x→0 x √ + x2 − e−2x L = lim ✳ x→0 ln(1 + x2 ) ✷✳✷✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tỷ t ợt ữủ ủ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ x + x2 + x3 + + xn − n (m, n ∈ N∗ ) x→1 x + x2 + x3 + + xm − m L = lim ◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❜➔✐ t♦→♥ ❧♦↕✐ ♥➔② ❧➔ ♣❤➙♥ t➼❝❤ t❤➔♥❤ ♥❤➙♥ tû ✈ỵ✐ ♥❤➙♥ tû ❝❤✉♥❣ ❧➔ ❱➼ ❞ư ✷✳✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ x − x0 ✳ √ n x−1 √ L = lim m (m, n ∈ N∗ )✳ x→1 x−1 ◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ❧♦↕✐ t♦→♥ ♥➔② ❧➔ ♥❤➙♥ ❝↔ tỷ ợ tự ủ tữỡ ù♥❣ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝➠♥ t❤ù❝ ✤➸ trö❝ ❝→❝ ♥❤➙♥ tû x − x0 r❛ ❦❤ä✐ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝✳ √ ❱➼ ❞ư ✷✳✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim x→0 + 2x − x2 √ + 3x ✳ ◆❤➟♥ ①➨t✿ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❝❤✉♥❣ ✤➸ t➼♥❤ ❝→❝ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❜✐➸✉ t❤ù❝ ❝❤ù❛ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝ ❦❤ỉ♥❣ ũ t ợt ởt ữủ õ t t ợ rỗ ủ Pữỡ ♣❤→♣ t❤❛② t❤➳ ❱❈❇ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ (1 + mx)n − (1 + nx)m ✳ x→0 x2 ❱➼ ❞ö ✷✳✼✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim ❱➼ ❞ư ✷✳✽✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim ❱➼ ❞ö ✷✳✾✳ ●✐↔ sû xm − ✳ x→1 xn − P (x) = a1 x + a2 x2 + + an xn ✈➔ m ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ m lim x→0 + P (x) − a1 = x m ✷✳✸✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍ ∞ ∞ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✵✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ √ √ 9x2 + − x2 + √ L = lim √ ✳ x→∞ 16x4 + − x4 + ✷✳✹✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍1 ∞ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim (1 + sin 2x) x ✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L= x→0 lim x→+∞ x+1 x+2 4−3x ✳ ✶✷ ✷✳✺✳ ❈⑩❈ P❍×❒◆● P❍⑩P ❑❍Û ❈⑩❈ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍ ❑❍⑩❈ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ √ L = lim [ x2 − x + + x]✳ x→∞ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim x→+∞ √ x3 + 3x2 − √ x2 − 2x ❱➼ ❞ư ✷✳✶✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim x→1 m n − m 1−x − xn ❱➼ ❞ư ✷✳✶✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ , (m, n ∈ N∗ )✳ L = lim (1 − x) tan x→1 πx ✳ ✷✳✻✳ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ✣➄❈ ❇■➏❚ ✷✳✻✳✶✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ❆✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✶✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✶ ✭❦❤û ❞↕♥❣ 00 ✮ ✷✳ ◗✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✷ ✭❦❤û ❞↕♥❣ ∞ ✮ ∞ ❇✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ❈✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ư ❱➼ ❞ư ✷✳✶✼✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✽✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❱➼ ❞ư ✷✳✶✾✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✵✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ x4 ✳ x→0 x2 + 2cosx − xα L = lim x (a > 1)✳ x→+∞ a L = lim x − ✳ x→1 x − ln x π L = lim x − tan x✳ π x→ L = lim ✳ ✶✸ ❱➼ ❞ö ✷✳✷✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim x − x ✳ x→1 L = lim x→0 s inx x2 ✳ x ✷✳✻✳✷✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❆✳ ❚❤ü❝ tr↕♥❣ ✈➜♥ ✤➲ ❚r♦♥❣ q✉→ tr➻♥❤ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ♠➔ ♣❤↔✐ ❦❤û ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ m lim x→x0 ✤è✐ ✈ỵ✐ ♥❤ú♥❣ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❞↕♥❣✿ f (x) − n g(x) (m, n, k tü ♥❤✐➯♥, ≤ k ≤ min{m, n})✱ (x − x0 )k t❛ t❤÷í♥❣ ❞ò♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t ợt ởt ữủ ú t ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣å✐ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣✱ ❦❤✐ ➜② t❛ t❤÷í♥❣ ❣➦♣ ✈➜♥ ✤➲ ❧➔ ❦❤û ✤÷đ❝ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ 0 ♥❤÷♥❣ ❧↕✐ ❣➦♣ ♣❤↔✐ ❞↕♥❣ ✈ỉ ∞−∞ ♥➳✉ ♥❤÷ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣ ❧➔ ❤➡♥❣ sè✳ ◆❣✉②➯♥ ♥❤➙♥ ❧➔ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ ♠➔ t❛ ❦❤û s❛✉ ❦❤✐ t❤➯♠ ❜ỵt ❤➡♥❣ sè ✈➢♥❣✱ ❦❤æ♥❣ ✤à♥❤ 0 ♣❤↔✐ ❧➔ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❜➨ ❝ò♥❣ ❝➜♣✳ ❱➜♥ ✤➲ ✤➦t r❛ ❧➔ sè ❤↕♥❣ ✈➢♥❣ ✤â t➻♠ ♥❤÷ t❤➳ ♥➔♦ ✤➸ t❤✉ ✤÷đ❝ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ 0 ♠➔ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❜➨ ð tû ✈➔ ✈ỉ ❝ò♥❣ ❜➨ ð ♠➝✉ ❧➔ ❝ò♥❣ ❝➜♣ ✤➸ ❝â t❤➸ ❦❤û ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ tr➯♥ ♠➔ ❦❤ỉ♥❣ ♣❤↔✐ ❣➦♣ t➻♥❤ ❤✉è♥❣ ❦❤û ✤÷đ❝ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ ♥➔② ❧↕✐ ❣➦♣ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ ❦❤→❝✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ t✐➳♣ t✉②➳♥ s➩ ❣✐ó♣ ❝❤ó♥❣ t❛ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ✈➜♥ ữợ tỹ sỷ số t ỗ t y = f (x) x0 ✳ ❚❛ ✤➣ ❜✐➳t t✐➳♣ M0 ∈ (C) ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ (C) : y = f (x) t t t ỗ t M0 M (C)) ỗ t tợ lim sỷ ợ ❤↕♥ (x − x0 )k f (x) − n g(x) k x→x0 k(x) − h(x) M0 (M, M0 x → x0 t❤➻ t❤✉ë❝ f (x) ✈➔ ❧➔ ❤❛✐ ✤↕✐ ❧÷đ♥❣ ✏✈ỉ ❝ò♥❣ ❜➨ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✑✳ m lim M ❦❤✐ ❱➔ ✈➻ ✈➟② ❝â t❤➸ t❤➜② r➡♥❣ ❦❤✐ f (x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) x→x0 (C) (x − x0 ) ✭y = k(x) ✈➔ ✤÷đ❝ ✈✐➳t ❧↕✐ ❧➔✿ y = h(x) ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ t↕✐ x0 ✮✳ õ t tỹ t ữợ s y = k(x) ✶✳ ❱✐➳t ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè y = h(x) x0 ✱ t↕✐ ❣✐↔ sû ♣❤÷ì♥❣ tr➻♥❤ t✐➳♣ t✉②➳♥ ❧➔ m ✷✳ ❚➼♥❤ lim f (x) − n ❤♦➦❝ y = t(x)✳ g(x) (x − x0 )k m f (x) − t(x) t(x) − n g(x) + (x − x0 )k (x − x0 )k x→x0 = lim x→x0 ✳ ❈✳ ❈→❝ ✈➼ ❞ö ❧➔♠ rã ữỡ ợ s 8x3 + x2 + 6x + − x3 L = lim x→0 √ 9x2 + 27x + 27 ✳ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ √ L = lim cos2x − 2x − √ + 2x2 − 4x x2 x→0 ✳ ✷✳✻✳✸✳ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r ❆✳ P❤➛♥ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❇✳ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ❚❛②❧♦r ●✐↔ sû ❤➔♠ sè f ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ✤➳♥ ❝➜♣ n ❧✐➯♥ tö❝ tr➯♥ ✤♦↕♥ I = [α; β] ✈➔ ❝â ✤↕♦ ❤➔♠ ❝➜♣ n+1 tr➯♥ ❦❤♦↔♥❣ (α; β)✳ ◆➳✉ a, b ∈ I ✶✺ t❤➻ tỗ t ởt số tỹ a > b) c ❣✐ú❛ a ✈➔ b (c ∈ (a; b) ♥➳✉ a, b, c ∈ (b; a) s❛♦ ❝❤♦ f (a) f (a) (b − a) + (b − a)2 + + 1! 2! f (n) (a) f (n+1) (c) (b − a)n + (b − a)n+1 n! (n + 1)! f (b) = f (a) + ✭✷✳✶✮ ❈æ♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✮ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ❚❛②❧♦r✱ ❜✐➸✉ t❤ù❝ Rn = f (n+1) (c) (b − a)n+1 (n + 1)! ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♣❤➛♥ ❞÷ ❞↕♥❣ ▲❛❣r❛♥❣✳ ◆➳✉ a=0 t❤➻ ✭✷✳✶✮ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✳ ❚ø ❝æ♥❣ t❤ù❝ ▼❛❝❧❛✉r✐♥✱ t❛ ♥❤➟♥ ✤÷đ❝ ✺ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ q✉❛♥ trå♥❣✿ x2 xn + + + o(xn )✳ 2! n! ✶✳ ex = + x + ✷✳ sinx = x − x2n−1 x3 + + (−1)n−1 + o(x2n )✳ 3! (2n − 1)! ✸✳ cosx = − x2 x2n + + (−1)n + o(x2n+1 )✳ 2! (2n)! ✹✳ ✺✳ m(m − 1) x + 2! m(m − 1) (m − n + 1) n + x + o(xn )✳ n! (1 + x)m = + mx + ln(1 + x) = x − x2 xn + + (−1)n−1 + o(xn )✳ n ❈✳ ▼ët sè ✈➼ ❞ư ❱➼ ❞ư ✷✳✷✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❱➼ ❞ư ✷✳✷✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ √ sin(sinx) − x − x2 L = lim ✳ x→0 x5 ex − e−x − 2x L = lim ✳ x→0 x − sinx ✶✻ ❈❍×❒◆● ✸ ▼❐❚ ❙➮ P❍×❒◆● P❍⑩P ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❚➐▼ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❍⑨▼ ❙➮ ✸✳✶✳ ❚❸❖ ❘❆ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ✣➎ ❉Ò◆● ❚➑◆❍ ❈❍❻❚ ●■❰■ ❍❸◆ ❈Õ❆ ❚✃◆●✱ ❍■➏❯✱ ❚➑❈❍✱ ❚❍×❒◆● ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✿ 2x2 + ln x − L = lim x→1 ex =2− e ✳ ✸✳✷✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● 00 ✸✳✷✳✶✳ ❙û ❞ö♥❣ ❝→❝ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ✈➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❤đ♣ ị tữ ỹ ợ ỡ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ð ♣❤➛♥ ✷ ❝õ❛ ❝❤÷ì♥❣ ✷✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ ✳ ✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ s inx = 1✱ t❛ ❧➜② ❤➔♠ f (u) ✈➔ ❝❤å♥ u0 x→0 x sinf (u) f (u) → 0✳ ❑❤✐ ✤â✿ lim = 1✳ u→u0 f (u) ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✳ ❚ø s❛♦ ❝❤♦ u → u0 t❤➻ lim ◆❤÷ ✈➟②✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ sin(x − 1) sin(x − 1) 1 = lim = ✳ x→1 x − x→1 x−1 x+1 L1 = lim ✶✼ x−1 1−x = lim x→1 sin 2(x − 1) x→1 sin(x − 1).cos(x − 1) x−1 1 = − lim =− x→1 sin(x − 1) cos(x − 1) 2 cos2x − −sin x sin2 x = lim = lim = − lim =− ✳ 2 x→0 x→0 2x 4x x→1 x2 cos x = −1✳ = lim π x− π x→ 2 sin 3x sin 3x 5x = lim = lim = ✳ x→0 sin 5x x→0 3x sin 5x L2 = lim L3 L4 L5 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✸✳ ❚ø ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ex − = 1✱ x→0 x lim t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ e2x − e2x − = lim = 2✳ x→0 x→0 x 2x 2 e2 e2(x −1) − e2x − e2 e2 e2x −2 − e2 L2 = lim = lim = lim x→1 x − x→1 x→1 x2 − x2 − 2 2(x −1) e e −1 = lim = 2e2 x→1 2(x2 − 1) 2 ex − ex − L3 = lim = lim = ✳ x→∞ x→∞ 3 x x L1 = lim ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✹✳ ❚ø ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ ax − = ln a✱ x→0 x lim t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❝→❝ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ 2 a2x − a2x − = lim = ln a✳ L1 = lim 2 x→0 3x x→0 2x a2 ax −x−2 − ax −x − a2 L2 = lim = lim x→2 x→2 x−2 x−2 a (x + 1) a(x+1)(x−2) − = lim = 3a2 ln a x→2 (x + 1)(x − 2) t❛ ❝â ✶✽ ✸✳✷✳✷✳ ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ❱❈❇ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ✯ Þ t÷ð♥❣ ❙û ❞ư♥❣ ❝→❝ ❱❈❇ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣ ❝õ❛ ♠ët sè ❤➔♠✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t t ợ t tữỡ ❝õ❛ ❝→❝ ❤➔♠ ✤â✳ ✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✺✳ ❚❛ ❝â sinx ∼ x, ex − ∼ x✳ ❚❛ s✉② r❛ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ L1 = lim x→0 sin x x = lim = ex − x→0 x x2 2x 2sin − cos x = lim = lim 2x = 0✳ L2 = lim = lim x→0 sin x x→0 sin x x→0 x x→0 4 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✻✳ ❚❛ ❝â x4 − x5 ∼ x4 , x4 + x6 ∼ x4 ✱ ♠ët ❝→❝❤ ✤ì♥ ❣✐↔♥✱ t s r ữủ t t ợ s x − x L = lim 4 56 = lim x→0 x + x x→0 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✼✳ ❚❛ ❝â x = ✳ x (1 + x)α − ∼ αx + α(α − 1) x ✳ ❚❛ s r ữủ t t ợ s❛✉✿ (1 + x)5 − 5x + 10x2 = lim = lim = 5✳ x→0 x→0 x + 2x2 x→0 x + 2x2 x2015 − L2 = lim 2016 ✳ x→1 x −1 √ + 2x + 3x2 − x3 − ✳ L3 = lim x→0 x L1 = lim ✸✳✷✳✸✳ ❙û ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ t t ị tữ ỷ ữỡ ♥➔② ✤➸ t↕♦ r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✶✾ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❞↕♥❣ ✈æ ✤à♥❤ 0 ❝❤ù❛ ❝→❝ ❝➠♥ t❤ù❝ ❦❤ỉ♥❣ ❝ò♥❣ ❜➟❝✳ ✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✽✳ √ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✿√ L = lim x→1 3x2 − x + − 4x3 + 2x2 − x − ✳ x−1 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✾✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✿ √ L = lim sin 2x + − 7+ √ + 3x2 x x→0 ✳ ✸✳✷✳✹✳ ❙û ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ ❚❛②❧♦r ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✵✳ ❚ø ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿ ln(1 + x) = x − sinx = x − x2 x3 + + o(x3 )✱ x3 + o(x3 )✳ ❚❛ ❝â ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ ln(1 + x) − sin x 2x2 x2 x3 x3 x− + −x+ + o(x3 ) = lim x→0 2x2 x x x − + o(x3 ) − 2 2 = −1✳ = lim = lim x→0 x→0 2x2 L = lim x→0 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✶✳ ❚ø ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥✿ x5 x3 + + o(x5 )✱ 120 x2 x3 x4 x5 ex = + x + + + + + o(x5 )✱ 24 120 x2 x3 x4 x5 e−x = − x + − + − + o(x5 ✮✳ 24 120 sin x = x − ❚❛ s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ − x3 + o(x5 ) sin x − ex + e−x L = lim = lim =− x→0 x→0 x3 x3 ✷✵ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✷✳ ❚ø ❦❤❛✐ tr✐➸♥ tan x = x + x3 + o(x3 ) ✈➔ ❝→❝ ❦❤❛✐ tr✐➸♥ tr➯♥✱ t❛ s✉② r❛ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ x3 + o(x3 ) sin x − tan x = lim =− L1 = lim x→0 x→0 5x3 5x3 10 x3 + o(x3 ) − sin x − tan x L2 = lim = = lim x→0 sin x − ex + e−x x→0 − x + o(x3 ) − ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✸✳ ❚❛ ❝â e2x = + 2x + 2x2 + x3 + o(x3 )✳ ❚❛ s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ e2x − ex − x3 + o(x3 ) x + x2 + o(x3 ) = lim L = lim x→0 x→0 2x + 3x2 2x + 3x2 + x + o(x2 ) = lim = x→0 + 3x ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✹✳ ❚❛ ❝â x3 x5 x7 + − + o(x8 ), 3!3 5! 7! x 17 tanx = x + + x5 + x + o(x8 ) 15 315 s inx = x − ❚❛ s✉② r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✿ L = lim x→0 tan(sin x) − sin(tan x) ✳ x7 ✸✳✷✳✺✳ ❙û ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ st ị tữ ỷ ổ tự [f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x) (f (x) > 0) ✈➔ →♣ ❞ö♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ ♥➔②✳ ✷✶ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ●✐↔✐✿ ❚❛ ❝â lim (1 + 2x) 2x = e x→0 (1 + 2x) 2x − e L = lim ✳ x→0 2x ♥➯♥ 1 ln(1+2x) (1 + 2x) 2x − e e 2x −e L = lim = lim x→0 x→0 2x 2x ln(1+2x) ln(1 + 2x) e 2x + − 2x 2x(1 + 2x) = lim x→0 2x − (1 + 2x) ln(1 + 2x) = e lim x→0 4x2 (1 + 2x) − [2 ln(1 + 2x) + 2] −2 ln(1 + 2x) = e lim = e lim x→0 x→0 8x + 24x2 8x + 24x − = e lim + 2x = − e x→0 + 48x ✸✳✸✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● ∞ ∞ (4 − x)40 (2x + 5)10 ✳ x→∞ (3x − 1)50 √ 5x2 + + 9x4 − √ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim ✳ x→−∞ 3x − x6 − ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✼✳ L = lim ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✽✳ √ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥✿ √ L = lim x→∞ 4x2 + x + + x2 + 4x + √ ✳ 2x + x2 + ✸✳✹✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● ị tữ ứ ợ ỡ ✈➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ ❤đ♣✱ t❛ ❝â t❤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣ ✷✷ ✈ỉ ✤à♥❤ 1∞ ✳ ❈→❝ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝ì ❜↔♥ t❤÷í♥❣ ❣➦♣✿ lim (1 + x) x = e, lim x→0 x→∞ 1+ x x = e ✯ ▼ët sè ❜➔✐ t♦→♥ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✶✾✳ ❚➼♥❤ ❝→❝ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ 1 L1 = lim (3 − x) − x = e x→2 2x2 − x + +x−1 x L2 = lim x→∞ 2x − x + 2x2 − x + 2x − x = lim + x→∞ 2x − x + 2x2 − x + 2x − 2x − 2x − x = e2 = lim + x→∞ 2x − x + x2 + x + L3 = lim (3 + x) x + 2x2 x→−2 (x2 +x+1) = lim [1 + (2 + x)] + x = e3 ✳ x→−2 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✵✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ r➡♥❣✿ lim x→+∞ 1+ a x bx+c = eab ✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ t❛ ❝ơ♥❣ ❝â t❤➸ sû ❞ư♥❣ ♣❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧ ✤➸ t↕♦ r❛ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❞↕♥❣ ✈ỉ ✤à♥❤ ♥➔②✳ ❈❤➥♥❣ ❤↕♥✱ ❜➡♥❣ ❝→❝❤ sû ❞ư♥❣ ❝ỉ♥❣ t❤ù❝ [f (x)]g(x) = eg(x) ln f (x) (f (x) > 0) ✈➔ →♣ ❞ư♥❣ q✉② t➢❝ ▲✬❍♦s♣✐t❛❧✱ t❛ t➼♥❤ ✤÷đ❝ ❝→❝ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ s❛✉✿ ✷✸ ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✶✳ 2 lim ln(1+x) x→0 tan x L1 = lim (1 + x) tan x = e x→0 lim x→0 + x + tan2 x = e2 =e 1 lim ln(x−1) x→2 − x − x =e L2 = lim (x − 1) x→2 lim − x−1 = e−1 πx πx tan lim tan ln(4+x) x→−3 =e L3 = lim (4 + x) x→−3 πx −1 sin lim lim πx ln(4+x) π x→−3 x→−3 4+x cot − 2 =e =e = e π =e x→2 ✸✳✺✳ ❙⑩◆● ❚❸❖ ❈⑩❈ ❇⑨■ ❚❖⑩◆ ❉❸◆● ❱➷ ✣➚◆❍ ❑❍⑩❈ x ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✷✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim cot x − ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✸✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim 1 − x x e −1 x→0 x→0 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✹✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ✳ ✳ L = lim tan x − π ✳ π −x x→ 2 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✺✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim [ln(2x + 1).cotx]✳ x→0 ❇➔✐ t♦→♥ ✸✳✷✻✳ ❚➼♥❤ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ L = lim x→+∞ (x + 2) x+5 8x3 − 3x2 + ✳ ✷✹ ❑➌❚ ▲❯❾◆ ❙❛✉ ♠ët t❤í✐ ❣✐❛♥ t➻♠ ❤✐➸✉✱ ❤å❝ ❤ä✐ tø ♥❤ú♥❣ t➔✐ ❧✐➺✉ ữủ P ỵ ữớ tổ ✤➣ ❤♦➔♥ t❤➔♥❤ ✤➲ P❤÷ì♥❣ ♣❤→♣ ❣✐↔✐ ✈➔ s→♥❣ t↕♦ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ✤➣ ❣✐↔✐ q✉②➳t ✤÷đ❝ ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ t➔✐ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✶✳ ❍➺ t❤è♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ✷✳ ữ r ữỡ t ợ sè✳ ✸✳ ❚r➯♥ ❝ì sð ✤â ✤➣ s→♥❣ t↕♦ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè õ ổ tữớ ợ ỳ t➻♠ ❤✐➸✉ ✤÷đ❝✱ tỉ✐ ❤② ✈å♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ s➩ ❧➔ ♠ët t➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❤ú✉ ➼❝❤ ❝❤♦ ❜↔♥ t❤➙♥ tr♦♥❣ ❝æ♥❣ t→❝ ❣✐↔♥❣ ❞↕② s❛✉ ♥➔② ✈➔ ❤② ✈å♥❣ ụ ỗ tữ tốt s✐♥❤ ♣❤ê t❤ỉ♥❣ ❝ơ♥❣ ♥❤÷ ♥❤ú♥❣ ❛✐ q✉❛♥ t➙♠ ✤➳♥ ❧ỵ♣ ❝→❝ ❜➔✐ t♦→♥ ✈➲ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè✳ ▼➦❝ ❞ò ✤➣ ❤➳t sù❝ ❝è ❣➢♥❣✱ ♥❤÷♥❣ ❞♦ t❤í✐ ❣✐❛♥ ✈➔ ❦❤↔ ♥➠♥❣ ❝â ❤↕♥ ♥➯♥ ❝❤➢❝ ❝❤➢♥ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝á♥ ❝â ♥❤ú♥❣ t❤✐➳✉ sât✳ ❱➻ t❤➳✱ tæ✐ r➜t ữủ ỵ õ õ qỵ t ổ ỗ ữủ ❤♦➔♥ t❤✐➺♥ ❤ì♥✳ ... dẫn khoa học: TS PHẠM QUÝ MƢỜI Phản biện 1: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn bảo vệ Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp. .. Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Khoa học chuyên ngành Phương pháp Toán sơ cấp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng năm 2016 Tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư... ♥❤ú♥❣ ✈➜♥ ✤➲ s❛✉✿ t➔✐ ❝õ❛ ♠➻♥❤✳ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ✶✳ ❍➺ t❤è♥❣ ✤÷đ❝ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ số ợ số ữ r ữỡ t ợ số ❚r➯♥ ❝ì sð ✤â ✤➣ s→♥❣ t↕♦ ✤÷đ❝ ♠ët sè ❜➔✐ t♦→♥ t➻♠ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ❤➔♠ sè ❝â ❞↕♥❣