1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn thạc sĩ toán học Phương trình hàm đa thức

77 495 1

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 77
Dung lượng 2,05 MB

Nội dung

B TR GIÁO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - D PH NG TH PH NG NG TRỊNH HĨM A TH C LU N V N TH C S TOÁN H C Hà N i – N m 2016 B TR GIÁO D C VĨ ĨO T O NG I H C TH NG LONG - D PH NG TH PH NG ậ C00454 NG TRỊNH HĨM A TH C LU N V N TH C S TOÁN H C CHUYÊN NGĨNH: PH NG PHÁP TOÁN S C P Mẩ S : 60 46 01 13 NG IH NG D N KHOA H C: TS L U BÁ TH NG Hà N i – N m 2016 Thang Long University Library M CL C Trang Trang ph bìa 01 M c l c 02 L i cam đoan 04 Tóm t t lu n v n 05 M Ch U 06 ng KI N TH C C B N 1.1 VÀNH CÁC A TH C M T BI N 08 1.2 A TH C TRÊN M T TR NG S ầầầầầầầầầ.ầầầ 12 1.2.1 M t s tính ch tầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầ 12 1.2.2 M t s ví d ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ 16 1.3 A TH C TRÊN TR NG ầầầầầầầầầầầầầầầ 18 1.3.1 Nghi m h u t c a đa th c v i h s nguyênầầầầầầầ.ầ 18 a th c b t kh quy tr 1.3.2 ng s h u t vƠ tiêu chu n Eisenstein; Osada; Polyaầầầầầầầầầầầầầầầầ ầầ 19 1.4 A TH C TRÊN VÀ TRÊN ầầầầầầầầầầầ.ầầ 24 1.5 VÀNH A TH C NHI U BI Nầầầầầầầầầầầầ ầ 27 1.5.1 Xơy d ng vƠnh đa th c nhi u bi nầầầầầầầầ.ầầầầ 27 1.5.2 B c c a đa th c nhi u bi nầầầầầầầ ầầầầầầ.ầầầ 28 K t lu n Ch Ch ng 29 ng M T S D NG PH NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N 31 2.1.1 Ph ng trình có d ng xP  x  a    x  b  P  x 31 2.1.2 Ph ng trình có d ng P  f  x  P  g  x   P  h  x  ầầầầầầầ 39 2.1.3 Ph ng trình có d ng P  f  x  P  g  x   P  h  x   Q  x ầầầầ 53 2.1.4 BƠi t p t luy n 61 2.2 PH NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N………………… 62 2.2.1 M t s ví d 62 2.2.2 BƠi t p t ng t 65 2.3 M T S D NG PH NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC.ầầầ 65 2.3.1 M t s ví d 65 2.3.2 BƠi t p t ng t 71 2.3.3 BƠi t p t luy n 73 K t lu n Ch ng 74 K T LU N VĨ KHUY N NGH K t lu n 75 Khuy n ngh 75 TĨI LI U TRệCH D N 76 Thang Long University Library L I CAM OAN Tôi xin cam đoan d i s giúp đ , h ng d n, ch b o t n tình c a TS L u Bá Th ng, lu n v n cao h c chuyên ngƠnh ph đ tƠi “Ph ng pháp Toán s c p v i ng trình hàm đa th c” lƠ công trình nghiên c u c a riêng th i gian h c t p vƠ nghiên c u t i tr ng i h c Th ng Long Trong trình nghiên c u vƠ th c hi n lu n v n, tác gi đư k th a vƠ phát huy nh ng k t qu c a nhƠ khoa h c v i s trơn tr ng vƠ bi t n Hà N i, tháng 06 n m 2016 Tác gi D ng Th Ph ng TịM T T LU N V N Lu n v n g m ba ph n: PH N M đ u PH N N i dung Ph n g m hai ch Ch ng: ng KI N TH C C B N 1.1 VÀNH A TH C M T BI N 1.2 A TH C TRÊN M T TR 1.3 A TH C TRÊN TR 1.4 A TH C TRÊN NG S NG VÀ TRÊN 1.5 VÀNH A TH C NHI U BI N Ch ng M T S D NG PH NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRÌNH HÀM A TH C M T BI N 2.2 PH NG TRÌNH HÀM A TH C NHI U BI N 2.3 M T S D NG PH NG TRÌNH HÀM A TH C KHÁC PH N K t lu n vƠ khuy n ngh Thang Long University Library M Ph U ng trình hƠm nói chung vƠ ph ng trình hƠm đa th c nói riêng lƠ m t nh ng l nh v c hay vƠ khó c a toán s c p Trong kì thi Olympic Toán h c Qu c gia, Khu v c vƠ Qu c t th bƠi toán ph th ng trình hƠm vƠ ph ng lƠ khó, r t khó v ng ki n th c v ph ng xuyên xu t hi n ng trình hƠm đa th c Các bƠi toán nƠy gi i bƠi toán tr c tiên ta ph i n m ng trình hƠm vƠ tính ch t c a đa th c, đ ng th i ph i có s v n d ng thích h p Trên th c t , công trình nghiên c u v ph nhi u nh ng tƠi li u đ c p v ph ng trình hƠm đa th c nói riêng Do đó, vi c có th giúp h c sinh ti p c n v i ph dƠng h n vƠ gi i quy t đ ng trình hƠm có r t ng trình hƠm đa th c d c m t s bƠi toán v ph ng trình hƠm đa th c lƠ m t yêu c u h t s c c n thi t Nh m nơng cao hi u qu giáo d c nhƠ tr ph n t ng b c nơng cao ch t l ch n đ tƠi “Ph ng c a công tác b i d ch ng, K t lu n vƠ TƠi li u tham kh o ng 1: Trình bƠy v nh ng ki n th c c b n đ ng nh : vƠnh đa th c, đa th c m t tr s h u t , tr Ch d ng ng s th c vƠ tr ng ng s ph c ng 2: Trình bƠy chi ti t d ng ph ng trình hƠm đa th c thông m i d ng b t đ u b ng m t s tính ch t quan tr ng sau nêu bƠi t p t luy n Qua đó, giúp ng ng pháp gi i t ng lo i ph Lu n v n đ h c dùng ng s , đa th c tr ví d n hình minh h a, ti p đ n lƠ bƠi t p t ph ng h c sinh gi i, ng trình hàm đa th c” lƠm lu n v n cao h c c a Lu n v n g m M đ u, hai Ch Ch ng ph thông vƠ góp ng t vƠ cu i lƠ i gi i toán d hình dung vƠ n m b t đ ng trình hƠm đa th c c hoƠn thƠnh t i tr ng i h c Th ng Long d ng d n khoa h c vƠ ch b o t n tình c a TS L u Bá Th ng, i s ih cS c ph m HƠ N i LƠ ng Th y, xin đ i h c trò đư ti p thu đ c nhi u u b ích, quý báu t c bƠy t lòng bi t n sơu s c đ i v i s quan tơm, đ ng viên k p th i vƠ s nghiêm kh c ch b o, h ng d n c a Th y Tôi xin c m n t i th y cô giáo Tr phòng Sau đ i h c vƠ Qu n lý khoa h c - Tr ng ng i h c Th ng Long, i h c Th ng Long ng th i xin g i l i c m n t i t p th l p CTM3-BG (Cao h c toán B c Giang) khóa 2014 – 2016 c a Tr ng i h c Th ng Long đư đ ng viên giúp đ trình h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy Tôi xin c m n Ban Giám hi u, t chuyên môn Toán – tin, đ ng nghi p Tr ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang đư t o u ki n giúp đ , góp ý cho tác gi th i gian h c t p vƠ th c hi n lu n v n nƠy M c dù tác gi đư h t s c c g ng nh ng th i gian có h n, kinh nghi m nghiên c u vƠ vi t lu n v n h n ch nên không tránh kh i nh ng thi u sót Tác gi r t mong nh n đ vƠ b n đ c đ lu n v n đ c nh ng ý ki n đóng góp c a quý th y cô c hoƠn thi n h n Hà N i, tháng 06 n m 2016 Tác gi D ng Th Ph ng Thang Long University Library CH NG KI N TH C C B N 1.1 VĨNH CÁC A TH C M T BI N Cho A lƠ m t vƠnh giao hoán có đ n v Kí hi u A x   f  a0  a1x   a n xn  A, n   v i x lƠ bi n Gi s f  a  a1x   a n xn , g  b0  b1x   bm xm  A x Không lƠm m t tính t ng quát, ta có th gi s m  n, vƠ m  n  s Khi g  b0  b1x   bn xn  bn1xn1   bn s xns  A x Trên A x ta có quan h b ng nhau: f  g vƠ ch a i  bi v i m i i  0, , n vƠ bn1   bn s  n Phép c ng: f  g     bi  xi  bn1xn1   bns xn s i 0  i  Phép nhơn: f g     a i  j b j  xi i 0  j 0  m n V i hai phép toán c ng vƠ nhơn đư nêu A x tr thƠnh m t vƠnh giao hoán có đ n v Khi A x đ A, ph n t c a A x đ f  a0  a1x   a n xn đ tr Quy c g i lƠ vƠnh đa th c c a bi n x c g i lƠ đa th c c a bi n x A a th c c g i lƠ có b c n vƠ vi t lƠ deg f  n n u a n  0, ng h p nh v y ta g i a n lƠ h t cao nh t c a f c: a th c lƠ m t đa th c có b c  Th c ch t c a vi c lƠm lƠ xơy d ng m t vƠnh A x m r ng c a A, thông qua đ nh ngh a hình th c cho g i lƠ đa th c c a bi n x A, mƠ b n ch t th c s lƠ đ nh ngh a hình th c cho ph n t siêu vi t x Bơy gi s xem xét m t cách ti p c n khác đ đ a m t vƠnh m r ng c a A đ ng c u v i A x Cách ti p c n nƠy lƠ đ ki n thi t m t ph n t  siêu vi t A Xét t p T t t c nh ng dưy đ A, v i vô h n đ m đ c s p ph n t  a0 , a1, a2 ,  thu c c thƠnh ph n t a đ , ch m t s h u h n  Trong T ta đ nh ngh a quan h b ng vƠ hai phép toán nh sau: (i)  a0 , a1, a ,   b0 , b1, b2 ,  vƠ ch a i  bi v i m i i (ii)  a0 , a1, a ,   b0 , b1, b2 ,    a0  b0 , a1  b1, a  b2 ,    (iii)  a , a1 , a ,  b0 , b1 , b2 ,    a 0b0 , a 0b1  a1b0 , ,  a ib j ,  i  j n   D dƠng ki m tra đ c T v i hai phép toán l p thƠnh m t vƠnh giao hoán L y t p T1 c a T g m t t c nh ng ph n t d ng  a ,0,0,  , a  A Khi đó, ta có: (i) T1 lƠ m t vƠnh c a vƠnh T (ii) T ng ng  : A T1 , a Th t v y, t  a ,0,0,  lƠ m  a ,0,0,  vƠ b,0,0,  thu t đ ng c u c T1 ta có  a ,0,0,   b,0,0,    a  b,0,0,  vƠ  a ,0,0, b,0,0,    ab,0,0,  thu c T1 V y T1 lƠ m t vƠnh c a T T a  b ta suy  a ,0,0,   b,0,0,  V y  lƠ m t ánh x D dƠng ki m tra  lƠ m t đ ng c u Do A  T1 Thang Long University Library BƠi t p 2.1.4.5 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn     P x  P x   x2 , x  1, x  BƠi t p 2.1.4.6 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c có b c 1999 th a mưn: t n t i s th c a cho  P  x    a  x2    P  x  v i x  2 BƠi t p 2.1.4.7 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn  P  x   x4  x3  3x2  x  v i x  BƠi t p 2.1.4.8 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn P  x  1 P  x  1  P  P  x  v i x  BƠi t p 2.1.4.9 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn P  P  x  x  P  x P  x  1 v i x  BƠi t p 2.1.4.10 (Bulgaria 2001) Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn P  x P  x2  1  P  x2   P  x  1   v i x  BƠi t p 2.1.4.11 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn  P  x   P  x   P  x2  x  1 v i x  BƠi t p 2.1.4.12 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c th a mưn  P  x    P  x2  x  1 v i x  2.2 PH NG TRỊNH HĨM A TH C NHI U BI N 2.2.1 M t s ví d Ví d 2.2.1.1 Tìm t t c đa th c P  x, y v i h s th c cho P  x  1, y  1  P  x, y v i x, y  BƠi gi i 62 Gi s Q  t  lƠ m t đa th c bi n tùy ý D dƠng nh n th y P  x, y  Q  x  y P  x  1, y  1  Q  x    y  1   Q  x  y   P  x, y  Gi s P  x, y lƠ đa th c th a mưn đ bƠi Xét Q  t , y  P  t  y, y v i t , y  Suy Q  t , y  1  P t  y  1, y  1  P t  y, y  Q t , y Do v i m i s th c t tùy ý, đa th c m t bi n H  y  Q  t , y nh n giá tr c đ nh v i m i y nên H  y lƠ đa th c h ng Hay Q  t , y  S t  lƠ đa th c m t n b t kì Suy P  t  y, t   S t   P  x, y  S  x  y , th l i ta th y V y nghi m c a ph ng trình lƠ P  x, y  Q  x  y v i Q  t  lƠ đa th c m t bi n b t kì Ví d 2.2.1.2 (Iran TST 2010) Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  ab, c  1  P  bc, a  1  P  ca , b2  1  v i a , b, c  BƠi gi i Kí hi u A a , b, c  lƠ phép thay a , b, c vƠo ph ng trình ban đ u Ta có: A 0,0,0  P  0,1  A 0,0, c   P  0, y  v i y  1, suy x | P  x, y A a , b,0  P  x,1  v i x, suy y  1| P  x, y Vì v y P  x, y  x y  1 Q  x, y Ta có A a , b, c   cQ  ab, c  1  aQ  bc, a  1  cQ  ca , b2  1  Kí hi u B a , b, c  lƠ phép thay a , b, c vƠo ph ng trình Ta có 63 Thang Long University Library B 0,0, c   Q  0, y  v i y  1, suy x | Q  x, y Vì v y đ t Q  x, y  xR x, y , t đơy ta đ c: R ab, c  1  R cb, a  1  R ca , b  1  0, (l i quay v ph ng trình ban đ u) Ti p t c trình nƠy ta có P  x, y  x2n  y  1 , P  x, y th a mưn v i n m i s t nhiên n, ngh a lƠ P  x, y  Th l i ta th y th a mưn V y đa th c c n tìm lƠ P  x, y  Ví d 2.2.1.3 (THTT T11/435) Tìm t t c đa th c P  x, y cho P  x, y P  z, t   P  xz  yt , xt  yz  v i x, y, z, t  BƠi gi i Xét tr ng h p P  x, y  Nh n xét:  xz  yt    xt  yz   x  y z  t  ,  xz  yt    xt  yz   x  y z  t  Do n u đ t P  x, y   x  y m  x  y Q  x, y n m, n th c Q  x, y không chia h t cho x  y; x  y (*) P  x, y P  z, t   P  xz  yt , xt  yz    x  y  x  y Q  x, y z  t   z  t  Q  z, t  m n m n   x  y   x  y   z  t   z  t  Q  xz  yt , xt  yz  , m n m n hay Q  x, y Q  z, t   Q  xz  yt , xt  yz  Cho z  t  Q  x, y Q  0,0  Q  0,0  Ta ch ng minh Q  0,0  Th t v y, gi s Q  0,0   0, l y y   x, t  z t gi thi t ta có: Q  x,  x Q  z, z  Q  0,0  Xét Q  z, z   Q  x;  x  Khi đó:   Q  x, y   aij xi y j   a ij xi    y  y j   a ij   y  y j i, j i, j i 64 i i, j vƠ đa Suy Q  x,  x    aij xi   x  j i, j   D n đ n Q  x, y   a ij xi    y  y j chia h t cho x  y i, j T i ng t n u Q  z, z  0, z  suy Q  x, y chia h t cho ( x  y) i u nƠy mơu thu n v i (*) Do Q  x, y  V y P  x, y   x  y 2.2.2 BƠi t p t m  x  y n , m, n  ng t BƠi t p 2.2.2.1 (Iran TST 2009) Hưy xác đ nh t t c đa th c P  x, y v i h s th c, th a mưn u ki n   x  y 2  x  y 2  Px , y   P ,  v i x, y    2   2 BƠi t p 2.2.2.2 Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  a , P  b, c   1  a  bc  1 v i a , b, c  BƠi t p 2.2.2.3 Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  x  y, x  y  2P  x, y v i x, y  BƠi t p 2.2.2.4 Tìm đa th c bi n P  x, y h s th c, th a mưn P  x, y  P  x  1, y  P  x, y  1  P  x  1, y  1 v i x, y  2.3 M T S PH NG TRỊNH HĨM A TH C KHÁC 2.3.1 M t s ví d Ví d 2.3.1.1 Tìm t t c đa th c P  x v i h s th c cho v i b t kì s th c a , b, c nƠo ta c ng có: P  a  b  2c   P  b  c  2a   P  c  a  2b   3P  a  b   3P b  c   3P  c  a  BƠi gi i 65 Thang Long University Library t x  a  b, y  b  c ta có: P  x  y  P  2 x  y  P  x  y  3P  x  3P  y  3P   x  y Cho x  y  0, ta đ Cho y  0, ta đ c P    c P  2 x  P  x  3P   x t P  x  a n xn  a n1xn1   a1x, thay vƠo ph  2 k  ng trình ta suy ra:  ak  ak  3 1 ak v i k 1, n hay a k  2    3 1  k k k Khi a k  2k    0, v i k chia h t cho Ho c a k   2k   0, v i k không chia h t cho V i k  3, suy a k  P  x   x2   x V y đa th c c n tìm lƠ P  x   x2   x,  ,   Ví d 2.3.1.2 (IMO 2004) Tìm t t c đa th c P  x cho P  a  b   P  b  c   P  c  a   2P  a  b  c  a , b, c  th a mưn ab  bc  ca  BƠi gi i Tr c h t ta tìm m t nghi m nguyên c a ph ng trình ab  bc  ca  V i a  6, ta có 6b  6c  bc  V i b  3, ta có 18  6c  3c  suy c  2 Do  a , b, c    6,3, 2  lƠ m t nghi m nguyên c a ab  bc  ca  d n đ n v i x ta có  a , b, c    x,3x, 2 x c ng lƠ nghi m c a ph ng trình Vì P  a  b   P  b  c   P  c  a   2P  a  b  c  nên P  3x  P  5x  P  8x  2P  x t P  x  a n xn  a n1xn1  a n2 xn2   a1x  a , ta có 66 3    8  2.7  a  v i i  0, n i i i i i Ta xét tr ng h p c a i - N u i l 3i  5i   8  2.7i  nên a i  v i i l i - N u i  3i  5i   8  2.7i  nên a  i - N u i ch n i  3i  5i   8  2.7i  nên a i  v i i ch n vƠ i i  T đơy suy P  x  Ax4  Bx2 v i m i A, B tùy ý Th l i nên đa th c c n tìm lƠ P  x  Ax4  Bx2 Nh n xét BƠi toán c ng có th khai thác theo h Cho a  b  c  ta đ Cho a  b  ta đ ng khác nh sau: c 3P  0  2P  0  P  0  c P  0  P  c   P  c   2P  c   P  c   P  c  i u nƠy cho th y r ng P  x lƠ hƠm ch n t P  x  G  x2  , ph ng trình đ bƠi cho tr thƠnh: 2 2 G  a  b    G  b  c    G  c  a    2G  a  b  c           t x  a  b , y  b  c ta có: a  b  c  a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca 2   a  b    b  c    c  a    2  x2  y2   x  y   x2  xy  y2  Nh v y ta đ Cho a  b ta đ  c G  x2   G  y2   G  x  y    2G  x2  xy  y2    c 2G  x2   G  x2   2G  3x2  67 Thang Long University Library L i đ t t  x2 ta đ c 2G  t   G  4t   2G  3t  n t G  x   a i xi , thay vƠo ph ng trình hƠm đa th c ta đ c: i 0 n n 1  a nt n  a n1t n1   a1t  a   a n  4t   a n1  4t    a1 4t  a    n n 1   a n  3t   a n1  3t    a1 3t  a    ng nh t h s t vƠ h s b c cao nh t ta đ c: 2a n  4n a n  2a n 3n 2  4n  2.3n ;   2 a a a   a  0  D n đ n  22 n1  3n Ta th y n  không th a mưn nên n  Do ta có 3n   22 n1  1 mod   n  2m (m Ta đ c ph  ) ng trình  3m  1 3m  1  24 m1 MƠ gcd  3m  1,3m  1  vƠ 3m   3m  nên 3m   2;  m m3 3   Suy m  vƠ n  Do ta có deg G  x   G( x)  Ax2  Bx T ta có P  x  Ax4  Bx2  A, B   Th l i ta th y th a mưn V y đa th c P  x c n tìm lƠ P  x  Ax4  Bx2  A, B   Ví d 2.3.1.3 Tìm đa th c P  x th a mưn  x y 2 x y P  x P  y   P   P    , x, y      BƠi gi i 68 Xét P  x  ta th y th a mưn đ bƠi Xét P  x  0, cho x  y  0, t ph Cho y  3x, thay vƠo ph ng trình đ bƠi ta có P    ng trình đư cho ta có P  x P  x  P  x   P   x  hay P  x P  3x  P   x  P  x v i x  Vì P  0  nên xét deg P  x  n  G i h s b c cao nh t c a P  x lƠ a  a0   ng nh t h s b c cao nh t hai v ph ng trình ta có: a0  3n a0   a02  a02  22   3n   4n  n  n Suy P  x  a x, th l i ta th y th a mưn V y đa th c c n tìm lƠ P  x  ax v i x  ( a lƠ h ng s ) Ví d 2.3.1.4 Tìm đa th c P  x th a mưn P  x  P   x P   x v i x  BƠi gi i Xét P  x  c v i c lƠ h ng s , t gi thi t suy P  x  th a mưn yêu c u Xét deg P  x  n, n  ta có deg P  x  n  1, deg P   x  n  T ph ng trình ban đ u suy n   n  1   n  2  n  t P  x  ax3  bx2  cx  d , ta có: P   x  3ax2  2bx  c, P   x  6ax  2b vƠ P  x  8ax3  4bx2  2cx  d Khi P  x  P   x P   x  8ax3  4bx2  2cx  d   3ax2  2bx  c   6ax  2b   8ax3  4bx2  2cx  d  18a x3  18abx2   4b  6ac  x  2bc 69 Thang Long University Library ng nh t h s v c a ph ng trình trên, ta đ c: 8a  18a   4b  18ab a  ;     c b ac  b  c  d  d  2bc  Do P  x  x3 V y đa th c c n tìm lƠ P  x  ho c P  x  x3 Ví d 2.3.1.5 Tìm t t c đa th c P  x vƠ Q  x th a mưn P  Q  x   P  x Q  x v i x  BƠi gi i Xét P  x  suy Q  x lƠ m t đa th c b t kì Xét P  x  0, gi s deg P  x  n vƠ deg Q  x  m T ph ng trình ban  m  n  0; đ u ta có m.n  m  n   m  1 n  1     m  n  N u m  n  0, P  x  c  ( c lƠ h ng s ), suy Q  x  N u m  n  2, đ t P  x  ax2  bx  c, Q  x  px2  qx  r Thay vƠo ph ng trình ban đ u sau đ ng nh t h s v , ta đ  p  1;  b  c  q  r  T đơy suy P  x  ax2 , Q  x  x2 V y n u P  x  Q  x lƠ m t đa th c b t kì; n u P  x  c Q  x  1; n u P  x  ax2 Q  x  x2 70 c: 2.3.2 BƠi t p t ng t BƠi t p 2.3.2.1 Xác đ nh t t c đa th c P  x th a mưn u ki n P  u  v2   P  u  v P  u  v v i u, v  H ng d n Nh n th y ph ng trình đ u tiên t ng đ ng v i ph ng trình P  xy  P  x P  y v i x, y  T ph ng trình cho x  y  0, suy P     P    hay P  0  ho c P    - V i P  0  1, cho y  thay vƠo ph ng trình P  xy  P  x P  y ta có: P  0  P  x P  0 hay P  x  - V i P  0  0, suy P  x  xQ1  x v i deg Q1  x  deg P  x  Do đó: P  xy  P  x P  y  xyQ1  xy  xQ1  x yQ1  y nh ng ph ng trình nƠy th a mưn v i x, y  nên Q1  xy  Q1  x Q1  y v i x, y  T đơy l i có Q1  x  v i x  ho c Q1  x  xQ2  x v i x  Ti p t c l p lu n nƠy, ta có: - Ho c P  x  v i x  - Ho c P  x  xn v i n lƠ m t s nguyên d ng th a mưn đ bƠi V y P  x  xk v i k  BƠi t p 2.3.2.2 Tìm t t c đa th c P  x cho P  a  b   P  b  c   P  c  a   3P  a   3P b   3P  c  a , b, c th a mưn a  b  c  H ng d n 71 Thang Long University Library N u P  x lƠ đa th c h ng P  x  Ch n a  3x, b  2 x, c   x ta đ c: P  5x  P   x  P  4 x  3P  3x  3P  2 x  3P   x n t P  x   xi (a n  0), thay vƠo ph ng trình ta đ c: i 0 n n i 0 i 0 n n n i 0 i 0 n  5i xi     x    4 xi  3ai 3i xi  3ai  2 xi  3ai   x i i 0 i ng nh t h s b c cao nh t vƠ h s t ta đ i c: i 0 n n n n n n 1  5 a n   1 a n   4  a n  a n   2  a n   1 a n ;   3a  9a T suy a  - N u n l , ta có: 5n   4n  3n1  3.2n   5n  3.2n   3n1  4n  Nh n th y n  th a mưn, xét n  5n  3.2n  3n   mod  MƠ 3n1  4n    mod  (vì n l nên 3n  1 mod  ) Do n  lo i Nh v y P  x  a x  a  0 Th l i ta th y th a mưn - N u n ch n, ta đ c 5n   4n  3n1  3.2n  Nh n th y n  th a mưn, xét n  5n   4n   mod 8 MƠ 3n1  3.2n    mod 8 Do n  không th a mưn Nh v y P  x  a x2  bx Th l i ta th y th a mưn V y đa th c c n tìm lƠ P  x  a x2  bx a , b BƠi t p 2.3.2.3 Tìm t t c đa th c P  x th a mưn  P  a  b   P  a   7P b ; a , b, c     ab a b b     72 i H ng d n Ta s ch n s a , b có d ng  a , b    mx, nx th a mưn ph ng trình th hai h Thay a  mx, b  nx vƠo ph ng trình ab  a  b   2b3 ta đ c: mnx3  m  n   2n3 x3  mn  m  n   2n3 Ta ch n s đ n gi n nh t lƠ  m, n   1,1 Nh v y b mưn ph ng trình th hai Thay vƠo ph  a , b    x, x ng trình th nh t ta đ th a c: P  x  8P  x n t P  x   xi , a n  thay vƠo ph ng trình ta đ c: i 0 a n 2n xn  a n1 2n1 xn1   a1 x  a   a n xn  a n1xn1   a1x  a  ng nh t h s t vƠ h s b c cao nh t ta đ c: a n 2n  8a n n  3;   a  a  8a Nh v y P ( x) có d ng P  x  px3  qx2  rx Khi P  x  8P  x  px3  4qx2  2rx  px3  8qx2  8rx 4q  8q ng nh t h s ta có   q  r  2r  8r Suy P  x  px3 , x  Th l i: P  a  b   p  a  b   p  a  b3  3ab  a  b    p  a  b  3.2b   p  a  7b   P  a   P  b  V y đa th c c n tìm lƠ P  x  px3 , x  p  2.3.3 BƠi t p t luy n BƠi t p 2.3.3.1 Tìm t t c đa th c P  x cho 73 Thang Long University Library P  x  y  P  x  P  y  3xy  x  y x, y  BƠi t p 2.3.3.2 Tìm t t c đa th c P  x cho P  x  y  P  x  y  2P  x P 1  y   2xy  y  x2  , x, y  BƠi t p 2.3.3.3 Tìm t t c đa th c P  x cho  x  y P  x  y   x  y P  x  y  4xy  x2  y2  , x, y  BƠi t p 2.3.3.4 Tìm t t c đa th c P  x cho P  P  x  y    P  x P  y   P  x  P  y   xy, x, y  BƠi t p 2.3.3.5 (Costa Rica 2008) Tìm t t c đa th c P  x th a mưn P       a  b  P b  c   P   c  a   P  2a  b  c   P  a  2b  c   P  a  b  2c  v i a , b, c  K t lu n ch Ch ng ng trình bƠy d ng ph đư phơn lo i t ng d ng ph ng trình hƠm đa th c, c th ng trình hƠm đa th c m t bi n, ph đa th c nhi u bi n Qua th y đ tác gi ng trình hƠm c s đa d ng, phong phú c a ph trình hƠm đa th c Ch c n v n d ng linh ho t, h p lí ph ng ng pháp gi i t ng d ng ta có th gi i quy t bƠi toán th t đ n gi n, hi u qu vƠ c ng t đơy cho ta sáng t o thêm nhi u bƠi toán khác liên quan đ n ph đa th c NgoƠi ch khác giúp ng bƠi toán ph ng đ a m t s d ng ph ng trình hƠm ng trình hƠm đa th c i gi i toán không th y b ng , l l m đ ng tr ng trình hƠm đa th c 74 cm i K T LU N VĨ KHUY N NGH K t lu n Ph ng trình hƠm đa th c lƠ m t d ng toán khó, đ gi i đ c ph ng trình hƠm lo i nƠy, c n n m rõ không nh ng k thu t gi i ph ng trình hƠm mƠ tính ch t vƠ đ c tr ng c b n c a đa th c D a vƠo m i quan h đ c tr ng c a hƠm, s tìm đ th c th a mưn xem nh lƠ nghi m c a ph toán v đa th c vƠ ph có m t s h ng trình Thông qua m t s bƠi ng trình hƠm đa th c lu n v n đư b sinh m i b t đ u h c v ph c đa c đ u giúp h c ng trình hƠm đa th c có nh ng cách ti p c n vƠ ng t g p nh ng bƠi toán Khuy n ngh Lu n v n có th dùng lƠm tƠi li u tham kh o cho giáo viên vƠ h c sinh b i d ng h c sinh gi i toán tr ng trung h c ph thông, rèn luy n đ i n thi gi i c p t nh, qu c gia vƠ qu c t Hy v ng đ tƠi nƠy s đ đ c ti p t c nghiên c u, m r ng vƠ phát tri n, c ng d ng r ng rưi nghiên c u, h c t p c a h c sinh trung h c ph thông V i vi c phơn chia d ng ph ng trình hƠm đa th c s giúp ích nhi u cho h c sinh trình h c toán, giúp em không c m th y “ngán ng i” đ ng tr c bƠi toán v ph ng trình hƠm đa th c n a 75 Thang Long University Library TĨI LI U TRệCH D N [1] Nguy n V n M u, Chuyên đ ch n l c v đa th c, NhƠ xu t b n Giáo d c, HƠ N i 2008 [2] D ng Qu c Vi t (Ch biên), C s lý thuy t s đa th c, NXB ih c S ph m, 2014 [3] D ng Qu c Vi t (Ch biên), Bài t p c s lý thuy t s đa th c, NXB i h c S ph m, 2014 [4] Amir Hossein Parvardi, Functional Polynomial Problems, June 13, 2011 [5] Dusan Djukic, Polynomial Equations, Olympiad Training Materials, www.imomath.com [6] Juliel’s Blog Polynomial October 25, 2013 https://julielltv.wordpress.com/2013/10/25/bai-toan-phuong-trinh-ham-dathuc-nhieu-bien/ [7] Juliel’s Blog Polynomial May 16, 2014 https://julielltv.wordpress.com/category/phuong-trinh-ham-da-thuc/ [8] Titu Andreescu, Functional Equations, Electronic Edition, 2007 76 [...]... các đa th c nhi u bi n Bên c nh đó còn trình bƠy các tính ch t quan tr ng c a đa th c trên m t tr ng s trong đó có đ nh lí Bézout vƠ h qu c a nó lƠ m t công c m nh đ gi i 29 Thang Long University Library quy t các bƠi toán v đa th c vƠ ph ch ng trình hƠm đa th c NgoƠi ra trong ng 1 còn gi i thi u m t s tính ch t c a đa th c trên tr ng s h u t , s th c vƠ s ph c, các tiêu chu n đ ch ng minh m t đa th... cao nh t c a đa th c t ng f  x1, x2 , , xn   g  x1, x2 , , xn  lƠ c x1a1 xnan (ii) N u c d  0 thì h ng t cao nh t c a đa th c tích f  x1, x2 , , xn  g  x1, x2 , , xn  lƠ cd x1a1 b1 xnan bn H qu 1.5.2.3 N u A lƠ m t mi n nguyên thì vƠnh đa th c A x1, x2 , , xn  c ng lƠ m t mi n nguyên K t lu n Ch ng 1 Ch ng 1 trình bƠy các ki n th c c b n v đa th c, cách xơy d ng vƠnh các đa th c m t... c a hai đa th c nguyên b n c ng lƠ m t đa th c nguyên b n H qu 1.3.2.3 a th c nguyên b n f   x lƠ m khi vƠ ch khi nó lƠ m t đa th c b t kh quy trên t đa th c b t kh quy trên Ch ng minh Gi s h ut d f  x vƠ f  g h v i g, h   x D ng r vƠ s sao cho m g vƠ s h thu c 20 th y r ng luôn t n t i các s  x, đ ng th i lƠ các đa th c nguyên b n Khi đó vì r s f   r g  s h  vƠ f lƠ m t đa th c nguyên... lƠ s 2 2 2 2 m t đa th c b t kh quy Ví d 1.3.2.10 Ch ng minh r ng đa th c f  x   x  1 x  2  x  100   1 lƠ m t đa th c b t kh quy trên Ch ng minh Ta có f  i   1  50! v i m i i  1,2, ,100 Do đó theo tiêu chu n Polya, thì 250 f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên Do f  x nguyên b n nên suy ra f  x b t kh quy trên Ví d 1.3.2.11 Ch ng minh r ng không t n t i m t đa th c f  x ... n t i đa th c f  x   x th a mưn yêu c u đ bƠi Ta luôn có: f  26   f  3 chia h t cho  26  3 t c lƠ chia h t cho 23 Nh ng f  26  f  3  1931  1995  64 không chia h t cho 23 Do v y không t n t i đa th c v i h s nguyên th a mưn đ bƠi 1.4 A TH C TRÊN lƠ tr Vì VĨ TRÊN ng đóng đ i s nên đa th c b t kh quy m t n trên ch lƠ nh ng đa th c b c m t Chính vì lí do nƠy mƠ ta ch c n xét đa th... n!) ch ng t f lƠ m t đa th c b t kh quy trên i u nƠy Ví d 1.3.2.5 V i m i s nguyên t p, ch ng minh r ng đa th c x2 xp f  x  1  x    2 p! lƠ m t đa th c b t kh quy trên Ch ng minh p! x2   x p lƠ m t đa th c b t Ta ph i ch ng minh p! f  x  p ! p ! x  2 kh quy trên Ta có p! chia h t cho p, nh ng không chia h t cho p 2 v i i! m i i  p Theo tiêu chu n Eisenstein đa th c p! f lƠ b t kh... thu n nƠy ch ng t r ng f  x lƠ m t đa th c b t kh quy trên Ví d 1.3.2.8 Ch ng minh r ng n u p lƠ m t s nguyên t l , thì đa th c f  x  x p1  x p2   x  p lƠ b t kh quy trên Ch ng minh D th y đa th c nƠy có 1  a1   a p2  p  1  p nên theo tiêu chu n Osada thì nó lƠ m t đa th c b t kh quy trên nh lí 1.3.2.9 (Tiêu chu n Polya) Cho f  x lƠ m t đa th c v i h s  n  1 t m  Gi ... tính ch t trong các bƠi toán đa th c 30 CH M TS D NG PH NG 2 NG TRỊNH HĨM A TH C 2.1 PH NG TRỊNH HĨM A TH C M T BI N 2.1.1 Ph ng trình có d ng xP  x  a    x  b  P  x Trong ph n nƠy ta s d ng m t s tính ch t sau: 1) N u P  x   x lƠ đa th c tu n hoƠn, t c lƠ t n t i a  0 sao cho P  x  a   P  x v i m i x thì P  x  c, x  ( c lƠ m t h ng s ) 2) Trong  x m i đa th c đ u phơn tích... nguyên, khi đó ta có vƠnh các đa th c A x lƠ m t mi n nguyên Gi s f , g  A x a th c f  A x đ đa th c g  A x n u t n t i đa th c h  A x đ g i lƠ m t đ c chung c a f vƠ g n u c c g i lƠ m t c g i lƠ chia h t cho f  g h a th c d đ f vƠ g đ u chia h t cho d d c chung l n nh t c a f vƠ g , n u d lƠ m t c a f vƠ g , đ ng th i d chia h t cho m i chung l n nh t c a hai đa th c, đ kh ngh ch c a A... 1.4.1 Cho m t đa th c b c d  x Khi đó f  x ng f  x  lƠ m t đa th c b t kh quy khi vƠ ch khi ho c f  x  ax  b , a  0 ho c f  x  ax2  bx  c , a  0, b 2  4ac  0 Ch ng minh  x lƠ m Hi n nhiên, n u f  x  t đa th c b c nh t hay m t tam th c b c 2 v i bi t th c   b2  4ac  0, thì f  x lƠ b t kh quy trên đi u ng deg f  x  1 Tr  x f  x  c l i Gi s lƠ m t đa th c b t kh

Ngày đăng: 16/10/2016, 20:49

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w