Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương luận văn thạc sĩ toán học

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN THỊ HIỂN PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Tạ Duy Phượng HÀ NỘI, 2014 Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Tạ Duy Phượng Sự hướng dẫn giúp đỡ rất tận tình, nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy Cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập LỜI CẢM ƠN Tác giả xin cảm ơn Sở GD-ĐT t ỉnh Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các thầy cô đồng nghiệp Trường trung học phổ thông Liên Bảo cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này Hà Nội, ngày tháng 02 năm2014 Học viên Nguyễn Thị Hiển Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Tạ Duy Phượng Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan những thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc Hà Nội, ngày tháng 02 năm 2014 Học viên Nguyễn Thị Hiển Lời nói đâu Muc 6 BẢNG KÝ HIÊU N Tập số tự nhiên N* R Tập số tự nhiên khác không Tập số thực M+ Tập số thực dương С Tập số phức К Tập số thực hoặc phức M" CỊ ,B-Ị Không gian Euclide N - chiều Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a;b] J} Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a;b] L( X, Y) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y MỞ ĐẦU 1 Lý do chọn đề tài Trong những năm gần đây, các phương pháp tối ưu đã được áp dụng sâu rộng và hiệu quả vào cách ngành kinh tế kỹ thuật, công nghệ thông tin và các ngành khoa học khác Nhờ các công cụ tính toán ngày càng hoàn thiện mà các công trình nghiên cứu lý thuyết và thực hành của Tối ưu hóa ngày càng mở rộng và phát triển Ngày nay, đối với các kỹ sư và các nhà nghiên cứu khoa học, kỹ thuật, kinh tế, công nghệ thông tin, sự hiểu biết về các phương pháp tối ưu cũng cần thiết như các kiến thức cơ sở của Giải tích, Vật lý, Hóa học, Bài toán quy hoạch toàn phương đã được nhiều người nghiên cứu, nhưng cho đến nay nó vẫn là bài toán mang tính thời sự Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn và nghiên cứu về phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương nên tôi đã chọn đề tài: “Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương” 2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương, ứng dụng vào giải một số bài toán cụ thể 3 Nhiệm yụ nghiên cứu Nghiên cứu một số phương pháp số Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của từng phương pháp Nêu các ứng dụng của các phương pháp vào giải một số bài toán cụ thể 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Phương pháp hạn chế tích cực Phương pháp hạn chế giả định Phương pháp Gradien đối ngẫu Phương pháp điểm trong 5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của Đại số tuyến tính, Giải tích, Giải tích hàm, Lý thuyết tối ưu, Giải tích số và lập trình cho máy tính để tiếp cận và giải quyết vấn đề Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về tối ưu 6 Dự kiến đóng góp mới Đe tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương Nêu nên các ứng dụng của phương pháp điểm trong vào giải một số bài toán quy hoạch toàn phương Chương 1 Bài toán quy hoạch toàn phương 1.1Bài toán tối ưu Tối ưu hóa là một lình vực toán học nghiên cứu lí thuyết và các thuật toán giải bài toán cực trị Nhiều vấn đề thực tế khác nhau dẫn tới việc giải bài toán cực trị sau: lìm cự tiểu của phiếm hàm trong đó F,GỊ,HJ :K" ^•M(ỉ' = l,2, ,m1;;' = l,2, ,m2) Bài toán (1) - (4) được gọi là BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC Hàm F(X) được gọi là HÀM MỤC TIÊU, còn các hàm G.,H gọi là các HÀM RÀNG BUỘC (các hạn chế) Tậphợp các vectơ XG X cl" thỏa mãn ràng buộc (3) gọi là TẬP PHƯƠNGÁNhay ràng buộc)bài toán MIỀN CHẤP NHẬN ĐƯỢC trên Phương án X* thỏa mãn /(**) ^ f(x) với mọi phương án chấp nhận X gọi là PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU hay LỜI GIẢI của bài toán, /(**) được gọi là GIÁ TRỊ TỐI ƯU Nếu hàm mục tiêu F(X) và các hàm ràng buộc g ; ( x ) đều là các hàm tuyến tính và X = M+ , ta có bài toán QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH, ngược lại là các bài toán QUY HOẠCH PHI TUYỂN Nếu X là tập hợp rời rạc ta có bài toán QUY HOẠCH RỜI RẠC Trong các bài toán quy hoạch phi tuyến thì bài toán quy hoạch toàn phương đã được nghiên cứu đầy đủ nhất Luận văn của tôi tập trung nghiên cứu: BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG là bài toán với hàm mục tiêu là một dạng toàn phương /(*) = —(.X, À*)+ (c,.x) + a, trong đó A là ma trận xác định dương, A là hằng số, còn các hàm ràng buộc g.(x),/ỉ.(x),Ịỉ' = \,RÌ\,J = L,M2J đều là các hàm tuyến tính Đối vói quy hoạch toàn phương đã có những thuật toán rất nổi tiếng của Beale, Frank-Wolfe, Bài toán quy hoạch toàn phương được xét ở đây là trường hợp đặc biệt của bài toán quy hoạch lồi Bài toán quy hoạch lồi là bài toán: F(X) —»min với các điêu kiện: trong đó các hàm F{X),GỊ (*),(ỉ = 1,/ra) đều là các hàm lồi và tập X là tập lồi Bài toán quy hoạch lồi cũng đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề ra các thuật toán hữu hiệu Tuy nhiên đến nay vẫn còn rất nhiều vấn đề cần được nghiên cứu tiếp 1.2Một sổ khái niệm cơ bản 1.2.1 Hàm toàn phưomg Hàm / : R" —>■ R gọi là hàm toàn phương nếu có dạng (,x,Z).x) + (c,.x) + 22X*Ể*; + 2cỂ*Ể+a, " i=1 7=1 i=l y r trong đó D là một ma trận câp NXN, C là một vectơ N chiêu, a là một sô r Nhận xét Vì nên ta có thể giả thiết ma trận D là ma trận đối xứng {DT =DỴ 1.2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương Xét bài toán quy hoạch toàn phương: (P) minỊ/(*):*€ A|, trong đó / là hàm toàn phương và tập hạn chế A = Ị*: X € M", AX > là tập đa diện (polyhedral set) Neu / lồi thì (P) được gọi là bài toán QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI Định nghĩa Ma trận D được gọi là xác định dương nếu VTDV> 0,Vv^0 Ma trận D được gọi là xác định không âm (nửa xác đinh dương) nếu VTDV > 0 Nhận xét Nếu D là ma trận đối xứng, nửa xác định, dương thì / là hàm lồi 1.3Định lí tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phưomg Xét bài toán (P): ... pháp số giải toán quy hoạch tồn phương nên tơi chọn đề tài: ? ?Phương pháp số giải tốn quy hoạch tồn phương? ?? Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp số giải tốn quy hoạch tồn phương, ... cách có hệ thống số phương pháp số giải tốn quy hoạch tồn phương Nêu nên ứng dụng phương pháp điểm vào giải số tốn quy hoạch tồn phương Chương Bài tốn quy hoạch tồn phương 1. 1Bài tốn tối ưu Tối... tuyến tính Đối vói quy hoạch tồn phương có thuật tốn tiếng Beale, Frank-Wolfe, Bài tốn quy hoạch tồn phương xét trường hợp đặc biệt toán quy hoạch lồi Bài toán quy hoạch lồi toán: F(X) —»min với