Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu: Hệ thống và tổng quan các bài toán về phương trình hàm và cho các ứng dụng khác nhau trong toán phổ thông. Tìm hiểu các dạng toán mới về phương trình hàm giải bằng phương pháp đại số. Nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ để phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi. Mời các bạn tham khảo!
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƢƠNG THỊ THANH THỦY PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM Chun ngành : Phƣơng pháp tốn sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 Cơng trình đƣợc hồn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Phản biện 1: TS Lê Hải Trung Phản biện 2: GS.TS Lê Văn Thuyết Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Ngành phương pháp toán sơ cấp họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 13 tháng 12 năm 2015 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Trường Đại Học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu quan trọng Giải tích tốn học Các dạng tốn phương trình hàm phong phú đa dạng Phương trình hàm chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chun tốn trường trung học phổ thơng chun Các tốn có liên quan đến phương trình hàm tốn khó, thường gặp kỳ thi học sinh giỏi mơn tốn cấp quốc gia, khu vực, quốc tế Olympic sinh viên Tuy nhiên nay, phương pháp thống để giải phương trình hàm việc tiếp nhận học sinh lớp chuyên hạn chế Đề tài: "Phương pháp đại số giải phương trình hàm" tác giả thực nhằm đáp ứng yêu cầu bồi dưỡng đội tuyển chuyên toán để tham gia kỳ thi Olympic, kỳ thi học sinh giỏi cấp quốc gia, khu vực quốc tế Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Hệ thống tổng quan tốn phương trình hàm cho ứng dụng khác tốn phổ thơng Tìm hiểu dạng tốn phương trình hàm giải phương pháp đại số Nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ để phục vụ cho công tác giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tốn phương trình hàm xét ứng dụng liên quan Nghiên cứu tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu tiếng Anh, trang Web, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chun tốn, Tạp chí Tốn học tuổi trẻ Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: - Nghiên cứu trực tiếp tài liệu, giáo trình GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, tài liệu tiếng Anh, từ trao đổi với thầy hướng dẫn kết nghiên cứu - Nghiên cứu gián tiếp qua trang Web Phương pháp nghiên cứu thực tiễn: - Thực nghiệm sư phạm trường phổ thông - Dự buổi hội thảo chuyên đề Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài sử dụng tài liệu tham khảo cho học sinh phổ thông, bồi dưỡng học sinh giỏi Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia thành chương Chương 1: Tác giả trình bày sơ lược kiến thức bổ trợ hàm số tuần hoàn, phản tuần hoàn, hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm hợp, hàm lặp, hàm đối hợp hàm phân tuyến tính Chương 2: Tác giả trình bày phương pháp đại số khảo sát chi tiết lời giải phương trình hàm với phép đối hợp bậc hai bậc ba Chương 3: Tác giả trình bày số áp dụng, tốn liên quan dạng toán xác định dãy số tuần hoàn Cùng với hướng dẫn Thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài "Phương pháp đại số giải phương trình hàm" cho luận văn thạc sĩ CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC BỔ TRỢ Trong chương này, nêu số khái niệm kết liên quan đến đề tài 1.1 KHÁI NIỆM VÀ PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH HÀM 1.1.1 Định nghĩa Phương trình hàm phương trình (khơng chứa phép tính vi phân, tích phân) mà ẩn hàm số, giải phương trình hàm tức tìm hàm số chưa biết Cấu trúc phương trình hàm gồm ba phần chính: - Miền xác định miền giá trị - Phương trình hệ phương trình hàm - Một số điều kiện bổ sung (tăng, giảm, đơn điệu, bị chặn, liên tục, ) Người ta phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: miền giá trị số biến tự 1.1.2 Phân loại phương trình hàm Có thể phân loại phương trình hàm thành lớp sau: - Phương trình hàm N, Z, Q, R, - Phương trình hàm R biến tự do, hai biến tự do, - Phương trình hàm lớp hàm đơn điệu, lớp hàm liên tục, lớp hàm đa thức, - Phương trình hàm với phép biến đổi đối số 1.2 CÁC TÍNH CHẤT HÀM LIÊN QUAN 1.2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Xét hàm số f (x) với tập xác định D(f ) ⊂ R tập giá trị R(f ) ⊂ R Định nghĩa 1.1 a f (x) gọi hàm số chẵn M , M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = f (x), ∀x ∈ M b f (x) gọi hàm số lẻ M , M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M f (−x) = −f (x), ∀x ∈ M 1.2.2 Hàm số tuần hồn phản tuần hồn (cộng tính) Định nghĩa 1.2 a Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M b Cho f (x) hàm tuần hoàn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) tuần hồn với chu kỳ T mà khơng hàm tuần hoàn với chu kỳ bé T Định nghĩa 1.3 a Hàm số f (x) gọi phản tuần hồn (cộng tính) chu kỳ b (b > 0) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M f (x + b) = −f (x), ∀x ∈ M b Cho f (x) hàm phản tuần hồn M Khi T (T > 0) gọi chu kỳ sở f (x) f (x) phản tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng hàm phản tuần hồn với chu kỳ bé T 1.2.3 Hàm số tuần hồn phản tuần hồn nhân tính Định nghĩa 1.4 Hàm số f (x) gọi hàm tuần hồn nhân tính chu kỳ a (a > 1) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x), ∀x ∈ M Định nghĩa 1.5 Hàm số f (x) gọi hàm phản tuần hồn nhân tính chu kỳ a (a > 1) M M ⊂ D(f ) ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = −f (x), ∀x ∈ M 1.2.4 Các ví dụ mơ tả Ví dụ 1.1 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (−x) = f (x), ∀x ∈ R (1.1) Ví dụ 1.2 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R (1.4) Ví dụ 1.3 Cho a ∈ R Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (a − x) = f (x), ∀x ∈ R (1.7) Ví dụ 1.4 Cho a, b ∈ R Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (a − x) + f (x) = b, ∀x ∈ R (1.9) Ví dụ 1.5 Cho ví dụ hàm số f (x) tuần hồn chu kỳ R Ví dụ 1.6 Cho ví dụ hàm số f (x) tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ Ví dụ 1.7 Cho ví dụ hàm số f (x) phản tuần hồn nhân tính chu kỳ R+ 1.3 BIỂU DIỄN MỘT SỐ LỚP HÀM ĐẶC BIỆT 1.3.1 Hàm hợp Định nghĩa 1.6 Cho hàm số f : X → Y hàm số g : Y → Z Khi đó, ta xây dựng hàm số, kí hiệu g ◦ f : X → Z theo quy tắc: x ∈ X đặt tương ứng với z ∈ Z cho z = g(f (x)) Nghĩa là: g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ X 1.3.2 Hàm lặp hàm đối hợp Định nghĩa 1.7 Cho hàm số ω : X → X Ta định nghĩa dãy hàm số ωk : X → X sau: ω0 (x) := x; ω1 (x) := ω(x); ωn+1 (x) := ω(ωn (x)), ∀n ∈ N, ∀x ∈ X Khi đó, ωk (x) gọi hàm lặp bậc (cấp, thứ) k hàm số ω Số m ∈ N∗ nhỏ thỏa mãn điều kiện ωm (x) = x gọi bậc lặp hàm số ω(x) Khi đó, ta gọi hàm số ω(x) hàm đối hợp bậc m Trong trường hợp không tồn số m thỏa mãn đẳng thức ta nói hàm ω(x) lặp vơ hạn 1.3.3 Hàm phân tuyến tính Định nghĩa 1.8 Hàm số có dạng ω(x) = ax + b , ad − bc = cx + d gọi hàm phân tuyến tính Nếu c = ω(x) gọi hàm phân tuyến tính thực Nếu c = ω(x) gọi hàm bậc Định lý 1.1 (Điều kiện đối hợp bậc hai phép biến đổi ax + b phân tuyến tính.) Giả sử ω(x) = với c = 0, ad − bc = cx + d Khi đó, điều kiện cần đủ để hàm phân tuyến tính ω(x) có tính chất đối hợp bậc hai a + d = Định lý 1.2 (Điều kiện đối hợp bậc ba phép biến đổi ax + b phân tuyến tính.) Giả sử ω(x) = với c = 0, ad − bc = cx + d Khi đó, điều kiện cần đủ để hàm phân tuyến tính ω(x) có tính chất đối hợp bậc ba a2 + ad + d2 + bc = 10 2.1.2 Phương trình dạng khơng với hệ số Định lý 2.2 Cho X ⊂ R hàm số g(x) xác định X Giả sử hàm số ω(x) xác định tập X có tính chất: ω(ω(x)) = x, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 f (x) + a1 f (ω(x)) = g(x), ∀x ∈ X, (2.19) a0 , a1 ∈ R; a20 + a21 = a0 g(x) − a1 g(ω(x)) - Nếu a0 = ±a1 f (x) = , ∀x ∈ X a20 − a21 - Nếu a0 = a1 phương trình (2.19) có nghiệm g(x) = g(ω(x)), ∀x ∈ X Khi đó, nghiệm phương trình (2.19) có dạng f (x) = 1 g(x) + [q(x) − q(ω(x))], 2a0 q(x) hàm số tùy ý, xác định X - Nếu a0 = −a1 phương trình (2.19) có nghiệm g(x) + g(ω(x)) = 0, ∀x ∈ X Khi đó, nghiệm phương trình (2.19) có dạng f (x) = 1 g(x) + [ϕ(x) + ϕ(ω(x))], 2a0 ϕ(x) hàm số tùy ý, xác định X 11 2.1.3 Phương trình dạng với hệ số biến thiên Định lý 2.3 Cho X ⊂ R Giả sử hàm số ω(x) xác định tập X có tính chất: ω(ω(x)) = x, ∀x ∈ X Cho hàm số a0 (x), a1 (x) xác định X cho a0 (ω(x)) = a0 (x); a1 (ω(x)) = a1 (x) a20 (x)+a21 (x) = 0, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 (x)f (x) + a1 (x)f (ω(x)) = 0, ∀x ∈ X (2.25) - Nếu a0 (x) = ±a1 (x), ∀x ∈ X f (x) = 0, ∀x ∈ X - Nếu ∃x0 ∈ X cho a0 (x0 ) = ±a1 (x0 ) gọi T1 , T2 tập hợp nghiệm x ∈ X hai phương trình a0 (x) = a1 (x); a0 (x) = −a1 (x) Khi đó, nghiệm phương trình (2.25) xác định theo công thức [q(x) − q(ω(x))] f (x) = 1 [ϕ(x) + ϕ(ω(x))] x ∈ X, x ∈ T1 x ∈ T2 x ∈ T1 x ∈ T2 , q(x), ϕ(x) hàm số tùy ý, xác định T1 , T2 12 2.1.4 Phương trình dạng khơng với hệ số biến thiên Định lý 2.5 Cho X ⊂ R hàm số g(x) xác định X Giả sử hàm số ω(x) xác định tập X có tính chất: ω(ω(x)) = x, ∀x ∈ X Cho hàm số a0 (x), a1 (x) xác định X cho a0 (ω(x)) = a0 (x); a1 (ω(x)) = a1 (x) a20 (x)+a21 (x) = 0, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 (x)f (x) + a1 (x)f (ω(x)) = g(x), ∀x ∈ X (2.32) i Nếu a0 (x) = ±a1 (x), ∀x ∈ X f (x) = a0 (x)g(x) − a1 (x)g(ω(x)) , ∀x ∈ X a20 (x) − a21 (x) ii Nếu ∃x0 ∈ X cho a0 (x0 ) = ±a1 (x0 ) gọi T1 , T2 tập hợp nghiệm x ∈ X hai phương trình a0 (x) = a1 (x); a0 (x) = −a1 (x) Khi đó, nghiệm phương trình (2.32) xác định theo cách sau: - Nếu x ∈ X; x ∈ T1 x ∈ T2 f (x) = a0 (x)g(x) − a1 (x)g(ω(x)) a20 (x) − a21 (x) - Nếu x ∈ T1 phương trình (2.32) có nghiệm g(x) = g(ω(x))), ∀x ∈ T1 13 Khi đó, nghiệm phương trình (2.32) có dạng f (x) = g(x) + [q(x) − q(ω(x))], 2a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T1 - Nếu x ∈ T2 phương trình (2.32) có nghiệm g(x) + g(ω(x)) = 0, ∀x ∈ T2 Khi đó, nghiệm phương trình (2.32) có dạng f (x) = g(x) + [ϕ(x) + ϕ(ω(x))], 2a0 (x) ϕ(x) hàm số tùy ý, xác định T2 2.2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI PHÉP ĐỐI HỢP BẬC BA 2.2.1 Phương trình dạng với hệ số Về sau, để đơn giản cách viết, ta sử dụng ký hiệu sau: fˆk (x) := f (ωk (x)), gˆk (x) := g(ωk (x)), qˆk (x) := q(ωk (x)), , k ∈ N∗ Định lý 2.7 Cho X ⊂ R Giả sử hàm số ω1 (x) xác định tập X có tính chất: ωk+1 (x) = ω1 (ωk (x)), k ∈ N∗ ω3 (x) = x, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 f (x) + a1 fˆ1 (x) + a2 fˆ2 (x) = 0, ∀x ∈ X, (2.59) 14 a0 , a1 , a2 ∈ R; a20 + a21 + a22 = Đặt ∆0 = a30 + a31 + a32 − 3a0 a1 a2 - Nếu ∆0 = f (x) = 0, ∀x ∈ X - Nếu a0 = a1 = a2 nghiệm phương trình (2.59) có dạng f (x) = [2q(x) − qˆ1 (x) − qˆ2 (x)], q(x) hàm số tùy ý, xác định X - Nếu a0 +a1 +a2 = nghiệm phương trình (2.59) có dạng f (x) = [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], q(x) hàm số tùy ý, xác định X 2.2.2 Phương trình dạng khơng với hệ số Định lý 2.8 Cho X ⊂ R hàm số g(x) xác định X Giả sử hàm số ω1 (x) xác định tập X có tính chất: ωk+1 (x) = ω1 (ωk (x)), k ∈ N∗ ω3 (x) = x, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 f (x) + a1 fˆ1 (x) + a2 fˆ2 (x) = g(x), ∀x ∈ X, a0 , a1 , a2 ∈ R; a20 + a21 + a22 = Đặt ∆0 = a30 + a31 + a32 − 3a0 a1 a2 i Nếu ∆0 = a20 g(x) + a21 gˆ2 (x) + a22 gˆ1 (x) ∆0 a0 a2 gˆ2 (x) + a1 a2 g(x) + a0 a1 gˆ1 (x) − , ∀x ∈ X ∆0 f (x) = (2.89) 15 ii Nếu a0 = a1 = a2 phương trình (2.89) có nghiệm g(x) = gˆ1 (x), ∀x ∈ X Khi đó, nghiệm phương trình (2.89) có dạng f (x) = g(x) + [2q(x) − qˆ1 (x) − qˆ2 (x)], 3a0 q(x) hàm số tùy ý, xác định X iii Nếu a0 + a1 + a2 = phương trình (2.89) có nghiệm g(x) + gˆ1 (x) + gˆ2 (x) = 0, ∀x ∈ X Khi - Nếu a2 = nghiệm phương trình (2.89) có dạng f (x) = g(x) − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 q(x) hàm số tùy ý, xác định X - Nếu a0 = a2 nghiệm phương trình (2.89) có dạng f (x) = − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 q(x) hàm số tùy ý, xác định X - Nếu a0 = a2 a2 = nghiệm phương trình (2.89) có dạng f (x) = a0 g(x) + a2 gˆ1 (x) + a1 gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)] , 3(a20 + a0 a2 + a22 ) q(x) hàm số tùy ý, xác định X 16 2.2.3 Phương trình dạng với hệ số biến thiên Định lý 2.9 Cho X ⊂ R Giả sử hàm số ω1 (x) xác định tập X có tính chất: ωk+1 (x) = ω1 (ωk (x)), k ∈ N∗ ω3 (x) = x, ∀x ∈ X Cho hàm số a0 (x), a1 (x), a2 (x) xác định X cho (ω1 (x)) = (x) với i = 0, a20 (x)+a21 (x)+a22 (x) = 0, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 (x)f (x) + a1 (x)fˆ1 (x) + a2 (x)fˆ2 (x) = 0, ∀x ∈ X (2.108) i Nếu a30 (x) + a31 (x) + a32 (x) − 3a0 (x)a1 (x)a2 (x) = 0, ∀x ∈ X f (x) = 0, ∀x ∈ X a0 (x0 ) + a1 (x0 ) + a2 (x0 ) = a0 (x0 ) = a1 (x0 ) = a2 (x0 ) gọi T1 tập hợp nghiệm x ∈ X phương trình ii Nếu ∃x0 ∈ X cho a0 (x) = a1 (x) = a2 (x) T2 tập hợp nghiệm x ∈ X phương trình a0 (x) + a1 (x) + a2 (x) = Khi đó, nghiệm phương trình (2.108) xác định theo công thức 1 [2q(x) − qˆ1 (x) − qˆ2 (x)] f (x) = 1 [ϕ(x) + ϕˆ1 (x) + ϕˆ2 (x)] x ∈ X, x ∈ T1 x ∈ T2 x ∈ T1 x ∈ T2 , 17 q(x), ϕ(x) hàm số tùy ý, xác định T1 , T2 2.2.4 Phương trình dạng khơng với hệ số biến thiên Định lý 2.10 Cho X ⊂ R hàm số g(x) xác định X Giả sử hàm số ω1 (x) xác định tập X có tính chất: ωk+1 (x) = ω1 (ωk (x)), k ∈ N∗ ω3 (x) = x, ∀x ∈ X Cho hàm số a0 (x), a1 (x), a2 (x) xác định X cho (ω1 (x)) = (x) với i = 0, a20 (x)+a21 (x)+a22 (x) = 0, ∀x ∈ X Xét phương trình hàm sau: a0 (x)f (x) + a1 (x)fˆ1 (x) + a2 (x)fˆ2 (x) = g(x), ∀x ∈ X (2.126) Nếu a30 (x) + a31 (x) + a32 (x) − 3a0 (x)a1 (x)a2 (x) = 0, ∀x ∈ X g1 (x) a20 (x)g(x) + a21 (x)ˆ g2 (x) + a22 (x)ˆ 3 a0 (x) + a1 (x) + a2 (x) − 3a0 (x)a1 (x)a2 (x) a0 (x)a2 (x)ˆ g2 (x) + a1 (x)a2 (x)g(x) + a0 (x)a1 (x)ˆ g1 (x) − , ∀x ∈ X 3 a0 (x) + a1 (x) + a2 (x) − 3a0 (x)a1 (x)a2 (x) f (x) = a0 (x0 ) + a1 (x0 ) + a2 (x0 ) = a0 (x0 ) = a1 (x0 ) = a2 (x0 ) gọi T1 tập hợp nghiệm x ∈ X phương trình Nếu ∃x0 ∈ X cho a0 (x) = a1 (x) = a2 (x) T2 tập hợp nghiệm x ∈ X phương trình a0 (x) + a1 (x) + a2 (x) = 18 Khi đó, nghiệm phương trình (2.126) xác định theo cách sau: a Nếu x ∈ X; x ∈ T1 x ∈ T2 a20 (x)g(x) + a21 (x)ˆ g2 (x) + a22 (x)ˆ g1 (x) a30 (x) + a31 (x) + a32 (x) − 3a0 (x)a1 (x)a2 (x) a0 (x)a2 (x)ˆ g2 (x) + a1 (x)a2 (x)g(x) + a0 (x)a1 (x)ˆ g1 (x) − 3 a0 (x) + a1 (x) + a2 (x) − 3a0 (x)a1 (x)a2 (x) f (x) = b Nếu x ∈ T1 phương trình (2.126) có nghiệm g(x) = gˆ1 (x), ∀x ∈ T1 Khi đó, nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = g(x) + [2q(x) − qˆ1 (x) − qˆ2 (x)], 3a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T1 c Nếu x ∈ T2 phương trình (2.126) có nghiệm g(x) + gˆ1 (x) + gˆ2 (x) = 0, ∀x ∈ T2 Khi đó, nghiệm phương trình (2.126) xác định theo cách sau: i Nếu a2 (x) = 0, ∀x ∈ T2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = g(x) − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T2 ii Nếu a0 (x) = a2 (x), ∀x ∈ T2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 (x) 19 q(x) hàm số tùy ý, xác định T2 iii Nếu a0 (x) = a2 (x) a2 (x) = 0, ∀x ∈ T2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = a0 (x)g(x) + a2 (x)ˆ g1 (x) + a1 (x)ˆ g2 (x) + [q(x)+ˆ q1 (x)+ˆ q2 (x)], 2 3 a0 (x) + a0 (x)a2 (x) + a2 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T2 iv Nếu ∃x0 ∈ T2 cho a2 (x0 ) = ∃x1 ∈ T2 cho a0 (x1 ) = a2 (x1 ) gọi S1 tập hợp nghiệm x ∈ T2 phương trình a2 (x) = S2 tập hợp nghiệm x ∈ T2 phương trình a0 (x) = a2 (x) Khi - Nếu x ∈ S1 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = g(x) − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định S1 - Nếu x ∈ S2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định S2 - Nếu x ∈ T2 , x ∈ S1 x ∈ S2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = a0 (x)g(x) + a2 (x)ˆ g1 (x) + a1 (x)ˆ g2 (x) + [q(x)+ˆ q1 (x)+ˆ q2 (x)], 2 3 a0 (x) + a0 (x)a2 (x) + a2 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T2 \ (S1 ∪ S2 ) 20 v Nếu ∃x0 ∈ T2 , a2 (x0 ) = a0 (x) = a2 (x), ∀x ∈ T2 gọi S1 tập hợp nghiệm x ∈ T2 phương trình a2 (x) = Khi - Nếu x ∈ S1 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = g(x) − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định S1 - Nếu x ∈ T2 x ∈ S1 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = a0 (x)g(x) + a2 (x)ˆ g1 (x) + a1 (x)ˆ g2 (x) q1 (x)+ˆ q2 (x)], + [q(x)+ˆ 2 3 a0 (x) + a0 (x)a2 (x) + a2 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T2 \ S1 vi Nếu ∃x0 ∈ T2 , a0 (x0 ) = a2 (x0 ) a2 (x) = 0, ∀x ∈ T2 gọi S2 tập hợp nghiệm x ∈ T2 phương trình a0 (x) = a2 (x) Khi - Nếu x ∈ S2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = − gˆ2 (x) + [q(x) + qˆ1 (x) + qˆ2 (x)], 3a0 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định S2 - Nếu x ∈ T2 x ∈ S2 nghiệm phương trình (2.126) có dạng f (x) = a0 (x)g(x) + a2 (x)ˆ g1 (x) + a1 (x)ˆ g2 (x) + [q(x)+ˆ q1 (x)+ˆ q2 (x)], 2 3 a0 (x) + a0 (x)a2 (x) + a2 (x) q(x) hàm số tùy ý, xác định T2 \ S2 21 CHƯƠNG MỘT SỐ ÁP DỤNG 3.1 MỘT SỐ ĐỀ THI OLYMPIC VỀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM Bài tốn 3.1 (Đề thi Olympic tốn Đơng Nam Á-1998.) Cho hàm số f : R \ {0} → R thỏa mãn điều kiện f (x) + 2f = 3x, ∀x ∈ R \ {0} x (3.1) Tìm tất nghiệm phương trình: f (x) = f (−x) Bài tốn 3.2 (Đề thi HSG quốc gia-2000.) Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện x2 f (x) + f (1 − x) = 2x − x4 , ∀x ∈ R (3.2) Bài tốn 3.3 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện x2 + + x − f f x2 + − x = x, ∀x ∈ R (3.5) Bài tốn 3.4 Tìm tất hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện f (x) + f (−x) + f 1 +f − = q(x), ∀x ∈ R \ {0}, (3.7) x x với q(x) hàm số cho trước Bài tốn 3.5 Tìm tất hàm số f : R \ {0; 1} → R thỏa mãn điều kiện f (x) + f x−1 = − x, ∀x ∈ R \ {0; 1} x (3.14) 22 Bài tốn 3.6 (Kosovo TST-2011.) Tìm tất hàm số f : R \ {±1} → R thỏa mãn điều kiện f x−3 3+x +f = x, ∀x ∈ R \ {±1} x+1 1−x (3.15) Bài toán 3.7 Tìm tất hàm số f : R \ {0; 1} → R thỏa mãn điều kiện −2f (x) + f x−1 +f = 0, ∀x ∈ R \ {0; 1} 1−x x (3.16) Bài toán 3.9 Cho hàm số q(x) xác định R hàm số ω(x) = − x+1 Tìm tất hàm số f : R \ {−1; 0} → R thỏa mãn điều kiện f (ω(ω(x))) + f (ω(x)) + f (x) = q(x), ∀x ∈ R \ {−1; 0} (3.18) Bài tốn 3.10 (Đề nghị thi Olympic 30/04/2011.) Tìm tất hàm số f : R \ {0; 1} → R thỏa mãn điều kiện x−1 + x2 f 1−x x =2011(x2 − x), ∀x ∈ R \ {0; 1} (x − 1)f (x) − x(x − 1)2 f (3.20) Bài tốn 3.11 Tìm tất hàm số f : R \ {0; 1} → R thỏa mãn điều kiện f (x) + bf x−1 +f = b + 2, ∀x ∈ R \ {0; 1}, (3.22) 1−x x với b số thực cho trước 23 Bài tốn 3.12 Tìm tất hàm số f : R \ {0; ±1} → R thỏa mãn điều kiện f (x) + (x + 1)f 1+x x2 + = , ∀x ∈ R \ {0; ±1} 1−x x−1 (3.23) Bài toán 3.13 Cho X ⊂ R hàm số g(x) xác định X Giả sử hàm số ω1 (x) xác định tập X có tính chất: ωk+1 (x) = ω1 (ωk (x)), k ∈ N∗ ; ωn (x) = x, ∀x ∈ X, n ∈ N, n Tìm tất hàm số f : X → R thỏa mãn điều kiện f (x) + fˆ1 (x) + · · · + fˆn−2 (x) + fˆn−1 (x) = g(x), ∀x ∈ X (3.27) 3.2 XÁC ĐỊNH MỘT SỐ DÃY SỐ TUẦN HỒN Bài tốn 3.14 Tìm tất dãy số {xn } tuần hồn (cộng tính) chu kỳ thỏa mãn điều kiện [2 + (−1)n ]xn + [2 − (−1)n ]xn+1 = 4, ∀n ∈ N (3.31) Bài tốn 3.15 Tìm tất dãy số {xn } tuần hồn nhân tính chu kỳ thỏa mãn điều kiện [1 + sin(2π log4 n) − sin(2π log4 2n)]xn +[−1 + sin(2π log4 n) − sin(2π log4 2n)]x2n =2[cos(2π log4 n) − cos(2π log4 2n)], ∀n ∈ N∗ (3.34) Bài tốn 3.16 Tìm tất dãy số {xn } tuần hồn (cộng tính) chu kỳ thỏa mãn điều kiện 2+cos 2nπ 2nπ 2nπ xn + −1+cos (xn+1 +xn+2 ) = sin , ∀n ∈ N 3 (3.37) 24 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu, học hỏi từ tài liệu Thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu cung cấp, tơi hồn thành đề tài Luận văn "Phương pháp đại số giải phương trình hàm" giải vấn đề sau: Hệ thống tính chất hàm số, tốn tử đại số, phép lặp đối hợp Đưa phương pháp đại số khảo sát chi tiết lời giải phương trình hàm với phép đối hợp bậc hai bậc ba Xét dạng toán, toán từ kỳ thi học sinh giỏi Quốc gia Olympic nước, dạng toán dãy số tuần hồn Với tìm hiểu được, tác giả hy vọng luận văn tài liệu tham khảo hữu ích cho thân công tác giảng dạy sau hy vọng luận văn nguồn tư liệu tốt cho học sinh phổ thông quan tâm đến lớp tốn phương trình hàm Mặc dù cố gắng, thời gian khả có hạn nên chắn luận văn có thiếu sót Vì thế, tơi mong nhận nhiều ý kiến đóng góp q thầy cơ, bạn bè, đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện ... Nguyễn Văn Mậu cung cấp, tơi hồn thành đề tài Luận văn "Phương pháp đại số giải phương trình hàm" giải vấn đề sau: Hệ thống tính chất hàm số, toán tử đại số, phép lặp đối hợp Đưa phương pháp đại số. .. loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: miền giá trị số biến tự 1.1.2 Phân loại phương trình hàm Có thể phân loại phương trình hàm thành lớp sau: - Phương trình hàm N, Z, Q, R, - Phương trình. .. quan dạng toán xác định dãy số tuần hoàn Cùng với hướng dẫn Thầy giáo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, chọn đề tài "Phương pháp đại số giải phương trình hàm" cho luận văn thạc sĩ 4 CHƯƠNG NHỮNG KIẾN THỨC