Luận văn Thạc sĩ Toán học Định lý Rolle và một số áp dụng

Header Page of 89 ì ì ị P ệ Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 ì ì ị P ệ Pì PP P ữớ ữợ Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 ử ỵ ởt số rở ỵ ỵ r ỵ ỵ tr ổ st t t ỡ số ỗ ỗ ó t ỗ ó s tự tỹ t ởt số ự ỵ tr số ự sỹ tỗ t số ữỡ tr ữỡ tr t ữỡ tr ỹ ố tự ởt t q tr rtr ự t tự t s t ổ tr q t Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 ỵ ởt số rở ỵ ỵ r ỵ ỵ tr ởt ổ ỵ q trồ tr tr tr ữỡ tr t ỵ tr ữỡ tr t r tổ rt ú t t ữỡ tr số ữỡ tr tr ởt ự t tự t ỹ tr số tr t s s tổ t ự ỵ ữ ữủ tr ởt tố ợ s t ỵ tữ õ t t s t s ọ õ t ổ t ởt t ỳ tự ỡ ỏ õ t ởt tố t q õ s t ró ỡ t ự rt ú ỵ ỵ r ởt số ỵ rở t ụ ữợ ỵ t t tỏ ỳ tũ tứ t t tứ õ t ỵ tự s t ỳ t ợ r ụ ỳ t q t t s t tử t tr q tr ự t t t trữớ tổ ử õ t t t ỗ ố ữỡ ữỡ ỵ ởt số rở Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 ữỡ tr ởt ỡ t ỵ tr tr ũ ởt số q q trồ ỵ tt ỡ s t ự ỳ ữỡ s ữỡ st t t ỡ số ữỡ tr ởt số ự trỹ t ỵ ỵ r tr st t t rt ỡ q trồ số tr ữỡ tr t P õ t ỗ t t ỗ ó số ữỡ ởt số ự ỵ tr số trồ t ú tổ ự ỵ ỵ rở tr t ữỡ tr số ữỡ tr ự t tự sỹ ố tự t ữủ ỹ tứ t t s ọ ố t ỹ ố t ởt số t t tỹ s t ố ợ ộ t ữỡ t õ ữ r ỳ t ợ t s t t ữỡ t s ữỡ ợ t ởt số t t ữủ s ỹ ữù ộ õ ữợ ỳ tự t ữủ tứ ữỡ trữợ t t t ữủ t ữợ sỹ ữợ t ữủ tọ ỏ t ỡ t s s tợ ữớ rt t t tr ổ tr tử tự qỵ ụ ữ ự t tr sốt q tr t ự t ữủ tọ ỏ t ỡ t Pỏ t s trữớ Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 ũ qỵ t ổ t ữợ ợ t ỡ t t t rữớ P tở trú t t õ ỡ ữủ t ự ụ ữủ ỡ sỹ q t ú ù t t trữớ ố ợ t tr sốt q tr t ự t t t tr t ự ởt tú tr sốt õ ụ ữ rt t tr ỏ tớ tr q tr tỹ ổ tr ọ ỳ t sõt t rt ữủ sỹ qỵ t ổ ỳ õ ỵ ữủ t ỡ t ữớ tỹ ữỡ Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 ữỡ ỵ ởt số rở r ữỡ ú tổ ợ t ỵ ởt số rở ỵ ởt số q q trồ ụ ữủ tr t ủ t ữủ tr tr ữỡ t t ỵ ỡ s ỵ ỹ ỵ ỡ t r strss ố ợ tử r f tử tr [a, b] t õ t tr ợ t tr ọ t tr õ ỵ rt ỹ tr r g(x) tr (a, b) t ỹ tr ỹ ỹ t t ởt tr õ t t õ ỵ ỵ sỷ f tử tr [a; b] õ t x (a; b) f (a) = f (b) t tỗ t t t ởt c (a; b) s f (c) = ự f tử tr [a; b] t ỵ rstrss f t tr ỹ tr ỹ t tr [a; b] tự Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 tỗ t x1 , x2 (a; b) s f (x1 ) = f (x) = m, f (x2 ) = max f (x) = M [a;b] [a;b] õ a) m = M f (x) = const tr [a; b] õ f (x) = ợ x (a; b) c t tr õ b) m < M õ f (a) = f (b) t t ởt tr x1 , x2 s ổ trũ ợ út [a; b] sỷ x1 (a; b) t ỵ rt t t ỵ ữủ ự t ỵ õ s ổ ỏ ú tr (a; b) õ c t õ f (c) ổ tỗ t t f (x) = x2 , x [1; 1] t f (x) tọ f (x) tử tr (1; 1) f (1) = f (1) t f (x) = 33x ró r t x0 = (1; 1) ổ tỗ t số ổ t ỵ tử tr [a; b] ố ợ f (x) ụ ổ t t f (x) tử tr (a; b) t 1, x = 0, f (x) = x, < x é x = õ ró r ổ tỗ t x0 (0, 1) f (x0 ) = ị ỵ ữủ t t tr ỗ t số y = f (x), x [a; b] tỗ t M (c; f (c)), c (a; b) t t t õ s s ợ trử Ox q số f (x) õ tr (a; b) ữỡ tr f (x) = õ n t tở (a; b) t ữỡ Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page of 89 tr f (x) = õ t t n t tở (a; b) Pữỡ tr f (k) (x) = õ t t n k t tở (a; b) ợ k = 1, 2, , n ự sỷ ữỡ tr f (x) = õ n t tở (a; b) ữủ s tự tỹ x1 < x2 < ã ã ã < xn õ ỵ n [x1 ; x2 ], [x2 ; x3 ], , [xn1 ; xn ] t ữỡ tr f (x) = õ t t n tở n (x1 ; x2 ), (x2 ; x3 ), , (xn1 ; xn ) n õ , , , n1 t t õ f (1 ) = f (2 ) = ã ã ã = f (n1 ) = tử ỵ n (1 ; ), , (n2 ; n1 ) t ữỡ tr f (x) = õ t t n tr (a; b) tử ỵ tr s k ữợ ữỡ tr f (k) (x) = õ t t n k t tr (a; b) q sỷ số f (x) tử tr [a; b] õ tr (a; b) õ ữỡ tr f (x) = õ ổ q n t tr (a; b) t ữỡ tr f (x) = õ ổ q n t tr õ ự sỷ ữỡ tr f (x) = õ ỡ n t tr (a; b) n + t t t q 1.1 ữỡ tr f (x) = õ t t n tở (a; b) tr ợ tt ữỡ tr f (x) = õ ổ q n tr (a; b) t t t ởt rở ỵ q số f (x) t ỗ tớ t t s f (x) õ n (n 1) tử tr [a; b] f (x) õ n + tr (a; b) Footer Page of S89 húa bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 10 of 89 f (a) = f (a) = ã ã ã = f (n) (a) = 0, f (b) = õ tỗ t b1 , b2 , , bn+1 t tở (a; b)s f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + ự ứ tt f (a) = f (b) = 0, t ỵ tỗ t b1 (a; b) s f (b1 ) = 0, t ủ ợ f (a) = 0, s r tỗ t b2 (a; b1 ) (a; b) s f (b2 ) = t ủ ợ f (a) = t tử ỵ t õ f (b3 ) = ợ b3 (a; b2 ) (a; b) tử ữ ữợ tự n tỗ t bn (a; bn1 ) (a; b) s f (n) (bn ) = 0, t ủ ợ f (n) (a) = 0, s r tỗ t bn+1 (a; bn ) (a; b) s f (n+1) (bn+1 ) = ữ tỗ t t b1 , b2 , , bn+1 tr (a; b) s f (k) (bk ) = 0, k = 1, 2, , n + ỳ q ỵ tr t ởt ổ rt t t ố ợ t ữỡ tr ự số ữỡ tr tr ởt õ ự s ữủ tr tt tr ữỡ s ỵ r ỵ t t t ởt số ỵ q t tt ợ ỵ ỵ ỵ r sỷ f tử tr õ t tr (a; b) õ tỗ t t t ởt c (a; b) s [a; b] f (b) f (a) = f (c)(b a) ự t F (x) = f (x) x, Footer Page 10 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 57 of 89 ỵ r c (k; k + 1) s f (k + 1) f (k) = f (c) 2 (k + 1) k = c > 13 2(k + 1) < (k + 1) (k + 1) k3 k tứ n t ữủ n k=1 < 3n < 8n 4, < 3n k3 S2 < 4n ứ t õ S1 > S2 , n N ữ ổ tỗ t n N S1 < S2 ự r sin e cos(e 1) sin(e 1) cos e > õ > e e 1, 71828 > cos(e 1) cos e sin e > 0, sin(e 1) > 0, cos e < 0, cos(e 1) < õ sin e sin(e 1) > 3 cos e cos(e 1) sin x t f (x) = ợ x = + k, k Z cos x ó r f (x) tử tr [e 1, e] ; õ tr (e 1; e) ỵ r c (e 1; e) s f (e) f (e 1) = f (c) cos2 x + t t õ f (x) = 3 cos4 x Footer Page 57 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 58 of 89 t tự số cos2 x, cos2 x, t õ cos2 x + = cos2 x + cos2 x + cos4 x cos2 x + f (x) 3 cos4 x ổ r ợ x [e 1; e] f (c) > ứ t t ữủ f (e) f (e 1) > 1, sin(e 1) sin e > 3 cos e cos(e 1) ứ õ t õ t tự ự ự r ợ < < < t < tan tan < cos2 cos2 t số f (x) = tan x ó r f (x) tử tr [; ], õ tr (; ) t õ f (x) = cos2 x ỵ r c (; ) s tan tan = ( ) cos2 x < cos < cos c < cos 1 < < , cos2 cos2 c cos2 < < < ứ õ t õ r < < cos2 cos2 c cos2 ứ t õ t tự ự ự r ợ n > 1(n N) < a < b t õ nan1 (b a) < bn an < nbn1 (b a) Footer Page 58 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 59 of 89 t số f (x) = xn ợ x > ó r f (x) tử tr (0; +) f (x) = nxn1 õ t ỵ r c (a; b) s f (b) f (a) = f (c)(b a), bn an = ncn1 (b a) b a > a < b < c t õ nan1 (b a) < ncn1 (b a) < nbn1 (b a) ứ t õ t tự ự t > ự t tự 1+ t+1 t+1 > 1+ t t t số f (x) = x ln + = x[ln(x + 1) ln x], ợ x > x õ 1 x+1 x = ln(x + 1) ln x x+1 t số g(y) = ln y tr [x; x + 1] ó r g(y) tử tr [x; x + 1] õ tr (x; x + 1) t õ g (y) = y ỵ r c (x; x + 1) s f (x) = ln(x + 1) ln x + x g(x + 1) g(x) = g (c)(x + x), t õ ln(x + 1) ln x = c 1 õ < x < c < x + > c x+1 ln(x + 1) ln x > x+1 ln(x + 1) ln x > x+1 Footer Page 59 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 60 of 89 ứ t t ữủ f (x) > 0, x > s r f (x) ỗ tr (0; +) ữ ợ t > t õ f (t + 1) > f (t), t õ 1 > t ln + x+1 t t+1 t 1 > ln + ln + t+1 t (t + 1) ln + t ỗ g(y) = ln y tứ t s r 1+ t+1 t+1 > 1+ t t t tự ữủ ự t t n số tỹ t ổ õ 1+ n+1 n+1 > 1+ n n ữ t tự tr tr rở t tự ứ số tỹ r ởt số ữỡ tý ỵ ợ t tự t õ ự rt ữ s t tự n + số ỗ n số + n số t õ 1 + 1+ + ããã + + +1 n n n n+1 n+1 1 n 1+ > 1+ n+1 n 1+ n+1 1+ n t tự ữủ ự n N ự r xn x < , x (0; 1) 2ne Footer Page 60 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn n Header Page 61 of 89 t tự tữỡ ữỡ ợ x2n (2n 2nx) < e t tự số ữỡ x số ữỡ 2n2nx t õ x + x + ã ã ã + x + 2n 2nx 2n+1 x2n (2n 2nx) 2n + x + x + ã ã ã + x + 2n 2nx 2n+1 x2n (2n 2nx) 2n + 2n+1 2n x2n (2n 2nx) 2n + s ự 2n 2n + 2n+1 < e t t õ 2n+1 2n < ln e1 2n + (2n + 1)[ln 2n ln(2n + 1)] < 1 ln(2n + 1) ln 2n > 2n + ln ỵ r số f (x) = ln x tr [2n; 2n + 1] õ c (2n; 2n + 1) s ln(2n + 1) ln 2n = f (c) = 1 > c 2n + ữ t õ t tự ứ t t ữủ t tự ự sỷ a1, a2, a3, a4 > (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ) = x4 + 4P1 x3 + 6P22 x2 + 4P33 x + P44 Pi > ợ i = 1, , P1 , P2 , P3 , P4 ? ự r P1 P2 P3 P4 Footer Page 61 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 62 of 89 P1 , P2 , P3 , P4 õ (x + a1 )(x + a2 )(x + a3 )(x + a4 ) = x4 + (a1 + a2 + a3 + a4 )x3 + (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 )x2 + (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 )x + a1 a2 a3 a4 ỗ t tự số t ữủ 4P1 = a1 + a2 + a3 + a4 , 6P = a a + a a + a a + a a + a a + a a , 4 4P33 = a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 , P = a a a a 4 P1 = 41 (a1 + a2 + a3 + a4 ), P2 = (a1 a2 + a1 a3 + a1 a4 + a2 a3 + a2 a4 + a3 a4 ), P3 = 14 (a1 a2 a3 + a1 a2 a4 + a1 a3 a4 + a2 a3 a4 ), P = a1 a2 a3 a4 ự r P1 P2 P3 P4 ỵ t õ P1 P4 P1 P2 tự P (x) = x4 + 4P1 x3 + 6P22 x2 + 4P33 x + P44 õ t t q 1.1 t P (x) õ t t t õ P (x) = 12x2 + 24P1 x + 12P22 P (x) õ P1 P2 P1 > 0, P2 > P2 P3 õ P (x) = 4(x3 + 3P1 x2 + 3P22 x + P33 ) t x = t t õ P (x) = (1 + 3P1 t + 3P22 t2 + P33 t3 ) t t t tự P (x) õ tự Q(t) = (1 + 3P1 t + 3P22 t2 + P33 t3 ) Footer Page 62 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 63 of 89 ụ õ s r Q (t) õ Q (t) = 3(P33 t2 + 2P22 t + P1 ) Q (t)õ P24 P33 P1 P24 P33 P1 P33 P2 (P1 P2 0) P23 P33 P2 P3 ỵ t ự ữủ P3 P4 ữỡ tr a0 xn + a1 xn1 + ã ã ã + an1 x + an = 0.(ai = 0, i = 1, 2, , n) õ n t ự r (n 1)a21 > 2na0 a2 t tự f (x) = a0 xn + a1 xn1 + ã ã ã + an1 x + an ó r f (x) ổ tr R f (x) õ n t t q 1.1 t f (x) õ t t n f (x) õ t t n ããã f (n2) (x) õ t t n! t õ f (n2) (x) = a0 x2 + (n 1)!a1 x + (n 2)!a2 f (n2) (x)õ t > [(n 1)!a1 ]2 2n!a0 (n 2)!a2 > (n 1)a21 > 2na0 a2 õ ự Footer Page 63 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 64 of 89 ữỡ t s ự r ợ a, b, c tý ỵ ữỡ tr a cos 3x + b cos 2x + c cos x + sin x = ổ õ tở [0; 2] t t s ố ữợ t số 1 f (x) = a sin 3x + b sin 2x + c sin x cos x ỵ tr [0; 2] ự r ữỡ tr an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 = an1 a1 an + + ã ã ã + + a0 = t ữỡ tr õ n+1 n tr (0; 1) t tự ữợ t số f (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 ỵ 3.1 ự r ữỡ tr s õ x arccos x = x2 Footer Page 64 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 65 of 89 ữợ t số f (x) = arccos x ỵ tr ; x x2 số f (x) t ỗ tớ t t s f (x) õ (k 1) tử tr [a; b], (1 k n) f (x) õ k tr (a; b) f (x0 ) = f (x1 ) = ã ã ã = f (xk ) ợ a < x0 < x1 < ã ã ã < xk < b ự r tr (x0 ; xk ) tỗ t t t (n k + 1) s f (k) () = 0, ợ k = 1, 2, , n ữợ ỵ số f (x) tr [a; b] tọ f (a) = f (b), f (x) = 0, x (0 = a; b) ự r tỗ t {xn }, xn (a; b) s ữợ f (xn ) lim = 2010 n ( n e 1)f (xn ) ợ ộ n = 1, 2, 3, , t số Gn (x) = exp 2010x )f (x) n số f (x) tử õ tr [0; 1] sỷ f (0) = 0, f (1) = ự r tỗ t số , ợ < < < s f ().f () = ữợ t số g(x) = f (x) + x ự r ữỡ tr 2(x2 x 2) cos 2x = (1 2x) sin 2x õ t t t tr (1; 2) Footer Page 65 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 66 of 89 ữợ t số f (x) = (x2 x 2) sin 2x sỷ a3 + 2b + c = ự r ữỡ tr a22x + b2x + c = ổ õ ữợ t t = 2x , t > t số b a f (t) = t3 + t2 + ct ữỡ tr 2x log2(x + 1) = ữợ t số f (x) = 2x log2(x + 1) ữỡ tr 2x ữợ x + 12x x = 2.7x x t ữỡ tr ữợ 12x x 7x x = 7x x 2x x sỷ ữỡ tr õ t t số f (t) = (t+5) số ữỡ tr sinx = t số f (x) = sin x x t ữợ a b + c = ự r ữỡ tr a sin x + 9b sin 3x + 25c sin 5x = õ t t tr [0; ] ữợ t f (x) = a sin x + b sin 3x + c sin 5x tr [0; ] ự r ợ số tỹ a, b ữỡ tr a(25 sin 5x sin x) + b(49 sin 7x sin 3x) = õ t t tr [0; 2] Footer Page 66 S of húa 89.bi Trung tõm Hc liu - i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Header Page 67 of 89 ữợ t số f (x) = a sin x+b sin 3xa sin 5xb sin 7x tr [0; 2] < a < b ự r ữợ b ba ba < ln < b a a t số f (x) = ln x tr [a; b] ỵ r ự r ợ a, b t õ | sin a sin b || b a | ữợ t số f (x) = sin x ỵ r a < b < c ự r 3a < a + b + c f (x) < tr I(a; b) õ số f (x)