Tóm tắt luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình hàm liên quan đến phép lặp

Mục tiêu của luận văn là cung cấp thêm cho học sinh - sinh viên đặc biệt là học sinh - sinh viên khá giỏi, có năng khiếu và yêu thích môn toán tài liệu tham khảo về phương trình hàm. Ngoài những kiến thức cơ bản về phương trình hàm, luận văn nghiên cứu tìm hiểu kĩ hơn về phương trình hàm liên quan đến phép lặp.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG ———————————————– NGỤY THỊ MẾN - C01056 PHƯƠNG TRÌNH HÀM LIÊN QUAN ĐẾN PHÉP LẶP Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC HÀ NỘI - 2019 LUẬN VĂN ĐƯỢC HỒN THÀNH TẠI KHOA TỐN - TIN TRƯỜNG ĐẠI HỌC THĂNG LONG Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Hà Huy Khoái Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm họp Trường Đại học Thăng Long Vào ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn thư viện Trường Đại học Thăng Long Mở đầu Lý thuyết phương trình hàm lĩnh vực nghiên cứu Giải tích tốn học gần gũi với học sinh trung học phổ thơng chun tốn, học sinh có khiếu tốn Đối với học sinh đại trà, phương trình hàm dạng tốn xa lạ Vì tìm hiểu phương trình hàm đa số học sinh cảm thấy khó Để giải phương trình hàm khơng đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức, mà cịn phải có khả tư tốt, khả nhận dạng để tìm cách giải hợp lý Là dạng tốn hay khó tốn sơ cấp, phương trình hàm thường xuất kì thi Olympic Tốn học quốc gia, khu vực quốc tế Các toán thường khó, đơi cịn khó Để giải tốn đó, trước tiên phải nắm vững kiến thức hàm số, phương trình hàm bản, số phương pháp giải phương trình hàm thường gặp, đồng thời phải biết vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức Với mong muốn đóng góp vào việc tìm hiểu phương trình hàm, tơi chọn: "Phương trình hàm liên quan đến phép lặp" làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu luận văn cung cấp thêm cho học sinh - sinh viên đặc biệt học sinh - sinh viên giỏi, có khiếu u thích mơn tốn tài liệu tham khảo phương trình hàm Ngồi kiến thức phương trình hàm, luận văn nghiên cứu tìm hiểu kĩ phương trình hàm liên quan đến phép lặp 2 Chương Một số kiến thức Chương trình bày kiến thức phương trình hàm Mục 1.1 nhắc lại khái niệm phương trình hàm Mục 1.2 dành cho phân loại phương trình hàm Mục 1.3 trình bày số phương pháp giải phương trình hàm 1.1 Khái niệm Điều nói lí thuyết phương trình hàm ý nghĩa xác khái niệm "Phương trình hàm" Ban đầu người ta hiểu phương trình hàm tất phương trình chứa hàm chưa biết, sau vi phân, tích phân, Tuy nhiên, tác giả khác đưa định nghĩa cách hiểu khác Định nghĩa phiên sửa đổi chút từ sách chuyên khảo Aczesl (xem [1]).Định nghĩa dựa khái niệm từ, chúng tơi bắt đầu với việc định nghĩa sau Định nghĩa 1.1 Một từ xác định điều kiện sau: Các biến độc lập từ Nếu t1 ,t2 , ,t p từ f (x1 , , x p ) hàm p biến f (t1 , ,t p ) từ Khơng tồn từ khác Khi phương trình hàm định nghĩa sau Định nghĩa 1.2 Một phương trình hàm đẳng thức t1 = t2 hai từ t1 t2 , chứa hàm chưa biết hữu hạn biến độc lập Đẳng thức thỏa mãn tất biến tập hợp định Người ta tìm cách nêu xác lớp hàm nghiệm, số lượng đặc điểm nghiệm phụ thuộc nhiều vào lớp hàm Nó khác biệt quan trọng phương trình hàm phương trình sai phân 1.2 Phân loại phương trình hàm Vấn đề phân loại phương trình hàm khó chưa giải cách thỏa đáng J Aczel chuyên khảo ông theo quan điểm sau: Một nhiều hàm chưa biết nhiều biến, có tất loại Tất nhiên cách phân loại thơ lại có ích Định nghĩa 1.3 Một phương trình hàm tất ẩn hàm hàm biến gọi phương trình hàm thường, phương trình hàm có ẩn hàm hàm nhiều biến gọi phương trình hàm riêng Lưu ý rằng, nhiều hàm hồn tồn xác định phương trình hàm nhất, trái với tình phương trình vi phân 4 Một đề xuất phân loại phương trình hàm thường mô tả báo Kuczma Phân loại dựa khái niệm hạng, bậc, số kéo theo Khái niệm hạng phương trình hàm giới thiệu W Maier Định nghĩa 1.4 Số lượng biến độc lập xuất phương trình hàm gọi hạng phương trình Định nghĩa áp dụng cho phương trình hàm riêng, thấy khơng thật phù hợp để làm sở cho việc phân loại phương trình hàm riêng Định nghĩa 1.5 Số phương trình bổ sung tối thiểu cần thiết để đưa phương trình hàm dạng chứa hàm biến gọi bậc phương trình Phương trình hàm thường tổng quát với ẩn hàm, bậc 1, có dạng F[x1 , , x p , ϕ(x1 ), , ϕ(x p ), ϕ f [x1 , , x p , ϕ(x1 ), , ϕ(x p )] ] = (6) Nó đưa hệ F[x1 , , x p , ϕ(x1 ), , ϕ(x p , ϕ(y)] = f [x1 , , x p , ϕ(x1 ), , ϕ(x p )] = y Định nghĩa bậc có vài khuyết điểm Nó khơng thể áp dụng phương trình hàm riêng Nhưng trường hợp phương trình hàm thường, số điều nhầm lẫn nảy sinh Chúng sinh yêu cầu số phương trình bổ sung phải nhỏ Điều thường khó để định liệu có khơng Ví dụ phương trình ϕ(x + y) = ϕ(x) + y (7) dường có bậc 1: ϕ(z) = ϕ(x) + y z = x+y Nhưng thực tế bậc 0, viết dạng ϕ(z) = ϕ(x) + z − x x z khơng phụ thuộc quan hệ Tương tự, phương trình (6) có bậc 1, lưu ý hàm số F(x1 , , x p , z1 , , z p , u) thực phụ thuộc vào biến z1 , , z p , u Nói nơm na, số kéo theo định nghĩa sau cho biết ẩn hàm phương trình tạo nên lần phép lặp Định nghĩa 1.6 Giả sử phương trình hàm quy hệ phương trình mơ tả Số nhóm phương trình bổ sung chứa ẩn hàm gọi số kéo theo phương trình Ta gộp hạng p, bậc n số kéo theo i phương trình hàm kí hiệu [p, n, i] gọi kiểu phương trình Vì phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6), (7) tương ứng có kiểu [2, 1, 0], [2, 2, 0], [2, 1, 1], [2, 3, 1], [1, 2, 2], [p, 1, 1], [2, 0, 0] Các phân loại mô tả quan tâm đến phương trình hàm thường Với phương trình hàm thường phương trình hàm riêng, người ta áp dụng khái niệm lớp định nghĩa A R Schweitzet j − p, j số biến nhỏ ẩn hàm (chẳng hạn, j = phương trình hàm thường) p hạng Vẫn cách tiếp cận vấn đề phân loại phương trình hàm khác đề cập B Schweizer A Sklar 1.3 Một số phương pháp giải phương trình hàm Việc thiếu phương pháp chung lý thuyết phương trình hàm nhiều năm nguyên nhân khiến nhà tốn học nản lịng lý thuyết Các tác phẩm C Popovici M Ghermănescu làm cho tình hình trở lên tốt Nhưng báo J Aczél tiến thực Ông đưa phương pháp tổng quát để giải lớp rộng phương trình hàm, ví dụ ϕ(x + y) = F[ϕ(x), ϕ(y)], (11) ϕ( x+y ) = F[ϕ(x), ϕ(y)], (12) ϕ(ax + by + c) = F[ϕ(x), ϕ(y)], (13) G[ϕ(x + y), ϕ(x − y), ϕ(x), ϕ(y), x, y] = 0, (14) Ông đưa tiêu chí tồn nghiệm Kể từ đó, phương pháp tổng quát khác J Aczél học trị tìm ra; Có thể kể đến phương pháp định thức E Vincze Không thể mô tả hết tất phương pháp sử dụng để giải phương trình hàm cụ thể Người ta nói rằng, trường hợp phương trình hạng ≥ 2, phương pháp sử dụng thường xuyên đặc biệt hóa biến (xét giá trị đặc biệt) Phương pháp đặc biệt hóa khơng thể sử dụng trường hợp phương trình hạng Phần địi hỏi tiếp cận hoàn toàn khác Các phương pháp thường sử dụng là: Thác triển hàm xác định tập định thành nghiệm phương trình địi hỏi dự đốn dạng nghiệm (thường thỏa mãn số điều kiện bổ sung) từ dạng phương trình, ứng dụng định lý điểm bất động khơng gian hàm Nhưng có số phương pháp tổng quát biết đến sử dụng nhiều năm Nó bao gồm việc đưa phương trình hàm phương trình vi phân Phương pháp này, tổng quát, có khiếm khuyết nghiêm trọng: Nó cho nghiệm khả vi (thậm chí thường khả vi nhiều lần) phương trình I Fenyo cố gắng vượt qua khó khăn Tuy nhiên bước cuối đòi hỏi số giả thiết tính khả tích Hiện nay, biết số định lý khả vi nghiệm khả tích phương trình hàm định, ví dụ Kac, Aczél Tuy nhiên phương pháp I Fenyo tổng quát nữa, xem phương pháp chung để giải phương trình suy rộng Cuối cùng, lưu ý rằng, I Carstoiu nhận xét biến đổi tích phân áp dụng để giải phương trình hàm A Rényi đưa phương pháp biến đổi phương trình hàm thành phương trình tích phân 8 Chương Phương trình hàm liên quan đến phép lặp Chương trình bày vấn đề chính, vấn đề đề cập đến số lớp phương trình hàm mà phép lặp đóng vai trị quan trọng là: Phương trình hàm với dịch chuyển, Phương trình Shroder phương trình liên quan Phương trình Shroder phương trình liên quan Phương trình Shroder phương trình liên quan Vấn đề trình bày định nghĩa số trường hợp cụ thể phương trình hàm liên quan đến phép lặp 2.1 Một số lớp phương trình hàm 2.1.1 Phương trình với dịch chuyển Phương trình hàm cơng cụ lí thuyết đối tượng hình học Một vấn đề lí thuyết vấn đề phân loại dẫn đến phương trình Φ[Ω; T3 ] = Φ {Φ[Ω; T1 ]; T2 } (16) Ở Ω biểu thị đại lượng (hoặc hệ thống đại lượng) gọi thành phần đối tượng hình học đóng vai trị biến (16) T1 T2 hệ tham số đặc trưng hóa phép biến đổi ρ1 ρ2 hệ tọa độ T3 hệ tham số đặc trưng cho hợp thành phép biến đổi ρ1 ρ2 Các tham số T1 T2 đóng vai trị biến, T3 biểu thị qua T1 T2 Phương trình (16) trường hợp tổng quát chưa giải 2.1.2 Phương trình Shroder phương trình liên quan Trong mục chúng tơi đề cập đến phương trình Schroder ϕ[ f (x)] = s · ϕ(x), (20) ϕ[ f (x)] = ϕ(x) + 1, (21) ϕ[ f (x)] = [ϕ(x)]m , (22) Φ(sx) = F[ϕ(x)] (23) phương trình Abel phương trình Bottcher phương trình Poincaré Những phương trình giải triệt để vào năm 1919 − 1924 P Fatou, G Julia người khác Phương trình Schroder có lẽ quan trọng Những phương trình khác biến đổi (với giả thiết phù hợp) (20) Những phương trình chủ yếu liên quan đến lý thuyết lặp, chúng phát sinh nhiều câu hỏi khác nghiên cứu bất biến biến đổi địa phương dòng thực (phương trình (20)) nghiên cứu phân phối khơng điểm 10 nghiệm số phương trình vi phân (phương trình (21)) G Koenigs chứng minh hàm f (x) (giá trị phức biến phức) giải tích lân cận 0, f (0) = 0, f (0) = s, < |s| < phương trình (20) có nghiệm ϕ(x) giải tich lân cận cho ϕ (0) = Nghiệm cho ϕ(x) = lim s−n f n (x), n→∞ (24) f n (x) lần lặp f (x) H Kneser thay hàm giải tích f (x) cần giả sử f (x) = sx + O(|x|1+δ ), < s < 1, δ > 0, x → 0, (trong f (x) hàm có giá trị thực biến thực) Sau tất nhiên hàm (24) khơng cần giải tích, chí khơng thuộc lớp C1 đơn điệu nghiêm ngặt vùng lân cận 0, đạo hàm ϕ (0) tồn Vì tồn ϕ −1 quan trọng số ứng dụng, định lí sau G Szekeres hữu ích Hàm f (x) lớp C1 tăng nghiêm ngặt [0, a), < f (x) < x (0, a) f (x) = s + O(xδ ), δ > 0, < s < 1, x → 0, (25) phương trình Schroder có nghiệm ϕ(x) thuộc lớp C1 tăng nghiêm ngặt [0, a) thỏa mãn ϕ (0) = Nghiệm cho công thức (24) Điều kiện (25) khơng thừa Nêú khơng đáp ứng (20) ngẫu nhiên có vơ số nghiệm thuộc lớp C1 [0, a) (các nghiệm xác định tùy ý khoảng định) không ngoại trừ cho ϕ(x) ≡ tầm 11 thường Phương trình Schroder cho hàm nhiều biến biến tổng quát nghiên cứu N Pastides, P Montel, M Kuczma, M Urabe Phương trình Abel (21) có lẽ tổng quát (20) R Tamb, Lyche chứng minh (21) có nghiệm tập hợp E f k (x) = x với k = 1, 2, 3, x ∈ E (27) Nếu (27) thoả mãn khoảng E, phương trình Abel có vơ số nghiệm E (chúng xác định tùy ý khoảng định) có độ quy f (x) Do để có nghiệm người ta phải thay giả sử điều kiện giải tích điểm cố định f (x), đưa số giả thiết liên quan đến dáng điệu tiệm cận ϕ(x) Vì G Szekeres chứng minh có hàm ϕ0 (x), chuẩn hóa đáp ứng ϕ0 (1) = 0, thỏa mãn phương trình ϕ0 (ex − 1) = ϕ0 (x) + 1, x > 0, (28) điều kiện (k) (−1)k+1 ϕ0 (x) > với k = 1, 2, x > (29) (k) (nói cách khác, ϕ0 (x) hoàn toàn đơn điệu; Ở ϕ0 (x) ký hiệu đạo hàm cấp k ϕ0 (x)) Ông với L-hàm f (x), tồn nghiệm ϕ(x) phương trình (21) cho sai khác số cộng, cho ϕ (x) → const x → ∞ ϕ0 (x) (30) 12 2.2 Phương trình hàm liên quan đến phép lặp 2.2.1 Định nghĩa Họ tham số hàm f u (x) xác định lân cận x = gọi nhóm lặp hàm f (x) = f (x) điều kiện f u [ f v (x)] = f u+v (x) (31) với cặp số nguyên u, v ∈ (−∞; +∞) lân cận thích hợp (31) phương trình với dịch chuyển, f u (x) = ϕ −1 [ϕ(x) + u], (32) ϕ nghiệm khả nghịch phương trình Abel (21) Cách khác, f u (x) định nghĩa f u (x) = ϕ −1 (su ϕ(x)), (33) ϕ(x) nghiệm khả nghịch phương trình Schroder (20) Do nghiệm khả nghịch phương trình (20), (21) khơng phải nên nhóm lặp hàm khơng Một nghiên cứu chi tiết câu hỏi trường hợp thực xem Michel Nếu f (0) = s, < s < nhóm lặp f u (x) f (x) gọi quy f u (x) lim = su với ∀ u x→0 x Nhóm lặp quy, tồn tại, Thực vậy, (33) xác định nhóm lặp quy f (x) ϕ(x) phải nghiệm quy phương trình Schroder Điều ngược lại khơng đúng, nghiệm phương trình (20) khơng cần phải khả nghịch Nhưng ϕ(x) một nghiệm khả 13 nghịch phương trình (20) nhóm lặp xác định (33) quy Do điều kiện (25) tính lồi hay tính lõm hàm f (x) điều kiện đủ cho tồn nhóm lặp quy f (x) Các khái niệm tương tự định nghĩa f (0) = f (0) = Đôi để thuận tiện xem nhóm lặp hàm lân cận vơ cực; Khi quan hệ (31) quy định cho x đủ lớn Nếu f (x) = ϕ0−1 [g(ϕ0 (x))] ϕ0 nghiệm phương trình (28) thoả mãn w(x) (29) g(x) = x + w(x), lim = nhóm lặp f u (x) = ϕ0−1 [gu (ϕ0 (x))] x→∞ x f (x), gu (x) = x + wu (x) nhóm lặp g(x) gọi wu (x) = u Bây giờ, phương trình (21) có quy lim x→∞ w(x) nghiệm ϕ(x) thoả mãn (30) f (x) có nhóm lặp quy, đưa (32) Đặc biệt, L- hàm sở hữu nhóm lặp quy Nếu f (x) giải tích lân cận gốc f (x) = a1 x + a2 x2 + , hệ số khai triển f u (x) f u (x) = bu1 x + bu2 x2 + (34) dễ dàng tính tốn Điều biết từ lâu, từ thời J G Tralles 1814 C G Jacobi 1825 Tuy nhiên, hội tụ chuỗi (34) vấn đề tế nhị Nếu < |a1 | < chuỗi (34) hội tụ cung cấp nhóm lặp f (x) giải tích x u Trường hợp a1 = nghiên cứu G Szekeres, P Erdos- Jabotinsky, B Mucken-houpt I N Baker N Baker chứng minh tập hợp u với chuỗi (34) có bán kính hội tụ dương bao gồm tồn mặt phẳng phức, lưới hai chiều điểm Trong trường hợp đặc 14 biệt, với f (x) = ex − chuỗi (34) có bán kính hội tụ dương u số nguyên Phép lặp cấp phức u nghiên cứu H Topfer M A Mckiernan chứng minh đường cong cho mặt phẳng phức z = f u (z0 ), u ∈ (−∞; +∞), cho nghiệm toán biến phân Liên quan chặt chẽ đến lý thuyết lặp lý thuyết hàm giao hoán Hàm f (x) ϕ(x) gọi giao hoán ϕ[ f (x)] = f [ϕ(x)] (35) Nếu f (x) cho, (35) trường hợp đặc biệt phương trình ϕ[ f (x)] = g(x, ϕ(x)) (36) , Chúng ta kết thúc phần vấn đề sau: Giả sử f1 (x) f2 (x) ánh xạ liên tục, giao hoán [0, 1] vào Chúng có điểm bất động hay không, nghĩa tồn hay không x0 ∈ [0, 1], thỏa mãn f1 (x0 ) = f2 (x0 ) = x0 ? Mặc dù nhìn đơn giản, vấn đề hóa khó khăn, chưa giải trừ số trường hợp đặc biệt 2.2.2 Các trường hợp cụ thể khác thuộc kiểu [1, 1, 0] Bài toán Goursat cho phương trình vi phân ∂ 2z = G(x, y) ∂ x∂ y (37) 15 dẫn đến phương trình hàm ϕ[ f (x)] − ϕ(x) = F(x) (38) Các định lý liên quan đến tồn nghiệm phương trình Goursat (37) suy trực tiếp từ định lý tương ứng cho phương trình (38) Bài tốn Goursat phương trình vi phân phức tạp (37) dẫn đến phương trình hàm bậc cao Phương trình ϕ(2x) = [ϕ(x) + x] tìm thấy ứng dụng tĩnh học N Gersevano số ví dụ cụ thể mà phương trình (36) sử dụng học thuỷ khí Phương trình ϕ(x2 ) + ϕ(x) = x H Stenhaus sử dụng nghiên cứu hội tụ chuỗi định P J Myrberg nghiên cứu phương trình phi tuyến ϕ(kx) = [ϕ(x)]2 + p mặt phẳng phức Phương trình ϕ(x2 ) + [ϕ(x)]2 + 2x = xuất mối liên quan với toán tổ hợp đại số khơng kết hợp Phương trình tương tự ϕ(x2 ) − [ϕ(x)]2 = h(x) giải I N Baker J Lambek - L Moser mối liên quan với vấn đề lý thuyết số 16 2.2.3 Nghiệm đơn điệu lồi Hàm Euler Γ(x) thỏa mãn phương trình hàm Γ(x + 1) = xΓ(x), x > 0, (41) Γ(1) = (42) điều kiện Nhưng phương trình (41) sở hữu nghiệm khác thỏa mãn điều kiện (42) Do để mơ tả hàm Euler nhờ quan hệ (41) (42) người ta phải đặt thêm điều kiện Vào năm 1931 E Artin chứng minh rằng, hàm Euler hàm lồi logarit thỏa mãn phương trình (41) điều kiện (42) Ngồi ra, mơ tả hàm Euler nghiệm phương trình (41) (42) x x 2π 1/2 tiệm cận đến , tương tự điều kiện Anastassiadis Cũng e x miền phức hàm Γ(x) định nghĩa (41), (42) số điều kiện bổ sung Một số hàm liên quan đến Γ(x) đặc trưng phương trình hàm điều kiện lồi đơn điệu J Anastassiadis chứng minh rằng, định lý trên, điều kiện lồi thay điều kiện yếu nửa lồi nửa đơn điệu Ông chứng minh nghiệm lồi đơn điệu phương trình Φ(x), x > 0, x+y (y- tham số cố định) thỏa mãn điều kiện Φ(1) = hàm y Φ(x + 1) = Φ(x) = B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y) 17 2.2.4 Phương trình bậc cao Lý thuyết phương trình hàm bậc cao (hạng số kéo theo 0) không phát triển lý thuyết phương trình (36) Phương trình có dạng F(x, ϕ(x), ϕ[ f1 (x)], , ϕ[ fn (x)] = 0) (47) Một cách tìm nghiệm tổng quát phương trình (47) S B Presic Một số định lý liên quan đến phương trình (47) tương tự định lý nghiệm liên tục phương trình (36) chứng minh M Bajraktarevic, B Choczewski, J Kordylewski, J Kordylewski- M Kuczma, G Majcher Trường hợp cụ thể f( x) = f k (x) phép lặp hàm f (x) hàm F(x, y0 , , yn ) tuyến tính theo với y0 , , yn thường xem xét Phương trình (47) có dạng ϕ[ f n (x)] + A1 (x)ϕ[ f n−1 (x)] + + An (x)ϕ(x) = B(x) (52) Phương trình dạng (52) nghiên cứu C Popovici, M Ghermănescu, J Kordylewski - M Kuczma, M Bajraktarevic, G Majcher, D S Mitrinovic Các trường hợp cụ thể khác phương trình (47) ϕ hàm bậc cao nghiên cứu M Ghermănescu, D S Mitrinovic - D Z Đokovic, D.S Mitrinovic- P.M Vasic, M Kuczma 2.2.5 Sai phân hữu hạn Một lớp lớn phương trình dạng (47) đặc biệt thơng dụng Chúng ta nói đến phương trình sai phân Đây phương trình có dạng (47) 18 fk (x) = x + kh, h > số Phương trình sai phân tìm thấy nhiều ứng dụng vấn đề nghiệm gần phương trình vi phân riêng Lý thuyết tìm thấy nhiều ứng dụng trực tiếp vật lý lĩnh vực khác khoa học Lý thuyết phương trình sai phân ngày phát triển mạnh nhiều lần trình bày sách Chúng ta khơng thể trình bày đây, chí trình bày sơ lược Các độc giả quan tâm tìm đến tác phẩm cổ điển Norlund chuyên khảo đại Goldberg Levy-Lessman Tuy nhiên, ta đề cập lớp phương trình sai phân cụ thể Các định lý liên quan đến hội tụ dãy xác định công thức truy hồi av+n = G(av , av+1 , , av+n−1 ) (55) suy từ tính chất giới hạn nghiệm phương trình hàm ϕ(x + n) = G(ϕ(x), ϕ(x + 1), , ϕ(x + n − 1)) Trong trường hợp hàm G tuyến tính, nghiên cứu chi tiết phụ thuộc hội tụ dãy av xác định quan hệ (55) vào cách chọn số hạng đầu a0 , , an−1 đưa M Kucharzewski - M Kuczma Một thú vị từ tính chất chuỗi truy hồi có số định lý nghiệm phương trình đại số 2.2.6 Các phương trình lặp Chỉ có số kiểu phương trình hàm với số kéo theo dương nghiên cứu rộng rãi Có lẽ quan trọng phương trình Babbage (xem [4]) ϕ n (x) = x (56) 19 (ϕ n ký hiệu phép lặp thứ n ϕ), nhiều tác giả nghiên cứu E Vincze chứng minh n số lẻ nghiệm đơn điệu (56) ϕ(x) = x; n chẵn nghiệm đơn điệu (56) phải hàm đối hợp (nghĩa phải thỏa mãn ϕ (x) = x Mặt khác, nghiệm đơn điệu phương trình (56) phải đơn điệu chặt Phương trình ϕ n (x) = g(x) (57) mở rộng gần phương trình Babbage Nghiệm tổng quát phương trình (57) tập E thỏa mãn g(E) = E xây dựng S Lojasiewicz, Haidukov Nghiệm liên tục (57) nghiên cứu M Kuczma P I Haidukov giả thiết hàm g(x) liên tục đơn điệu ngặt Người ta muốn tìm nghiệm tổng quát liên tục phương trình (57) mà khơng giả sử tính đơn điệu g(x) Trong miền phức phương trình (57) nghiên cứu P J Myrberg trường hợp g(x) hàm hữu tỷ Phương trình ϕ n (x) = g[ϕ m (x)], m < n (58) đưa (57) Trong trường hợp g(x) = x nghiệm tổng quát liên tục phương trình (58) đưa G M Ewing- W R Utz Trường hợp đặc biệt (57) ϕ (x) = g(x) (59) quan tâm đặc biệt Có câu hỏi mở điều kiện đặt cho g(x) phương trình (59) (hoặc tổng quát hơn, phương trình (57)) có nghiệm lồi, liệu nghiệm có Vấn đề đặt dạng tổng quát hơn: Trong điều kiện g(x), tồn nhóm 20 lặp gu (x) thỏa mãn gu (x) lồi với u > lõm với u < 0? Nhóm có khơng? Trong miền phức, phương trình (59) với hàm ngun g(x) nghiên cứu W J Thron I N Baker Đặc biệt trường hợp g(x) = ex−1 thu hút ý số tác giả, ví dụ Thron, Osser-man, Baker I N Baker cho thấy tồn nghiệm phương trình ϕ (x) = ex−1 giải tích x = Tương tự phương trình ϕ (x) = ex (60) quan tâm Nghiên cứu phương trình trường hợp thực đặc biệt khó khăn, ex khơng có điểm bất động thực (tức phương trình ex = x khơng có nghiệm thực) H Kneser thành công thu nghiệm phương trình (60) thực giải tích trục thực Nghiệm không đơn trị, G Szekeres, khơng có tính G Szekeres đề xuất cách tiếp cận khác tới vấn đề; Ông nhận nghiệm (60) phần tử g (x) nhóm lặp gu (x) g(x) = ex Một số phương trình khác với số kéo theo n nghiên cứu J Heinhold M Bajraktarevíc 21 Kết luận Luận văn trình bày cách khái quát phương trình hàm liên quan đến phép lặp Qua ta thấy vai trị phương trình hàm nói chung phương trình hàm liên quan đến phép lặp nói riêng tốn học ngành khoa học khác Những vấn đề trình bày luận văn cho thấy rõ điều kiện tồn nghiệm, số lượng nghiệm số lớp phương trình hàm bản, đặc điểm nghiệm, tính chất nghiệm tính đơn điệu, liên tục, khả vi, tính lồi lõm, thấy vai trò phép lặp số lớp phương trình hàm 22 Tài liệu tham khảo [1] Aczél, Vorlesungen uber Funktionalgleichungen und ihre Anwendungen, Basel, Stuttgart 1961 [2] Aczél - M Ghermănescu - M Hosszú , On cyclic equation, A Magyar Tud Akad Mat Kut Int Kozl, A Sorozat, 5(1960),215- 221 [3] Aczél - L Kalmár - J G Mikusinski, Sur l’équation de translation, Studia Math 12 (1951), 112-116 [4] Ch Babbage, Examples of the solution of functional equations (180) [5] M Kuczma , O równaniu funkcyjnym g(x + 1) − g(x) = ϕ(x), Zeszyty Naukowe Uniw Jagiell., Mat - Fiz - Chem (1958), 59 -67  ... mà phép lặp đóng vai trị quan trọng là: Phương trình hàm với dịch chuyển, Phương trình Shroder phương trình liên quan Phương trình Shroder phương trình liên quan Phương trình Shroder phương trình. .. khảo phương trình hàm Ngồi kiến thức phương trình hàm, luận văn nghiên cứu tìm hiểu kĩ phương trình hàm liên quan đến phép lặp 2 Chương Một số kiến thức Chương trình bày kiến thức phương trình hàm. .. đưa phương pháp biến đổi phương trình hàm thành phương trình tích phân 8 Chương Phương trình hàm liên quan đến phép lặp Chương trình bày vấn đề chính, vấn đề đề cập đến số lớp phương trình hàm