Luận văn thạc sĩ toán học về tính điều khiển được của hệ phương trình vi phân suy biến

VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TOÁN HỌC PHAN THỊ TUYẾT VỀ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN SUY BIẾN Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TẠ DUY PHƯỢNG HÀ NỘI - NĂM 2011 i Mục lục Mục lục i Lời cảm ơn iii Mở đầu 1 Về tính điều khiển hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1 Khái lược hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1.1 1.2 3 Một số đặc thù hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1.2 Dạng tương đương thứ (First Equivalent Form, EF 1) 1.1.3 Dạng tương đương thứ hai (Second Equivalent Form, EF 2) 1.1.4 Dạng tương đương thứ ba (Third Equivalent Form, EF ) 10 Công thức nghiệm phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 11 1.3 Tính điều khiển hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 19 1.3.1 Tính đạt 19 1.3.2 Điều khiển được, điều khiển tương đối, R - điều khiển được, điều khiển dạng xung 25 1.3.3 Quan sát được, R - quan sát quan sát dạng xung 34 1.4 Tính chất đối ngẫu 41 ii 1.5 Hệ phân rã 46 Về tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số 2.1 50 Tính điều khiển hệ phương trình sai phân thường tuyến tính với số bước không cố định 50 2.2 Một số đặc thù hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số 53 2.3 Công thức nghiệm phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước cố định 54 2.4 Tính điều khiển phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước cố định 58 2.5 2.4.1 Tính điều khiển 58 2.4.2 R - điều khiển 60 2.4.3 Y - điều khiển 61 2.4.4 Quan sát được, R - quan sát Y - quan sát 62 Tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước không cố định 63 2.5.1 Công thức nghiệm phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước không cố định 63 2.5.2 Quan hệ tính điều khiển quan sát hệ vi phân suy biến hệ sai phân suy biến 66 Tài liệu tham khảo 68 iii Lời cảm ơn Trong suốt trình làm Luận văn, nhận hướng dẫn giúp đỡ PGS.TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam) Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin cảm ơn quý thầy, cô giảng dạy lớp cao học Viện Toán học khóa 17 (2009 - 2011), trang bị cho nhiều kiến thức cần thiết khoa học công việc Cuối cùng, xin chân thành cảm ơn gia đình dành cho cảm thông ủng hộ suốt thời gian học cao học viết luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để Luận văn hoàn thiện Xin trân trọng cảm ơn! Hà Nội, tháng 9-2011 Người viết Luận văn Phan Thị Tuyết Mở đầu Xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, lý thuyết điều khiển hệ thống hình thành sở nguyên lý cực đại Pontriagin, lý thuyết điều khiển Kalman, phát triển mạnh mẽ khoảng 50 năm trở lại Lý thuyết điều khiển toán học lĩnh vực có nhiều ứng dụng thực tế, ngày trở thành môn học phổ biến nhiều trường đại học tổng hợp đại học kỹ thuật nước với chuyên ngành toán học ứng dụng điều khiển kỹ thuật, phân tích hệ thống, điều khiển tối ưu Công cụ lý thuyết điều khiển toán học mô hình phương pháp toán học ứng dụng để giải vấn đề định tính hệ thống điều khiển Có nhiều toán thực tiễn mô tả hệ chứa tham số điều khiển Một vấn đề quan trọng lý thuyết điều khiển hệ thống tính chất điều khiển hệ, tức tìm chiến lược điều khiển cho chuyển hệ thống điều khiển từ trạng thái (vị trí) sang trạng thái (vị trí) khác Bài toán điều khiển toán lý thuyết điều khiển liên quan chặt chẽ đến toán khác toán tồn điều khiển tối ưu, phương pháp số tìm điều khiển tối ưu, toán ổn định ổn định hóa, Mặc dù nét lý thuyết điều khiển được hình thành cách 30 − 40 năm, mang tính thời nhiều nhà toán học nước quan tâm nghiên cứu Mục đích luận văn trình bày tiêu chuẩn (điều kiện cần đủ) điều khiển hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hệ sai phân suy biến tuyến tính với hệ số Nội dung luận văn bao gồm hai chương Chương nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số gồm mục Mục 1.1 chương trình bày khái lược hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số Mục 1.2 chương phát biểu công thức nghiệm số ví dụ hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số Mục 1.3 1.4 chương nói mối quan hệ tính điều khiển quan sát hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hệ đối ngẫu Mục 1.5 chương nói hệ phân rã hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng, số chi tiết tính điều khiển quan sát hệ phân rã Chương nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số gồm mục Mục 2.1 chương nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình sai phân thường với số bước không cố định Mục 2.2 chương nêu nên số đặc thù hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số Mục 2.3 chương nói công thức nghiệm số ví dụ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số Mục 2.4 chương nói tính điều khiển phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số Mục 2.5 chương nói tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số với số bước không cố định mối quan hệ tính điều khiển quan sát hệ phương trình vi phân hệ phương trình sai phân suy biến Chương Về tính điều khiển hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1 Khái lược hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1.1 Một số đặc thù hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số Cho T = (a, b) khoảng đường thẳng thực (a −∞, b +∞) Ký hiệu C i (T ) không gian hàm khả vi đến cấp i C A (T ) không gian hàm giải tích T Xét hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số (thường gọi hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số hằng) dạng E x(t) ˙ = Ax(t) + f (t), t ∈ T, (1.1) ma trận E suy biến (detE = 0) Nhiều toán ứng dụng dẫn đến hệ phương trình vi phân đại số gồm phương trình vi phân thường ràng buộc đại số, tức hệ x˙ = R1 x1 + R2 x2 + f1 ; = R3 x1 + R4 x2 + f2 , (1.2) x1 ∈ Rn1 , x2 ∈ Rn2 ; Ri , i = 1, 2, 3, fj , j = 1, ma trận hàm vectơ hàm có số chiều tương ứng Đặt x= x1 x2 ;f = f1 f2 ;E = In1 0n2 ×n1 0n1 ×n2 0n2 ;A = R1 R2 R3 R4 , I = In1 ma trận đơn vị cấp n1 , ma trận gồm tất phần tử số chiều tương ứng; A f ma trận vectơ có số chiều tương ứng Với cách đặt trên, hệ (1.2) viết dạng: (Ex) = Ax + f (1.3) hay dạng (1.1) Khi f (t) ≡ ta có hệ E x(t) ˙ = Ax(t) (1.4) (Ex(t)) = Ax(t), (1.5) y(t) ˙ (hay y (t)) ký hiệu đạo hàm vectơ y(t) thời điểm t Nhận xét 1.1 Trong phần lớn tài liệu, hệ phương trình vi phân đại số thường đồng với hệ (1.1) Cách viết (1.1) đòi hỏi x có đạo hàm, tức toàn tọa độ x phải có đạo hàm Tuy nhiên, hệ thường gặp thực tế (thí dụ dạng (1.2)) thường đòi hỏi x1 có đạo hàm, x2 không khả vi Từ ta thấy, (1.3) (1.1) nói chung khác cách viết (1.3) phù hợp với thực tế Dưới để phù hợp với tài liệu, ta gọi hệ (1.3) (và hệ (1.1)), ma trận E suy biến hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số Dạng đặc biệt (1.2) thường gọi dạng nửa hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính với hệ số Định nghĩa 1.1 Vectơ hàm x(t) gọi nghiệm (1.1) khoảng T khả vi liên tục T (tức x(.) ∈ C (T )) thay x(t) vào (1.1) ta đẳng thức với t ∈ T Nếu hàm khả vi liên tục x(t) thỏa mãn điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 (1.6) thỏa mãn phương trình (1.1) lân cận t0 ta nói x(t) nghiệm địa phương (1.1) lân cận t0 Nếu tồn nghiệm thỏa mãn (1.1) (1.6) ta nói toán giá trị ban đầu (bài toán Cauchy) giải Khác với hệ phương trình vi phân thường, không gian nghiệm hệ phương trình vi phân đại số (1.1) vô hạn chiều Ví dụ 1.1 Xét phương trình vi phân 0 x˙ (t) x˙ (t) + 2 x1 (t) x2 (t) t ∈ (0, 1) = 0, (1.7) Hệ (1.7) viết dạng tường minh x˙ (t) + 2x˙ (t) + x1 (t) + 2x2 (t) = 0; x1 (t) + 2x2 (t) = Suy x(t) = x1 (t) x2 (t) (1.8) , i = 0, 1, 2, với x1 (t) = −2x2 (t), x2 (t) ∈ C (T ) hàm khả vi bất kỳ, nghiệm hệ phương trình (1.7) i Chọn x(i) (t) = −t , i = 0, 1, 2, Khi (i) x(i) (t) = x1 (t) (i) x2 (t) = 2ti −ti , t ∈ (0, 1), i = 0, 1, 2, , nghiệm (1.7) Ta chứng minh {x(i) (t)}∞ i=0 dãy độc lập tuyến tính Thật vậy, theo định nghĩa dãy hàm độc lập tuyến tính, giả sử tồn dãy {ci }∞ i=0 cho  ∞ ti  ci   i=0  = ci x (t) =  ∞  i − ci t i=0 ∞ (i) 0 i=0 Do dãy hàm {ti }∞ i=0 dãy vectơ sở không gian hàm đa thức nên từ đẳng thức ∞ ci ti = 0, ∀t ∈ (0, 1), i=0 ta suy ci = ∀i = 0, 1, 2, Chứng tỏ {x(i) (t)}∞ i=0 dãy hàm độc lập tuyến tính Như không gian nghiệm (1.7) vô hạn chiều Thí dụ (1.1) cho thấy, khác với phương trình vi phân thường, lúc không gian nghiệm phương trình vi phân đại số không gian hữu hạn chiều Khái niệm cặp ma trận quy công cụ quan trọng để nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính Ta có Định nghĩa 1.2 Cặp ma trận (E, A) gọi cặp ma trận quy tồn số λ ∈ C cho det(A − λE) = Ta nhận thấy rằng, tồn số λ ∈ C để det(A − λE) = tồn vô số số vậy, trừ hữu hạn giá trị nghiệm đa thức đặc trưng det(A − λE) = Từ ta suy rằng, hai cặp ma trận (E, A) (A, E) đồng thời quy không quy Điều suy từ đẳng thức λ det(A − λE) = (−λ)n det(E − A), n cấp ma trận vuông E Định lý 1.1 ([4]) Không gian nghiệm hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính E x(t) ˙ + Ax(t) = hữu hạn chiều cặp ma trận (E, A) quy Hơn nữa, số chiều không gian nghiệm bậc đa thức đặc trưng det(A − λE) Nhận xét 1.2 Khác với hệ phương trình vi thường tuyến tính, nghiệm hệ phương trình vi phân đại số tuyến tính phụ thuộc chặt chẽ vào vế phải Ví dụ 1.2 Xét hệ 0 x˙ (t) x˙ (t) + 0 x1 (t) x2 (t) = f1 (t) f2 (t) , t ∈ (0, 1) (1.9) Ta có (1.9) ⇔ x˙ (t) + x1 (t) = f1 (t) ⇔ x2 (t) = f2 (t) x1 (t) = f1 (t) − f˙2 (t) x2 (t) = f2 (t) Như vậy, ta giả thiết f (.) ∈ C(T ), tức f liên tục không khả vi hệ (1.9) vô nghiệm (vì không tồn x1 (t) khả vi liên tục) Để phương trình (1.9) có nghiệm ta phải đặt điều kiện, ví dụ, thô thiển f (.) ∈ C (T ) Khi (1.9) có nghiệm điều không liên quan đến giá trị ban đầu Nói cách khác, ta thêm điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 = x10 x20 để 54 Thí dụ (2.1) cho thấy, khác với phương trình sai phân thường, lúc không gian nghiệm phương trình sai phân suy biến tuyến tính không gian hữu hạn chiều Khái niệm cặp ma trận quy công cụ quan trọng để nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính Ta có Định nghĩa 2.4 Cặp ma trận (E, A) gọi cặp ma trận quy tồn số λ ∈ C cho det(A − λE) = Ta nhận thấy rằng, tồn số λ ∈ C để det(A − λE) = tồn vô số số vậy, trừ hữu hạn số nghiệm đa thức đặc trưng det(A − λE) = Từ ta suy rằng, hai cặp ma trận (E, A) (A, E) đồng thời quy không quy Điều suy từ đẳng thức λ det(A − λE) = (−λ)n det(E − A), n cấp ma trận vuông E Định lý 2.4 ([4]) Không gian nghiệm hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính Ex(i + 1) − Ax(i) = hữu hạn chiều cặp ma trận (E, A) quy Hơn nữa, số chiều không gian nghiệm bậc đa thức đặc trưng det(A − λE) 2.3 Công thức nghiệm phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước cố định Xét Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k); y(k) = Cx(k); (2.6) k = 0, 1, 2, , L, đó, trạng thái x(k) ∈ Rn , điều khiển u(k) ∈ Rm đầu y(k) ∈ Rr ; E, A ∈ Rn×n ,B ∈ Rn×m , C ∈ Rr×n ma trận L ≥ n rankE < n, (E, A) cặp ma trận quy 55 Vì (E, A) cặp ma trận quy, nên tồn hai ma trận khả nghịch P Q cho QEP = diag(In1 , N ), QAP = diag(A1 , In2 ), (2.7) A1 ∈ Rn1 ×n1 , N ∈ Rn2 ×n2 , N ma trận lũy linh cấp h n1 + n2 = n Đặt x(k) = P QB = B1 B2 x1 (k) x2 (k) , x1 (k) ∈ Rn1 , x2 (k) ∈ Rn2 , , B1 ∈ Rn1 , B2 ∈ Rn2 , CP = ( C1 C2 ) Ta có Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) ⇔ Q−1 diag(In1 , N )P −1 x(k + 1) = Q−1 diag(A1 , In2 )P −1 x(k) + Bu(k) ⇔ diag(In1 , N )P −1 x(k + 1) = diag(A1 , In2 )P −1 x(k) + QBu(k) x1 (k + 1) x1 (k) B1 ⇔ diag(In1 , N ) = diag(A1 , In2 ) + x2 (k + 1) x2 (k) B2 ⇔ u(k) x1 (k + 1) = A1 x1 (k) + B1 u(k) N x2 (k + 1) = x2 (k) + B2 u(k) Khi đó, hệ (2.6) tương đương với x1 (k + 1) = A1 x1 (k) + B1 u(k), (2.8) N x2 (k + 1) = x2 (k) + B2 u(k); (2.9) y(k) = C1 x1 (k) + C2 x2 (k); (2.10) k = 0, 1, , L Giải phương trình (2.8) Với k = ta có x1 (1) = A1 x1 (0) + B1 u(0) Với k = ta có x1 (2) = A1 x1 (1) + B1 u(1) = A1 [A1 x1 (0) + B1 u(0)] + B1 u(1) = A21 x1 (0) + A1 B1 u(0) + B1 u(1) 56 k−1 x1 (k) = A1k−i−1 B1 u(i) Ak1 x1 (0) + i=0 Ta chứng minh quy nạp (2.11) Với k = ta có x1 (1) = A1 x1 (0) + B1 u(0) (đúng) Với k = ta có x1 (2) = A21 x1 (0) + A1 B1 u(0) + B1 u(1) (đúng) Giả sử công thức (2.11) với k = n − 1, tức n−2 x1 (n − 1) = An−1 x1 (0) + An−i−2 B1 u(i), i=0 ta chứng minh với k = n Ta có x1 (n) = A1 x1 (n − 1) + B1 u(n − 1) n−2 = A1 [An−1 x1 (0) + A1n−i−2 B1 u(i)] + B1 u(n − 1) i=0 n−1 A1n−i−1 B1 u(i) = An1 x1 (0) + i=0 Như vậy, (2.11) Giải phương trình (2.9) Ta có x2 (k) = N x2 (k + 1) − B2 u(k) x2 (k + 1) = N x2 (k + 2) − B2 u(k + 1) x2 (k + 2) = N x2 (k + 3) − B2 u(k + 2) x2 (L − 1) = N x2 (L) − B2 u(L − 1) (2.11) 57 Như vậy, x2 (k) = N x2 (k + 1) − B2 u(k) = N [N x2 (k + 2) − B2 u(k + 1)] − B2 u(k) = N x2 (k + 2) − N B2 u(k + 1) − B2 u(k) = N [N x2 (k + 3) − B2 u(k + 2)] − N B2 u(k + 1) − B2 u(k) = N x2 (k + 3) − N B2 u(k + 2) − N B2 u(k + 1) − B2 u(k) = L−k−1 =N L−k N i B2 u(k + i) x2 (L) − (2.12) i=0 Vậy nghiệm hệ (2.6) I x(k) = P I + P k−1 A1k−i−1 B1 u(i)) (Ak1 x1 (0) + i=0 L−k−1 (N L−k N i B2 u(k + i)); x2 (L) − i=0 y(k) = Cx(k); k = 0, 1, , L Ví dụ 2.2 Giải         0   0   y(k) = ( 0 0   0   x(k + 1) =   1 ) x(k); 0 1 0 0   0   x(k) +     u(k);  −1 k = 0, 1, , L Ký hiệu x(k) = (x1 (k)/x2 (k)), x1 (k), x2 (k) ∈ R2 Với Q = I, P = I , N = 0 , A1 = 1 Hệ (2.13) tương đương với x1 (k + 1) = 0 1 x1 (k) + x2 (k + 1) = x2 (k) + u(k), −1 y(k) = ( ) x1 (k) + ( ) x2 (k); k = 0, 1, , L u(k); (2.13) 58 Từ (2.11)-(2.12), nghiệm hệ (2.13) x(k) = (x1 (k)/x2 (k)) với k−1 Ak−i−1 B1 u(i) Ak1 x1 (0) + x1 (k) = i=0 k = k−1 x1 (0) + i=0 k−i−1 u(i), ≤ k ≤ L; L−k−1 x2 (k) = N L−k N i B2 u(k + i) x2 (L) − i=0 =        2.4 x2 (L) − 0 u(k + 1) − −1 −1 u(k), k = L − 1; u(k), ≤ k ≤ L − Tính điều khiển phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước cố định 2.4.1 Tính điều khiển Định nghĩa 2.5 Hệ (2.6) gọi điều khiển cho trạng thái (x1 (0)/x2 (L)) w ∈ Rn tồn thời gian k1 , ≤ k1 ≤ L dãy điều khiển u(0), u(1), , u(L) cho x(k1 ) = w Định lý 2.5 (xem[2], trang235) Hệ (2.6) điều khiển rank[B1 , A1 B1 , , An1 −1 B1 ] = n1 ; rank[B2 , N B2 , , N n2 −1 B2 ] = n2 Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.6) điều khiển được, cho x1 (0) = 0, x2 (L) = Vì (2.6) điều khiển nên cho w ∈ Rn , tồn thời gian k1 u(i), i = 0, 1, , L − 1, cho x(k1 ) = w Hay w = x(k1 ) = [x1 (k1 )/x2 (k1 )] = ⇔ Ak11 −1 B1 , , A1 B1 , B1 0, 0, , 0, , 0, B2 , N B2 , , N L−k1 −1 B2 Ak11 −1 B1 u(0) + + B1 u(k − 1) = w1 B2 u(k) + N B2 u(k + 1) + + N L−k1 −1 B2 u(L − 1) = w2 ,  u(0)    u(L − 1) (2.14) 59 w1 , w1 ∈ Rn1 w2 ∈ Rn2 Để hệ (2.14) có nghiệm với w ∈ Rn w2 w = rank[B1 , A1 B1 , , An1 −1 B1 ] = n1 ; rank[B2 , N B2 , , N n2 −1 B2 ] = n2 Điều kiện đủ: Cho trạng thái [x1 (0)/x2 (L)] ∈ Rn , từ (2.11)-(2.12) ta có x(k) = +  Ak−1 0, 0, , B1 , , A1 B1 , B1 0, , 0, B2 , N B2 , , N L−k−1 B2 Ak1 x1 (0) N L−k x2 (L) u(0)    u(L − 1) Theo giả thiết, ma trận M = diag([An1 −1 B1 , , A1 B1 , B1 ], [B2 , N B2 , , N L−n1 −1 B2 ]) có hạng đầy đủ Do đó, với w ∈ Rn chọn k1 = n1  u(0)   An1 x1 (0) N L−n1 x2 (L)  = M τ (M M τ )−1 (w − u(L − 1) ) Hay x(n1 ) = w Vậy hệ (2.6) điều khiển Định nghĩa 2.6 Hệ (2.6) gọi điều khiển tương đối không gian K với cặp (x1 (0)/x2 (L)), tồn thời gian k1 , ≤ k1 ≤ L dãy điều khiển u(0), u(1), , u(L − 1) cho Kx(k1 ) = Mệnh đề 2.1 Hệ (2.6) điều khiển tương đối không gian K tồn thời gian k1 cho rank[K11 B1 , K11 A1 B1 , , K11 An1 −1 B1 ] = rankK11 ; rank[K22 B2 , K22 N B2 , , K22 N n2 −1 B2 ] = rankK22 , K ma trận l × n chiều, rankK = l, K phân tích dạng K= K11 K12 K21 K22 60 Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử hệ (2.6) điều khiển tương đối không gian K , cho x1 (0) = 0, x2 (L) = Vì (2.6) điều khiển tương đối không gian K nên tồn thời gian k1 u(i), i = 0, 1, , L − 1, cho Kx(k1 ) = Hay Ak11 −1 B1 , , A1 B1 , B1 0, 0, , L−k −1 0, , 0, B2 , N B2 , , N B2 K11 K12 K21 K22 u(0)    × =0 u(L − 1) K11 Ak11 −1 B1 u(0) + + K11 B1 u(k − 1) = 0; K22 B2 u(k) + + K22 N L−k1 −1 B2 u(L − 1) = ⇔ (2.15) Để hệ (2.15) có nghiệm rank[K11 B1 , K11 A1 B1 , , K11 An1 −1 B1 ] = rankK11 ; rank[K22 B2 , K22 N B2 , , K22 N n2 −1 B2 ] = rankK22 Điều kiện đủ: Cho trạng thái (x1 (0)/x2 (L)) ∈ Rn , từ (2.11)-(2.12) ta có x(k) = +  Ak−1 B1 , , 0, A1 B1 , B1 0, 0, , 0, B2 , N B2 , , N L−k−1 B2 ., Ak1 x1 (0) N L−k x2 (L) u(0)    u(L − 1) Theo giả thiết, ma trận M = diag([K11 An1 −1 B1 , , K11 A1 B1 , K11 B1 ], [K22 B2 , K22 N B2 , , K22 N L−n1 −1 B2 ]) có hạng đầy đủ Do đó, với w ∈ Rn chọn k1 = n1  u(0)    = −M τ (M M τ )−1 K u(L − 1) An1 x1 (0) N L−n1 x2 (L) Hay Kx(n1 ) = Vậy hệ điều khiển tương đối không gian K 2.4.2 R - điều khiển Cho trạng thái cuối x2 (L) ∈ Rn2 , sử dụng R(x2 (L)) để định nghĩa trạng thái (2.6) trạng thái ban đầu R(x2 (L)) = {w |w ∈ Rn , ∃x1 (0), ≤ k1 ≤ L, u(0), u(1), , u(L) : x(k1 ) = w} 61 Ví dụ 2.3 Xét phương trình    0 0   y(k) = ( x(k + 1) = 0 ) x(k); 0 0 x(k) + 0 u(k); (2.16) k = 0, 1, , L Ký hiệu x(k) = (x1 (k)/x2 (k)), x1 (k) ∈ R, x2 (k) ∈ R2 Cho trạng thái (x1 (0)/x2 (L)) Từ (2.11)-(2.12), nghiệm hệ (2.16) x(k) = (x1 (k)/x2 (k)) với k−1 k 2k−i−1 u(i); x1 (k) = x1 (0) + i=0 x2 (k) =    0 0, x2 (L), k = L − 1; ≤ k ≤ L − Như vậy, R(x2 (L)) = R ⊕ (( 0 x2 (L)) ∪ x2 (L)) Định nghĩa 2.7 Hệ (2.6) gọi R điều khiển hoàn toàn R(x2 (L)) = Rn Định lý 2.6 (xem[2], trang237) Hệ (2.6) R điều khiển rank[B1 , A1 B1 , , An1 −1 B1 ] = n1 Định nghĩa 2.8 Đặt ¯ (L)) = {∃k1 , x1 (0), u(0), , u(L) : Kx(k1 ) = 0} R(x Định lý 2.7 Hệ (2.6) điều khiển tương đối không gian K ¯ (L)) = K ⇔ rank[KB, KAB, , KAk1 −1 B] = rankK ⇔ R(x 2.4.3 Y - điều khiển Định nghĩa 2.9 Hệ (2.6) gọi nhân trạng thái x(k) (0 ≤ k ≤ L) thời điểm k định nghĩa hoàn toàn trạng thái ban đầu x(0) điều khiển u(0), u(1), , u(k) 62 Định lý 2.8 (xem[2], trang234) Hệ (2.6) nhân deg(|zE − A|) = rankE, hay N = Xét điều khiển u(k) = Kx(k) + v(k), k = 0, 1, , L, (2.17) K ∈ Rm×n ma trận hằng, v(k) điều khiển đầu vào Thay (2.17) vào (2.6) ta có Ex(k + 1) = (A + BK)x(k) + Bv(k), k = 0, 1, , L (2.18) Định nghĩa 2.10 Hệ (2.6) gọi điều khiển nhân (Y - điều khiển được) tồn điều khiển (2.17) cho (2.18) nhân Định lý 2.9 (xem[2], trang234) Hệ (2.6) Y - điều khiển tồn ma trận K ∈ Rm×n cho deg(|zE − (A + BK)|) = rankE , hay rank 2.4.4 E 0 A E B = rankE Quan sát được, R - quan sát Y - quan sát Định nghĩa 2.11 Xét hệ (2.6) (i) Hệ (2.6) gọi quan sát trạng thái x(k) thời điểm k định nghĩa {u(i), y(i), i = 0, 1, , L} (ii) Hệ (2.6) gọi R - quan sát quan sát tập đạt ban đầu R(x2 (L)) với trạng thái kết thúc x2 (L) ∈ Rn2 (iii) Hệ (2.6) gọi Y - quan sát trạng thái x(k) thời điểm k định nghĩa trạng thái x1 (0) đầu vào u(i) với y(i), i = 0, 1, , k Định lý 2.10 (xem[2], trang238) Xét hệ (2.6) i) Hệ (2.6) quan sát rank[C1 /C1 A1 / /C1 An1 −1 ] = n1 rank[C2 /C2 N/ /C2 N n2 −1 ] = n2 63 ii) Hệ (2.6) R - quan sát rank[C1 /C1 A1 / /C1 An1 −1 ] = n1 iii) Hệ (2.6) Y - quan sát E 0 rank A E C = n + rankE Ví dụ 2.4 Xét hệ         0   0   y(k) = ( 0 0   0   x(k + 1) =   1 ) x(k); 0 1 0 0   0   x(k) +     u(k);  −1 (2.19) k = 0, 1, , L Ký hiệu x(k) = (x1 (k)/x2 (k)), x1 (k), x2 (k) ∈ R2 Với N = 0 , A1 = 1 , C1 = (0 1), C2 = (1 0), rank rank C1 C1 A1 E 0 = rank A E C 1 = < = n1 , = = n + rankE Vậy hệ Y - quan sát được, không quan sát không R - quan sát 2.5 Tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước không cố định 2.5.1 Công thức nghiệm phương trình sai phân suy biến tuyến tính với số bước không cố định Xét Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k); y(k) = Cx(k); k = 0, 1, 2, , (2.20) 64 đó, trạng thái x(k) ∈ Rn , điều khiển u(k) ∈ Rm đầu y(k) ∈ Rr ; E, A ∈ Rn×n ,B ∈ Rn×m , C ∈ Rr×n ma trận Và rankE < n, (E, A) cặp ma trận quy Vì (E, A) cặp ma trận quy, nên tồn hai ma trận khả nghịch P Q cho QEP = diag(In1 , N ), QAP = diag(A1 , In2 ), (2.21) A1 ∈ Rn1 ×n1 , N ∈ Rn2 ×n2 ma trận lũy linh cấp h n1 + n2 = n Đặt x1 (k) x2 (k) x(k) = P QB = B1 B2 , x1 (k) ∈ Rn1 , x2 (k) ∈ Rn2 , , B1 ∈ Rn1 , B2 ∈ Rn2 , CP = ( C1 C2 ) Xét Ex(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) ⇔ Q−1 diag(In1 , N )P −1 x(k + 1) = Q−1 diag(A1 , In2 )P −1 x(k) + Bu(k) ⇔ diag(In1 , N )P −1 x(k + 1) = diag(A1 , In2 )P −1 x(k) + QBu(k) x1 (k) B1 x1 (k + 1) + = diag(A1 , In2 ) ⇔ diag(In1 , N ) x2 (k) B2 x2 (k + 1) ⇔ u(k) x1 (k + 1) = A1 x1 (k) + B1 u(k); N x2 (k + 1) = x2 (k) + B2 u(k) Khi đó, hệ (2.20) tương đương với x1 (k + 1) = A1 x1 (k) + B1 u(k), (2.22) N x2 (k + 1) = x2 (k) + B2 u(k); (2.23) y(k) = C1 x1 (k) + C2 x2 (k); (2.24) k = 0, 1, Như vậy, nghiệm phương trình (2.22) k−1 Ak−i−1 B1 u(i) x1 (k) = Ak1 x1 (0) + i=0 Giải phương trình (2.23) Ta có x2 (k) = N x2 (k + 1) − B2 u(k) 65 x2 (k + 1) = N x2 (k + 2) − B2 u(k + 1) x2 (k + 2) = N x2 (k + 3) − B2 u(k + 2) x2 (k + h − 1) = N x2 (k + h) − B2 u(L − 1) Vì N h = nên x2 (k) = N x2 (k + 1) − B2 u(k) = N [N x2 (k + 2) − B2 u(k + 1)] − B2 u(k) = N x2 (k + 2) − N B2 u(k + 1) − B2 u(k) = N [N x2 (k + 3) − B2 u(k + 2)] − N B2 u(k + 1) − B2 u(k) = N x2 (k + 3) − N B2 u(k + 2) − N B2 u(k + 1) − B2 u(k) = h−1 N i B2 u(k + i) =− (2.25) i=0 Như vậy, nghiệm hệ (2.20) x(k) = P + P I I k−1 Ak−i−1 B1 u(i)) (Ak1 x1 (0) + i=0 h−1 N i B2 u(k + i)); (− i=0 y(k) = Cx(k); k = 0, 1,   0   x(k + 1) =   1 ) x(k); 0 Ví dụ 2.5 Giải         0   0   y(k) = ( 0 0 1 0 0   0   x(k) +   k = 0, 1, Ký hiệu x(k) = (x1 (k)/x2 (k)), x1 (k), x2 (k) ∈ R2 Với Q = I, P = I , N = 0 , A1 = 1   u(k);  −1 (2.26) 66 Hệ (2.26) tương đương với x1 (k + 1) = 0 1 1 x1 (k) + u(k), −1 x2 (k + 1) = x2 (k) + u(k); y(k) = ( ) x1 (k) + ( ) x2 (k); k = 0, 1, Nghiệm hệ (2.26) x(k) = (x1 (k)/x2 (k)) với k−1 x1 (k) = Ak−i−1 B1 u(i) Ak1 x1 (0) + i=0 k = k−1 x1 (0) + x2 (k) = 2.5.2 i=0 k−i−1 u(k + 1) − u(k) u(k) u(i); Quan hệ tính điều khiển quan sát hệ vi phân suy biến hệ sai phân suy biến Xét hệ E x(t) ˙ = Ax(t) + Bu(t); (2.27) y(t) = Cx(t), nghiệm hệ (2.27) là: t x(t) = P I A1 t [e eA1 (t−τ ) B1 u(τ )dτ ] x1 (0) + (2.28) −P I h−1 (i) δ (t)N i=0 i+1 x2 (0) − P I h−1 N i B2 u(i) (t) i=0 Định nghĩa 2.12 Xét hệ (2.20) (i) Hệ (2.20) gọi điều khiển (R - điều khiển Y - điều khiển được) cho số đủ lớn L ≥ n chuỗi thời gian (2.27) điều khiển (R - điều khiển Y - điều khiển được) 67 (ii) Hệ (2.20) gọi quan sát (R - quan sát Y - quan sát được) cho số đủ lớn L ≥ n chuỗi thời gian (2.27) quan sát (R - quan sát Y - quan sát được) Định lý 2.11 (xem[2], trang244) Xét hệ (2.20) (i) Hệ (2.20) điều khiển (R - điều khiển Y - điều khiển được) hệ (2.27) điều khiển (R - điều khiển điều khiển dạng xung) (ii) Hệ (2.20) quan sát (R - quan sát Y - quan sát được) hệ (2.27) quan sát (R - quan sát quan sát dạng xung) Định lý 2.12 Nếu hệ (2.27) K - điều khiển hệ (2.20) K - điều khiển 68 Tài liệu tham khảo Tài liệu Tiếng Việt [1] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Bộ sách cao học Viện toán học, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 Tài liệu Tiếng Anh [2] L Dai, Singular Control Systems, in "Lecture Notes in Control and Information Sciences", Springer- Verlag, Berlin Heidelberg New York, London Paris Tokyo, 1989 Tài liệu Tiếng Nga [3] R Gabasow, F Kirillova, Lý thuyết định tính trình tối ưu, Nhà xuất khoa học, Moscow, 1971 [4] V F Chischyakov, M Seglova, Những chương chọn lọc lý thuyết phương trình vi phân đại số, Nhà xuất khoa học, Novosimbirsk, 2003 ... phân hệ phương trình sai phân suy biến 3 Chương Về tính điều khiển hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1 Khái lược hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số 1.1.1... nói hệ phân rã hệ phương trình vi phân suy biến tuyến tính với hệ số hằng, số chi tiết tính điều khiển quan sát hệ phân rã Chương nghiên cứu tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến. .. với hệ số Mục 2.5 chương nói tính điều khiển hệ phương trình sai phân suy biến tuyến tính với hệ số với số bước không cố định mối quan hệ tính điều khiển quan sát hệ phương trình vi phân hệ phương