Luận văn thạc sĩ toán học Các điều kiện tối ưu trong bài toán quy hoạch hai cấp tuyến tính

B ộ■ GIÁO DỤC * VÀ ĐÀO TẠO • TRƯỜNG ĐẠI HỌC s PHẠM HÀ NỘI • • • • = = = dBŨIg8 === BÙI THỊ BÍCH PHƯƠNG CÁC ĐIÈU KIỆN TỐI ƯU TRONG BÀI TỐN QUY HOẠCH HAI CẤP TUYỂN TÍNH Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TỐN HỌC • • • Người hướng dẫn khoa học: PGS TS NGUYỄN QUANG HUY HÀ NỘI - 2015 LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Nguyễn Quang Huy người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phịng Sau đại học, thầy giáo giảng dạy chun ngành Tốn giải tích trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập làm luận văn Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện mặt trình học tập để tơi hồn thành luận văn Hà Nội, ngày 16 tháng 07 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Bích Phương LỜI CAM ĐOAN Dưới hướng dẫn PGS T S Nguyễn Quang Huy luận văn Thạc sĩ chun ngành Tốn giải tích với đề tài “Các điều kiện tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính” hồn thành nhận thức thân, không trùng với luận văn khác Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 16 tháng 07 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Bích Phương B Ả N G K Ý H IỆ U R tập số thực Rn không gian Euclide n — chiều tập rỗng I x \ giá trị tuyệt đối i ễ K " grphF đồ thị F Ax B tích Descartes hai tập hợp Ả B \/x với m ọi X Argm in{/(a:) I X e S í ĩ } tập nghiệm tốn tối ưu vơ hướng A := B Ả định nghĩa B limsup giới hạn cho dãy số thực intíỉ phần íĩ cin bao đóng Q convíỉ bao lồi (x,y) tích vơ hướng X y d f(x ) vi phân giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich) / X v/(z) g r a d ie n t c ủ a / t i X rgA hạng ma trận A E ma trận đơn vị có số chiều tương ứng ep = ( , ••• , )T e vectơ p chiều có tọa độ t ậ p n g h iệ m c ủ a b i t o n c ấ p d i tu y ế n tín h n (B ) miền ổn định với nghiệm quy hoạch tuyến tính V /M gradient hàm / : Mn —» M, gradient hàng vectơ V x f{x ,y ) gradient hàm / : Mn X Mm với biến X M tương ứng Mục lục M ỏ đầu 1 B i to n tố i ưu h cấp tu y ế n tín h 1.1 Mồ hình ví dụ Tính chất hình học quy hoạch hai cấp tuyến tính S ự tồ n tạ i n gh iệm tro n g tố i ưu h cấp tu y ến tín h 12 Sư tồn tai n gh iêm 12 2 Mối liên hệ với toán quy hoạch toán học khác 17 2.2.1 Tối ưu đa mục tiêu 17 2.2.2 Quỵ hoạch tuyến tính 22 C c đ iều kiện tố i ưu h cấp tu y ến tín h 25 3.1 Điều kiên Karush-Kuhn-Tucker 25 3.2 Môt số điều kiên tối ưu khác 31 3.2.1 Trường hợp optimistic 31 3.2.2 Trường hợp pessimistic 34 K ế t lu ận 40 iv T i liệu th a m khảo MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Bài toán quy hoạch hai cấp phát biểu lần H V Stackelberg năm 1934 chuyên khảo kinh tế thị trường Một dạng đặc biệt tốn quy hoạch hai cấp trị chơi Stackelberg xem xét nhiều lý thuyết trò chơi kinh tế Các toán quy hoạch hai cấp giới thiệu tới cộng đồng tối ưu hóa năm bảy mươi kỷ 20 Sau thời điểm có phát triển nhanh chóng nghiên cứu chuyên sâu cho lớp toán theo hai hướng nghiên cứu lý thuyết ứng dụng nhà toán học, kinh tế kỹ sư Từ quan điểm toán học, toán quy hoạch hai cấp tốn phức tạp có độ khó NP Với lí khoảng thời gian có hạn, tơi chọn nghiên cứu lớp đặc biệt toán “Các điều kiện tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính” cho đề tài luận văn thạc sĩ M ục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết quy hoạch hai cấp, cụ thể mơ hình toán, khái niệm nghiệm, tồn nghiệm, mối quan hệ toán quy hoạch hai cấp toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần đủ tối ưu toán quy hoạch hai cấp N hiệm vụ nghiên cứu Sự tồn nghiệm, mối quan hệ tốn quy hoạch hai cấp tuyến tính toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần đủ tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính Đối tượng phạm vi nghiên cứu Lý thuyết tối ưu tuyến tính, quy hoạch hai cấp tuyến tính, tồn nghiệm điều kiện tối ưu Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp nghiên cứu đại số tuyến tính, giải tích đa trị, giải tích lồi lý thuyết tối ưu Đ óng góp củ a luận văn Trình bày tổng quan lý thuyết quy hoạch hai cấp tuyến tính, tồn nghiệm, mối quan hệ tốn quy hoạch hai cấp tuyến tính toán quy hoạch toán học khác, điều kiện cần đủ tối ưu toán quy hoạch hai cấp tuyến tính Chương B ài tốn tối líu hai cấp tuyến tính Trong chương ta trình bày mơ hình, ví dụ tính chất hình học tốn tối ưu hai cấp tuyến tính 1.1 M hình ví dụ Bài toán tối ưu hai cấp tổng quát tốn tối ưu g m h a i b iế n X v y v i X đ ợ c c h ọ n m ộ t n g h iệ m c ủ a b i t o n th ứ hai chứa tham số y Do tốn có cấp bậc theo ý nghĩa ràng buộc toán quy hoạch hai cấp xác định toán cấp Ta xét dạng toán cấp dưới: m in {/ (X, y ) : g (X, y) < , h (X, у) = }, (1 ) X / №9, : Mn X R m R, : Г X E ffl {x, y) = {gi (X, y ) , , g p (X, y ) f , r , h : Mn X R m h (X, у) = (/li (X, y ) , , h q (X, y))T , có tập nghiệm kí hiệu ф(у) với cố định у e Mn Ф gọi ánh xạ đa trị từ R m vào kí hiệu Ф : Mm —> к",ф (у) = ffo/fll.ip = A rgm in{/ (a:, y) : g (x, y ) < , h (x, y) = 0} X = {x • R l Hàm F gọi hàm mục tiêu cấp trên, hàm G hàm H gọi hàm ràng buộc cấp Trong luận văn tập trung nghiên cứu tốn quy hoạch tuyến tính hai cấp có dạng ( ), ( 1.2 , hàm số xét hàm affin ràng buộc cấp G (X (y) ,y) ^ 0, H (x (y ) , y) = phụ thuộc vào y Khi cho toán cấp { < c, X > : A 1x < a — A2y , X > o } , (1.3) X X e R n, y G Mm, a G J41 G Mpxn, € Mpxm, c G Mn Chú ý mô tả tốn tối ưu tuyến tính phụ thuộc tham số không thực hạn chế trường hợp tổng quát miễn nhiễu tuyến tính vế phải Trường hợp hàm mục tiêu toán cấp phụ thuộc tham số trường hợp vế phải hàm mục tiêu nhiễu tuyến tính giải cách tương tự Kí hiệu {y) — Argmin { < c, X > : A l x < a — A2y, X > o} X tập nghiệm tối ưu tốn (1.3) Khi đó, tốn quy hoạch h cấ p có d ạn g : m in { < y d 1, X > + < d , y > : A 3y = b, y > , X € ^ i ( y ) } , ( ) 27 vectơ ( k,0,K,?7, , thoả mãn hệ sau: V xL ( x ữ, yữ, A°, ACo, K, Tì, , = 0, V ỉ/L(a:0, y°, A°, « 0, /í, TỊ, , = 0, WxL { x ữ, yữ, A°, « , /í, V, , = 0, ^ ( s 0, y°, Xữ)rỊi = G i(xữ, ỉ/°, A0 ) i = 0, * = , , n + p, (y°,0 = 0,^0 > 0,e > 0, 7/i7i > ,i = , , n + p Trong đó, dấu V z(x) kí hiệu gradient hàm : R p —► R điểm Gradient hàng vectơ Ta dùng V xz(x, y ) để gradient tính theo X cịn cố định y Trong phương trình ta khơng có ràng buộc không âm cho nhân tử ĩ] mà có tích chúng, chúng có kí hiệu tương tự phận cấu thành Điều có từ tính khơng khả vi ràng buộc cuối (3.1) Đ ịn h lý (Đ iều kiện tố i ưu d ạng F ritz Jo h n )[2 l Theorem 3.6] Nếu (x°,y°) m ột cực tiểu địa phương tốn (2.4) tồn A° e m ột vectơ k h ô n g triệt tiêu { K o , K , ĩ ] 1, r ] , rỴ1, rỴ2 , ^ ) G X R X R p X K ” X R p X I " X R m t h ỏa m ã n K0d1 — A 1Tĩ]1 + «0 + A Alrf + 72 = 0, - ị 71 = 0, = 0, (a - A l x ữ - A2y20)ir)l = 0, A?7 Í = 0, Vi = , ,p, ( A 1TA° + y ỈO)ịTii = 0, tị ] ? = 0, Vi = , , ra, > 0,Vi : (a - A l x ữ - A2y2ữ)i = A- = 0, Vi l ì > 0, Vi : A 1TẰ° + y 10)i = x ữ ị = 0, £ > 0, yữ iíi = V« = , , m, A > 0, « > 28 Chứng minh Cho (x ũ, yũ) cực tiểu địa phương tốn (2.4) Do tính đối ngẫu quy hoạch tuyến tính, nên tồn A° cho (.x ° ,y ° , A°) nghiệm tối ưu địa phương tốn tương đương (3.1) Khi tồn vectơ khơng triệt tiêu (« , K, /Lí, c, cho / d2 + (TV + (A3)TK - £ V \ũ/ \ 0n £ G ỡm inị F ( x ° ,y ° , Ằ0),G (x ° ,y ° , Ằ0)} yOT£ = , £ > , K > , tập M vectơ a có cơng thức M + a viết tắt tổng Minkowski M + {a} = {t + a : t G M } Khi đó, Gị(x°, y°, A°) > tập TỊi = 0, i = 0, Ci = V F j(x °, y°, A°) Nhưng, Fị{x°, yữ, A°) > th ì r}ị = , i = H i, Fi(xữ, y ữ, A°) = = v j ( a : , 2/ ° , A ° ) T ro n g trư n g hợp th ứ b a, Gi(xữ,y ữ, A°) = 0, lấy ĩ]i = ịiịa, 7i = ịiị{\ - a) với a G [0,1] ộ = a V F i ( x ° , yữ, A°) + (1 — a)'VGị(x°, y°, A°) K h i đó, ĩìili > v i F i { x ữ, y ữ, A °) = G i ( x ° i y° i A °) = v F i ( x ° , y ° , A0) ^ = 0, G ị(xữ,y ữ, A°)7 j = Áp dụng tính chất đặc biệt hàm F G ta điều phải chứng minh □ Ta thấy điểm chấp nhận (x ữ, yữ) thỏa mãn Fị(xữ, y°, A) = < Gi(x°, yữ, A) Gị(xữ, yữ, A)7 i — suy Tịi^i = D o đó, bất đẳng thức rji'ji > thỏa mãn với i = 1, ,n + p Định lý |3.l[ Định lý |3.l| điều kiện tối ưu cần Fritz John Ta thu điều kiện Karush-Kuhn-Tucker thêm vào tính quy Cho (a;0, y°, A°) chấp nhận với (3.1) Thì ta có tốn sau liên thơng 29 với toán (3.1): (d l , x ) + (d 2, y ) ->■ min, Fị(x,y, A) = 0, Fị(x°, yữ, À°) = 0, Fị(x, y, À) > 0, F ị(x ữ, y°, A°) > 0, G ị(x ,y , A) = 0, G ị{xữ,y ữ, A°) = 0, G ị(x ,y , A) > 0, G i(xữ, yữ, A°) > ( ) Chúng cần điều kiện Slater suy rộng sau cho toán Đ ịn h n g h ĩa Điều kiện Slater suy rộng thỏa mãn toán (3.2) gradient tất ràng buộc đẳng thức (tương ứng với (X, y, A )) độc lập tuyến tính tồn điểm chấp nhận (X, ỹ , À) thỏa mãn tất ràng buộc bất đẳng thức bất đẳng thức riêng Mọi nghiệm chấp nhận toán (3.2) chấp nhận tốn (3.1) Do đó, nghiệm tối ưu địa phương toán (3.1) nghiệm tối ưu địa phương toán (3.2) Ngược lại tổng qt khơng Điều kiện Slater suy rộng giả sử thỏa mãn toán (|3.2|) khơng thỏa mãn tốn (|3.1|) miễn khơng cịn điều kiện tính yếu bù chặt Các điều kiện tối ưu cần F John toán (3.2) yếu điều kiện Định lý 3.1 nên khơng chứa điều kiện Tịỉ^iỉ > F (x ° , yữ, A°) = G (x ữ, yữ, A°) = Đ ịn h lý (Đ iều kiện tố i ưu K K T )[2 l Theorem 3.7] Nếu (x ữ, y ữ) m ột cực tiểu địa phương toán (2.4) điều kiện Slater suy rộng thỏa mãn tốn (3.2) tồn A° G R p m ột vectơ 30 R X Rl X X Mn X R p X Mn d — A 1TT] + 72 X = 0, d ĩ + A™K - í - { - Aỵ Alrf + 71 R m thỏa mãn ) = , = 0, (a - A l x ữ — A2y2ữ)ịr]} = 0, Xị^l = 0, Vi = (A1TA° + y 10) ^ = 0, ? = 0, Vi = , , n, l i > ,Vi : (a - ^ a ĩ]\il > , Vi : (^41TÀ° + y lữ)i = x°ị = :0 - j4 V ° ) i = Ằ0ị = 0 , , r ì h ĩ > 0, Vi : (^41TA° + y lữ)ị = x ịữ = 0, £>0,yjà = V« = , , m , A > Chứng minh Để rút gọn chứng minh ta dùng hàm F v ầ G Áp dụng tính chất hàm suy kết sau Thêm vào điều kiện F John Định lý |3.l| nhân tử K0 = Do hàm Fi(x, y , À) hàm tuyến tính nên ta có V F j(a r, y\ Au)((s , y, A) - (x°, y \ y, A) - tương tự với hàm G j( x ,y , A) Sử dụng điểm z° = Au) A°)T = ( ĩ , ỹ, À)T từ điều kiện Slater suy rộng ta có ĩì1 suy £ = y\ V G (x u, y\ X ữ) { z - z ữ) W A \ v - y * ) - e ( ỹ - y ° ) = từ = với y\ > ỹi — yị > mặt khác tất số hạng khác tính chất (ĩ], K, £ , ) Định lý 3.1 (x, y, A) Nếu £ = ta có (77, K, ) = điều kiện Slater suy rộng Mâu thuẫn với Định lý |3.l[ Do đó, AC0 > khơng tính tổng qt «0 = 1- ũ 31 3.2 M ột số điều kiện tối ưu khác 3.2.1 Trường hợp optim istic Nếu tốn (2.4) có nghiệm tối ưu, tương đương với tốn (2.5) Nhưng để tương ứng với (2.5) ta định nghĩa tính tối ưu ứng với biến y thêm tương ứng X G y) với (d },x ) = íp0{y) Tương tự nghiệm tối ưu pessimistic, điểm (x,ỹ) gọi nghiệm tối ưu optimistic (địa phương) toán hai cấp y nghiệm tối ưu (địa phương) toán (2.5) X G cho {d },x) = }, (3.3) X với y = ỹ Chú ý kết hợp ràng buộc đẳng thức khơng làm tính tống qt, khái niệm dễ mô tả cho mô hình Cho B ma trận sở tương ứng, tức B ma trận toàn phương A với rgB = rgA cho nghiệm sở tương ứng có dạng X = x B (ỹ) = ( x % ( ỹ ) , x % ( ỹ ) ) T v ới X® = B -1 (a — A2ỹ 2) > 0, X® = Tương tự ta giả sử rgA — p Nếu không trường hợp mà tất nghiên cứu xong vài gấp bội affin R m xác định tính giải hệ tuyến tính phương trình A xx + A 2y2 = a Gấp bội cho thêm ràng buộc cấp trên y Khi đó, tính tối ưu của ma trận sở B đảm bảo - t T < 0, ỹ B l vectơ ỹ tương ứng với biến sở Ma trận sở khơng cần xác định 32 Hình 3.1: Miền ổn định Đ ịn h n g h ĩa Miền ổn định 7Z(B) tập tất tham số y cho B lại ma trận sở tối ưu: 12 K ( B ) = {y : B - l (a - A Y ) > 1T-D-1 1T " MAl1 - y.1T < } (3.4) Số miền ổn định khác hữu hạn, miền tập lồi đa diện Với nhiễu đủ nhỏ y y cho toán (3.3) có nghiệm tồn ma trận sở B (3.3) (x,y) cho y : y G 7£(B) (Hình 3.1) Do tính chất đỉnh nghiệm tối ưu Hệ 1.1 suy rằng, để thử lại tính tối ưu (địa phương) 33 điểm chấp nhận (X, y) với toán (2.4) ta phải kiểm tra xem ( x B ( y ) , y ) c ó n g h iệ m tố i u c ủ a b i t o n ( ) x é t t r ê n m ỗ i m iề n ổ n định hay khơng Khi đó, kí hiệu (p0(ỹ) = min{ ( d \ x ) : X € ^ i ( ỹ ) } X hàm mục tiêu cấp nghiệm tối ưu optimistic toán cấp xét tập M (ỹ) ma trận sở tương ứng với nghiệm sở (X , ỹ ) toán này: M { ỹ ) = { B : ỹ e K { B ), (d1B : Đ ~ 1(a — A2ỹ2)} = dg kí hiệu ma trận thành phần d Tập A i(ỹ ) chứa nhiều ma trận ma trận M (ỹ) có tương ứng nhiều nghiệm tối ưu toán cấp Trong trường hợp này, y X đóng vai trị nghiệm khác Cho ỹ, ỹ e 7£(B) với số ma trận sở Khi đó, cho tương ứng nghiệm tối ưu x B (ỹ ) ,x B (ỹ), ta có liên hệ X B - y2),x%(ỹ) - s “ (ỹ) = -x»{ỹ) = Cố định Do khác giá trị hàm mục tiêu cấp nên (.X, y ) không m ột nghiệm tối ưu optimistic địa phương toán (1.4), (3.3) hai điều kiện sau thỏa mãn: (d\x) > (fi0 34 tồn y B e A4 (y) cho Asy = b, y > , 2/, y e 7£(B) wồ ( , B - A2 (ỹ2 - ỹ ) ) < ( r f , ỹ - ỹ ) Rõ ràng, trường hợp thứ tương ứng với nghiệm tối ưu tốn cấp khơng nghiệm tốt thỏa mãn hàm mục tiêu cấp trên, chúng không chấp nhận từ quan điểm tối ưu Vậy tất điều kiện Định lý 3J5 kiểm tra giải toán tối ưu tuyến tính 2 Trường hợp pessimistic Xét tốn quy hoạch hai cấp tuyến tính pessimistic (2i5) Mục gồm hàm cực tiểu không nửa liên tục dưới, hàm tuyến tính affin phần (fip(y) + (d2, y ) ( Hình 3.2) Mỗi phần tuyến tính affin tương ứng với ma trận sở nút hàm ipp(-) nhiều ma trận sở tối ưu với toán cấp (3.3) Cho y nghiệm tối ưu pessimistic (địa phương) toán quy hoạch hai cấp (L4), (^ ) tương đương với nghiệm tối ưu địa phương toán cực tiếu (2 ) min> , với ^ L (y) xác định (3.3) ỹ điểm hàm mục tiêu có nút bước nhảy Ta thấy nghiệm tối ưu tốn khơng tồn tại, tức giá trị cận hàm mục tiêu tương ứng với bước nhảy giá trị hàm khơng giá trị hàm nhỏ 35 Hình 3.2: Hàm mục tiêu (2.6) 36 Tuy vậy, từ hàm số (d } , x ) làm cực đại tập lồi đa diện với tính giá trị (pp(y) = m ax{(d , x) : X X G y L(y)} giá trị hàm mục tiêu (2 ) tương ứng với nghiệm sở tốn cấp Do đó, ta dựa vào mục trước để nghiên cứu tính tối ưu (địa phương) với (2.6) số giá trị y Các điểm ỹ ỏ đ ó p(y) < ỹ thỏa mãn bất đẳng thức ngặt sau: p(ỹ) = ip0{ỹ) tồn m ột sở B e Ả i(ỹ ) m ột điểm ỳ với ỹ G 11(B), ỳ G K ữ( B ) , A 3ỳ = b , y > , ( , B - A2 (y2 - ỹ ) ) < ( d , ỹ - y ) Từ điều kiện thứ định lý, (ỳ e R ũ(B )) điểm chấp nhận (Xs {tỳ + (1 — t)ỹ ),tỳ + (1 —t)ỹ) có giá trị hàm mục tiêu đóng đầy đủ đến (d1, x B {ỹ)) + {d2, ỹ ) < } , X điểm X = ( , , 0)r , ỹ = (0 ,0)T Khi đó, với y > * l (v ) \ { x : x e [ - y 1: y1] , x2 = y i - x 1: x = x + y1} = < : [ { ( 2/ i , ?/i, )r }, với y2 = với 7/2 > Do ụ>p(y) = Vi + yỊ ta có nghiệm tối ưu (X, ỹ) Tương ứng với ma trận sở B° = ( \ - l 0, với 7£(B°) = { y : yi > 0, y2 < 0} Nhưng, với trận sở khác B = ta có ^ ( B 1) = { y : yi > ( V-! 7/2 = ta lấy ma K 0, 7/2 < = Vi không tồn điểm y e ^ ( B 1),^ > Với ma trận sở ta có hướng giảm ỳ —ỹ = ( , ) T N h n g , tr o n g v í d ụ n y đ iể m X v i Xị = pessimistic yi n g h iệ m với yi Ỷ 0- Do đó, ma trận sở B khơng thể sử dụng để thử tính tối ưu Định lý sau đưa điều kiện tối ưu đủ : Đ ịn h lý Ị2Ị Theorem 3.10] Cho giả thiết Định lý s ị thỏa mãn Nếu hai điều kiện: • với m ọi X e ^ l { v ) phương trình {dl ,x ) = ( fi p ( y ) cố định, 39 • với m ọi B G M { y ) tất ỳ G -R°(B) wớỉ A3ỳ = b,ỳ > bất đẳng thức { éB ^ A \ f - t ) ) > { d \ ỹ - ỳ ) thỏa mãn, (X, y) /ồ mộí nghiệm tối ưu pessimistic địa phương tốn (1.4), (3,3) đây, ta khơng cần bất đẳng thức ngặt điều kiện thứ hai tính tuyến tính phần Ta thấy định lý hạn chế Định lý 3.4 từ giả thiết ụ>o{y) = Ppiy)- Trong Định lý 3.4 điều kiện làm yếu đến VB G Á i(ỹ) (d 1, x B ( ỹ )) =