Luận văn thạc sĩ toán học về một số phương pháp lặp hiệu quả giải hệ phương trình phi tuyến

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI CHU VĂN ĐÔNG VE MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI CHU VĂN ĐÔNG VỀ MỘT s ố PHƯƠNG PHÁP LẶP HIỆU QUẢ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYEN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VÃN THẠC s ! TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS KHUẤT YĂN NINH Hà Nội - Năm 2015 LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS.TS Khuất Văn Ninh, người thầy truyền thụ kiến thức hướng dẫn tận tình tác giả hoàn thành luận văn Tấm gương nghiên cứu khoa học nghiêm túc bảo ân cần thầy Khuất Văn Ninh suốt trình tác giả viết luận văn giúp cho tác giả có ý thức trách nhiệm tâm cao hoàn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, Ban giám hiệu, Phòng sau đại học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội ữuyền thụ kiến thức, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn Đồng thời tác giả chân thành cám ơn Sở GD-ĐT Hà Nội, Ban giám hiệu, Tổ Toán Trường THPT Kim Anh tạo điều kiện thuận lợi để tác giả an tâm học tập hoàn thành tốt luận văn Và qua tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè động viên giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2015 Tác giả Chu Văn Đông LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân ữọng biết ơn Một số kết đạt ữong luận văn chưa công bố công trình khoa học khác Hà Nội, ngày 21 tháng năm 2015 rTI-Í _ _*2 Tác giả Chu Văn Đông iii Mục lục LỜI CẢM ƠN i LỜI CAM ĐOAN ii MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian vec t 1.2 Không gian meữic, nguyên lí ánh xạ co 1.2.1 Không gian m e ữ i c 1.2.2 Nguyên lí ánh xạ co 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn, phép tính vi phân không gian định c h u ẩ n 1.3.1 Không gian tuyến tính định c h u ẩ n 1.3.2 Phép tính vi phân không gian định chuẩn 12 1.4 Phương pháp N e w to n 16 1.4.1 Điểm F o u rie r 16 1.4.2 Phương pháp N ew ton 16 1.5 Phương pháp dây c u n g 18 1.6 Phương pháp Newton Rn 20 iv 1.7 Bậc hội tụ hàm l ặ p 22 1.7.1 Hàm lặ p 22 1.7.2 B ậ c h ộ itụ 23 Một số phương pháp lặp giải hệ phương trình phi tuyến với bậc hội tụ cao hiệu tính toán 25 2.1 Phương pháp lặp có bậc hội tụ b a 25 2.1.1 Đặt vấn đề 25 2.1.2 Bổ đ ề 26 2.2 Phương pháp lặp có bậc hội tụ n ă m 31 2.3 Phương pháp lặp có bậc hội tụ s u 33 2.4 Hiệu tính to n 34 2.4.1 So sánh số hiệu q u ả 36 2.4.2 So sánh (ƠM) với (G2,3) 36 2.4.3 So sánh (Ơ IỖ) với (G2,5) 37 2.4.4 So sánh (ƠI 6) vói (G2 б ) 39 ứng dụng phần mềm Maple vào giải hệ phương trình phi tuyến M2 M3 41 3.1 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ b a 41 3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ n ă m 46 3.3 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ s u 52 3.4 So sánh tính hiệu phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu việc giải hệ phương tìn h phi tuyến 57 KẾT LUẬN 65 Tài liệu tham khảo 66 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải hệ phương trình phi tuyến F(x) = vấn đề phổ biến quan trọng nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác nhau, vấn đề mô tả sau: Đối với hàm phi tuyến cho trước F{x) : D Ç Mn —> Mn với F(x) = vectơ a = («!, a 2, f 2{ x ) , f n { x ) y yằ X = ( x 1, x 2, , x n) t , ta cần tìm а пУ cho F (a) = Vectơ nghiệm a tìm điểm cố định hàm G( x ) : Mn —> Mn phương pháp lặp điểm xác định dãy X = G ( x ^ ) , к = ,1 , Một phương pháp để giải hệ phương ữình phi tuyến phương pháp Newton cổ điển có bậc hội tụ hai Phương pháp Newton cổ điển xác định bởi: = G = x W —F f[ x ^ ) 1F (xW) , k = о, 1,2, ữong yêu cầu hàm F khả vi, liên tục xấp xỉ ban đầu ж(°) điểm Fourier ( F '( x )- nghịch đảo đạo hàm Fréchet F ' (x) hàm F (X) ) Để cải thiện bậc hội tụ phương pháp Newton nhiều đề xuất đưa ví dụ như: M.Frontini E.Sormani phát ữiển vài phương pháp lặp có bậc hội tụ ba M.T.Darvishi A.Barati ữình bày phương pháp lặp có bậc hội tụ bốn A.Cordero, E.Martinez J.R.Torregrosa đưa phương pháp lặp có bậc hội tụ năm A.Cordero, J.L.Hueso, E.Martinez J.R.Torregrosa trình bày phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu Với mong muốn tạo phương pháp lặp có bậc hội tụ cao có cấu trúc đơn giản với tính toán tối thiểu, nhằm bổ sung nâng cao kiến thức học chương trình đại học cao học, chọn đề tài “về số phương pháp lặp hiệu giải hệ phương trình phỉ tuyến” làm luận văn cao học Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng phương pháp lặp vào giải xấp xỉ lớp toán hệ phương trình phi tuyến Rn Nghiên cứu bậc hội tụ, số hiệu tính toán số phép lặp Nêu số ví dụ giải số hệ phương ữình phi tuyến M2 R3 có sử dụng phần mềm Maple Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm sáu Nghiên cứu số hiệu tính toán số phương pháp lặp Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến cụ thể M2 M3 Đối tượng phạm vỉ nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến phương pháp lặp Phạm vi nghiên cứu: + Nghiên cứu số phương pháp lặp có bậc hội tụ bằng: ba, năm sáu + Nghiên cứu số hiệu tính toán số phương pháp lặp 4- Nghiên cứu giải xấp xỉ nghiệm hệ phương trình phi tuyến cụ thể M2 R3 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng kiến thức công cụ Giải tích, Giải tích hàm Giải tích số để tiếp cận giải vấn đề Thu thập, nghiên cứu tổng hợp tài liệu liên quan, đặc biệt báo sách vấn đề mà luận văn đề cập tới Đóng góp đề tài Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo tốt cho sinh viên học viên cao học số phương pháp lặp hiệu giải hệ phương trình phi tuyến 52 3.3 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình phỉ tuyến phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu Trong phần ta sử dụng công thức lặp sau: y(k) = x (k) _ (^(*0) z (k) = x (k) - ì ( / - F ' { x ^ y l F' (y{k)Ỹ) F ' ( x ^ y lF (XW) X(k+1) = Q 1Ỗ = z (k) _ ị i j + F > ị x { k ) Ỵ l F ' ( y M ) ị ị j _ ị F / ( x ^ y 1F / ( y w ) ) ) F ' ( x ^ Ỵ l F (zW) Ví dụ 3.3.1 U m nghiệm xấp xỉ hệ phương trình sau { ỈIÍX — x + y — = ln (4x + y) —ln (2y) + xy — = Với nghiệm ban đầu (Xq, yQ) = (0.6,3.6) sai số £ = lo -30 Giải restart; with(plots): implicỉtplot([ln(x) —X + y — 3, ln(4 * X + y) — ln(2 * y) + X * y — 4], X = 2, y = 5,color = [black], linestyle = [0, 2], legend = [/,(?]); with(LinearAlgebra): with(MTM): wiứi(linalg): / := ln(x) — X + y — 3; g := ln{ * £ + ?/) —ln(2 * y) + X * y — 4; F := [ / , ] : ^ := jacobian(F, [rr, ỉ/]) : 53 g| Hinh 3.3: Do thi cua f ( x ) va g( x) B := m atrix(2, 2, [3,0,0, 3]) : C := m atrix( , , [3.5,0,0,3.5]) : E := m atrix(2,2, [4,0,0,4]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [0 ,3.6]; G := inverse(A) : H := multiply(G, F ) : e = 10 “30; for i from to n i i : K := eval(H, [x = a[i][l],y = a[z][2]]); b[i\ := evalm(a[i\ —K)\ L := multiply (eval(G, [x = o[z][l],y = a[i][2]]),eval(A, [x = 6[z][l],y = № ]])); M := evalm(B —L); jV := evalm(( / ) * M); c[i] := ei;a/m(a[i] —multiply(N, eval(H, [x = a[«][l],y = a[*][2 ]]))); P := multiply(eval(G, [x = a[i][l],y = a[*][2]]),eval(F, [x = c[i][l],y = 54 « ])); Q := evalm(C — L); R := evalm{{3/2) * L); /S := evalm(E — R)-, a[i + ] := evalm(c[i] — multiply(Q, R , p )); T[ĩ] := n o r m (a [i+ l] —a[ĩ], ) + nor m( e v al ( F, [x = a[ĩ][l],y = a[ỉ][2]]), 2); if T[i] < £ ứien print(a[i+l]); fi: Od: array([seq([n(i+l), evalm(a[i+l]), T[i]], i = 4)]) ln (x) —X + y — ln (4 X + y) — ln (2 y) + xy — [0.6,3.6] 1000000000000000000000000000000 1.000000000 4.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 0.8600482249 4.114179373 2.616574400 0.9975675144 4.000875992 0.7692310309 0.9999999915 3.999999981 0.01328909324 1.0000000000 4.000000000 7.671635774.10“8 1.0000000000 4.000000000 55 Ví dụ 3.3.2 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình sau ex - e 2y + z - = < ln X —ln (y + z) + yz — = sinx —sin(y + z) + z — = Với nghiệm ban đầu (x0, y0, zữ) = (1.82,0.78,0.76) sai số £ = 10-6 Giải with(LinearAlgebra): with(MTM): wiứi(linalg): / := exp(x) —exp (2 *y) + z — ; g := /n(x) —ln(y + z) + y * z — ; t := sin(x) —sm (y + z) + 23 — ; F : = [f,g,t]: A := jacobỉan(F, [x, y, z]) : B := matrix(3, 3, [3,0,0, ,3 ,0 ,0 ,0 , 3]) : c := m atrix(3,3, [3.5,0,0,0, 3.5,0, 0,0,3.5]) : E := m atrix(3,3, [4,0,0,0,4,0, 0, 0,4]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [1.84,0.78,0.76]; G := inverse(A) : H := muỉtipỉy(G, F ) : £ = 10 “6; for i from to n := ỉ —> ỉ : i f := eval(H, [X = a[ỉ][l],y = a[i][2 ],2 = a[i][3]]); 56 i] := evalm{a[i\ — K ); L := multiply (eval(G, [x = a[*][l],y = a[*][2],;z = a[*][3]]), eval(A, [x b\i\[l\,y = b[i][2],z = 6[*][3]])); M := evalm(B — L); N := eva/m ((l/2) * M); c[*] := eva/m(a[i] — mul t ipl y ( N , e v a l ( H , [ x = a[i][l],y = a[i][2],2 < № ]]))); P := multiply(eval(G, [x = a[*][l],y = a[i][2],z = a[«][3]]), eval(F, [x c[i][l],y = c[i][2],z = c[i] [3]])); Q evalm(C —L); i? := evalm((3/2) * L); S := evalm(E —i?); a[* + 1] := et>oZm(c[z] —multiply(Q, R, P))\ T[i] := n o rm (a[z+ 1] —a[z], 3) + norm(em/(.F, [re = a[z][l], y = a[z][2], z o[i][3]]),3); if T[i] < e then print(a[i+ ]); fi: od: array([seq([n(i+l), evalm(a[i+l]), T[i]], i = 4)]); e* - e 2y + z - In (x) - In (y + z) + yz - sin (x) —sin (y + z) + z — [1.84,0.78,0.76] 57 1000000 2.000000000 1.000000000 Nghiệm Xấp Xỉ Bước Lặp 3.4 1.000000000 Sai Số Theo Chuẩn 2.290952279 1.465405120 1.4368126380 2.238510389 2.031543324 1.001369515 0.9836545864 9.090638872 1.999966680 0.9999837383 1.000006779 0.2357351421 2.000000000 1.000000002 0.9999999998 0.00006812291562 2.000000000 1.000000000 1.0000000000 3.120105738.l o -8 So sánh tính hiệu phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu việc gỉảỉ hệ phương trình phỉ tuyến Để so sánh tính hiệu phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu, ta đưa ví dụ giải hệ phương trình phi tuyến ba phương pháp lặp với nghiệm ban đầu sai số Sau ta so sánh số bước lặp, số hiệu thời gian máy tính chạy phương pháp nói Ví dụ 3.4.1 Tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương ữình sau phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu 58 X7 —5x 2y + y + = y/x + + X3 — y4 + = Vói nghiệm ban đầu (x0, i/o) = (0.62,1.64) sai số £ = lo -20 Giải Phương pháp lặp có bậc hội tụ ba (G ) with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): f := X — * X * y + y + 1] g := Q* sqrt(x + 3) + X3 — yA + 3; F := [f,g] : A := jacobỉan(F, [x,y]) : B := m atrix(2,2, [3,0,0,3]) : a := a rra y ( ) : b := a rra y ( ) : a[0] := [0.62,1.64] : c := inverse(A) : E := multiply(C, F) : £ = 10 -20; for i from to n := i —>■ỉ : G := evaỉ(E, [x = a[ỉ][l], y = a[ỉ][2 ]]); 6[i] := eva/m(a[«] —G); H := multiply(eval(C, [x = a[i][l], 2/ = a[«][2]]), eval(A, [X = 6[i][l],2/ = № ]])); L := evalm(B — H)\ M := evaỉm(( 1/2) * L); a[i + 1] := eva/m(a[ỉ] —multỉply(M : eval(E, [x = a[i][l], 2/ = ữ[*][2]]))); 59 S [ i I : = n o r m ( a [ i + ĩ ] — a [ i ] , ) + n o r m ( e v a l ( F , [x = a [ i ] [ l ] , 2/ = a[i][2 ]]),2); i f S[i] < £ ứ ie n print(a[i + 1]); f i : o d : array([seq([n(i + 1), e v a l m ( a [ i + X7 - 1]), S[i]], i = x 2y + y + 7)]); V X + + X3 — y + [0.6 ,1 ] 100000000000000000000 1.000000000 2.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 1.097594277 1.865334160 8.294778311 1.027804700 2.005361502 4.884572238 1.000006612 2.000003373 0.3474712054 1.000000001 2.000000000 0.0001074130714 0.999999999 2.000000000 1.41.10-8 0.9999999998 2.00000000 1.1.1(T9 1.000000000 2.000000000 4.2.10-9 1.000000000 2.000000000 60 Phương pháp lặp có bậc hội tụ năm (G ) with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): / := X7 — 5* X2 * y + y + g := * sqrt(x + 3) + X3 1; — yẩ + 3; F := [f,g] : A := jacobỉan(F: [x,y]) : B := m atrix(2,2, [3,0,0,3]) : := m atrix( , , [2 , , , ]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [0.62,1.64] : E := inverse(Á) : G := multiply ( E , F) : £ = 10 -20; for i from to n := ỉ ỉ: H := eval(G, [x = a[i][l], y = ữ[*][2]]); 6[*] := eua/m(a[ỉ] —# ) ; i f := multiply(eval(E, [x = a[i][l],y = a[i][2 ]]),eval(A,[x = 6[ỉ][l],Ị/ № ]])); L := evalm(B — K); M := evalm(( 1/2) * L); c[i] := eva/m(a[i] —multiply( M , eval(G, [x = a[i][l], 2/ = ữ[*][2 ]]))); iV := multiply(eval(E, [X = a[i][l], 2/ = fl[i][2]]), eval(F, [x = c[i][l],2/ « ]])); 61 p := e v a l m( C — K ) \ a[i + 1] := evalm(c[i] — mul t i pl y( p, N) ) ] S[i] := norm(a[i + ĩ] —a[ i ] , 2) +nor m( ev al ( F, [ x = a[i][l],y = a[i][2]]),2); if S[i] < £ ứien print(a[i+l]); fi: od: array([seq([n(i+l), evalm(a[i+l]), S[i]], i = 4)]); X7 - x 2y + y + VX + + X3 — y A + [0.62,1.64] 100000000000000000000 1.000000000 2.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 0.8600614350 1.770027546 8.039709215 0.9977777685 1.989173671 5.878297928 1.0000000000 1.999999999 0.3479140741 1.0000000000 2.000000000 3.18058436.10-8 1.0000000000 2.000000000 62 Phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu (ƠI 6) with(LinearAlgebra): with(MTM): with(linalg): / := * X * y + y + 1; X7 — g := * sqrt(x + 3) + X3 — yẩ + 3; F := [/, ớ] : A := jacobỉan(F: [x,y]) : B := m atrix(2,2, [3 ,0 ,0 , ]) : c := m atrix(2, 2, [3 ,0 ,0 , 5]) : -E1 := m atrix(2, 2, [4,0,0,4]) : a := array(0 5) : b := array(0 5) : c := array(0 5) : a[0] := [0.62,1.64]; G := ỉnverse(A) : H := multiply(G: F) : £ = 10 -20; for i from to n := ỉ ỉ: i f := eval(H, [X = a[i][l],y = a[d[2]]); 6[*] := evalm(a[i] — K); L := multiply(eval(G, [x = a[i][l], 2/ = a[i][2]]),eval(A, [x = 6[i][l],2/ № ]])); M := evalm(B — L); iV := eĩ;a/m ((l/ ) * M); c[i] := eva/m(a[i] —multiply( N , eval(H, [X = a[«][l],y = ữ[*][2 ]]))); p := multiply(eval(G, [x = a[i][l],y = ữ[*][2]]), eval(F, [x = c[ỉ][l],2/ « ]])); 63 Q := evalm(C —L)\ R := evalm{{ 3/2) * L); := evalm(E —R)] a[i + 1] := evalm(c[i] —multiply(Q , R , p)); T[ĩ] := n o r m (a [i+ l] —a[ĩ], 2)+norm (eí;a/(F, [x = a[ĩ][l],y = a[ỉ][2]]), 2); if T[i] < £ ứien print(a[i+l]); fi: od: array([seq([n(i+l), eyalm(a[i+l]), T[i]], i = 4)]); x 2y X7 - + y3 + y/X + + X3 —yA+ [0.62,1.64] 100000000000000000000 1.000000000 2.000000000 Bước Lặp Nghiệm Xấp Xỉ Sai Số Theo Chuẩn 1.1635173650 2.912226795 9.150159016 0.9950187481 2.026799101 56.72155784 1.0000187180 1.999948008 0.9610502308 1.0000000000 2.000000000 0.001905637352 1.0000000000 2.000000000 64 Bảng so sánh số hiệu thời gian tính phương pháp lặp ^1,3» ^1,5 ^ 1,6 1) Cấu hình máy tính: Intel(R) Core (TM) Ĩ5-480M CPU @ 2.67GHz (64bit Machine) MicrosotWindows Home Basic 2009 2) Phần mềm sử dụng: Maple 16 3) Với (n, /i0, ụ>i,ỉ) = (2,2,19.5,2.8) • Cị — TiịiQ -ị- 2n2ụ,i -ị#1,3 = ị2iĩiĩ -ị- 1577/ — |—1 — ị—3Z (lĩ -ị- 3)) ^ • Cị = 2TiịiQ + 2n2ịii + I (2n2 + 33n —5 + 31 (n + 7)) #1,5 = ^ • C*1 = Qiĩiịấq -|- 2n2/ii -|- ị2iiĩ2 12n — |—1 — |—3Z ịĩi 2)) # 2,6 = ^ Bậc Hội Tụ 187 1.005892223 0.56s Gl,5 5 212.2 1.007613368 0.52s 227.8 1.007896508 0.48s (D I— Số Bước Lặp ca co n Phương Pháp E- CPU time Trong ví dụ ta thấy phương pháp lặp có bậc hội tụ sáu (ƠI 6) hiệu 65 KẾT LUẬN Luận văn trình bày thực nghiệm số số phương pháp lặp với bậc hội tụ cao giải hệ phương trình phi tuyến Tác giả trình bày: 1) Một số phương pháp lặp có bậc hội tụ ba, năm sáu 2) Trình bày số hiệu tính toán số phương pháp lặp 3) ứng dụng phương pháp lặp với bậc hội tụ cao vào giải hệ phương trình phi tuyến cụ thể M2 M3 Hướng nghiên cứu tìm hiểu sâu phép lặp có bậc hội tụ cao ứng dụng Cuối cùng, lần em xin chân thành cảm ơn thầy, cô giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích, thầy cô phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội Em xin chân thành cảm ơn thầy PGS.TS.Khuất Văn Ninh tận tình hướng dẫn em hoàn thành luận văn Em xin bày tỏ cảm ơn ý kiến nhận xét tới thầy cô góp ý kiến nhận xét để luận văn hoàn chỉnh 66 Tài liệu tham khảo [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán toán tử, NXB khoa học kỹ thuật [3] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [4] Jeffrey R Chasnov (2012), Introductions to Numerical Method, Lecture Notes for MATH 3311, The Hong Kong University of Sciense and Tech­ nology [5] King R.F (1971), A fifth - order family of modified Newton methods, BIT, 1 ,4 -4 [6 ] J.M.Ortega and W.C.Rheinboldt (1970), Iterative Solutions of Nonlinear Equations in Several Variables, Academic Press, New York, NY, USA [7] A.M Ostrowski (1966), Solution of equations and systems of equations, Academic Press Inc New York and London [8] J.F.Traub (1982), Iterative methods for the solution of equations, New York [...]... món: 1) A ( x + y) = A x + A y , Vx, y G X; 2) A (ax) = aAx, \fx l , V a p Nu A ch tha món 1) thỡ A c gi l toỏn t cng tớnh Nu A ch tha món 2) thỡ A c gi l toỏn t thun nht Khi Y = p thỡ toỏn t A c gi l phim hm tuyn tớnh nh ngha 1.19 Cho X , Y l hai khụng gian tuyn tớnh nh chun Khi ú chun ||i4|| ca toỏn t tuyn tớnh liờn tc A : X Y l i lng: \\A\\ = sup IIcII = sup-^Y^- ||a;||