Luận văn thạc sĩ toán học tính ổn định nghiệm trong tối ưu đa mục tiêu tuyến tính

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI -----------*------------- NGUYN TH THU TNH N NH NGHIM TRONG TI u A MC TIấU TUYN TNH LUN VN THC S TON HC B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH THU TNH N NH NGHIM TRONG TI u A MC TIấU TUYN TNH Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: PGS.TS.Nguyn Quang Huy LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca khúa lun, tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS. TS. Nguyn Quang Huy ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh khúa lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti phũng sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun vn. Cui cựng, tụi xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh v bn bố ó ng viờn, giỳp v to iu kin v mi mt quỏ trỡnh hc tụi hon thnh bn khúa lun ny. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Thy LI CAM OAN Di s hng dn ca PGS. TS. Nguyn Quang Huy lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Tớnh n nh nghim ti u a mc tiờu tuyn tớnh c hon thnh bi chớnh s nhn thc ca bn thõn, khụng trựng vi bt c lun no khỏc. Trong nghiờn cu lun vn, tụi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Nguyn Th Thy Mc lc Bng kớ hiu v vit tt M u Ni dung 3.1 Mt s kt qu b tr S tn ti v cu trỳc nghim ca bi toỏn ti u a mc 3.2 Tớnh gi Lipschitz ca ỏnh xa nghiờm . tiờu tuyn tớnh 1.1 Cỏc khỏi niờm c bn Phng phỏp n hỡnh 2.1 Mt s kt qu b trc 4 1.2 S tn tai v cu trỳc tõp nghiờm 10 2.2 Phng phỏp n hỡnh cho bi toỏn tuyn tớnh n tr . 10 . 16 2.3 Phng phỏp n hỡnh cho bi toỏn a mc tiờu tuyn tớnh . . . . 20 c trng tớnh gi Lipschitz ca ỏnh x nghim bi toỏn ti u vect cú tham s Kt lun 31 Ti liu tham kho Bng kớ hiu v vit tt Tớch vụ hng R71. int() Phn ca A. cl(A) Bao úng ca A. co(A) Bao li ca A. cone( ) df {x) Bao nún li ca A. R Rn Di vi phõn ca hm / ti X . Tp hp cỏc s thc. Khụng gian thc n chiu. domA Min xỏc nh hu hiu ca A. gphF th ca ỏnh x F. 11-11ằ MT Chun Euclid khụng gian Mn Ma trn chuyn v ca ma trn M. M U 1. Lớ chn ti Cho T l mt khụng gian tụpụ compact khỏc rng v L[Rn,Mm] (tng ng C[T, M]) l khụng gian cỏc toỏn t tuyn tớnh A : Kn > Rm (tng ng khụng gian cỏc ỏnh x liờn tc b : T R) vi chun cho bi PIIL '= ax \\Ax\\m Ml = l (ll&IL := rnax\b(t)\) ớeT ú, ||.||fc l Euclid vi k N. Cho p := L[Mn,Rm] X C[T, M], ú p c cho bi chun 11-11 ll-lli + ll-lloo- p := (^5^) e X C [ T, M] ta xột bi toỏn ti u vect na vụ hn tuyn tớnh (LSVO) p : ;4ặ , ặ G C(p), ú, C(p) = {x Mn I (B(t),x) < b(t),t G T},B :T Mn l ỏnh x liờn tc, = {x = (xi, .x m ) G Mm I X > VA: = 1,m} l orthant khụng õm ca Mm v ký hiu l tớch vụ hng Mn. Trong trng hp T l hu hn phn t, Naccache [24] ó thit lp cỏc iu kin cho tớnh na liờn tc trờn v na liờn tc di ca ỏnh x nghim Pareto ca bi toỏn ti u vect na vụ hn tuyn tớnh di nhiu liờn tc ch cú v phi ca rng buc. Di nhiu tuyn tớnh ca rng buc v hm mc tiờu l hm ng nht, Davidson [13] ó thit lp iu kin cho tớnh liờn tc Lipschitz ca ỏnh x im cc biờn ti u Pareto (giao ca nghim Pareto v cỏc im biờn ca rng buc). Trong [10], cỏc tỏc gi ó thit lp cỏc iu kin cho tớnh na liờn tc trờn v na liờn tc di ca bi toỏn ti u vect na vụ hn tng quỏt di cỏc nhiu hm ca c hm mc tiờu v rng buc. Gn õy, cỏc iu kin cho tớnh gi Lipschitz ca ỏnh x nghim Pareto di nhiu v phi ca cỏc rng buc v nhiu tuyn tớnh ca hm mc tiờu ó c trỡnh by [11]. Mt cõu hi m [11] v iu kin t trờn hai vect vụ hng ca mt nghim vụ hng bi hai vect ny dng nh l khụng cn thit. Vi mong mun tỡm c cõu tr li cho cõu hi ny v tỡm hiu v lý thuyt ti u vect tuyn tớnh nờn tụi ó chn ti: "Tớnh n nh nghim ti u a mc tiờu tuyn tớnh " cho nghiờn cu ca mỡnh. 2. Mc ớch nghiờn cu Tỡm hiu v lý thuyt ti u vect tuyn tớnh, c th l s tn ti, cu trỳc nghim, phng phỏp n hỡnh v tớnh n nh ca ỏnh x nghim trng hp c bit T ch cú hu hn phn t. 3. Nhim v nghiờn cu Nghiờn cu v s tn ti, cu trỳc nghim, phng phỏp n hỡnh v tớnh gi Lipschitz ca ỏnh x nghim. 4. i tng v phm vi nghiờn cu Lý thuyt ti u vect tuyn tớnh, ti u cú tham s, s tn ti nghim, phng phỏp gii v tớnh n nh nghim. 5. Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp nghiờn cu i s tuyn tớnh, gii tớch a tr, gii tớch li v lý thuyt ti u. 6. D kin úng gúp ca lun Trỡnh by tng quan v ti u vect tuyn tớnh, c th l s tn ti nghim, phng phỏp gii v tớnh n nh nghim. Chng S tn ti v cu trỳc nghim ca bi toỏn ti u a mc tiờu tuyn tớnh 1.1 Cỏc khỏi nim c bn Trc tiờn, ta nh ngha mt s ca Rn nh sau ) " : = { = ( y ) : y i > , Vi = 1, }; ) > : = { = { . . . , ) u Mn : Vi > , V* = 1, }; _ / = in) < . {1, .,} - ) " : 2/ > , Vi = 1,71. : ỡ/0 < y . nh ngha 1.1.1. Cho Rn, A 0' ) im X A c gi l im hu hiu ca A nu x e A cho X < X. Tp cỏc im hu hiu ca A ký hiu l E(). ) im X A c gi l im hu hiu yu ca A nu x A ti mi (PO,X) Fx Rn. Chng minh. Ly tựy ý (po, Ê) := (AQ, b , x ) G p X I" v dóy { (p k , xk) := (A k , b k , x k )} = P x l " cho {p k , xk) -> (po, z) k > 00. Vi mi c T v tk eT(pk,x k ). Cú th ly mt dóy nu cn, ta cú th gi s t k > t k ằ 00. Ta cn ch rng ớ0 Ê T(p0, x)- Do B v ũjfc liờn tc trờn T vi mi k = 1, 2, . nờn suy rng (B(t ),x) - ũo(*o) = lim tfc),a:fc) - 6fc(ớfc)) . :ằ00 iu ny cú ngha l t TPo(^) = T(po,x ). B c chng minh. Ta núi rng C(p) tha iu kin Slater nu 3x Mn cho (B(t), X) < bt) Vớ e T. Trong trng hp ny, X c gi l im Slater ca C(p). B 3.1.2. Cho p := {A,b) p. Khi ú, C(p) tha iu kin Slater v ch On co{B(t) I t e Tp(x)} vi\/x E C(p) m Tp(x) ^ 0. Chng minh. nh ngha hm g : Mn > M nh sau g(x) := max {(5(ớ),x) &(ớ)} e T D thy, g l hm li v C(p) = {ổ e Mn g(x) < 0}. Vỡ T l compact khỏc rng v hm (t , X ) > (B ( t ) , X ) b i t ) l hm liờn tc nờn l hm liờn tc. Hn na, vi mi X C ( p ) m () 7^ ta cú g(ó;) = max {(B(t), x) b(t)} = 0. ớe T Khi ú, C(p) tha iu kin Slater v ch khụng tn ti X C(p) m () cho nú l cc im ca g. iu ny tng ng vi Nún c trng liờn kt vi rng buc ti p c cho bi O B n Kp := G Mn X R G 71 X t G ) Cho (, a) G Mn X R, ta núi rng (, x) < a l mt h qu ca C(p) nu (, z) < a, Vz C(p). thu c kt qu v sau, chỳng ta ỏp dng b Farkas khụng thun nht ([20, Theorem III 4.3.4]), c tớnh ca bt ng thc tuyn tớnh (lớ, x) < a l h qu ca C(p) c xỏc nh bi cl (Kp)., iu ny cú ngha rng =l{Afc} mP v {f k } [0, +oo) cho = lim < k> E Af I B (ớ) I + " t T V b (t) ú, c nh ngha l tt c cỏc hm s : T > M> nhn giỏ tr dng ti cỏc im ca T. bit thờm thụng tin tham kho thờm bi bỏo ca Goberna v Lopez [15]. Kt qu sau õy l t [15, Theorem 5.3 v 7.1]. B 3.1.3. Cho p = (A, b) p, u e W1 v cho x Ê C(p). Gi s rng C(p) tha iu kin Slater. Khi ú, ta cú cỏc khng nh sau: a) Kp l úng. b) :r argmin{< u, X > \ X G C(p)} nu v ch nu u G cone B sau õy a iu kin cho tớnh na liờn tc di ca ỏnh x rng buc c v c s dng phn tip theo. B 3.1.4. Cho p := (A,b) G p. Khi ú, ta cú cỏc khng nh sau: a) c l úng ti p b) Nu C(p) tha iu kin Slater thỡ c l Isc ti p. Chng minh. ) Xem [15, p. 128]. ) Khng nh c suy t [4, Theorem 2.1] hoc [15, Theorem 6.9]. Cho p := (A,b) Pvk(p,x) gph s. Nu cho X argmin{(crA, z ) , z m crm =1 c ( p ) } thỡ X c gi l nghim vụ hng húa bi . B 3.1.5. Cho p := (A, b) G p. Nu (p,x) G gphS thỡ X l nghim vụ hng cho bi G M>. Chng minh. Ly (p, x) G gph s. Rừ rng A{C{p)) + l li. Do X G S(p) nờn := Az : z C(p)j + (Ax - int> ) f]{A(C(p)) + RÊ) = 0. mt Theo nh lý tỏch [21, Theorem 3.16], cú G Mm \ {0m} v mt sthc a tha (, Ax - Cl) < a < (, y + c2) (3.3) Vci,c2 R> v y Ê A(C(p)). Ta ch rng Ê R>. Tht vy, ta ch cn ch rng ( , ) > V R> . Nu 3c0 G R> cho (, ) < thỡ (, Ax Ac0) = (, ) X (, c0) ằ +00, +00, iu ny mõu thun vi (3.3). Do ú, G > \ {0m}. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta cú th gi s |cr||m = 1. T (3.3) ch rng (, A x) < (, A z) Vz C(p). iu ny cú ngha rng X G argmin { {A , z ) I z Ê C(p)} B c chng minh. 3.2 Tớnh gi Lipschitz ca ỏnh x nghim Mc ớch ca phn ny l thit lp cỏc iu kin Lipschitz ca ỏnh x nghim ti u vect cho tớnh gi na vụhn tuyn tớnh trng hp c bit T cú hu hn phn t. nh lý 3.2.1. Cho p = (0, &o) Ê p v (p , 0) Ê gphS.Gis rng cú cỏc iu kin sau ) C(p0) tha mn iu kin Slater; ii) Khụng cú TPo(x) m T0| < n tha A G cone({B(t) I t G T0}) (3.4) vi mi M> m x l nghim vụ hng húa bi 0. Khi ú, s l gi Lipschitz ti (po, 0). Trc chng minh nh lý 3.2.1, chỳng ta cn thit lp b sau. B 3.2.1. Di gi thit ca nh lý 3.2.1, ta cú cỏc phỏt biu sau ) Tn ti ln cn w ca p cho C(p ) tha iu kin Slater vi mi p e w; b) Vi dóy bt kỡ {(Pk, x k) := (Ak,bk, x k) }^=1 c gph s hi t ti (Po, x ) := (^oj&Oj^0) Ê gphS, tn ti ko > cho -kAk = X B (t) V k > k0 1=1 ú, CTfc G M> cho xk l nghim vụ hng húa cho bi ; X > 0; t TPh{xk) Vi = 1,2, .,n w {B (ti) B [t n)} l c lp tuyn tớnh Rn. Chng minh. ) Suy trc tip t nh ngha nờn ta b qua chng minh. ) Cho {(pjfc, xk) := (A k , b k , x k )} = l mt dóy ca gphS cho {(pfc, Ê*)} hi t ti (po, x) = (A>, bo, x) gphS. Do (pfc, x k ) -ằ (po, Ê) nờn t a) /c0 > cho C'(p) tha iu kin Slater V k > k . p dng B 3.1.5, ta cú th khng nh vi mi k > k , k v v ||||m = 1. Do ú, A = 0. Rừ rng x e argmin { (AQ,Z) I z e (po)}Cho = T P o (x ). Khi ú, OAQ e cone ({ (ớ) I t T Q }). iu ny mõu thun vi gi thit ii) ca nh lý 3.2.1. Khụng mt tớnh tng quỏt, ta gi s rng T P k (x k ) > k . T (3.5) ch rng 3q e N, X > v t T P k (xk) , i e {l, .,} cho - * x i B W) ( ) ẻ=1 Do t e TPjfc (*), B 3.1.1 v tớnh hu hn ca T ch rng t = t vi ln v t G T P o (). T nh lý Caratheodory, ta gi s q < s, X > Vi = l,qv { (t)\ = l hc lptuyn tớnh. g Ta khng nh q = n. Ngc li, gi s q < n. t i h := > k . i= Ta ch rng tn ti s thc dng a cho i k < a \/k > k . Tht vy, nu vic ch ca chỳng ta l sai thỡ (nu cn a dóy con) gi s l lim fik = +00 v { ^ hi t ti Hi > vi mi i {1,[...]... u Trong trng hp ny, nghim ti u ca (2.6) quay li mt vect trng tng thớch , tng t argument m ta s dng trong chng minh ca nh lý 2.1.3 T B 2.1.1, MOLP min{Cx : A X = 6, X > 0} cú mt nghim hu hiu nu v ch nu LP max eT z : Ax = 6, c X + I z = Cx, X, z > 0} cú mt nghim ti (2.24) u Hn na, X trong nghim ti u ca(2.24) l nghim hu hiu ca MOLP Tuy nhiờn, ta khụng bit rng nu X l mt nghim c s chp nhn c ca MOLP v trong. .. b chn khụng l trng hp trong LP a mc tiờu Hn na, tớnh khụng b chn ca S(X, Cx) c nhn ra trong hng d c cho bi vect vi thnh phn b/Aj, i B, Xj = 1 Tt nhiờn, õy khụng l trc chp nhn c do nú khụng dn n c s khỏc Cỏc kt qu cho n nay cho phộp ta ny n c s hu hiu khỏc xõy dng dichuyn t thut c shu hiu toỏn n hỡnh a tr, ta cn mt c s hu hiu bt u Cho MOLP: Min { X : Ax = b, X > 0} Mt v ch mt trong cỏc trng hp sau... (2-14) Nu js 0 Trỏi li, Xg phi c chn sao cho xs < Mj Ê B Giỏ tr chp nhn c ln nht ca x s trong Ajs nghim chp nhn c l x s = min Ajs : j Ê B, js > 0} (2.15) giỏ tr ny, mt bin c s X j , j s tr thnh 0 v ngn cn s tng ca x a Cho r G l mt ch s m giỏ tr nh nht trong (2.15) t c Bin Xg c gi l bin vo, x r c gi l bin ra C s mi B' (B\ {}) u { s } Xỏc nh nghim c s, chp nhn c (Xòi,... tớnh trong bi toỏn tuyn tớnh tham s Mnh 2.3.1 Cho mt c s hu hiu, ú, tn ti mt bin phi c s hu hiu ti c s B Chng minh Do l c s hu hiu nờn 3 X > 0 sao cho X T R > 0 Do ú, ta cú := { > : X T R > 0} 0 phi ch ra rng tn ti Ê v j e sao cho T r j = 0 Trc tiờn, ta nhn thy rng khụng cú ct r ca R sao cho r < 0 Phi cú ớt nht mt ct vi cỏc phn t dng v õm do gi thit tng quỏt X = 0 Cho A* L Trong trng... c s hu hiu vi giỏ thu gn 0 trong LP{) Ngha l, cỏc vect giỏ thu gn ca LP() khụng thay i sau mt bc trc vi bin vo X j Cho l c s thu c vi bc trc chp nhn c v bin vo X j Khi ú, T R > 0 v AT r j = 0 c s , ngha l, ấ l mt c s ti u ca LP{) v do ú, ờ l mt c s hu hiu liờn kt ca B Ta cn kim tra mt bin phi c s mt c s hu hiu l hu hiu iu ny cú th c lm nh vic thc hin mt bc kim tra trong gii mt LP nh lý 2.3.2... trỳc tp nghim nh ngha 1.2.1 Cho ầ Mn, 0, c gi l liờn thụng on nu Va, b Ê B, cú hu hn im thuc B: ũo = , &1, bi +1 = b sao cho cỏc on [b, b + i\, = 0,1 cha trong B Xột bi toỏn (p) m ú / l hm tuyn tớnh t X vo Rm nh lý 1.2.1 Cho X l a din li trong Khi ú i) Nu 3x Mn sao cho (0 >) X l tp compact khc rng thỡ E(X ) ớ 0 Do ú, EW{X) 0 ) Nu E(x) v Ew (X) l cỏc tp khỏc rng thỡ chỳng l hp ca mt s mt ca... a tr gii quyt cỏc tỡnh hung ny trong 3 giai on nh sau GDI : Xõy dng mt nghim c s chp nhn c ban u hoc dng vi kt lun rng X = 0 Giai on ny khụng liờn quan n ma trn hm mc tiờu v thụng thng LP(2.16) c s dng G2 : Xõy dng mt c s hu hiu ban u hoc dng vi kt lun rng S(X, Cx) = 0 G3 : Trc gia cỏc c s hu hiu xỏc nh tt c cỏc c s hu hiu v iu khin tớnh khụng b chn ca S ( X , C x ) Trong G2, nghim ca LP(A) tng trng... tớnh (.MOLP) Min Cx Ax = b X > 0 (2.1) vi ú, c l ma trn cp p X n gm cỏc hng cÊ(k = 1 ,p) Tp chp nhn c ca bi toỏn MOLP trong khụng gian Mn l X {x G Rn : Ax b, X > 0} Xỏc nh bi ma trn rng buc A cp m x n v vect b Rm im X e X c gi l nghim chp nhn c (hay phng ỏn chp nhn c) Tp chp nhn c trong khụng gian mc tiờu l Y = c x = { C x : X 0 theo gi thit tng quỏt Mnh 2.2.2 LP(2.11) l thc hin c (ngha l, X =f=ch nu LP ph (2.16) cú mt nghim ti u (x, z ) vi z = 0 nu v 2.3 Phng phỏp n hỡnh cho bi toỏn a mc tiờu tuyn tớnh Trong phn ny ta xột MOLP tng quỏt Min Cx (2-17) x = b X > 0 v Cho M>, ta ký hiu LP() l bi toỏn ti u tuyn tớnh min { T X : A x = b , X > 0} (2-18) Ta ký hiu = Aò 1 A l ma trn thu gn i vi c s v... ti u ca LP(2.5) nu v ch nu LP{2.6) cú nghim ti u (, CJ) sao cho eT z = Tb + LềT c x = 0 Vi b 2.1.2 ta cú th chng minh rng tt c cỏc nghim hu hiu ca MOLP(2.1) cú th tỡm c bng vic gii LP tng trng (2.2) Trong chng minh, ta xột mt nghim hu hiu x v xõy dng mt vect trng thớch hp G R> sao cho x l mt nghim hu hiu ca bi toỏn tng trng LP(A)(2.2) nh lý 2.1.3 Mt phng ỏn chp nhn c x G Xl mt nghim . ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 * NGUYỄN THỊ THUỶ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH ■ LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI. NỘI 2 NGUYỄN THỊ THUỶ TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM TRONG TỐI ưu ĐA MỤC TIÊU TUYẾN TÍNH ■ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS.Nguyễn. tổng quan về tối ưu vectơ tuyến tính, cụ thể là sự tồn tại nghiệm, phương pháp giải và tính ổn định nghiệm. 9 Chương 1 Sự tồn tại và cấu trúc nghiệm của bài toán tối ưu đa mục tiêu tuyến tính 1.1