LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC: NGHIỆM VISCOSITY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU

ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ KIM HOA NGHIỆM VISCOSITY ĐỐI VỚI BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN HOÀNG Thừa Thiên Huế, năm 2016 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu riêng tôi, số liệu kết nghiên cứu ghi Luận văn trung thực, đồng tác giả cho phép chưa công bố công trình khác Tác giả Bùi Thị Kim Hoa ii LỜI CẢM ƠN Trong trình học tập làm luận văn tốt nghiệp, nhận khích lệ hỗ trợ nhiều thầy cô, bạn bè người thân Tôi thành thật cảm kích Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Hoàng Thầy người định hướng đề tài, tận tình hướng dẫn mà tạo cho động lực vượt qua khó khăn học tập, nhắc nhở giữ gìn sức khỏe để học tốt Tôi xin chân thành cảm ơn tất quý thầy, cô khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Huế tận tình giảng dạy truyền đạt kiến thức bổ ích suốt khóa học Trường Đại học Sư phạm Huế Chân thành cảm ơn Bạn, Anh Chị học viên Cao học khóa 23, đặc biệt Anh, Chị chuyên ngành Toán Giải tích tất bạn bè hỗ trợ suốt trình học tập Cuối xin cảm ơn Ba, Mẹ toàn thể gia đình tôi-những người động viên nhiều động lực giúp hoàn thành Luận văn Mặc dù cố gắng Luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tôi mong thầy cô giáo bạn đánh giá, góp ý để Luận văn hoàn chỉnh Bùi Thị Kim Hoa iii Mục lục Trang phụ bìa i Lời cam đoan ii Lời cảm ơn iii Mục lục Danh mục kí hiệu Lời nói đầu Chương 1.1 1.2 1.3 Các khái niệm giải tích 1.1.1 Hàm nửa liên tục 1.1.2 Hàm liên tục Lipschitz 1.1.3 Tập lồi hàm lồi 1.1.4 Hàm nửa lõm 1.1.5 Hàm đa trị Trên vi phân vi phân 1.2.1 Vi phân phía 1.2.2 Vi phân hàm nửa lõm 10 1.2.3 Hàm marginal 11 Nghiệm phương trình vi phân 12 1.3.1 Nghiệm cổ điển phương trình vi phân thường 12 1.3.2 Nghiệm viscosity phương trình Hamilton-Jacobi 13 Chương 2.1 Kiến thức chuẩn bị Những toán điều khiển tối ưu 15 Bài toán Mayer 15 2.1.1 Mở đầu 15 2.1.2 Giới thiệu toán Mayer 18 2.2 2.1.3 Hàm giá 20 2.1.4 Những điều kiện tối ưu 33 Bài toán Bolza 46 Chương Một số ví dụ áp dụng 70 3.1 Giới thiệu toán Bolza dạng đơn giản 70 3.2 Một vài ví dụ 73 Kết luận 77 Tài liệu tham khảo 78 DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU Ký hiệu Ý nghĩa ký hiệu R Tập hợp số thực Rn Không gian Euclid n-chiều X Tập Rn Ω Tập mở Rn p, q hay p.q Tích vô hướng hai vector p q Rn | | hay Chuẩn Euclid thông thường Rn ∂Ω Biên tập Ω BR Hình cầu mở tâm 0, bán kính R [x, y] Đoạn [x, y] = {λx + (1 − λ)y, λ ∈ [0, 1]} coS Bao lồi tập S Du(x) Gradient hàm u x D+ u(x), D− u(x) Vi phân vi phân hàm u x ∇V (t, x) ∇V (t, x) = (Vx1 (t, x), Vx2 (t, x), , Vxn (t, x)) l.s.c Nửa liên tục u.s.c Nửa liên tục h.k.n Hầu khắp nơi C(X) Tập hàm liên tục từ X vào R C (Ω) Tập hàm khả vi liên tục từ X vào R Lip(Rn ) Tập hàm Lipschitz Rn SC(Ω) Tập hàm nửa lõm Ω SCL(Ω) Tập hàm nửa lõm với môđun tuyến tính Ω C 1,1 (Ω) Tập hàm thuộc C 1,1 (Ω) có đạo hàm cấp Lipschitz L1 (Ω) Tập hàm khả tích Ω LỜI NÓI ĐẦU Lịch sử phát triển điều khiển tự động ghi nhận từ trước công nguyên, đồng hồ nước có phao điều chỉnh Ktesibios Hy Lạp Hệ điều chỉnh nhiệt độ Cornelis Drebble (1572-1633) người Hà Lan sáng chế Hệ điều chỉnh mức P olzunou người Nga (1756) Hệ điều chỉnh tốc độ ứng dụng công nghệ Jame W att (1769) Thế chiến lần thứ hai đòi hỏi phát triển lý thuyết ứng dụng để có máy bay lái tự động, hệ điều khiển vị trí pháo, điều khiển loại vũ khí khác, điều khiển tự động rada Những năm 1950, phương pháp toán học phân tích phát triển ứng dụng nhanh chóng Các nguyên lý cực đại P ontryagin (1956), phương pháp quy hoạch động Bellman (1957) lý thuyết điều khiển tối ưu đại phương pháp hiệu để giải nhiều toán Vào năm 1766, Euler Lagrangre đưa phương pháp biến phân cổ điển Từ năm 1980, máy tính số bắt đầu sử dụng rộng rãi, cho phép điều khiển đối tượng khác Các nguyên tắc điều khiển thích nghi, điều khiển bền vững, điều khiển mở, “hệ thông minh” đời áp dụng hiệu vào thực tiễn Lý thuyết điều khiển tối ưu phần mở rộng phép tính biến phân, phương pháp tối ưu hóa cho lý thuyết điều khiển phát sinh Điều khiển tối ưu xem chiến lược điều khiển lý thuyết điều khiển tự động Lý thuyết điều khiển tối ưu có quan hệ mật thiết với phương trình Hamilton - Jacobi; hàm giá nghiệm viscosity toán Cauchy phương trình Hamilton - Jacobi Các nghiên cứu ngày trở nên quan trọng thiết nhu cầu ứng dụng lý thuyết điều khiển tối ưu vào lĩnh vực khác điều khiển học, khoa học-kỹ thuật, quản lý kinh tế-tài nên việc nghiên cứu mô hình điều khiển tối ưu với phương pháp giải lĩnh vực nhiều tác giả nước quan tâm Dựa vào phương pháp tiếp cận trên, hướng dẫn khoa học PGS.TS Nguyễn Hoàng, chọn đề tài “Nghiệm viscosity toán điều khiển tối ưu” Trong luận văn mô tả cách tiếp cận toán điều khiển, tập trung ý tính nửa lõm kì dị nghiệm Điều khiển tối ưu có ứng dụng rộng rãi, đa dạng, không đưa cách giải trọn vẹn toán mà chọn vài toán mẫu phát biểu định lý trường hợp Tôi trình bày toán điều khiển tối ưu với thời gian hạn chế không hạn chế mặt không gian, toán Mayer Bolza Cuốn luận văn chia thành ba chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày ngắn gọn kiến thức hàm liên tục Lipschitz, hàm lồi, hàm nửa lõm, hàm đa trị; vi phân vi phân hàm nửa lõm kết nghiệm cổ điển phương trình vi phân thường, nghiệm viscosity phương trình Hamilton-Jacobi nhằm phục vụ cho chứng minh chương sau Chương Những toán điều khiển tối ưu Chương dành để trình bày kết tồn điều khiển tối ưu, tính chất hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin toán điều khiển tối ưu với thời gian giới hạn không gian không hạn chế toán Mayer Bolza Chương Một số ví dụ áp dụng Chương dành để trình bày kết điều kiện cần đủ để tồn điều khiển tối ưu cho toán Bolza dạng đơn giản khảo sát ví dụ minh họa Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm giải tích Cho X tập khác rỗng Rn 1.1.1 Hàm nửa liên tục Định nghĩa 1.1.1 Một hàm f : X → R gọi nửa liên tục (l.s.c) x0 ∈ X với ε > tồn δ > cho x ∈ B(x0 , δ) f (x) ≥ f (x0 ) − ε Hàm f gọi l.s.c X f l.s.c điểm x0 ∈ X Hàm f : X → R gọi nửa liên tục −f l.s.c Hiển nhiên hàm số f : X → R liên tục vừa l.s.c vừa u.s.c 1.1.2 Hàm liên tục Lipschitz Định nghĩa 1.1.2 Cho hàm số f : X → R Ta nói hàm f liên tục Lipschitz X tồn L > cho: | f (x1 ) − f (x2 ) |≤ L | x1 − x2 |, ∀ x1 , x2 ∈ X Định nghĩa 1.1.3 Hàm số f : X → R gọi liên tục Lipschitz địa phương X với x ∈ X tồn lân cận Ux x cho f liên tục Lipschitz Ux Định lý 1.1.1 (Định lý Rademacher) Nếu hàm f : X → R hàm liên tục Lipschitz địa phương f khả vi hầu khắp nơi X 1.1.3 Tập lồi hàm lồi Định nghĩa 1.1.4 (i) Một tập C ⊂ Rn tập lồi với x0 , x1 ∈ C, đoạn thẳng [x0 , x1 ] chứa C (ii) Một hàm L : C −→ R, với C ⊂ Rn lồi, gọi lồi λL(x) + (1 − λ)L(y) ≥ L(λx + (1 − λ)y), ∀ x, y ∈ C, λ ∈ [0, 1] (iii) Một hàm L : C −→ R, với C ⊂ Rn lồi, gọi lồi chặt λL(x) + (1 − λ)L(y) > L(λx + (1 − λ)y), ∀ x, y ∈ C, λ ∈ (0, 1) (iv) Một hàm L : C −→ R gọi lõm −L lồi Định lý 1.1.2 Một hàm L : A −→ R, với A ⊂ Rn lồi mở, lồi liên tục thỏa mãn L(x + h) + L(x − h) − 2L(x) ≥ với x, h cho x ± h ∈ A Định nghĩa 1.1.5 Cho V ⊂ Rn tập lồi Với v¯ ∈ V, nón trực giao với V v¯ tập hợp NV (¯ v ) = {p ∈ Rn : p.(¯ v − v) ≥ 0, ∀ v ∈ V } Định nghĩa 1.1.6 Hàm giá tập lồi cho σV (p) = sup v.p, p ∈ Rn v∈V Định nghĩa 1.1.7 Cho S ⊂ Rn , bao lồi S tập hợp tất tổ hợp lồi điểm thuộc S kí hiệu coS Định lý 1.1.3 Cho S ⊂ Rn tập compact đặt T = coS Khi max x.p = σT (p), ∀ p ∈ Rn x∈S Định lý 1.1.4 Cho V, M ⊂ Rn tập lồi, với V compact Hai tính chất sau tương đương: (i) ∃ v¯ ∈ V : M ⊂ NV (¯ v ); Do τ γR Mf h2 L(y(σ), u(σ))dσ − ≤ −pt h − τ −h τ px f (y(τ ), u(σ))dσ + K1 Mf h2 + ◦(h) τ −h Suy −pt + H(y(τ ), px ) + K1 Mf h γR Mf h + + ◦(h) ≥ 2 Cho h → 0, ta −pt + H(y(τ ), px ) ≥ Vậy −pt + H(y(τ ), px ) = 0, với (pt , px ) ∈ D+ V (τ, y(τ )) Giả sử D+ V (τ, y(τ )) tập đơn tử Khi ta có (λ1 , p1 ), (λ2 , p2 ) ∈ D+ V (τ, y(τ )) Theo chứng minh trên, ta có λ1 = H(y(τ ), p1 ), λ2 = H(y(τ ), p2 ) Do D+ V (τ, y(τ )) tập lồi nên 21 (λ1 , p1 ) + 12 (λ2 , p2 ) ∈ D+ V (τ, y(τ )) Suy 12 λ1 + 12 λ2 = H(y(τ ), 12 p1 + 21 p2 ) Vì H(y(τ ), ) hàm lồi chặt nên λ1 + 12 λ2 = 12 H(y(τ ), p1 ) + 12 H(y(τ ), p2 ) > H(y(τ ), 21 p1 + 21 p2 ) (mâu thuẫn) Do D+ V (τ, y(τ )) tập đơn tử Vì V hàm nửa lõm theo Định lý 2.2.7(ii) nên V khả vi (τ, y(τ )) theo Mệnh đề 1.2.2 Định lý 2.2.11 Cho f, L thỏa giả thiết (H0), (H1), (L1) cho g ∈ C(Rn ) Hơn nữa, giả sử fx , Lx tồn liên tục x Với (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , gọi u : [t, T ] → U điều khiển tối ưu cho toán (BP) với điểm đầu (t, x) y(.) = y(.; t, x, u) quỹ đạo tối ưu tương ứng Với q ∈ D+ g(y(T )), cho p : [t, T ] → Rn nghiệm phương trình   p (s) = −fxT (y(s), u(s)).p(s) − Lx (y(s), u(s)), s ∈ [t, T ] h.k.n  p(T ) = q Khi đó, p(s) thỏa với s ∈ [t, T ] hầu khắp nơi, −f (y(s), u(s)).p(s) − L(y(s), u(s)) ≥ −f (y(s), v).p(s) − L(y(s), v) với v ∈ U Hơn nữa, p(s) ∈ ∇+ V (s, y(s)), ∀ s ∈ [t, T ] 64 (2.47) Chứng minh Ta cố định s¯ ∈ (t, T ) điểm Lebesgue cho hàm s → f (y(s), u(s)) s → L(y(s), u(s)) Khi lấy v ∈ U tùy ý với ε > nhỏ, ta định nghĩa điều khiển uε (s) =   u(s) s ∈ [t, T ]\[¯ s − ε, s¯] (2.48) s ∈ [¯ s − ε, s¯]  v Ta đặt yε (s) = y(s; t, x, uε ) x¯ = y(¯ s) Như chứng minh Định lý 2.1.11, ta yε (s) = y(s) + εω(s) + ◦(ε), với s ≥ s¯, (2.49) với ω nghiệm toán tuyến tính   ω (s) = fx (y(s), u(s))ω(s), s ≥ s¯  ω(¯ s) = f (¯ x, v) − f (¯ x, u(¯ s)) Nếu ta lấy q ∈ D+ g(y(T )) xác định p cách giải (2.47), ta d p(s), ω(s) = − Lx (y(s), u(s)), ω(s) , ds T Lx (y(s), u(s)), ω(s) ds = p(¯ s).ω(¯ s) − p(T ).ω(T ) s¯ = p(¯ s).[f (¯ x, v) − f (¯ x, u(¯ s))] − q.ω(T ) Hơn nữa, s¯ điểm Lebesgue hàm L nên T [L(yε (s), uε (s)) − L(y(s), u(s))]ds t s¯ T [L(yε (s), v) − L(y(s), u(s))]ds + [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds = s¯−ε s¯ s¯ T [L(yε (¯ s), v) − L(y(¯ s), u(¯ s))]ds + [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds = s¯−ε s¯ Do Lx tồn liên tục nên L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s)) = ε Lx (y(s), u(s)), ω(s) + ◦(ε) Do T [L(yε (s), uε (s)) − L(y(s), u(s))]ds t 65 (2.50) T = ε[L(¯ x, v) − L(¯ x, u(¯ s))] + ε Lx (y(s), u(s)), ω(s) ds + ◦(ε) s¯ = ε[L(¯ x, v) − L(¯ x, u(¯ s))] + εp(¯ s)[f (¯ x, v) − f (¯ x, u(¯ s))] − qω(T ) Vì q ∈ D+ g(y(T )), ta có g(yε (T )) − g(y(T )) ≤ q(yε (T ) − y(T )) = qεω(T ) + ◦(ε) Sử dụng tính tối ưu u, ta T 0≤ [L(yε (s), uε (s)) − L(y(s), u(s))]ds + g(yε (T )) − g(y(T )) t ≤ ε[L(¯ x, v) − L(¯ x, u(¯ s))] + εp(¯ s)[f (¯ x, v) − f (¯ x, u(¯ s))] + ◦(ε), ∀ ε > Suy −f (y(¯ s), u(¯ s)).p(¯ s)−L(y(¯ s), u(¯ s)) ≥ −f (y(¯ s), v).p(¯ s)−L(y(¯ s), v), ∀ v ∈ U, ∀ s¯ ∈ (t, T ) Để chứng minh cho kết luận vi phân trên, ta cố định h ∈ Rn , với |h| = ta đặt yε (.) = y(.; t, x + εh, u) với ε > Khi yε (s) = y(s) + εω(s) + ◦(ε) với ω nghiệm toán tuyến tính   ω (s) = fx (y(s), u(s))ω(s), s ≥ t  ω(t) = h Bằng tính toán tương tự phần trước chứng minh, ta thấy T T [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds = ε t Lx (y(s), u(s)), ω(s) ds + ◦(ε) t = ε[p(t).ω(t) − qω(T )] + ◦(ε) = ε[p(t).h − qω(T )] + ◦(ε) Vì q ∈ D+ g(y(T )), ta có g(yε (T )) − g(y(T )) ≤ q(yε (T ) − y(T )) = qεω(T ) + ◦(ε) 66 Sử dụng tính tối ưu u, ta T V (t, x + εh) − V (t, x) ≤ [L(yε (s), u(s)) − L(y(s), u(s))]ds + g(yε (T )) − g(y(T )) t ≤ εp(t).h + ◦(ε) với vectơ đơn vị h ◦(ε) độc lập với h nên p(t) ∈ D+ V (t, x) Với s ∈ [t, T ] ta chứng minh tương tự trường hợp s = t Vậy p(s) ∈ ∇+ V (s, y(s)), ∀ s ∈ [t, T ] Như toán Mayer, cung đối ngẫu liên kết với cặp tối ưu (u, y) toán Bolza định nghĩa tương tự Hệ 2.2.2 Cho giả thiết Định lý 2.2.11 giả sử 1,1 H ∈ Cloc (Rn × Rn ) Lấy (u, y) cặp tối ưu cho điểm (t, x) ∈ [0, T ] × Rn lấy p : [t, T ] → Rn cung đối ngẫu liên kết với (u, y) Khi (y, p) nghiệm hệ   y (s) = −Hp (y(s), p(s)), s ∈ [t, T ] (2.51)  p (s) = H (y(s), p(s)) x Hơn y, p thuộc lớp C Chứng minh Với (x, p) cho, ta đặt U ∗ (x, p) = {u∗ ∈ U : −pf (x, u∗ ) − L(x, u∗ ) = max −p.f (x, u) − L(x, u)} u∈U Vì H(x, p) = max −p.f (x, u) − L(x, u) maximum hàm trơn nên u∈U tính khả vi suy từ Định lý 1.2.3 Ta có H(x, p) = p.f (x, u) + u∈U L(x, u) Ta đặt M (x) = {u ∈ U : H(x, p) = p.f (x, u)+L(x, u)}, Y (x) = {Hx (x, p) : u ∈ M (x)} Ta có H khả vi (x, p) Y (x) tập đơn tử nên M (x) tập đơn tử Nghĩa tập hợp {−fxT (x, u∗ ).p − Lx (x, u∗ ) : u∗ ∈ U ∗ (x, p)}, {−f (x, u∗ ) : u∗ ∈ U ∗ (x, p)} (2.52) 67 tập đơn tử nên {Hx (x, p)} = {−fxT (x, u∗ ).p − Lx (x, u∗ ) : u∗ ∈ U ∗ (x, p)}, {Hp (x, p)} = {−f (x, u∗ ) : u∗ ∈ U ∗ (x, p)} 1,1 (Rn × Rn ) nên đạo hàm H cho mà H ∈ Cloc Hx (x, p) = −fxT (x, u∗ ).p − Lx (x, u∗ ), Hp (x, p) = −f (x, u∗ ) 1,1 với u∗ ∈ U ∗ (x, p) Vì H ∈ Cloc (Rn × Rn ) nên H khả vi (y, p) Do p cung đối ngẫu liên kết với (u, y) nên −f (y(s), u(s)).p(s) − L(y(s), u(s)) ≥ −f (y(s), v).p(s) − L(y(s), v), ∀ v ∈ U Suy H(y(s), p(s)) = max −f (y(s), v).p(s)−L(y(s), v) = −f (y(s), u(s)).p(s)−L(y(s), u(s)) v∈U Theo chứng minh ta suy Hx (y(s), p(s)) = −fxT (y(s), u(s)).p(s) − Lx (y(s), u(s)) Hp (y(s), p(s)) = −f (y(s), u(s)) Do p cung đối ngẫu liên kết với (u, y) nên p (s) = −fxT (y(s), u(s)).p(s) − Lx (y(s), u(s)) = Hx (y(s), p(s)), s ∈ [t, T ] Vì y(s) nghiệm hệ ban đầu nên y (s) = f (y(s), u(s)) = −Hp (y(s), p(s)), s ∈ [t, T ] 1,1 Do (y, p) nghiệm hệ (2.51) Do H ∈ Cloc (Rn × Rn ) (y, p) nghiệm hệ (2.51) nên y, p thuộc lớp C Ví dụ 2.2.3 Không giống toán Mayer, ta đưa ví dụ không tầm thường cho toán Bolza với hàm Hamilton H khả vi hầu khắp nơi yêu cầu Hệ 2.2.2 Đây trường hợp điều chỉnh phương trình bậc hai 68 tuyến tính Ví dụ 2.2.1 Ví dụ 2.2.2 Ta đưa ví dụ khác, với không gian ¯r lấy điều khiển bị chặn Đặt U = B f (x, u) = σ(x).u + h(x), L(x, u) = l(x) + |u| với σ(.) ma trận thuộc C 1,1 , h, l thuộc lớp C 1,1 Với (x, p) ∈ Rn × Rn , tồn u∗ = u∗ (x, p) giá trị lớn (2.45) đạt Thật vậy, ta có: σ T (x)p ≤ r, u∗ (x, p) = −σ T (x).p T σ T (x)p > r, u∗ (x, p) = − |σσT (x).p r (x).p| Do ∗ u (x, p) =   −σ T (x).p, σ T (x)p ≤ r  −r σT (x).p , σ T (x)p > r |σ T (x).p| Vậy hàm Hamilton H cho    σ T (x).p − ph(x) − l(x), H(x, p) =  r σ T (x).p − r2 − ph(x) − l(x), 1,1 Ta kiểm tra H ∈ Cloc (Rn × Rn ) 69 σ T (x)p ≤ r σ T (x)p > r Chương Một số ví dụ áp dụng Trong chương ta khảo sát toán Bolza dạng đơn giản, trình bày định lý điều kiện cần đủ để điều khiển chấp nhận trở thành điều khiển tối ưu toán đưa vài ví dụ Nội dung chương trích dẫn tài liệu [3], [5] 3.1 Giới thiệu toán Bolza dạng đơn giản Ví dụ 3.1.1 (Bài toán điều khiển xe đơn giản) Xét toán điều khiển để lái xe chạy đường thẳng Ban đầu ta đỗ vị trí p0 , sau đến dừng lại vị trí pf Kí hiệu thời gian t p(t) đại diện cho vị trí xe thời gian t Để cho toán đơn giản, ta xem xe chất điểm mà tăng tốc cách sử dụng van bướm giảm tốc cách sử dụng phanh hãm, điều khiển u(t) đại diện cho tác dụng lực xe Khi xe tăng tốc u(t) ≥ giảm tốc u(t) ≤ Khi không gian điều khiển U sau U := {u ∈ U : uL ≤ u(t) ≤ uU }, uL < < uU , khả tăng tốc giảm tốc phương tiện Nếu phương trình trạng ta thái ta chọn vectơ y(t) := (p(t), p (t)) với p(t) vị trí xe thời điểm t, p (t) vận tốc xe thời điểm t Theo Định luật II Newton, 70 ta có: p (t) = u(t) Viết lại phương trình dạng vectơ, ta được:      y(t) +   u(t) y (t) =  0 Đây toán mẫu quy trình thiết lập phương trình trạng thái Hơn nữa, giả sử xe xuất phát từ trạng thái nghỉ ngơi, ta có:   p0 y(t0 ) =   Bài toán điều khiển đưa xe đến vị trí pf dừng lại, nên ta có phương trình ràng buộc   pf y(tf ) −   = 0 Hơn xe xuất phát với G lít xăng trạm xăng đường ta có phương trình ràng buộc là: tf [k1 u(t) + k2 p (t)] dt ≤ G, t0 với k1 , k2 tỉ lệ tốc độ tiêu dùng xăng với gia tốc vận tốc Ta chọn biện pháp thực cho đưa xe đến vị trí pf nhanh Biện pháp thực là: tf J = tf − t0 = dt t0 Một tiêu chuẩn khác lựa chọn cực tiểu hóa lượng nhiên liệu tiêu dùng Như trường hợp toán Bolza, ta xét toán cực tiểu hóa hàm số: T Jt,x (u) = L(y(s), u(s))ds t 71 với y(.) = y(.; t, x, u) y thỏa hệ:   y (s) = f (y(s), u(s)),  y(t) = x Như chương trước ta có hàm giá toán sau: Với (t, x) ∈ [0, T ] × Rn , ta định nghĩa V (t, x) = inf{Jt,x (u) : u : [t, T ] → U đo } Hàm giá toán thỏa phương trình Hamilton - Jacobi thích hợp Hàm Hamilton trường hợp định nghĩa sau: H(x, p) = max [−pf (x, u) − L(x, u)] u∈U Ta có Định lý điều kiện cần để (u, y) cặp điều khiển tối ưu cho (t, x) ∈ [0, T ] × Rn Hệ 3.1.1 Giả sử giả thiết Định lý 2.2.11 Hệ 2.2.2 thỏa mãn với g ≡ Lấy (u, y) cặp tối ưu cho điểm (t, x) ∈ [0, T ] × Rn lấy p : [t, T ] → Rn cung đối ngẫu liên kết với (u, y) Khi (y, p) nghiệm hệ   y (s) = −Hp (y(s), p(s)), y(t) = x  p (s) = H (y(s), p(s)), x (3.1) p(T ) = với t ≤ s ≤ T Ví dụ 3.1.2 Xét điều khiển tối ưu cực tiểu hóa hàm số 1 u (s) − y(s) ds J(u) = với y (s) = f (y(s), u(s)) = 2[1 − u(s)], y(0) = Tìm điều kiện để u∗ cực tiểu hóa J(u) Giả sử u∗ cực tiểu hóa hàm J(u) Khi phương trình Hamilton - Jacobi 72 có dạng H(y ∗ (s), p∗ (s)) = max [−p(s)f (y(s), u(s)) − L(y(s), u(s))] u∈R = −2p∗ (s)[1 − u∗ (s)] − u∗2 (s) + y ∗ (s) = 2p∗2 (s) − 2p∗ (s) + y ∗ (s) Khi (y ∗ , p∗ ) thỏa hệ:   y ∗ (s) = −Hp (y ∗ (s), p∗ (s)) = [1 − 2p∗ (s)] , y ∗ (0) =  p∗ (s) = H (y ∗ (s), p∗ (s)) = 1, x p∗ (1) = Giải hệ ta   y ∗ (s) = 6s − 2s2 +  p∗ (s) = s − 1, s ∈ [0, 1] Khi H(y ∗ (s), u∗ (s)) = u∗ (s) = 2(s−1) với s ∈ [0, 1] Ta minh họa tính tối ưu điều khiển u∗ cách xét điều khiển thay đổi v(s, η) = u∗ (s) + ηω(s) quỹ đạo tương ứng y(s, η) Khi toán trở thành cực tiểu hóa hàm số 1 ∗ u (s) + ηω(s) J(v(s, η)) = − y(s, η)ds với y (s, η) = 2[1 − u∗ (s) − ηω(s)], y(0, η) = Thay ω(t) = tk , k = 0, Tính toán cực tiểu J(v(s, η)) đạt tại η = 3.2 Một vài ví dụ Định lý 3.2.1 Xét toán cực tiểu hóa hàm số T Jt,x (u) = L(y(s), u(s))ds t với giả thiết y (s) = f (y(s), u(s)), y(t) = x, với u hàm liên tục, L, f liên tục (y, u), có đạo hàm cấp liên tục hàm lồi (tương ứng lồi chặt) (y, u) Giả sử (y ∗ , p∗ ) thỏa hệ phương trình (3.1) p∗ thỏa p∗ (s) ≥ 0, với s ∈ [t, T ] 73 Khi đó, u∗ cực tiểu (tương ứng cực tiểu chặt) cho toán Chứng minh Do L hàm lồi (y, u) nên ta có T ∗ [L(y(s), u(s)) − L(y ∗ (s), u∗ (s))] ds Jt,x (u) − Jt,x (u ) = t T LTx∗ (y(s) − y ∗ (s)) + LTu∗ (u(s) − u∗ (s)) ds ≥ t Vì (y ∗ , p∗ ) thỏa phương trình (3.1) nên T Jt,x (u) − Jt,x (u∗ ) ≥ {− fxT∗ p∗ (s) + p∗ (s) − T fuT∗ p∗ (s) T (y(s) − y ∗ (s)) t ∗ (u(s) − u (s))}ds hay Jt,x (u) − Jt,x (u∗ ) ≥ T p∗ (s)T [−fx∗ (y(s) − y ∗ (s)) − fu∗ (u(s) − u∗ (s)) t ∗ + f (y(s), u(s)) − f (y (s), u∗ (s))]ds − p∗ (T )T (y(T ) − y ∗ (T )) + p∗ (t)T (y(t) − y ∗ (t)) Vì p∗ (T ) = y ∗ (t) = y(t) = x f hàm lồi (y, u) nên f (y(s), u(s)) − f (y ∗ (s), u∗ (s)) ≥ fx∗ (y(s) − y ∗ (s)) + fu∗ (u(s) − u∗ (s)) p∗ (s)T ≥ với s ∈ [t, T ] Do Jt,x (u) − Jt,x (u∗ ) ≥ Hay Jt,x (u) ≥ Jt,x (u∗ ) với điều khiển chấp nhận u Do u∗ điều khiển tối ưu cho toán Định lý 3.2.2 Xét toán cực tiểu hóa hàm số Định lý 3.2.1, với giả thiết y (s) = f (y(s), u(s)), y(t) = x, u hàm liên tục, L, f liên tục (y, u), có đạo hàm cấp liên tục L hàm lồi (y, u), f lõm (y, u) Giả sử (y ∗ , p∗ ) thỏa hệ phương trình (3.1) p∗ thỏa p∗ (s) ≤ 0, với s ∈ [t, T ] Khi đó, u∗ cực tiểu cho toán Chứng minh Lập luận chứng minh Định lý 3.2.1 với L hàm lồi ∗ T (y, u), ta Jt,x (u) − Jt,x (u ) ≥ p∗ (s)T [−fx∗ (y(s) − y ∗ (s)) − fu∗ (u(s) − u∗ (s)) t 74 + f (y(s), u(s)) − f (y ∗ (s), u∗ (s))]ds − p∗ (T )T (y(T ) − y ∗ (T )) + p∗ (t)T (y(t) − y ∗ (t)) Vì p∗ (T ) = y ∗ (t) = y(t) = x f hàm lõm (y, u) nên f (y(s), u(s)) − f (y ∗ (s), u∗ (s)) ≤ fx∗ (y(s) − y ∗ (s)) + fu∗ (u(s) − u∗ (s)) p∗ (s)T ≤ với s ∈ [t, T ] Do Jt,x (u) − Jt,x (u∗ ) ≥ Hay Jt,x (u) ≥ Jt,x (u∗ ) với điều khiển chấp nhận u Do u∗ điều khiển tối ưu cho toán Ví dụ 3.2.1 Xét lại Ví dụ 3.1.2 ta thấy L, f p∗ (s) thỏa yêu cầu Định lý 3.2.2 nên u∗ (s) = s − điều khiển tối ưu toán Ví dụ 3.2.2 Xét điều khiển tối ưu cực tiểu hóa hàm số y (s) + u2 (s) ds J(u) = với y (s) = y(s) + u(s), y(0) = Giả sử u∗ cực tiểu hóa hàm J(u) Khi phương trình Hamilton - Jacobi có dạng H(y ∗ (s), p∗ (s)) = max [−p(s)f (y(s), u(s)) − L(y(s), u(s))] u∈R = max −p(s).(y(s) + u(s)) − y (s) − u2 (s) u∈R = p∗2 (s) − p∗ (s)y ∗ (s) − y ∗2 (s) Khi (y ∗ , p∗ ) thỏa hệ   y ∗ (s) = −Hp (y ∗ (s), p∗ (s)) = − p∗ (s) + y ∗ (s),  p ∗ (s) = H (y ∗ (s), p∗ (s)) = −p∗ (s) − 2y ∗ (s), x Viết dạng ma trận, ta      y ∗ (s) − 12 y ∗ (s)  =   ∗ ∗ p (s) p (s) −2 −1 M 75 y ∗ (0) = p∗ (1) = Khi     ∗ y (s) y (0)   = eM s   ∗ ∗ p (s) p (0) ∗ M 2n = 2n I2 , với n ∈ N∗ Đặt √ √ √ ( 2s)2 ( 2s)4 ( 2s)6 A(s) = + + + + ··· 2! 4! 6! √ √ √ √ ( 2s)3 ( 2s)5 ( 2s)7 B(s) = √ + + + ··· 2s + 3! 5! 7! Ta có M 2n+1 = 2n M, Khi esM = A(s).I2 + B(s).M Do   y ∗ (s) = A(s)y ∗ (0) + B(s)y ∗ (0) − B(s)p∗ (0)  p∗ (s) = A(s)p∗ (0) − 2B(s)y ∗ (0) − B(s)p∗ (0) với s ∈ [0, 1] Ta chứng minh p∗ (s) ≥ 0, với s ∈ [0, 1] Khi đó, L, f, p∗ (s) thỏa yêu cầu Định lý 3.2.1 nên u∗ (s) = − 21 p∗ (s) điều khiển tối ưu toán 76 KẾT LUẬN Trong luận văn thu kết sau: Tổng quan hệ thống lý thuyết, kiến thức hàm liên tục Lipschitz, hàm lồi, hàm nửa lõm, hàm đa trị; vi phân vi phân hàm nửa lõm kết nghiệm cổ điển phương trình vi phân thường, nghiệm viscosity phương trình Hamilton-Jacobi Nghiên cứu kết tồn điều khiển tối ưu, tính chất hàm giá V , nguyên lý cực đại Pontryagin toán điều khiển tối ưu với thời gian giới hạn không gian không hạn chế hai toán Mayer Bolza Nghiên cứu điều kiện cần đủ tồn điều khiển tối ưu cho toán Bolza dạng đơn giản khảo sát ví dụ minh họa Với khả nghiên cứu, đọc hiểu thân luận văn giúp nắm kiến thức giải tích, phương trình vi phân, đặc biệt khái niệm đạo hàm, vi phân suy rộng, nghiệm viscosity phương trình HamiltonJacobi Ngoài ra, nắm kiến thức toán điều khiển tối ưu, bước đầu tìm hiểu nguyên lý quy hoạch động, mối liên hệ phương trình Hamilton-Jacobi toán điều khiển tối ưu Hơn nữa, luận văn giúp trang bị kiến thức bản, hệ thống để tiếp cận vấn đề thời lý thuyết điều khiển tối ưu Lý thuyết điều khiển tối ưu nhiều toán mở Chúng hy vọng trở lại nghiên cứu vấn đề trường hợp tổng quát 77 Tài liệu tham khảo [1] Albano P., Cannarsa P (2000), Propagation of singularities for concave solutions of Hamilton-Jacobi equations, The International Conference on Differential Equations, World Sci Publishing, River Edge, NJ [2] Cannarsa P., Sinestrari C (2004), Semiconcave functions, Hamilton-Jacobi equations and optimal control, Birkhauser, Boston [3] Chachuat B (2007), Nonlinear and Dynamic Optimization, Automatic Control Laboratory, EPFL, Switzerland [4] Crandall M.G., Evans L.C., Lions P.L (1984), Some properties of viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, Trans Amer Math Soc., Vol 282, No.2, pp 487-502 [5] Evans L.C (1983), An introduction to Mathematical Optimal Control, Theory Version 0.2, Department of Mathematics University of California, Berkeley 78