LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: NGHIỆM VISCOSITY CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN VỚI THỜI GIAN THOÁT RA

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ HƯƠNG NGHIỆM VISCOSITY CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN VỚI THỜI GIAN THOÁT RA Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN HOÀNG Thừa Thiên Huế, năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước khoa nhà trường cam đoan Lê Thị Hương ii LỜI CẢM ƠN Lời đầu, xin gửi đến PGS.TS Nguyễn Hoàng lời cảm ơn sâu sắc tận tình giúp đỡ thầy suốt trình Thầy giảng dạy lớp Cao học K23 trình hoàn thành Luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy, cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn Anh, Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt Anh, Chị chuyên ngành Toán Giải Tích tất bạn bè hỗ trợ suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn Bố, Mẹ toàn thể gia đình tôi, người động viên nhiều động lực giúp hoàn thành Luận văn Mặc dù cố gắng Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô giáo bạn đánh giá, góp ý để Luận văn hoàn chỉnh Lê Thị Hương iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Tập lồi, hàm nửa lồi, hàm nửa lõm 1.2 Phương trình vi phân thường 1.3 Nghiệm viscosity phương trình Hamilton-Jacobi 1.4 Bài toán điều khiển tối ưu 6 10 12 NGHIỆM VISCOSITY CỦA BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN VỚI THỜI GIAN THOÁT RA 15 2.1 2.2 2.3 2.4 Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian thoát Tính liên tục Lipschitz tính nửa lõm hàm giá Tính nửa lồi hàm thời gian tối tiểu T hệ điều khiển tuyến tính Điều kiện tối ưu 15 26 47 52 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 BẢNG CÁC KÝ HIỆU Ký hiệu Rn Ω Rn×n C(Ω) C (Ω) C 1,1 (Ω) 1,1 Cloc (Ω) SCLloc (Ω) L1 (Ω) L1loc (Ω) Ý nghĩa ký hiệu Không gian vector thực n-chiều Miền mở không gian Rn Tập hợp ma trận vuông thực cấp n Không gian hàm liên tục Ω Không gian hàm khả vi liên tục Ω Không gian hàm khả vi liên tục có đạo hàm riêng liên tục Lipschitz Ω Không gian hàm khả vi liên tục, có đạo hàm riêng liên tục Lipschiz địa phương Ω Không gian hàm nửa lõm với modun tuyến tính địa phương Ω Không gian hàm thực đo Ω cho |f | khả tích theo nghĩa Lebesgue Không gian hàm thực đo Ω cho |f | khả tích địa phương theo nghĩa Lebesgue ∂K Biên tập hợp K Lx Đạo hàm riêng hàm L theo biến x ∇u Gradient hàm u theo biến x Br (x) B(x, r) Hình cầu mở tâm x bán kính r x.y < x, y > Tích vô hướng Rn [x, y] |x| ||x||∞ Đoạn thẳng nối hai điểm x y với x, y ∈ Rn Chuẩn Euclid Rn Chuẩn maximum Rn MỞ ĐẦU Lý thuyết điều khiển tối ưu xuất từ năm 50 kỷ 20 với loạt công trình tiêu biểu nhà toán học Xô viết đứng đầu L.C P ontryagin nguyên lý cực tìm điều kiện cần trình tối ưu Lý thuyết phát triển từ toán tối ưu hóa cổ điển toán biến phân, toán quy hoạch động Bài toán điều khiển tối ưu toán tìm trình tối ưu cho hệ điều khiển mô tả phương trình toán học, bắt nguồn từ việc sử dụng nguyên lý cực đại Pontryagin (điều kiện cần) cách giải phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman (điều kiện đủ) Ta mô tả toán điều khiển tối ưu cách giải tích sau Xét hệ điều khiển    y (t) = f (t, y(t), u(t)),    t ∈ I = (a, b) ⊆ R, y(t0 ) = x, y(t) ∈ X = Rn ,     u(t) ∈ U ⊆ Rm , u(t) thuộc lớp hàm đặc biệt lớp hàm L1 ([t0 , T ], U ), f (t, y(t), u(t)) : I × X × U → X hàm mô tả trình chuyển động trạng thái Phiếm hàm mục tiêu định nghĩa f (t, y, u)dt, J(u) = I f (t, y, u) : I × X × U → R hàm cho trước Bài toán điều khiển tối ưu đặt tìm điều khiển chấp nhận u∗ (t) ∈ U cho với quỹ đạo tương ứng y ∗ (t) hệ điều khiển, phiếm hàm mục tiêu đạt cực tiểu điều khiển u∗ (t) Điều khiển u∗ (t) gọi điều khiển tối ưu cho toán tối ưu, cặp (u∗ (t), y ∗ (t)) gọi trình tối ưu hệ điều khiển Người ta phân loại toán điều khiển tối ưu theo cấu trúc hàm mục tiêu Nếu hàm mục tiêu có dạng ta có toán điều khiển tối ưu Lagrange Nếu hàm mục tiêu có dạng J(u) = g(T, y(T )), T thời gian cuối cố định trước ta có toán điều khiển tối ưu Mayer Còn hàm mục tiêu có dạng f (t, y, u)dt + g(T, y(T )), J(u) = I ta có toán điều khiển tối ưu Bolza Lagrange, Bolza, Mayer tên ba nhà toán học có nghiên cứu toán tối ưu với hàm mục tiêu Ta định nghĩa hàm giá toán điều khiển tối ưu có dạng V (t, x) = inf{J(u) : u ∈ L1 ([t0 , T ], U )} Xét phương trình quy hoạch động sau:   −∂t V (t, x) + H(x, ∇V (t, x)) = 0, t ∈ I = [0, T ], ∀x ∈ Rn ,  V (T, x) = g(x), với H(x, ) hàm Hamilton liên kết với toán điều khiển tối ưu tương ứng Đối với toán Mayer H(x, p) = max −p.f (t, x, u), toán Bolza u∈U H(x, p) = max[−p.f (t, x, u)−f (t, x, u)] Các định lý chứng minh cho thấy u∈U hàm giá V (t, x) nghiệm viscosity phương trình quy hoạch động tương ứng với toán điều khiển tối ưu cho trước Khái niệm nghiệm viscosity M.G Crandall P.L Lions đưa vào năm đầu thập kỷ 80, mở hướng nghiên cứu hiệu việc nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, cấp 2, có phương trình Hamilton-Jacobi Thay buộc nghiệm phải thỏa mãn phương trình khả vi cấp k , tác giả đòi hỏi nghiệm liên tục, thỏa mãn bất đẳng thức vi phân thông qua hàm thử đủ trơn qua khái niệm vi phân, vi phân Bài toán điều khiển tối ưu với thời gian thoát dạng toán điều khiển tối ưu Bolza, thời gian cuối hệ không cố định mà phụ thuộc vào mục tiêu cho trước Một trường hợp đặc biệt toán thời gian thoát toán thời gian tối tiểu với mong muốn cực tiểu hóa thời gian cuối để trình tối ưu đạt mục tiêu cho trước Xuất phát từ kiến thức tìm hiểu được, chọn đề tài: "Nghiệm viscosity toán điều khiển với thời gian thoát ra" để nghiên cứu với hy vọng hiểu sâu số kết lý thuyết phương trình đạo hàm riêng Luận văn chia làm hai chương Trong chương 1, trình bày số kiến thức giải tích làm tảng cho chứng minh chương sau Trong chương 2, trình bày kết toán điều khiển tối ưu với thời gian thoát có cấu trúc sau Mục 2.1 giới thiệu toán thời gian thoát số kết tồn điều khiển tối ưu Mục 2.2 xem xét hàm giá tương ứng toán, hàm giá liên tục Lipschitz địa phương hàm nửa lõm với modun tuyến tính Mục 2.3 nghiên cứu vài kết hàm thời gian tối tiểu hệ tuyến tính Và cuối cùng, mục 2.4 nghiên cứu điều kiện tối ưu toán thời gian thoát ra, kết nguyên lý cực đại Pontryagin trường hợp mục tiêu trơn giả thiết thích hợp, quỹ đạo tối ưu nghiệm hệ Hamilton liên kết tương ứng một-một với reachable gradients hàm giá Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý độc giả góp ý thêm để Luận văn hoàn thiện CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ Chương có mục đích trình bày số kiến thức giải tích sử dụng chương sau, nội dung trích từ tài liệu [2], [4], [6] 1.1 Tập lồi, hàm nửa lồi, hàm nửa lõm Định nghĩa 1.1.1 Cho A ⊂ Rn , (i) Tập A gọi tập lồi với x1 , x2 ∈ A [x1 , x2 ] ⊂ A Nói cách khác, A lồi với x1 , x2 ∈ A λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ A (ii) Bao lồi tập A, ký hiệu coA, giao tất tập lồi chứa A coA tập lồi tập lồi bé chứa A (iii) Tập A gọi nón với điểm a ∈ A λ > ta có λa ∈ A Nếu nữa, A tập lồi gọi nón lồi (iv) Bao nón tập A, ký hiệu conA = {λa| λ > 0; a ∈ A} giao tất nón chứa A nón bé chứa A (v) Hàm f : A → R, với A tập lồi, f gọi hàm lồi λf (x) + (1 − λ)f (y) ≥ f (λx + (1 − λ)y), ∀x, y ∈ A, λ ∈ [0, 1] Ta nói hàm f lồi chặt bất đẳng thức chặt với λ ∈ (0, 1) Hàm f gọi hàm lõm −f hàm lồi Định nghĩa 1.1.2 (i) Cho A ⊂ Rn , hàm u : A → R gọi nửa lõm tồn hàm nửa liên tục không giảm ω : R+ → R+ cho lim ω(ρ) = ρ→0+ λu(x) + (1 − λ)u(y) − u(λx + (1 − λ)y) ≤ λ(1 − λ)|x − y|ω(|x − y|), với cặp x, y ∈ A cho [x, y] ⊂ A với λ ∈ [0, 1], ω gọi mô-đun nửa lõm u A (ii) Cho hàm nửa lõm u : A → R với mô-đun lõm ω , ω(h) = C 2h với C ≥ hàm nửa lõm với mô-đun gọi hàm nửa lõm với mô-đun tuyến tính, nghĩa là, tồn C ≥ cho λu(x) + (1 − λ)u(y) − u(λx + (1 − λ)y) ≤ C λ(1 − λ) |x − y|2 , với x, y ∈ A cho [x, y] ⊂ A với λ ∈ [0, 1], C gọi số nửa lõm u A Hàm u gọi nửa lồi (nửa lồi với mô-đun tuyến tính) A −u nửa lõm (nửa lõm với mô-đun tuyến tính) Ký hiệu SC(A) không gian tất hàm nửa lõm A SCL(A) không gian hàm nửa lõm với mô-đun tuyến tính A Mệnh đề 1.1.3 Cho u : A → R với A ⊂ Rn tập lồi mở, cho C ≥ 0, tính chất sau tương đương: (i) u nửa lõm với mô-đun tuyến tính A với số nửa lõm C , (ii) u thỏa mãn u(x + h) + u(x − h) − 2u(x) ≤ C|h|2 , với x, h ∈ Rn cho [x − h, x + h] ⊂ A (iii) Hàm x → u(x) − C2 |x|2 lõm A Định nghĩa 1.1.4 Tập A ⊂ Rn gọi thỏa mãn điều kiện hình cầu với r > A hợp hình cầu đóng bán kính r, tức là, với x ∈ A tồn y cho x ∈ Br (y) ⊂ A Mệnh đề 1.1.5 Cho A ⊂ Rn tập đóng, A = ∅, A = Rn Khi hàm khoảng cách dA (x) = |y − x|, ∀x ∈ Rn thỏa mãn tính chất sau đây: y∈A (i) d2A ∈ SCL(Rn ) với số nửa lõm Chứng minh Vì D− T (x) tập lồi D− T (x) ⊂ NU (u) nên ∀p ∈ D− T (x), ta có p ∈ NU (u) ⇔ σU (p) = p.u suy u ∈ U ∗ (p) mặt tiếp xúc tập lồi U p Mặt khác U ∗ (p) ⊂ ∂U nên u ∈ ∂U suy dimNU (u) = D− T (x) đơn tử Theo Định lý 2.3.1, T nửa lồi địa phương R \ K, áp dụng Mệnh đề 1.3.5(e) ta có điều phải chứng minh 2.4 Điều kiện tối ưu Trong mục ta phân tích vài điều kiện tính tối ưu toán điều khiển có dạng (ET P ) Trừ phi có phát biểu khác, ta giả sử mục tính chất (H0), (H1), (H2), điều kiện tương thích (2.6), điều kiện Petrov (2.13) thỏa mãn Ngoài bổ sung thêm vài tính chất sau: Lx (x, u) tồn khắp nơi liên tục hầu khắp x; (2.55) ∂K đa tạp (n − 1) − chiều thuộc lớp C 1,1 ; (2.56) g ∈ SCLloc (N ), với N lân cận K (2.57) Tính chất (2.56) bao gồm điều kiện hình cầu (2.32) tập vector nón pháp tuyến proximal z ∈ ∂K điều kiện Petrov (2.13) trở thành pháp vector K z , ∂K ∈ C 1,1 Hơn tính chất (2.57) điều kiện (2.6) suy g thỏa mãn điều kiện (2.31) Bổ đề 2.4.1 Cho z ∈ ∂K ν pháp vector K z Lấy u∗ ∈ U cho f (z, u∗ ).ν < τ (x, u∗ ) thời gian thoát ứng với điều khiển số u∗ Khi tồn lân cận A z cho τ (x, u∗ ) = − ν.(x − z) + o(|x − z|), ν.f (z, u∗ ) ∀x ∈ A \ K (2.58) Chứng minh Ta định nghĩa hàm dK := dK (x) − dKc (x) Vì ∂K ∈ C 1,1 nên dK khả vi lân cận z DdK (z) = ν ∗ Xét hàm F (x, t) = dK (y x,u (t)) F khả vi lân cận (z, 0) F (z, 0) = 0, Ft (z, 0) = ν.f (z, u∗ ) Khi theo định lý hàm ẩn, tồn lân cận A z , δ > hàm s : A → [−δ, δ] thỏa mãn ∗ dK (y x,u (t)) = ⇔ s(x) = t, s(z) = 52 (2.59) Chọn lân cận A bé thích hợp cho A \ ∂K gồm hai tập A+ = A \ K ∗ A− ⊂ K Từ (2.59) suy y x,u (t) ∈ K s(x) = τ (x, u∗ ) với x ∈ A+ s(x) > Hơn s(x) = ⇔ x ∈ ∂K Ta có Ds(z) = − ν Fx (z, 0) =− , (Ft (z, 0)) ν.f (z, u∗ ) suy s(x) = Ds(z).(x − z) + o(|x − z|) = − ν.(x − z) + o(|x − z|) ν.f (z, u∗ ) Vì ν.f (z, u∗ ) < nên s(x) > x = z + εν với ε > đủ bé Vậy s(x) = τ (x, u∗ ) với x ∈ A+ , ta có điều phải chứng minh Bổ đề 2.4.2 Cho z ∈ ∂K ν pháp vector K z Khi đó, với q ∈ D+ g(z) tồn µ > cho H(z, q + µν) = Chứng minh Vì g liên tục Lipschitz ∂K với số G nên với q ∈ D+ g(z) |q| ≤ G Theo (2.6) ta có H(z, q) = max[−f (z, u).q − L(z, u)] ≤ N G − α < u∈U Theo (2.13), tồn v ∈ U cho −f (z, v).ν > 0, với µ > H(z, q + µν) ≥ −f (z, v).q − L(z, v) − µf (z, v).ν Vì H(z, q + µν) → +∞ µ → +∞, điều suy tồn µ > cho H(z, q + µν) = Giả sử tồn µ1 , µ2 cho < µ1 < µ2 thỏa H(z, q + µ1 ν) = H(z, q + µ2 ν) = Gọi u∗ điều khiển thỏa mãn H(z, q + µ1 ν) = −f (z, u∗ ).(q + µ1 ν) − L(z, u∗ ) Khi = −f (z, u∗ ).q − L(z, u∗ ) − µ1 f (z, u∗ ).ν ≤ N G − α − µ1 f (z, u∗ ).ν < −µ1 f (z, u∗ ).ν Vì f (z, u∗ ).ν < 0, suy H(z, q + µ2 ν) ≥ −f (z, u∗ ).(q + µ2 ν) − L(z, u∗ ) = −f (z, u∗ ).(q + µ1 ν) − L(z, u∗ ) − (µ2 − µ1 )f (z, u∗ ).ν = −(µ2 − µ1 )f (z, u∗ ).ν > Điều mâu thuẫn với giả thiết đặt ra, µ 53 Định lý 2.4.3 Cho tính chất (H0) − (H2), (L1), (2.6), (2.13), (2.55) − (2.57) thỏa mãn Cho x ∈ R \ K u điều khiển tối ưu x Ta ký hiệu y(t) := y x,u (t), z := yτx,u , τ := τ (x, u), ν pháp vector K z Cho q ∈ D+ g(z), µ > cho H(z, q+µν) = (µ nhất) Gọi p : [0, τ ] → Rn nghiệm hệ phương trình   p (t) = −fxT (y(t), u(t))p(t) − Lx (y(t), u(t)) (2.60)  p(τ ) = q + µν, với fxT ma trận chuyển vị fx Khi p thỏa mãn đẳng thức sau, −p(t).f (y(t), u(t)) − L(y(t), u(t)) = max[−p(t).f (y(t), u) − L(y(t), u)], ∀t ∈ [0, τ ] u∈U (2.61) Chứng minh Giả sử t ∈ (0, τ ) điểm Lebesgue hàm f (y(.), u(.)) L(y(.), u(.)) nghĩa h→0 h t+h lim h→0 h |f (y(s), u(s)) − f (y(t), u(t))|ds = (2.62) |L(y(s), u(s)) − L(y(t), u(t))|ds = (2.63) t−h t+h lim t−h Cho u ∈ U cố định, ε > bé, ta định nghĩa uε (s) =    u    s ∈ [t − ε, t] u(s)     u∗ s ∈ [0, τ ] \ [t − ε, t] (2.64) s > τ, với u∗ thỏa −f (z, u∗ ).(q + µν) − L(z, u∗ ) = H(z, q + µν) = (2.65) Đặt yε (.) := y x,uε (.), τε := τ (x, uε ) Theo Bổ đề 2.4.1, ta kết luận τε hữu hạn ε đủ bé Vì u điều khiển tối ưu x nên J(x, u) đạt min, ta có ≤ J(x, uε ) − J(x, u) τε τ L(yε (s), uε (s))ds − = τ L(y(s), u(s))ds + g(yε (τε )) − g(z) τε [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))] ds + = t−ε t L(yε (s), uε (s))ds τ [L(yε (s), u(s)) − L(yε (s), u)] ds + g(yε (τε )) − g(z) − t−ε 54 (2.66) Vì yε (t − ε) = y(t − ε) nên theo (2.6) ta có |yε (s) − y(t)| ≤ |yε (s) − yε (t − ε)| + |y(t − ε) − y(t)| s t ≤ |f (yε (σ), u)|dσ + t−ε |f (y(σ), u(σ))|dσ t−ε ≤ 2N ε, ∀s ∈ [t − ε, t] Hàm f thỏa giả thiết (H1) nên t t |yε (s) − y(t)|ds ≤ 2N K1 ε2 |f (yε (s), u) − f (y(t), u)|ds ≤ K1 t−ε t−ε Suy t [f (yε (s), u) − f (y(t), u)]ds = o(ε) t−ε Theo (2.62) ta có t t f (yε (s), uε (s))ds − yε (t) − y(t) = f (y(s), u(s))ds t [f (yε (s), u) − f (y(s), u(s))] ds = t−ε = ε (f (y(t), u) − f (y(t), u(t))) + o(ε) Vì theo kết biết phương trình vi phân thường yε (s) = y(s) + εv(s) + o(ε), s ∈ [t, τ ], với v(.) nghiệm hệ phương trình tuyến tính   v (s) = fx (y(s), u(s))v(s) (2.67) (2.68)  v(t) = f (y(t), u) − f (y(t), u(t)) Ta có d p(s).v(s) = −fxT (y(s), u(s))p(s) − Lx (y(s), u(s)) v(s) + p(s)fx (y(s), u(s))v(s) ds = −Lx (y(s), u(s)).v(s), τ Lx (y(s), u(s)).v(s)ds = p(t).v(t) − p(τ ).v(τ ) t = p(t)[f (y(t), u) − f (y(t), u(t))] − (q + µν)v(τ ) Bài toán phân thành hai trường hợp τε ≥ τ τε < τ 55 (2.69) (i) τε < τ Theo (2.67) suy yε (τε ) − y(τε ) = O(ε), mà yε (τε ) ∈ ∂K nên dK (y(τε )) = O(ε) Hơn u điều khiển tối ưu nên y(τ ) ∈ ∂K y(τε ) hướng đến mục tiêu thời gian bé τ − τε Từ Bổ đề 2.2.7 điều kiện (2.11) suy τ (y(τε ), uε ) = τ (y(τε ), u) ≤ βT (y(τε )) ≤ βkdK (y(τε )) = O(ε) hay, τ − τε = O(ε) (2.70) Vì q ∈ D+ g(z) ta có g(yε (τε )) − g(z) ≤ q.(yε (τε ) − z) + o(|yε (τε ) − z|) Với s ∈ [τε , τ ], áp dụng tính chất (2.6), (2.67), (2.70) ta có |yε (s) − z| ≤ |yε (s) − yε (τ )| + |yε (τ ) − z| τ ≤ |f (yε (σ), uε (σ))|dσ + |yε (τ ) − y(τ )| s ≤ N (τ − s) + |εv(τ ) + o(ε)| ≤ N (τ − τε ) + |εv(τ ) + o(ε)| = O(ε) Vì g(yε (τε )) − g(z) ≤ q.(yε (τε ) − z) + o(ε) τ = q − f (yε (s), uε (s))ds + εv(τ ) + o(ε) τε τ = q − f (z, u(s))ds + εv(τ ) (2.71) + o(ε) τε Vì ∂K ∈ C 1,1 yε (τε ), z ∈ ∂K nên ν.(z − yε (τε )) = O(|z − yε (τε )|2 ) = o(ε), τ τ |f (z, u(s)) − f (y(s), u(s))|ds ≤ K1 τε τ |z − y(s)|ds ≤ K1 N τε (τ − s)ds = o(ε) τε Mặt khác = H(z, q + µν) ≥ −f (z, u).(q + µν) − L(z, u), nên τ −q τ f (z, u(s))ds − τε τ L(z, u(s))ds ≤ µν τε f (z, u(s))ds τε τ [f (z, u(s)) − f (y(s), u(s))]ds = µν.(z − y(τε )) + µν τε = µν.(z − y(τε )) + o(ε) = µν.(z − yε (τε )) + µν(yε (τε ) − y(τε )) + o(ε) = εµν.v(τε ) + o(ε) = εµν.v(τ ) + o(ε) 56 Suy τ −q τ f (z, u(s))ds ≤ L(z, u(s))ds + εµν.v(τ ) + o(ε) τε τε Áp dụng (2.66), (2.71) ước lượng ta có τ τ 0≤ [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds − t−ε [L(yε (s), u(s)) − L(z, u(s))]ds τε t [L(yε (s), u(s)) − L(yε (s), u)]ds + ε(q + µν).v(τ ) + o(ε) − t−ε τ 0≤ [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds + ε(q + µν).v(τ ) t−ε t − [L(yε (s), u(s)) − L(yε (s), u)]ds + o(ε) t−ε Theo (2.55), Lx tồn liên tục nên L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s)) = Lx (y(s), u(s))(yε (s) − y(s)) + o(|yε (s) − y(s)|) = Lx (y(s), u(s))(εv(s) + o(ε)) + o(|yε (s) − y(s)|) = εLx (y(s), u(s))v(s) + o(ε) Theo (2.63), (2.67), (2.69) ta có t τ Lx (y(s), u(s))v(s)ds − 0≤ε [L(yε (s), u(s)) − L(yε (t), u(t))]ds t−ε t−ε t [L(yε (s), u) − L(yε (t), u)]ds + ε (L(yε (t), u) − L(yε (t), u(t))) + ε(q + µν)v(τ ) + t−ε Ta chia hai vế cho ε cho ε → 0+ ta có τ 0≤ Lx (y(s), u(s)).v(s)ds + (q + µν).v(τ ) + L(y(t), u) − L(y(t), u(t)) t = p(t).[f (y(t), u) − f (y(t), u(t))] + L(y(t), u) − L(y(t), u(t)) Suy −p(t).f (y(t), u) − L(y(t), u) ≤ −p(t).f (y(t), u(t)) − L(y(t), u(t)) Vì u ∈ U tùy ý nên (2.61) (ii) τε ≥ τ Theo (2.67), yε (τ ) − z = εv(τ ) + o(ε) theo Bổ đề 2.4.1 ta có τ (yε (τ ), uε (s)) = τ (yε (τ ), u∗ ) = −ν.(yε (τ ) − z) + o(|yε (τ ) − z|) ν.f (z, u∗ ) 57 Vì yε (τε ) ∈ ∂K nên thời gian bé để yε (τ ) hướng đến mục tiêu τε − τ , ν.(yε (τ ) − z) εv(τ ).ν τε − τ = + o(ε) = + o(ε) (2.72) ∗ ∗ −ν.f (z, u ) −ν.f (z, u ) Từ suy τε − τ = O(ε), |yε (s) − z| ≤ |yε (s) − yε (τ )| + |yε (τ ) − z| = O(ε) ∀s ∈ [τ, τε ] Và τε τε L(yε (s), uε (s))ds = (τε − τ )L(z, u∗ ) + [L(yε (s), u∗ ) − L(z, u∗ )]ds τ τ = (τε − τ )L(z, u∗ ) + o(ε), τε f (yε (s), u∗ )ds + yε (τ ) − z yε (τε ) − z = τ = (τε − τ )f (z, u∗ ) + εv(τ ) + o(ε) Vì q ∈ D+ g(z), theo (2.66) ta có τ t [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds − 0≤ [L(yε (s), u(s)) − L(yε (s), u)]ds t−ε t−ε + q(τε − τ )f (z, u∗ ) + εqv(τ ) + (τε − τ )L(z, u∗ ) + o(ε) (2.73) Theo (2.65) (2.72) ta có q.f (z, u∗ ) + L(z, u∗ ) = −µνf (z, u∗ ) q(τε − τ )f (z, u∗ ) + (τε − τ )L(z, u∗ ) = (τε − τ ) − µν.f (z, u∗ ) = εv(τ ).ν − µν.f (z, u∗ ) + o(ε) = εµv(τ ).ν + o(ε) −f (z, u∗ ).ν Từ (2.73) thu τ 0≤ t [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds − t−ε [L(yε (s), u(s)) − L(yε (s), u)]ds t−ε + ε(q + µν)v(τ ) + o(ε) Bằng cách lập luận trường hợp trước ta có điều phải chứng minh Kết phát biểu định lý gọi "nguyên lý maximum" −p.f (y(t), u) − L(y(t), u) đạt maximum u = u(t) Cho y quỹ đạo tối ưu, ta gọi p cung đối ngẫu liên kết với y thỏa mãn tính chất Định lý 2.4.3 nghĩa là, p(t) nghiệm toán (2.60) q ∈ D+ g(z) µ > cho H(z, q + µν) = 58 Định lý 2.4.4 Với giả thiết Định lý 2.4.3, cung p nghiệm hệ (2.60) thỏa mãn p(t) ∈ D+ V (y(t)), ∀t ∈ [0, τ ) Chứng minh Để đơn giản cho ký hiệu, chứng minh ta hạn chế trường hợp t = 0, trường hợp tổng quát thực hoàn toàn tương tự Khi t = 0, ta cần kiểm tra p(0) ∈ D+ V (x) Để chứng minh điều ta với h ∈ Rn với |h| = V (x + εh) ≤ V (x) + εp(0).h + o(ε) o(ε) độc lập với h Ta định nghĩa hàm điều khiển sau:  u(s) s ∈ [0, τ ] u˜(s) = u∗ (2.74) (2.75) s > τ, với u∗ thỏa mãn H(z, q + µν) = = −f (z, u∗ ).(q + µν) − L(z, u∗ ) (2.76) Ta ký hiệu yε (.) := y x+εh,˜u (.), τε := τ (x + εh, u˜) Ta có yε (0) − y(0) = εh nên với s ∈ [0, τ ] yε (s) = y(s) + εv(s) + o(ε), với v nghiệm hệ phương trình tuyến tính  v (s) = fx (y(s), u(s))v(s), (2.77) s ∈ [0, τ ], v(0) = h Khi V (x + εh) − V (x) ≤ J(x + εh, u˜(s)) − J(x, u(s)) τ τε [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds + = L(yε (s), u˜(s))ds + g(yε (τε )) − g(z) τ Vế phải ước lượng tương ứng vế phải công thức (2.66) Áp dụng bước tính toán chứng minh Định lý 2.4.3 ta thu τ V (x + εh) − V (x) ≤ ε Lx (y(s), u(s)).v(s)ds + ε(q + µν)v(τ ) + o(ε) = εp(0).h + o(ε) Vậy ta có điều phải chứng minh 59 Định lý 2.4.5 Xét toán thời gian tối tiểu cho hệ (f, U ) với mục tiêu K Giả sử tính chất (H0) − (H2), (2.13) (2.55) thỏa mãn Cho x ∈ R \ K u điều khiển tối ưu x, y(.) = y x,u (.) nghiệm tối ưu tương ứng, z = y(T (x)) Giả sử ν pháp vector ∂K z µ= max[−ν.f (z, u)] (2.78) u∈U Theo (2.13) µ xác định dương Khi nghiệm hệ phương trình p (t) = −fxT (y(t), u(t))p(t), (2.79) với điều kiện cuối p(T (x)) = µν thỏa mãn −p(t).f (y(t), u(t)) = max[−p(t).f (y(t), u)], u∈U ∀t ∈ [0, T (x)] (2.80) Hơn p(t) ∈ D+ T (y(t)) ∀t ∈ [0, T (x)) (2.81) Chứng minh Kết trường hợp đặc biệt Định lý 2.4.3 Định lý 2.4.4 Định nghĩa µ (2.78) tương đương với yêu cầu H(z, µν) = xuất Định lý 2.4.3, thật vậy, toán (M T P ) có L ≡ g ≡ H(z, µν) = ⇔ max[−f (z, u)µν − 1] = u∈U ⇔ µ max[−f (z, u)ν] − = u∈U ⇔µ= max[−f (z, u)ν] u∈U Chứng minh chi tiết xem tài liệu tham khảo [10] Định lý 2.4.6 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.10 thỏa mãn, giả thiết thêm hàm Hamilton H thỏa mãn ∀x ∈ Rn , H(x, p) = với p ∈ C tập lồi C đơn tử (2.82) Cho y = y x,u (.) quỹ đạo tối ưu x ∈ R Khi V khả vi y(t) với t ∈ (0, τ (x, u)) Chứng minh Theo Mệnh đề 2.1.8 suy H(y(t), p) = ∀p ∈ D+ V (y(t)), ∀t ∈ (0, τ (x, u)) mà D+ V (y(t)) tập lồi nên theo giả thiết (2.82) suy D+ V (y(t)) đơn tử với t ∈ (0, τ (x, u)) Theo Định lý 2.2.10, V nửa lõm địa phương R \ K, áp dụng Mệnh đề 1.3.5(e) suy V khả vi y(t) với t ∈ (0, τ (x, u)) 60 Mệnh đề 2.4.7 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.10, Định lý 2.4.3 tính chất (2.82) thỏa mãn Giả sử y = y x,u nghiệm tối ưu x Khi tồn cung đối ngẫu p liên kết với y Định lý 2.4.3 Hơn p(t) = DV (y(t)) p(0) ∈ D∗ V (x); ∀t ∈ (0, τ (x, u)); p(t) = ∀t ∈ [0, τ (x, u)] (2.83) Chứng minh Theo Định lý 2.4.6, V khả vi y(t) với t ∈ (0, τ (x, u)) nên D+ V (y(t)) = D− V (y(t)) = {DV (y(t))} Hơn theo Định lý 2.4.4, p(t) ∈ D+ V (y(t)), ∀t ∈ [0, τ (x, u)) mà D+ V (y(t)) đơn tử với t ∈ (0, τ (x, u)) p(t) = DV (y(t)), ∀t ∈ (0, τ (x, u)) p(t) có hai hàm đối ngẫu hai với DV (y(t)) Xét t = 0, chọn tn = n1 , tn → n → ∞ ta có y(tn ) → y(0) = x, theo ta có V khả vi y(tn ) với n ∈ N DV (y(tn )) = p(tn ) Cho n → ∞ DV (y(tn )) → p(0) ta suy p(0) ∈ D∗ V (x) Theo Định lý 2.1.7, ∀x ∈ R \ K, H(x, DV (x)) = nên ∀t ∈ (0, τ (x, u)) ta có H(y(t), DV (y(t))) = H(y(t), p(t)) = Đẳng thức với t = t = τ (x, u) H hàm liên tục Xét p(t) = 0, theo tính chất (2.6) ta có H(y(t), 0) = max[−L(y(t), u)] ≤ −α < u∈U Vậy p(t) = 0, ∀t ∈ [0, τ (x, u)] Định lý 2.4.8 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.10 thỏa mãn hàm Hamilton thỏa mãn tính chất (2.82) Giả sử x ∈ R\K điểm mà V không khả vi cho dimD+ V (x) < n Khi tồn cung kì dị Lipschitz x : [0, ρ] → Rn V , với x(0) = x δ > cho lim+ s→0 x(s) − x0 = 0, s diam D+ V (x(s)) ≥ δ, ∀s ∈ [0, ρ] Hơn nữa, x(s) = x, ∀s ∈ (0, ρ] Chứng minh Vì phương trình Hamilton-Jacobi (2.9) thỏa mãn phương trình điểm khả vi hàm V nên theo định nghĩa D∗ V (x) ta có H(xk , DV (xk )) = với xk → x, DV (xk ) → p ∈ D∗ V (x) Cho k → ∞ suy 61 H(x, p) = 0, ∀p ∈ D∗ V (x) Do V nửa lõm địa phương R \ K, nên D∗ V (x) ⊂ D+ V (x), ∀x ∈ R \ K Ta giả sử D∗ V (x) = D+ V (x), mà D+ V (x) tập lồi kết hợp với tính chất (2.82) suy D+ V (x) đơn tử Theo Mệnh đề 1.3.5(d) suy V khả vi x, điều mâu thuẫn với giả thiết Vì D+ V (x) \ D∗ V (x) = ∅ Vì dimD+ V (x) < n nên D+ V (x) = ∂D+ V (x) Vậy theo Định lý 1.1.12 ta có điều phải chứng minh Nội dung mục ta giả sử 1,1 H ∈ Cloc (Rn × (Rn \ {0})) (2.84) Nhận xét 2.4.9 Như Định lý 1.4.5, tính chất (2.84) thỏa mãn đạo hàm hàm H cho Hp (x, p) = −f (x, u∗ (x, p)), (2.85) Hx (x, p) = −fxT (x, u∗ (x, p))p − Lx (x, u∗ (x, p)), (2.86) với u∗ (x, p) ∈ U cho −f (x, u∗ ).p − L(x, u∗ ) = max[−f (x, u).p − L(x, u)] u∈U Theo đẳng thức (2.85), (2.86) tính chất p(t) = phát biểu Mệnh đề 2.4.7, ta trình bày lại nguyên lý maximum sau Hệ 2.4.10 Giả sử tính chất (H0) − H(2), (L1) − (L3), (2.6), (2.13) (2.55) − (2.57), (2.82) (2.84) thỏa mãn Cho y nghiệm tối ưu p cung đối ngẫu liên kết với y Khi cặp (y, p) nghiệm hệ   y (t) = −Hp (y(t), p(t)) (2.87)  p (t) = Hx (y(t), p(t)) Vì y p thuộc lớp C Định lý 2.4.11 Giả sử tính chất (H0)−(H2), (L1)−(L3), (2.6), (2.13), (2.31), (2.55), (2.56), (2.82) (2.84) thỏa mãn Cho x ∈ R \ K q ∈ D∗ V (x) Xét cặp 62 nghiệm (y, p) hệ (2.87) với điều kiện đầu   y(0) = x (2.88)  p(0) = q Khi y nghiệm tối ưu x p cung đối ngẫu liên kết với y Sự tương ứng vector D∗ V (x) nghiệm tối ưu x định nghĩa cách một-một Chứng minh Trước tiên ta xét trường hợp V khả vi x ∈ R \ K Theo Định lý 2.1.5, với x ∈ R \ K tồn quỹ đạo tối ưu toán (ET P ) có điểm đầu x, theo Định lý 2.4.3, tồn cung đối ngẫu p liên kết với y Từ Mệnh đề 2.4.7 Hệ 2.4.10 cặp (y, p) nghiệm hệ (2.87) với điều kiện đầu y(0) = x, p(0) = DV (x) Bây ta xét trường hợp tổng quát Lấy q ∈ D∗ (x), theo định nghĩa tồn dãy {xk }k∈N ⊂ R \ K lim xk = x, lim DV (xk ) = q Với k ∈ N, V khả vi k→∞ k→∞ xk nên tồn yk quỹ đạo tối ưu xk pk cung liên kết với yk cho (yk , pk ) nghiệm hệ (2.87) với điều kiện đầu yk (0) = xk , pk (0) = DV (xk ) Cho k → ∞ yk (0) → y(0) = x pk (0) → p(0) = q , yk , pk ∈ C suy (yk (t), pk (t)) hội tụ đến (y(t), p(t)), ∀t ≥ Theo Định lý 2.1.6, suy y quỹ đạo tối ưu điểm đầu x Theo Mệnh đề 2.4.7 suy ∀t ∈ [0, τ ) p(t) = lim pk (t) = lim DV (yk (t)), k→∞ k→∞ Vì V hàm nửa lõm, khả vi yk (t) nên lim DV (yk (t)) ∈ D∗ V (y(t)) ⊂ k→∞ + D V (y(t)), theo Định lý 2.4.6, suy p(t) = lim DV (yk (t)) = DV (y(t)), k→∞ t ∈ (0, τ ), p cung liên kết y Vậy, chứng minh với giả thiết cho thích hợp Nếu cho q ∈ D∗ V (x), với cặp (y, p) nghiệm hệ (2.87) với điều kiện đầu (2.88) y quỹ đạo tối ưu p cung đối ngẫu tương ứng Ngược lại, cho y nghiệm tối ưu điểm đầu x, theo Mệnh đề 2.4.7 Hệ 2.4.10 tồn cung đối ngẫu p liên kết với y cho (y, p) nghiệm hệ (2.87) với điều kiện đầu (2.88) với q ∈ D∗ V (x) q nhất, q = p(0) Do tương ứng định nghĩa định lý một-một 63 Hệ 2.4.12 Với giả thiết định lý trước đó, V khả vi x ∈ R \ K nghiệm tối ưu x 64 KẾT LUẬN Luận văn gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung trình bày thành hai chương Trong đó, chương nêu lên số kiến thức giải tích toán học, làm tảng, sở cho chứng minh chương sau Chương 2, trình bày chi tiết hàm giá liên kết với toán điều khiển nghiệm viscosity phương trình vi phân riêng thích hợp, tính chất hàm giá điều kiện tối ưu toán điều khiển liên quan đến tính khả vi hàm giá Những khái niệm ban đầu khó học viên cao học học viên cố gắng đọc hiểu trình bày sở kiến thức hiểu vận dụng Thực luận văn học viên - Tìm hiểu lý thuyết mới: Lý thuyết điều khiển tối ưu với toán điều khiển (ET P ), (M T P ) nghiệm viscosity phương trình HamiltonJacobi - Tiếp cận với kiến thức toán điều khiển tối ưu, điều kiện tồn điều khiển tối ưu, điều kiện tối ưu toán điều khiển, nâng cao kỹ biến đổi, tính toán giải tích để nghiên cứu vấn đề thời lý thuyết, toán Tuy nhiên hạn chế thời gian lực nên luận văn không tránh khỏi sai sót học viên mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO I Tiếng Việt Phan Văn Danh (2010), Giải tích 3, Khoa Toán, Trường ĐHSP, Đại Học Huế Nguyễn Hoàng (2013), Bài giảng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phi tuyến cấp 1, Khoa Toán, Trường ĐHSP, Đại học Huế Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, Viện toán học Hà Nội, NXB ĐHQG Hà Nội Huỳnh Thế Phùng (2012), Cơ sở giải tích lồi, NXB Giáo Dục Việt Nam II Tiếng Anh Bardi M., Capuzzo Dolcetta I., (1997), Optimal control and viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Birkhauser, Boston Cannarsa P., Sinestrari C., (2004), Semiconcave funtions, Hamilton-Jacobi equations and optimal control, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin Cannarsa P., Pignotti C., Sinestrari C., (2000), Semiconcavity for optimal control problem with exit time, Discrete Contin Dynam Systems 6, 975-997 Cannarsa P., Sinestrari C., (1995), Convexity properties of the minimum time function, Calc Var Partial Differential Equations 3, 273-298 Cannarsa P., Frankowska H., Sinestrari C., (2000), Optimality conditions and synthesis for the minimum time problem, Set-Valued Anal 8, 127-148 10 Cannarsa P., Frankowska H., (1996), Value function and optimality condition for semilinear control problems II Parabolic case, Appl Math Optim 33, 1-33 66