LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT

22 2 HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT 24 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel.. MỞ ĐẦUHàm Hilbert là một trong những khái niệm cơ bản của lĩnh vực Đại số gia

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS CAO HUY LINH

Huế, Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứucủa riêng tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứughi trong Luận văn là trung thực

Hoàng Thị Kiều My

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu, xin gửi đến TS Cao Huy Linh lời cảm ơn sâu sắc về sự tận tìnhgiúp đỡ của thầy đối với tôi trong suốt quá trình Thầy giảng dạy tại lớp Cao họcK22 và nhất là trong quá trình tôi hoàn thành Luận văn này

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tất cả quý thầy, cô khoa Toán của TrườngĐại học Sư phạm Huế đã tận tình giảng dạy và truyền đạt những kiến thức bổích trong suốt khóa học tại Trường Đại học Sư phạm Huế

Chân thành cảm ơn các Anh, Chị học viên Cao học khóa 22, đặc biệt là cácAnh, Chị chuyên ngành Đại số và lý thuyết số và cũng như tất cả bạn bè của tôi

đã luôn hỗ trợ tôi suốt quá trình tôi học tập

Cuối cùng tôi xin cảm ơn Bố, Mẹ và toàn thể gia đình tôi-những người đãđộng viên tôi rất nhiều và cũng là động lực giúp tôi hoàn thành Luận văn này.Mặc dù đã cố gắng hết sức nhưng Luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếusót Tôi rất mong các thầy cô giáo cùng các bạn đánh giá, góp ý để Luận vănđược hoàn chỉnh hơn

Hoàng Thị Kiều My

Mục lục

1.1 Chiều của vành và môđun 5

1.2 Vành các thương và địa phương hóa 7

1.3 Dãy chính quy và độ sâu 9

1.4 Iđêan m-nguyên sơ và iđêan tham số 11

1.4.1 Iđêan m-nguyên sơ 11

1.4.2 Hệ tham số và iđêan tham số 12

1.5 Vành và môđun phân bậc 13

1.6 Vành và môđun Cohen-Macaulay 15

1.7 Độ dài của môđun 16

1.8 Hàm Hilbert, hệ số Hilbert và chỉ số Hilbert của môđun phân bậc 17 1.9 Hàm tử xoắn và đối đồng điều địa phương 19

1.9.1 Hàm tử xoắn 19

1.9.2 Đối đồng điều địa phương 20

1.10 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford 21

1.10.1 Chỉ số chính quy 21

1.10.2 Hàm Hilbert và chỉ số chính quy 22

2 HỆ SỐ HILBERT VÀ ĐỘ SÂU CỦA MÔĐUN PHÂN BẬC LIÊN KẾT 24 2.1 Hàm Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert-Samuel 24

2.2 Mối liên hệ giữa hệ số Hilbert-Samuel và hệ số Hilbert của môđun phân bậc liên kết 25

2.3 Dãy các phần tử siêu bề mặt 28

2.4 Tính không dương của hệ số Hilbert 32

2.4.1 Tính không dương của hệ số Chern 322.4.2 Tính không dương của hệ số Hilbert của iđêan tham số 362.5 d-dãy 402.6 Mối quan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu củamôđun phân bậc liên kết 43

Tài liệu tham khảo 48

MỞ ĐẦU

Hàm Hilbert là một trong những khái niệm cơ bản của lĩnh vực Đại số giaohoán và có nhiều liên hệ mật thiết với các bất biến khác như số mũ rút gọn, chỉ

số Hilbert, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford Việc nghiên cứu hàm Hilbert

sẽ cho chúng ta nhiều thông tin về cấu trúc của vành và môđun tương ứng.Cho (R,m) là vành địa phương Giả sử M là một R-môđun chiều d và I

là iđêan định nghĩa của M Khi đó hàm số Hilbert-Samuel, hay gọi tắt là hàmHilbert, của M ứng với iđêan I là một hàm số học được xác định bởi:

Các hệ số ei= ei(I), i = 0, 1, , dđược gọi là hệ số Hilbert của M ứng với iđêan

I Đặc biệt, hệ số e0(I) được gọi là số bội và hệ số e1(I) được gọi là số Chern

Mục đích chính của Luận văn là nghiên cứu hệ số Hilbert của môđun M

ứng với iđêan tham số Từ đó khảo sát một số cấu trúc của môđunM đang xét.Năm 2008, Vasconcelos [16] đã đưa ra giả thuyết về tính âm của hệ sốChern như sau: Cho I là iđêan tham số của vành địa phương Noerther (R,m).Khi đóe1(I) < 0 nếu và chỉ nếu R là không Cohen-Macaulay Giả thuyết này đãđược nhóm nghiên cứu của Goto [8] chứng minh trọn vẹn vào năm 2010 Verma[17] cũng đã có một vài kết quả về tính dương của hệ số Chern Trong thời giangần đây thì việc nghiên cứu các hệ số Hilbert e2 trở đi cũng đã được các nhàToán học quan tâm Năm 2012, Lori Mccune [13] đã chứng minh một số tínhchất về tính không dương của các hệ số Hilbert với giả thiết độ sâu của vành

R và vành phân bậc liên kết GI(R) lớn hơn hoặc bằng d − 1 (d là chiều của R).Năm 2013, Linh-Trung [1] đã giảm nhẹ giả thiết độ sâu của vành phân bậc liênkết lớn hơn hoặc bằng d − 2 Sau đó, Linh-Trung [2] đã chứng minh được mối

quan hệ giữa tính triệt tiêu của các hệ số e i và độ sâu của vành phân bậc liênkết trong trường hợp I là iđêan tham số sinh bởi d dãy:

ei = 0 nếu và chỉ nếu depth(GI(R)) ≥ d − i + 1.

Kết quả chính của Luận văn sẽ là tổng quan lại các kết quả liên quan đến

hệ số Hilbert của iđêan tham số mà chủ yếu các kết quả liên quan đến hai bàibáo [1], [2] Từ đó chúng tôi sẽ mở rộng các kết quả này trên môđun

Xuất phát từ những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài: "Hệ số Hilbert

và độ sâu của môđun phân bậc liên kết" để nghiên cứu với hy vọng cóthể làm phong phú hơn một số kết quả trong vấn đề này

Phương pháp mà chúng tôi sử dụng hoàn toàn tương tự như phương phápcủa Linh-Trung [1], [2] Trở ngại chính mà chúng tôi gặp phải là nhiều tính chất,

sự kiện chưa được phát biểu trên môđun

Luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, chúng tôi trình bày một

số kiến thức cơ bản của đại số giao hoán làm nền tảng cho các chứng minh ởchương sau Trong chương 2, chúng tôi trình bày kết quả chính, nêu lên mốiquan hệ giữa tính triệt tiêu của hệ số Hilbert và độ sâu của môđun phân bậcliên kết

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song trong quá trình nghiên cứu và trìnhbày khó tránh khỏi các sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn đượchoàn thiện hơn

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản của đại sốgiao hoán như: Chiều của vành và môđun, vành nhân tử hóa và địa phương hóa,dãy chính quy và độ sâu, iđêan nguyên sơ và iđêan tham số, vành và môđun phânbậc, hàm Hilbert và hệ số Hilbert của môđun phân bậc, chỉ số Hilbert, đối đồngđiều địa phương, độ dài của môđun, chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford,vành và môđun Cohen-Macaulay Các kiến thức này được trình bày nhằm mụcđích tham khảo cho các nội dung của chương sau Hầu hết các kiến thức đượctrình bày trong chương này được trích dẫn từ các tài liệu theo cách tóm tắt lạinhững kết quả chính Do đó, một số chứng minh các Bổ đề, Mệnh đề, Định lýkhông trình bày lại Nếu các độc giả muốn tham khảo các chứng minh có thểxem trong những tài liệu đã được nêu cụ thể khi trích dẫn

ChoR là một vành giao hoán Với mỗi dãy giảm (thực sự) các iđêan nguyên

tố của vành R

p0 ⊃p1 ⊃ ⊃pr

ta gọi r là độ dài của dãy Chúng ta có định nghĩa chiều (Krull) của vành vàmôđun như sau:

Định nghĩa 1.1.1 (1) Cho R là một vành Ta định nghĩa chiều của vành R là

độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố của R, kí hiệu là dimR.Tức là

dimR := sup d | ∃ p0 ⊃p1 ⊃ ⊃pr là dãy các iđêan nguyên tố của R

(2) Cho M là một R-môđun Ta định nghĩa chiều của môđun M là

dimRM := dimR/annR(M )

trong đó annR(M ) = {r ∈ R |rM = 0 } Ta cũng kí hiệu dimR thay cho dimRM

trong trường hợp không có sự nhầm lẫn về vành R

Nhận xét 1.1.2 (1) Mỗi iđêan nguyên tố của vành thươngR/annR(M )có dạng

p/annR(M )với p là iđêan nguyên tố củaR chứaannR(M ) Do đó, chiều của vành

R/annR(M )là độ dài lớn nhất của các dãy giảm các iđêan nguyên tố củaR chứa

annR(M ) Từ đó suy ra dimM ≤ dimR

(2) Cho M là một R−môđun có chiều d và N là R−môđun con của M Khi

đó, doannR(N ) ⊇ annR(M )nêndimN = dimR/annR(N ) ≤ dimR/annR(M ) = d.Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có dimM/N ≤ d

Ví dụ 1.1.3 (1) Xét vành các số nguyên Z Mỗi iđêan nguyên tố khác (0) của

Z có dạng pZ với p là một số nguyên tố Hơn nữa, không tồn tại iđêan nguyên

tố nào chứa thực sự pZ Do đó, một dãy giảm các iđêan nguyên tố của Z có độdài lớn nhất phải có dạng

là một dãy giảm cực đại các iđêan nguyên tố của R Do đó, dimR = n

Trong phần cuối của mục này, chúng tôi trình bày khái niệm độ cao của mộtiđêan và mối liên hệ của nó với chiều của vành

Định nghĩa 1.1.4 Cho R là một vành giao hoán khác không và p là iđêannguyên tố của R Khi đó, ta định nghĩa độ cao của p, kí hiệu ht(p) như sau:

ht(p) = supn ∃ p0 ⊂p1 ⊂ ⊂ pn =p là dãy các iđêan nguyên tố của R .

Nhận xét 1.1.5 Từ các định nghĩa chiều của vành và độ cao của một iđêannguyên tố ta dễ dàng suy ra được các tính chất sau:

(1) Nếu p1 ⊆p2 thì ht(p1) ≤ ht(p2) Hơn nữa, dấu "=" xảy ra nếu và chỉ nếu

p1=p2

(2) Nếu dimR là hữu hạn thì

dimR = supht(p) |p là iđêan nguyên tố của R

= supht(m) |m là iđêan cực đại của R

Định nghĩa 1.1.6 Cho I là iđêan của vành giao hoán R Khi đó, độ cao củaiđêan I được định nghĩa như sau:

ht(I) = minht(p) p là iđêan cực đại của R chứa I .

Cho I là iđêan của vành R Ta gọi iđêan nguyên tố p của R là iđêan nguyên tốtối tiểu của I nếu p chứa I và không tồn tại iđêan nguyên tố nào nằm giữa thực

sự I và p Ta kí hiệu tập các iđêan nguyên tố tối tiểu của I là Min(I) Chúng ta

có định lí quan trọng về độ cao của iđêan sau đây:

Định lý 1.1.7 ([4], Corollary 11.16) (Krull’s generalized principal ideal rem) Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực sự của R.Khi đó, ht(p) ≤ n với mọi p∈ M in(I)

theo-Từ định lý trên và định nghĩa về độ cao của iđêan ta có hệ quả sau

Hệ quả 1.1.8 Cho R là một vành Noether và I = (x1, , xn) là iđêan thực sựcủa R Khi đó, ht(p) ≤ n

Có thể nói vành các thương và địa phương hóa một vành là một trong nhữngkhái niệm hết sức quan trọng trong đại số giao hoán Thông qua việc nghiêncứu các tính chất địa phương hóa của một vành ta có thể suy ra được phần nào

đó tính chất toàn cục của vành

Cho R là một vành giao hoán Một tập con S của R được gọi là tập nhânđóng nếu 1 ∈ S và ∀s, t ∈ S suy ra st ∈ S

Trên tập R × S ta định nghĩa một quan hệ ∼ như sau:

(a, s) ∼ (b, t) ⇔ ∃u ∈ S : (at − bs) u = 0.

Dễ dàng kiểm tra quan hệ trên là một quan hệ tương đương Ta kí hiệu lớptương đương của mỗi quan hệ của mỗi phần tử (a, s) ∈ R × S dưới dạng phânthức a/s và tập thương của R × S theo quan hệ ∼ là:

S−1R = {a/s |a ∈ R, s ∈ S }

Trên tập thương S−1R ta định nghĩa hai phép toán như sau:

(a, s) + (b, t) = (at + bs) /st, (a, s) (b, t) = (ab/st)

Khi đó, tập S−1R cùng với hai phép toán trên trở thành một vành giao hoán cóđơn vị 1S−1 R = s/s (s ∈ S) và mọi phần tử s/t với s, t ∈ S là khả nghịch Vành

S−1R được gọi là vành các thương của R ứng với S

Cho M là một R-môđun và S là một tập nhân đóng với phép nhân của R.Trên tập M × S ta xét quan hệ tương đương:

(x, s) ∼ (y, t) ⇔ ∃u ∈ S : u (xt − ys) = 0

Khi đó tập thương S−1M = {x/s |x ∈ M, s ∈ S } cùng với hai phép toán

(x, s) + (y, t) = (xt + ys/st) , (x, s) (y, t) = (ay/st)

là một S−1R-môđun Môđun S−1M cũng được gọi là môđun các thương của M

(2) Nếu p ∈ Spec(R) thì R \p là một tập nhân đóng của R. Do đó, đặt

S := R \p, thì vành các thương của R ứng với S được kí hiệu là Rp được gọi làđịa phương hóa của vành R ứng với iđêan p, tức là

R p =

na

s | a ∈ R, s / ∈pocác iđêan của Rp có dạng

IRp =na

s | a ∈ I, s / ∈po,

với I là một iđêan của R Đặc biệt, các iđêan nguyên tố trong Rp có dạng qRp

với q là một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn q⊆p.

Tương tự trong trường hợp này ta kí hiệu môđun các thương của M trên S

là M p và được gọi là môđun địa phương hóa của M ứng với p

Nhận xét 1.2.2 (1) Một vành R luôn tồn tại ít nhất một iđêan cực đại, nếuiđêan cực đại là duy nhất m thì người ta gọi vành đó là vành địa phương và kíhiệu là (R,m) Với mọi iđêan nguyên tố p của R thì Rp là một vành địa phươngvới iđêan cực đại duy nhất là

pRp =na

s | a ∈p, s / ∈po (2) Nếu M là R-môđun thì môđun địa phương hóa của M ứng với p là M p và

ta có

Mp=

nm

s | m ∈ M, s / ∈po (3) Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p∈ Spec(R) sao cho Mp 6= 0, được gọi

là giá của M, kí hiệuSupp(M ), tức là

Supp(M ) = {p∈ Spec(R) | Mp 6= 0}.

(4) Khi M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp(M ) = Var(annR(M )).

(5) Với p∈ Spec(R), ta có ht(p) = dimR p

Việc nghiên cứu một vành địa phương nói chung là thuận lợi hơn so với vànhbất kì Vì vậy, đôi khi thay vì nghiên cứu vành R người ta nghiên cứu các địaphương hóa của nó, từ đó có thể đánh giá được phần nào tính chất của vành R.Một tính chất quan trọng của địa phương hóa là nó bảo toàn tính khớp Ta

Định nghĩa 1.3.1 Cho M là một R-môđun Khi đó, phần tử x ∈ R được gọi

là phần tử M-chính quy nếu với m ∈ M sao cho xm = 0 suy ra m = 0; tức là

(0 :

M x) = 0

Kí hiệu tập hợp các phần tử M-chính quy trong R là N ZDR(M ).

Định nghĩa 1.3.2 Cho M là một R-môđun và x = x 1 , , x n là một dãy cácphần tử của R được gọi là M-dãy chính quy hay nói ngắn gọn làM-dãy nếu cácđiều kiện sau được thỏa mãn:

x được gọi là độ dài của dãy

(2) Một dãy x= x1, , xn được gọi là dãy chính quy nếu x là một R-dãy

(3) Giả sử (R,m) là vành địa phương Noether và M 6= 0 là một R-môđun hữuhạn sinh Lúc đó, nếu x ⊆ m thì điều kiện (3) của Định nghĩa 1.3.2 luônthỏa mãn do bổ đề Nakayama Hơn nữa, do mỗi phần tử của R không thuộc

m đều khả nghịch nên để điều kiện (3) Định nghĩa 1.3.2 thỏa mãn thì mọi

M-dãy chính quy đều phải nằm trong m

Giả sử M là một R-môđun và I là iđêan của R Nếu x = x1, , xn ⊆ I là một

M-dãy trong I Chúng ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.4 (1) Cho M là một R-môđun và I là iđêan của R, nếu x =

x 1 , , x n ⊆ I là một M-dãy thì x được gọi là một M-dãy trong I.

(2) Một M-dãy x được gọi là một M-dãy cực đại nếux 1 , , x n , x n+1 không phải

là một M-dãy với mọi xn+1 ∈ R

(3) MộtM-dãy x trongI được gọi là mộtM-dãy cực đại trongInếux1, , xn, xn+1

không phải là một M-dãy với mọi xn+1∈ I

Nhận xét 1.3.5 (1) Theo [[14], Mệnh đề 16.13], nếu R là vành Noether và M

là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R thỏa IM 6= M thì hai

M-dãy cực đại trong I có cùng độ dài và do đó các M-dãy cực đại trong I

có cùng độ dài

(2) Theo [[14], Mệnh đề 16.10], ta có thể mở rộng một M-dãy trong I thành

M-dãy cực đại trong I.

Tiếp theo, ta có định nghĩa:

Định nghĩa 1.3.6 (1) Cho R là vành Noether, M là một R-môđun hữu hạnsinh và I là một iđêan của R thỏa IM 6= M Khi đó, độ dài của M-dãy cựcđại trong I được gọi là độ sâu của môđun M ứng với iđêan I, kí hiệu là

depth(I, M ) Nếu IM = M thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞.

(2) Hơn nữa, nếu(R,m) là vành địa phương Noether và M là một R-môđun thìmọiM-dãy đều nằm trong m Vì vậy, bậc của m trong M được gọi là độ sâucủa môđun M Kí hiệu depth M. Do đó, ta có

depth M = depth(m, M ).

Ta có một tính chất liên hệ giữa chiều và độ sâu của môđun M:

Định lý 1.3.7 ([7], Theorem 2.1.3) Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M

là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có

depth M ≤ dimM.

Tức là độ sâu của môđun M luôn nhỏ hơn hoặc bằng chiều của môđun M.

Mệnh đề sau cho chúng ta các công thức tính toán về depth(I, M )

Mệnh đề 1.3.8 ([7], Theorem 2.1.2) Cho R là vành Noether, M là R-môđunhữu hạn sinh, I, J là các iđêan của R. Khi đó, ta có

(1) depth(I, M ) = depth( √

I, M ),(2) depth(I, M ) = inf{depth M p |p∈ Var(I)},

(3) depth(I ∩ J, M ) = min{depth(I, M ); depth(J, M )},

(4) Nếu x= x1, , xn là một M-dãy trong I, thì

depth(I/(x), M/xM ) = depth(I, M/xM ) = depth(I, M ) − n.

Đặc biệt, ta có depth M/xM = depth M − n.

Định nghĩa 1.4.1 Một iđêan I của vành R, I được gọi là một iđêan nguyên

sơ của R nếu I 6= R và với mọi a, b ∈ R thỏa ab ∈ I thì hoặc a ∈ I hoặc tồn tại

n ∈N sao cho bn ∈ I

Mệnh đề 1.4.2 Cho I là một iđêan của vành R Khi đó

(1) Nếu I là iđêan nguyên sơ thì √I = {x ∈ R | ∃n > 0 : xn ∈ I} là iđêan nguyên

tố tối tiểu chứa I

(2) Nếu √I là iđêan cực đại thì I là iđêan nguyên sơ

Cho p là iđêan nguyên tố của vành R Khi đó, ta gọi I là iđêan p-nguyên

sơ nếu I là iđêan nguyên sơ và √I = p Giả sử (R,m) là vành địa phương và I

là iđêan m-nguyên sơ của R Với mỗi n ∈ N, ta có √

(3) R/I là R-môđun có độ dài hữu hạn

(4) R/I là R-môđun Artin

Cho (R,m) là vành Noether địa phương chiều d = dim(R) và I là iđêanm-nguyên sơ Kí hiệu µ(I) là số phần tử sinh tối tiểu của iđêan I.Theo [[4],Proposition 11.7, Proposition 11.10], ta có µ(I) ≥ d Từ đó, tồn tại một iđêanm-nguyên sơ của R sinh bởi đúng d phần tử Từ các định nghĩa trên, ta xâydựng định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.4.4 Cho (R,m)là vành địa phương NoetherM làR-môđun hữuhạn sinh Dãy các phần tử x1, , xr ⊂ R được gọi là hệ bội của M nếu

`(M/ (x 1 , , x r ) M ) < ∞ Nếu x = x 1 , , x r là một hệ bội của M thì người tachứng minh được rằng r ≥ d = dim(M )

Một hệ bội x = x1, , xd của M với d = dim(M ), được gọi là hệ tham số của

M

Nếu xem R là môđun trên chính nó thì hệ tham số x1, , xd của R-môđun

R được gọi là hệ tham số của vành R

Ví dụ 1.4.5 Cho R = k[X1, , Xn] là vành đa thức n biến trên trường k Khi

đó, ta đã biết dimR = n, và do đó {X1, , Xn} hệ tham số của R. Một hệ tham

số của R như là một hệ tham số của môđun trên chính nó

(2) R được gọi là vành phân bậc không âm (N-phân bậc) nếu Rn = 0 với mọi

n < 0, ta viết R = L

n≥0

Rn.

(3) x ∈ Rn được gọi là phần tử thuần nhất bậc n, kí hiệu deg(x) = n.

(4) Nếu u ∈ R được biểu diễn dưới dạng u = ui1 + · · · + uik thì ui1, , uik đượcgọi là các thành phần thuần nhất của u.

Nhận xét 1.5.2 Cho R = L

n∈Z

R n là vành phân bậc, khi đó(1) R 0 là vành con của R, R i , i 6= 0 thì không nhất thiết là vành con của R.

(2) Xét R[t] là hàm đa thức một biến với phân bậc chuẩn và I là iđêan của R.Khi đó, ta có một vành phân bậc được cho bởi

Định nghĩa 1.5.4 Cho R là một vành phân bậc và M là một R-môđun Khi

đó, M được gọi là R-môđun phân bậc nếu tồn tại một họ {Mn}n∈Z các nhómcon (đối với phép cộng) của M sao cho:

(1) M = L

n∈N

M n (như là nhóm cộng Aben) và(2) Rn.Mm ⊆ Mn+m, ∀n, m ∈Z.

Nhận xét 1.5.5 (1) Mỗi phần tử u ∈ M có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng

(2) Nếu u ∈ N thì các thành phần thuần nhất của u cũng thuộc N

(3) N có một hệ sinh gồm các phần tử thuần nhất của M

Định nghĩa 1.5.7 (1) Cho M là một R-môđun phân bậc và N là một Rmôđun con của M Khi đó, N được gọi là môđun con phân bậc (hay thuầnnhất) của M nếu các điều kiện tương đương trong Mệnh đề 1.5.6 được thỏamãn

-(2) Một vành phân bậc R có thể được xét như một môđun phân bậc trên chính

nó Khi đó, một iđêan củaRđược gọi là iđêan thuần nhất nếu nó làR-môđuncon thuần nhất của R

Ví dụ 1.5.8 Xét vành phân bậc chuẩn R = k[x, y] Khi đó, ta có iđêan I = (x2, x3+ xy2) là một iđêan thuần nhất bởi vì nó được sinh ra bởi các phần tửthuần nhất là x2 (bậc 2) và x3 + xy2 (bậc 3) Trong đó, iđêan J = (x2 + y, y2)

không phải là iđêan thuần nhất

Định nghĩa 1.6.1 (1) Cho (R,m) là vành địa phương Noether, M 6= 0 là một

R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, M được gọi là môđun Cohen-Macaulay nếu

depth M = dimM

(2) Cho R là vành Noether tùy ý và M 6= 0 là R-môđun hữu hạn sinh, thì M làmôđun Cohen-Macaulay khi Mm là môđun Cohen-Macaulay với mọi iđêancực đại m∈ Supp M.

(3) Vành NoetherR được gọi là vành Cohen-Macaulay nếu nó là mộtR-môđunCohen-Macaulay

Tiếp theo chúng tôi trình bày một số tính chất quan trọng của vành và môđunCohen-Macaulay

Định lý 1.6.2 ([7], Theorem 2.1.2) Cho (R,m) là vành địa phương Noether và

M 6= 0 là R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó, ta có

(1) dimR/p= depth M với mọi iđêan nguyên tố liên kết p của M,

(2) depth(I, M ) = dimM − dimM/IM với mọi iđêan I ⊆m,

(3) x= x1, , xn là một M-dãy khi và chỉ khi dimM/xM = dimM − n,

Định lý 1.6.3 ([7], Theorem 2.1.3) Cho R là một vành Noether và M 6= 0 làmột R-môđun Cohen-Macaulay Khi đó,

(1) Giả sử x là một M-dãy Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì M/xM là Rmôđun Cohen-Macaulay (hay cũng là R/(x)-môđun Cohen-Macaulay) Điềungược lại đúng nếu R là vành địa phương

-(2) Giả sử M là R-môđun Cohen-Macaulay, khi đó với mọi tập nhân đóng S

của R thì MS là môđun Cohen-Macaulay Hơn nữa, M p là R-môđun Macaulay với mỗi iđêan nguyên tố p∈ Spec(R) Nếu Mp6= 0 thì depth Mp = depth(p, M ), nếu thêm giả thiếtR địa phương thìdimM = dimMp+dimM/pM.

Cohen-Hệ quả 1.6.4 ([7], Corollary 2.1.4) Nếu R là vành Cohen-Macaulay và I 6= R

là một iđêan của R thì depth I = ht I và nếu R là địa phương thì ht I + dimR/I = dimR.

Định nghĩa 1.7.1 (1) Cho M là một R-môđun, một xích của môđun M làmột dãy tăng ngặt các môđun con của M có dạng

0 = M0⊂ M1 ⊂ ⊂ Mn = M.

Độ dài của xích là số môđun con thực sự trong một xích

(2) Một chuỗi hợp thành của môđun M là một xích cực đại của M, tức là takhông thể bổ sung thêm một môđun con nào vào chuỗi hợp thành để đượcmột xích có độ dài lớn hơn, hay nói một cách tương đương là Mi/Mi−1, i =

1, , n là đơn

Ta có một tính chất về sự mở rộng của một xích bất kỳ thành một chuỗi hợpthành

Mệnh đề 1.7.2 ([4], Proposition 6.7) Giả sử M là một R-môđun có một chuỗihợp thành với độ dài n Khi đó, mọi chuỗi hợp thành đều có cùng độ dài là n

và với mỗi xích của môđun M ta có thể bổ sung để nó trở thành một chuỗi hợpthành của M.

Nếu môđun M có một chuỗi hợp thành có độ dài n thì ta nói M có độ dàihữu hạn là n Ngược lại, nếu M không có chuỗi hợp thành thì ta nói M có độdài vô hạn Ta kí hiệu độ dài của môđun M là `R(M ) hay ` (M ) (nếu không có

Mệnh đề 1.7.4 ([14], Theorem 7.41) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun

Hệ quả 1.7.5 Cho M là một R-môđun và N là một môđun con của M Khi

đó, M có độ dài hữu hạn nếu và chỉ nếu N và M/N có độ dài hữu hạn Hơnnữa, trong trường hợp M có độ dài hữu hạn thì ta có

`(M ) = `(N ) + `(M/N ).

Khi M là một môđun hữu hạn sinh trên trường k, tức là M là một k-khônggian vectơ hữu hạn chiều thì khái niệm độ dài và chiều của không gian vectơ làtrùng nhau

Mệnh đề 1.7.6 ([14], Theorem 7.42) Cho V là một k-không gian vectơ Khi

đó, V là một k-không gian vectơ hữu hạn chiều khi và chỉ khi V là một k-môđun

có độ dài hữu hạn và trong trường hợp này ta có `(V ) = dimk(V ).

Ta có một công thức về độ dài thông qua dãy khớp, thường được dùng saunày

Mệnh đề 1.7.7 ([14], Ex 7.43) Cho một dãy khớp các R-môđun

của môđun phân bậc

Trong mục này ta luôn giả sử R = L

n∈Z

Rn là vành phân bậc Noether với R0

là vành địa phương Artin Khi đó, với mỗi R-môđun phân bậc hữu hạn sinh M,

ta có các thành phần phân bậc Mn của M là các R0-môđun có độ dài hữu hạn

Định nghĩa 1.8.1 Cho M =

n∈Z

M n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh

Ta định nghĩa hàm Hilbert của M là hàm số học được xác định bởi

hM : Z−→N

n 7−→ hM(n) = `R(Mn).

Nhận xét 1.8.2 Giả sử môđunM có chiềudvà quy ước đa thức đồng nhất0là

đa thức có bậc−1, khi đó Hilbert đã chứng minh rằng tồn tại đa thứcpM ∈Q[x]

có bậc d − 1 sao cho hM (n) = pM(n) với mọi n đủ lớn Trong trường hợp d > 0,

ta có thể biểu diễn pM (n) dưới dạng

(d − i)!(n + 1) (n + d − i) , ∀i = 1, , d−1 trong trường hợp d > 1
.

Khi đó, các hệ số e i = e i (M ) được gọi là hệ số Hilbert của M

Ta cũng gọi p(M ) = max {n|hM(n) 6= pM(n)} là chỉ số Hilbert của M

Định nghĩa 1.8.3 Cho M = L

n∈Z

Mn là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh

Ta định nghĩa số bội của M là số nguyên được xác định bởi

e (M ) =

(

e0 nếu d > 0

` (M ) nếu d = 0

Ví dụ 1.8.4 ChoR = k [x1, , xd]là vành đa thức phân bậc chuẩn trên trường

k Khi đóR 0 = k và các thành phần phân bậcR n là các k-không gian véctơ Hơn

Thật vậy, ta chứng minh bằng quy nạp theo n + d Rõ ràng là khẳng định đúng

nếu n = 0 hoặc d = 1 Giả sử n > 0 và d > 1 Đặt R = k [x1, , xd] và xét dãy

khớp

0 −→ Rn−1 xd

−→ Rn −→ Sp n −→ 0.

trong đó xd(x) = xxd, ∀x ∈ R n−1 và p được xác định bởi

Cho M là một R-môđun và a là một iđêan của R Đặt

Γa(M ) =m ∈ M | anm = 0 với n là số tự nhiên nào đó .

Khi đó Γa(M ) là một môđun con của môđun M và được gọi là môđun xoắn của

Cho R là vành giao hoán có đơn vị, a là một iđêan của R Kí hiệu M(R) làphạm trù các R-môđun Xét tương ứng

Mệnh đề 1.9.3 Γa là một hàm tử hiệp biến trên phạm trù các R-môđun M(R)

và được gọi là hàm tử a-xoắn và nói ngắn gọn là hàm tử xoắn

Định nghĩa 1.9.5 Xét giải thức nội xạ tối tiểu của M

Ta định nghĩa đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M là:

Hai(M ) =Ker(Γa(di))/Im(Γa(di−1)), ∀i ≥ 0.

Với quy ước d−1 = 0.

Sau đây chúng tôi trình bày một tính chất quan trọng của đối đồng điều địaphương , còn được gọi là Định lý triệt tiêu của Grothendieck.

Định lý 1.9.6 ([7], Theorem 3.5.7) Cho (R,m) là vành Noether địa phương, M

là R-môđun hữu hạn sinh với depth M = t và dimM = d Khi đó,

(i) Hmi(M ) = 0 với mọi i < t và i > d,

(ii) Hmt(M ) 6= 0 và Hmd(M ) 6= 0

Nhận xét 1.9.7 (i) Nếu M là một R-môđun thì Hm0(M ) ∼ = Γ m (M )

(ii) Hmi(M ) là môđun Artin

(iii) Nếu M là R-môđun Cohen-Macaulay thì dimM = depth M nên từ Định lí1.9.6, ta có Hmi(M ) = 0 với mọi i 6= d

(iv) Nếu R là vành phân bậc và M là R-môđun hữu hạn sinh thì Hmi(M ) cũng

là R-môđun phân bậc và Hmi(M )n = 0 với mọi n  0

+ (M ) là đối đồng điều địa phương của M với giá R+

Định nghĩa 1.10.1 Ta nói M là m-chính quy nếu HRi

+ (M )n = 0 với mọi

n ≥ m − i + 1 và i ≥ 0 Chỉ số chính quy Castelnuovo-Mumford reg (M ) của E là

số nguyên nhỏ nhất m sao cho M là m-chính quy, nghĩa là

reg (M ) := minm M là m-chính quy .

Để đơn giản ta thường nói chỉ số chính quy thay cho chỉ số chính quyCastelnuovo-Mumford Từ [5], tồn tại số nguyên r sao cho HRi

+ (M )n = 0 vớimọi i ≥ 0 và mọi n ≥ r Do đó chỉ số chính quy của một môđun phân bậc hữuhạn sinh luôn luôn tồn tại Nếu đặt

thì ta có một đặc trưng khác cho chỉ số chính quy là :

reg (M ) := max {a i (M ) + i |i ≥ 0 }

Bổ đề 1.10.2 ([3], Bổ đề 1.1.4) Giả sử 0 −→ L −→ M −→ N −→ 0 là dãy khớpcác R-môđun hữu hạn sinh các đồng cấu thuần nhất Khi đó,

reg(M ) ≤ max {reg(L), reg(N )}

Chứng minh Từ giả thiết ta thu được dãy khớp dài

Áp dụng Bổ đề 1.10.2 ta thu được hệ quả sau đây

Hệ quả 1.10.3 [[3], Hệ quả 1.1.5] Nếu z ∈ R1 là phần tử M-chính quy thì

reg(M ) = reg(M/zM ).

Bây giờ nếu R = A[x] là vành đa thức trên vành địa phươngA thì reg(R) = 0

(xem [[5], Example 12.4.1]) Giả sử I là iđêan thuần nhất thực sự của R Lúc đóchỉ số chính quy của I và R/I có mối quan hệ sau đây

có mối quan hệ sau đây

Bổ đề 1.10.5 ([3], Bổ đề 1.2.1) Nếu M là môđun phân bậc Cohen-Macaulaysao cho d(M ) ≤ 0 thì

reg(M ) ≤ e(M ) − 1,

với d(M ) là bậc cực đại của một hệ sinh tối tiểu thuần nhất của M

Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theod = dim(M ).Vì M là môđun Macaulay nên ta có

reg(M ) = reg(M/zM ) ≤ e(M/zM ) − 1 = e(M ) − 1.

Bổ đề sau đây cho biết mối liên hệ giữa hàm Hilbert, đa thức Hilbert và cácđối đồng điều địa phương

Công thức này còn được gọi là công thức Scerre

Chứng minh Xem [[11], Lemma 1.3] hoặc [[6], Theorem 17.1.6]

Nếu ta đặt m := reg(M ) thì theo định nghĩa của chỉ số chính quy ta có

HRi

+ (M )n = 0 với mọin > reg(M ) Từ Bổ đề 1.10.6, ta thu được hệ quả sau đây:

Hệ quả 1.10.7 ([3], Hệ quả 1.2.3) hM(n) = pM(n) với mọi n > reg(M ) + 1.

Bây giờ cho z ∈ R1 là phần tử M-chính quy Theo Hệ quả 1.10.3, ta có

reg(M ) = reg(M/zM ) Tuy nhiên phần tử M-chính quy không phải bao giờ cũngtồn tại Do đó, người ta thường quan tâm khái niệm sau đây

Định nghĩa 1.10.8 (xem [[5], Definition 18.3.7]) Phần tử thuần nhất z ∈ R

được gọi là phần tử M-lọc chính quy nếu (0M : z)n = 0 với n  0.

Nếu (R0,m0) là vành địa phương với trường thặng dư R0/m0 vô hạn thì luônluôn tồn tại phần tử z ∈ R1 sao cho z là M-lọc chính quy (xem [5])

... R[t] hàm đa thức biến với phân bậc chuẩn I iđêan R.Khi đó, ta có vành phân bậc cho bởi

Định nghĩa 1.5.4 Cho R vành phân bậc M R-mơđun... Một vành phân bậc R xét mơđun phân bậc chính

nó Khi đó, iđêan của< small>Rđược gọi iđêan làR-mơđuncon R

Ví dụ 1.5.8 Xét vành phân. .. R -môđun

của môđun phân bậc< /h3>

Trong mục ta giả sử R = L

n∈Z

Rn vành phân bậc Noether