Luận văn thạc sĩ toán học tính Taut yếu và siêu nồi của miền Hartogs Banach

B GIO DC V O TO TRNG AI HểC S PHAM H NễI 2 _ NGUYN NGC THNH TNH TAUT YU V SIấU LI CA MIN HARTOGS BANACH LUN VN THC S TON HC H NI, 2015 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI _ _ NGUYN NGC THNH TNH TAUT YU V SIấU LI CA MIN HARTOGS BANACH Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Lấ TI THU H NI, 2015 Li cỏm n Em xin gi li cm n sõu sc ti thy giỏo hng dn TS.Lờ Ti Thu Thy ó giao ti v tn tỡnh hng dn em quỏ trỡnh hon thnh lun ny Nhõn dp ny em xin gi li cỏm n ca mỡnh ti ton b cỏc thy cụ giỏo Khoa Toỏn v Phũng Sau i hc ó ging dy v giỳp chỳng em sut quỏ trỡnh hc ti õy ng thi, tụi xin cm n cỏc bn lp cao hc K17 Toỏn Gii Tớch t ó nhit tỡnh giỳp tụi quỏ trỡnh hc ti lp H Ni, thỏng nm 2015 T ỏc g i N g u y n N gc T h n h Li cam oan Tụi xin cam oan Lun l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi di s hng dn trc tip ca TS Lờ Ti Thu Trong quỏ trỡnh nghiờn cu, tụi ó k tha thnh qu khoa hc ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng 8, nm 2015 T ỏc g i N g u y n N gc T h n h M c lc Li cỏm n i Li cam oan ii Mc lc iii M u C h n g K in th c ch u n b Khụng gian hyperbolic, hyperbolic y v taut Gi khong cỏch kobayashi Khụng gian hyperbolic Khụng gian hyperbolic y 9 1.1.4 Khụng gian Taut Biu din tớch phõn ca gi khong cỏch Kobayashi 10 Biu din tớch phõn ca gi khong cỏch Kobayashi trờn a 10 2 Biu din tớch phõn ca gi khong cỏch Kobayashi trờn khụng gian phc Hm iu hũa di v a iu hũa di Hm iu hũa di 12 12 12 1.3.2 Hm a iu hũa di 13 14 1.4 Tp a cc nh ngha a cc 14 1.4.2 Cỏc tớnh cht ca a cc 15 Min Hartogs (X) 15 iv K T LUN T i liu th a m k h o 42 43 M u Lý chn ti Lý thuyt cỏc khụng gian phc hyperbolic c Kobayashi xõy dng ln u tiờn vo nhng nm 70 ca th k 20, l mt nhng hng nghiờn cu quan trng ca gii tớch phc Trong nhng nm gn õy, lý thuyt ny ó thu hỳt s quan tõm ca nhiu nh toỏn hc trờn th gii Mt s kt qu sõu sc v p ca lý thuyt ny ó c chng minh bi Kobayashi, Kwack, Noguchi, Zaidenberg, Demailly, Nhng cụng trỡnh nghiờn cu ú ó thỳc y hng nghiờn cu ny phỏt trin mnh m v ó hỡnh thnh nờn mt chuyờn ngnh mi ca gii tớch toỏn hc, ú l gii tớch phc hyperbolic Trong nhng nm gn õy, lý thuyt ny ó tỡm thy nhng mi liờn h bt ng v sõu sc vi nhng lnh vc khỏc ca toỏn hc, c bit l bi toỏn thỏc trin ỏnh x chnh hỡnh gii tớch phc v bi toỏn v tớnh hu hn ca t t c cỏc ỏnh x phõn hỡnh gia hai lp no ú cỏc khụng gian phc Theo quan im ca A Weil, s Lang v p Vojta, bi toỏn sau cựng ny cú liờn quan mt thit vi hỡnh hc i s v hỡnh hc s hc Cú th núi gii tớch phc hyperbolic ang l mt lnh vc nghiờn cu nm ch giao ca nhiu b mụn ln ca toỏn hc: Hỡnh hc vi phõn phc, Gii tớch phc, Hỡnh hc i s v Lý thuyt s Mt nhng hng nghiờn cu ca gii tớch phc hyperbolic l nghiờn cu tớnh cht hỡnh hc ca cỏc Min Hartogs ó c nghiờn cu t lõu gii tớch phc Nhiu tớnh cht p v phng din gii tớch ln hỡnh hc ca Hartogs ó c chng minh Trong nhng nm gn õy, Hartogs tip tc c quan tõm nghiờn cu bi nhiu nh toỏn hc v ngoi nc Vic nghiờn cu cỏc tớnh cht hỡnh hc ca Hartogs khụng gian phc hu hn chiu di gúc ca gii tớch phc hyperbolic, c bit l tớnh hyperbolic y ó c kho sỏt tng i chi tit Tuy nhiờn vic kho sỏt mt cỏch h thng cỏc tớnh cht hỡnh hc ca Hartogs khụng gian gii tớch Banach chiu vụ hn cũn ớt c quan tõm Ta cú th thy s xut hin nhng khú khn ln v mt k thut chuyn t vic nghiờn cu Hartogs hu hn chiu lờn vụ hn chiu Chng hn i vi Hartogs khụng gian gii tớch Banach ta khụng cú c tớnh compact a phng cng nh khụng xõy dng c khỏi nim tau t theo kiu Wu cho lp ny Vi nhng lý trờn, chỳng tụi ó la chn ti nghiờn cu v tớnh cht hỡnh hc ca Hartogs khụng gian gii tớch Banach Trong ú, chỳng tụi trung nghiờn cu v tớnh tau t v tớnh siờu li Vi tờn ti l: Tớnh taut yu v siờu li ca Hartogs Banach M c ớch nghiờn cu H thng li mt s kt qu ó bit v tớnh tau t v tớnh siờu li ca Hartogs khụng gian phc sau ú m rng mt s kt qu sang khụng gian gii tớch Banach N h im v nghiờn cu Nghiờn cu cỏc du hiu nhn bit tớnh hyperbolic, hyperbolic y ca khụng gian phc Nghiờn cu tớnh tau t v tớnh siờu li ca Hartogs khụng gian phc Nghiờn cu tớnh tau t yu v tớnh siờu li ca Hartogs khụng gian gian Banach i tng v phm vi nghiờn cu i tng nghiờn cu l tớnh tau t v tớnh siờu li ca Hartogs khụng gian phc Tớnh tau t yu v tớnh siờu li ca Hartogs khụng gian Banach Phm vi nghiờn cu l Hartogs khụng gian phc v Hartogs khụng gian Banach Phng phỏp nghiờn cu S dng kin thc v phng phỏp nghiờn cu ca gii tớch Thu thp, tng hp cỏc bi bỏo, cụng trỡnh nghiờn cu v ngoi nc D kin kt qu nghiờn cu H thng li mt s kt qu ó bit v tớnh tau t v tớnh siờu li ca Hartogs khụng gian phc 30 ( k0 n h n g h a 2.9 Gi s l hm na liờn tc trờn trờn khụng gian Banach X Min n v (X) (X) c xỏc nh bi: = {(z, X) e X X c : |A| < e~*W} c X X c c gi l Hartogs Banach Sau õy, chỳng tụi m rng kt qu ca Eastwood [3] sang trng hp khụng gian Banach B Gi s : X Ơ Y l ỏnh x chnh hỡnh gia cỏc khụng gian Banach Nu Y l hyperbolic (hyperbolic y) v vi mi y G Y tn ti mt lõn cn V ca y cho d~l (V ) l hyperbolic (hyperbolic y), thỡ 32 X l hyperbolic (hyperbolic y) Chng minh Vi mi z Gi s lõn cn w cú dng w = u ( w , r ) = { w Ê Y : dy (w, w) < r } t w u ( w , r / 2) Khi ú tn ti c, s > cho: (*) dx {p, q) > m in s , cde- i [w) (p, g)} vi mi p,q e "1 (W) T ht vy, chỳng ta xột mt dõy chuyn chnh hỡnh ni p v q l hp {i, a2, , ak G D] /i, / , , /fc G Hol (D , X)} cho /1 (0) = p, fi (j) = f i+ (0); /fc (ak) = q Khi ú chỳng ta cú hai trng hp sau: Trng hp Tn ti j e { , , k} cho fj (j) -1 (w ) Khi ú k k J d n ( , ai) > d x (fi{) J i i ai)) i=1 i=1 > y ^ J d Y ( e f i (0 ) , f i ( a i )) i=1 > dY (0fi(0),fj(aj)) > dY {fj{aj),w) - dY (0fi(0),w) > r - r /2 = r/2 Trng hp Tn ti j Ê cho f j ( j) G -1 (VK) 33 Khi ú 9fj (j) w vi mi j = , , k Mt khỏc 9fj (0) e vi mi j = , , k, ú tn ti > cho fj(D ừ) c w vi mi j = , ,k Nu tn ti j e , , k cho dj D / 2, thỡ k E < M ,ớ/2 ) i=1 Gi s j D vi mi j , , : D thy tn ti c > cho do{z:w) > cd{z,w) vi mi z ,w G A ỏ/2 Vỡ vy k i=1 2=1 k i=1 > cd- i(w)(p,g) Vy (*) c chng minh Bõy gi, chỳng ta chng minh X l hyperbolic Trc ht, chỳng ta chng minh dx l khong cỏch trờn X Cho z, z e X , z z - + ) Nu 9z @z thỡ d {z, z ) > dy (z, z) > + ) Nu 02 = 6z = w thỡ theo gi thit tn ti mt lõn cn V ca w cho 9~l iy) l hyperbolic Chn r nh cho w = u (w, r) c V Do -1 (w ) l khụng gian ca -1 (V) nờn -1 (w ) l hyperbolic Vỡ vy, theo (*) ta c:dx {z, z) > iu ny chng t X l hyperbolic 34 Bõy gi, chỳng ta chng t rng dx xỏc nh tụ pụ ca X Gi s {zn} c X v dx {zn, z ) > Ê X Do Y l hyperbolic v dY (0zn,9z) < dx (zn, z ) nờn dóy {0zn} hi t ti dz t 9z = w theo gi thit, tn ti lõn cn V ca w0 cho 9~l (y ) l hyperbolic Chn r nh cho w = u (wQ, r ) c V t W ' = u (w0, r / 2) Khụng gim tớnh tng quỏt, chỳng ta gi s 9~l iyv') vi mi n > Do dx (zn, z) > nờn tn ti n > cho dx {zn, z0) < s vi mi n > n Theo bt ng thc (*) ta cú d 1(w)(^n) z) > vỡ vy zn >z0 iu ny cú ngha dx xỏc nh tụ pụ ca X Cui cựng, chỳng ta chng minh X l hyperbolic y Gi s {zn} l dóy Cauchy X Bi tớnh cht gim khong cỏch ca gi khong cỏch Kobayashi nờn 9zn l dóy Cauchy Y Do gi thit Y l hyperbolic y nờn dóy {zn} hi t Y Gi s {9zn} ằ w0 y.T heo gi thit, tn ti lõn cn V ca w0 cho 9~l (y ) l hyperbolic y Chn r nh cho w = u (w, r) c V Khụng mt tớnh tng quỏt ta cú th gi s rng zn e d~l iyv') vi mi n > 1, ú W' u (wQ, r / 2) Vỡ {zn} l dóy Cauchy nờn tn ti 7T-0 > cho d {Zmi z n ) < s vi mi ra, n > n Theo bt ng thc (*), ta suy d (^m J Zn) ^ cd-1 (w) (^m J ^n) ^ cdg-iy^ (zm, z n ) vi mi m , n > n iu ny kộo theo {zn} l dóy Cauchy khụng gian hyperbolic y -1 iyv') ú dóy {zn} hi t X Vy X l khụng gian hyperbolic y n h lý 2.18 Gi s X khụng gian Banach, ớp : X > [00 , 00 ) l 35 hm na liờn tc trờn Khi ú ớỡv (X ) l hyperbolic nu v ch nu X l hyperbolic v ớp b chn a phng trờn X Chng minh (^>) Gi s (X ) l hyperbolic Do X ng cu vi mt khụng gian Banach úng ca ớp (X) nờn X l khụng gian Banach hyperbolic Bõy gi, chỳng ta cn chng t rng (p b chn a phng trờn X Gi s ngc li, tn ti 2(1 X v mt dóy {-Zfc} hi t ti Zq cho (Z) > 00 C nh (z0,w ) e (X ) ,w ^ Khụng m t tớnh tng quỏt, chỳng ta gi s ỡqI < e~v>(Zk\ V k > Khi ú chỳng ta cú: dnv(x){{z 0) ), (z0, w )) < dnip(X )((z, ), ( z k, )) + d ^ ^ x ) { { z k )? (z k w 0)) + dip{x)((zk,w Q), (z,w Q)) < dx(zo,Zk) + dk(0, Wq) + d v i x ) ( { z k , w Q), (z , w Q) ) , V k > õy D = {z G: 1-2; < Cho k tin +oo, chỳng ta thu c d^i (x)((zo, 0)) (zi wo)) = 0iu ny mõu thun vi tớnh hyperbolic ca ớy, (X) (^=) Ngc li, gi s X l hyperbolic v ớp b chn trờn a phng trờn X Xột phộp chiu 7T : (X) > X cho bi 7T(z, w ) = Do X l hyperbolic nờn tn ti lõn cn hyperbolic cho R = inf ip(z) > oo Khi ú ZÊU u ca z0 rong X 36 TT-^f/) = V(U) c u X {w : \w\ < e~R} cng l hyperbolic Theo b trờn, chỳng ta cú ngay(X ) l hyperư bolic n h lý 2.19 Gi s X l khụng gian Banach, if : X > [00 , + 00 ) l hm na liờn tc trờn trờn X Nu (X ) l hyperbolic y, thỡ X l hyperbolic v ip l hm liờn tc, nhn giỏ tr thc trờn X Chng minh Do X ng cu vi mt khụng gian Banach úng ca ớỡv (X ) nờn X l khụng gian Banach hyperbolic y Theo nh lý 2.18, thỡ ip nhn giỏ tr thc Bõy gi chỳng ta ch rng ip liờn tc trờn X Gi s ngc li ip khụng liờn tc ti z0 G X Do ip l na liờn tc trờn trờn X nờn tỡm c mt dóy {zk} c X hi t ti z0 cho e~v{z0) < r < e-v{zk) y(3i mi > I' Gi s A0 = e 'P'Z), tc l |rA0 = e~ip('Zo'> Vỡ vy (zQ, r \ Q) ớỡv (X) Xột ỏnh x chnh hỡnh : B ( z Q,) > c cho bi (z) = ( z , r \ 0) Vi mi k > thỡ |rAoI = < e~v^Zk\ iu ny suy ( z k , r \ ) G % {X) Khi ú d n v{X ) ( { Z k : r \ 0) , { z j , r \ 0)) = d lip{x)( e ( z k) ỡ e ( z j )) ^ d B ( z 0, 6){z k z j ) < d B ( z 0, 6){z k ỡ z ) + d B (Zs ) ( z o , Z j ) 37 Do ú {(Zk,rAo)} l dóy Cauchy Hartogs Banach y nhng {(zj^rAo)} hi t ti (z0, r \ 0) Q.V{X) iu ny vụ lý Vy liờn tc C h ỳ ý 2.3 iu ngc li nh lý 2.19 khụng cũn ỳng na T ht vy, tn ti mt hm a iu hũa di liờn tc khụng gian hyperbolic y D \ = {(zi, z2) c : \zi\ < R , \Z2 < R } vi R > 0, nhng i ip f x ) khụng l hyperbolic y C th nh sau: Theo M Jarnicki v P Pflug (xem [7]) ó xõy dng c hm g l logarit - a iu hũa di (tc l logg PSH( c 2)), liờn tc trờn c Ngoi ra, z c : g(z) < l b chn v cú thnh phn liờn thụng z cho z khụng hyperbolic y Khi ú ta chn R > cho C : g(z) < c D \ Xột Hartogs ú ớp = logg Do 111 < 11 nờn { ( z , 1) : z g{z) Ê z} c f,p(DI), = e- loS9(ô) = vỡ vy Q,V(D2 R) khụng hyperbolic n h lý 2.20 Gi s X l khụng gian Banach, if : X y [oo, +oo) l hm na liờn tc trờn trờn X Khi ú (X) l taut yu nu v ch nu X l taut yu v ip l a iu hũa liờn tc Chng minh (=^)Gi s lp (X ) l tau t yu, X ng cu vi mt khụng gian gii tớch Banach úng ca Qp (X ) nờn X cng l tau t yu Ly x X , chn lõn cn u ca x l gii tớch ca hỡnh cu n v m khụng gian gii tớch Banach X Khi ú (u ) l taut 38 yu, Vè vy fp|j7 (u) tha iu kin li a, ú (u) l gi li, vỡ vy