Luận văn thạc sĩ toán học định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình e

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC 1 Mục lục Mở đầu ................................................. 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị .......................... 1.1. Đa tạp hầu phức .......................................... 1.1.1. Cấu trúc phức.................................................... 1.1.2. Nhận 1.1.3. Ví xét ........................................................... dụ ................................................................ 1.1.4. Cấu 6 6 6 6 7 trúc hầu phức ............................................. 8 1.1.5. Đa tạp hầu phức ................................................ 8 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm.......... 8 1.2.1. Định nghĩa ........................................................ 1.2.2. Định nghĩa ....................................................... 11 1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg) ................ 11 1.2.4. Nhận 8 xét .......................................................... 1.3. Hàm đa điều hòa dưới.................................... 11 11 1.3.1. Định nghĩa ....................................................... 11 1.3.2. Định nghĩa ....................................................... 11 1.3.3. Mệnh đề........................................................... 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức ........ 1.4.1. Định 1.4.2. Bổ nghĩa ....................................................... đề ............................................................... 11 12 12 13 2 1.4.3. Bổ 13 đề ............................................................... 1.4.4. Định nghĩa ....................................................... 13 1.4.5. Tính chất ......................................................... 14 1.4.6. Hệ quả ............................................................. đề........................................................... 1 5 nghĩa ....................................................... 1 5 1.4.7. Mệnh 1.4.8. Định 14 1.4.9. Mệnh đề........................................................... 1 5 1.4.10. Định nghĩa ...................................................... 1 5 1.4.11. Định nghĩa ...................................................... 1 5 1.4.12. Định lý ........................................................... 1 6 1.4.13. Định nghĩa ...................................................... 1 6 1.4.14. Định nghĩa ...................................................... 1 6 đồng liên tục .............................................. 1 6 1.4.15. Họ 1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục .............. 1 7 1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức .. 17 đề........................................................... 17 nghĩa ....................................................... 18 1.5.1. Mệnh 1.5.2. Định 1.5.3. Mệnh 1.5.4. Ví đề........................................................... dụ ............................................................... 1.5.5. Định nghĩa ....................................................... 1.5.6. Nhận xét .......................................................... 1.6. Định lý tham số hoá của Brody .......................... 18 18 19 19 19 3 Chương 2. Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình ............................................. 2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn......................... 2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình............. 2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao........... 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi ........... 2.2.1. Định lý............................................................. 2.2.2. Định lý............................................................. 2.2.3. Định lý............................................................. 2.2.4. Bổ đề ............................................................... 2.2.5. Bổ đề ............................................................... 2.2.6. Hệ quả ............................................................. 39 2.2.7. Định lý............................................................. 39 Kết luận ............................................... 41 Tài liệu tham khảo ..................................... 42 22 22 22 26 30 32 32 34 36 37 38 4 Mở đầu Một trong những ứng dụng quan trọng của các không gian phức hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức. Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức. Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F. Haggui và A. Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2. Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric vi phân RoydenKobayashi trên đa tạp hầu phức. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày một số kết quả về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức. Phần tiếp theo là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi cũng xin 5 chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, những bạn bè đồng nghiệp và đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng hộ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình. Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi xin trân trọng cảm ơn. Thái nguyên, tháng 8 năm 2015 TÁC GIẢ 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Đa tạp hầu phức 1.1.1. Cấu trúc phức Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu J2 := J ◦ J = −Id. Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv. Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v1,v2,...,vn}. Xem V là R-không gian vectơ VR, xét J : VR−→ VR .................v 7−→ Jv = iv. Khi đó J là cấu trúc phức trên VR và không gian phức mà nó cảm sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu. 1.1.2. Nhận xét VR có R-cơ sở là {v1,v2,...,vn,Jv1,Jv2,...,Jvn}. 1.1.3. Ví dụ 7 a) Cn = {(z1,...,zn) : zj = xj + iyj ∈C} ∼= R2n = {(x1,y1,x2,y2,...,xn,yn)}. J : R2n →R2n cho bởi: J((x1,y1,...,xn,yn)) = (−y1,x1,...,−yn,xn). Khi đó J là cấu trúc phức trên R2n. b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều. Khi đó nó cảm sinh ra M0 là đa tạp thực nhẵn 2m chiều. Gọi Tx(M0) là không gian tiếp xúc thực của M0 tại x và gọi Tx(M) là không gian tiếp xúc phức của M tại x. Giả sử (U,h) là một bản đồ địa phương của M quanh x. Ta có h : U −→ U0 ⊂Cm h = (h1,h2,...,hn), cảm sinh ra eh : U −→R2m cho bởi . Ta có là một bản đồ địa phương của M0 quanh x. Gọi -cơ sở của Tx(M). Nó cảm sinh ra -cơ sở của Tx(M0). 8 Xét J : Tx(M0) −→ Tx(M0) cho bởi thì . Khi đó J là cấu trúc phức trên Tx(M0). 1.1.4. Cấu trúc hầu phức Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi π : TM → M là phân thớ tiếp xúc thực. Giả sử J : T(M) → T(M) là một tự đẳng cấu của T(M) liên kết với ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ Tx(M). Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M. 1.1.5. Đa tạp hầu phức (M,J) được gọi là một đa tạp hầu phức nếu M là một đa tạp vi phân chẵn 2n chiều được trang bị một cấu trúc hầu phức J. 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm 9 1.2.1. Định nghĩa Giả sử M là đa tạp vi phân m chiều. Đặt T(M)C = T(M) ⊗RC. Tương tự ta định nghĩa T ∗(M)C = T ∗(M) ⊗RC. Từ đó ta định nghĩa tích ngoài ΛT ∗(M)C và εr(M)C = ε(M,ΛrT ∗(M)C). Gọi εr(M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức. Tức là với ϕ ∈ εr(M), ta có ϕ(x) = X0 ϕI(x)dxI |I|=r trong đó ϕI là hàm giá trị phức và X = X0 . 1≤i1 0 sao cho với mọi x ∈ X,d(x,x0) < δ thì 23 d(f(x),f(x0)) < ε với mọi f ∈F. Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi điểm x ∈ X. 1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy. Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y ). Khi đó, F là compact tương đối trong C(X,Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thoả mãn (i) F là họ đồng liên tục trên X. (ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp Fx = {f(x)| f ∈F} là compact tương đối trong Y . 24 25 26 27 1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức Trước hết ta có kết quả sau: 1.5.1. Mệnh đề Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức. Với p ∈ M, tồn tại lân cận V của 0 trong TpM sao cho ∀v ∈ V tồn tại f ∈O(∆,M) thoả mãn Từ đó ta có thể định nghĩa: 1.5.2. Định nghĩa Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức. Giả sử p ∈ M,v ∈ TpM. Khi đó ta định nghĩa: K(M,J)(p,v) := inf {α > 0 | tồn tại đĩa J-chỉnh hình f : ∆ → M 28 thoả mãn . (1) K(M,J) được gọi là giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức (M,J). Với f ∈O(J0,J)(M0,M) và ∀ϕ ∈OJ(∆,M0) ta có f ◦ ϕ ∈OJ(∆,M). Do đó ta có mệnh đề sau: 1.5.3. Mệnh đề Giả sử f : (M0,J0) → (M,J) là (J,J0)-chỉnh hình. Khi đó ∀p0 ∈ M0 và v0 ∈ Tp0M0 ta có K(M,J)(f0(p0),df(p0)(v0)) ≤ K(M0,J0)(p0,v0). (2) 1.5.4. Ví dụ Nếu M ⊂ M0 và J0 là một cấu trúc hầu phức trên M0. Khi đó ta có K(M0,J0)(p,v) ≤ K(M,J0)(p,v) với ∀p ∈ M,v ∈ TpM. (Do phép nhúng M ,→ M0 là (J0,J)-chỉnh hình). 1.5.5. Định nghĩa Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức, p,q ∈ M. Gọi Γp,q là tập các đường cong lớp C1 γ : [0,1] → M sao cho γ(0) = p,γ(1) = q. 29 Ta định nghĩa 1.5.6. Nhận xét +) Tương tự kết quả của Royden [Ro] trong trường hợp phức, trong [Kr], Kruglikov đã chứng minh được K(M,J) là nửa liên tục trên trên phân thớ tiếp xúc TM của M và ông đã chứng minh được . +) Từ các tính chất của K(M,J) và nhận xét trên ta có thể nhận lại được các tính chất của kMJ đã trình bày ở mục 1.3. 1.6. Định lý tham số hoá của Brody Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức, f : ∆r → M là một đường cong J-chỉnh hình thoả mãn |f0(0)|≥ c ≥ 0. Khi đó tồn tại đường cong J-chỉnh hình fe: ∆r → M sao cho Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ có dấu bằng, sau đó chứng minh supremum đạt được tại gốc 0. Với t ∈ [0,1], gọi ft : ∆r → M là ánh xạ xác định bởi z →7 f(tz). Đặt 30 . Khi đó với bất kỳ t < 1, . Vì f là liên tục trên ∆tr và . nên ta có s(t) < ∞ với t < 1. Lại do ánh xạ là liên tục nên s cũng là liên tục. Từ s(0) = 0 và lims(t) ≥ c t→1 ta suy ra rằng tồn tại một số t0 ∈ [0,1] sao cho s(t0) = c. *Trường hợp 1: t0 = 1 . Trong khi đó với z = 0 thì vì thế supremum xảy ra tại z = 0. Chỉ việc lấy fe= f, ta có điều phải chứng minh. *Trường hợp 2: t0 < 1 Supremum chỉ đạt tại điểm z0 bên trong ∆r. Gọi L là ánh xạ tự đẳng cấu bảo giác của ∆r biến 0 vào z0. Ký hiệu 31 fe= ft0 ◦ L. Do đại lượng ! đo đạo hàm tương ứng với ρr nên nó bất biến qua L. Ta được điều phải chứng minh. 32 Chương 2 Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình 2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn Định lý Picard lớn phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa thủng ∆∗ vào C\{0,1} có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : ∆ →P1(C). Mục đích của phần này nhằm nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức. 2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi Giả sử (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối của (N,J). Như trong [A-S] ta mở rộng dJM lên bao đóng M của M trong N như sau: ∀p,q ∈ M, ta định nghĩa Khi đó ta có định nghĩa sau. 2.1.1.1. Định nghĩa 33 Ta gọi p ∈ M là một điểm suy biến của q ∈ M\{p} sao cho của nếu tồn tại một điểm . Kí hiệu SMJ (N) là tập tất cả các điểm suy biến . 2.1.1.2. Ví dụ Giả sử (N,J) = (P1(C),J0) là mặt cầu Riemann được trang bị cấu trúc phức chuẩn (xem Kobayashi [ Ko], Ví dụ 3.1.21, tr.56), ta có , tức là tất cả các điểm của P1(C) đều là các điểm suy biến của . 2.1.1.3. Định nghĩa Cho (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, (M,J) là đa tạp con của N. Một điểm p ∈ M được gọi là điểm J-hyperbolic đối với M nếu tồn tại một lân cận U của p trong N và một hằng số dương c sao cho KMJ ≥ c.G trên U ∩ M. 2.1.1.4. Nhận xét Tương tự tiêu chuẩn của Royden [Ro] ta có (M,J) là hyperbolic nếu và chỉ nếu mỗi điểm p ∈ M đều là điểm J-hyperbolic đối với M. Tiếp theo ta có mệnh đề sau: 2.1.1.5. Mệnh đề 34 Cho (N,J) là một đa tạp hầu phức và (M,J) là một đa tạp con hầu phức của (N,J). Với mỗi điểm p ∈ M, khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) p ∈/ SMJ (N). (ii) p là điểm J-hyperbolic đối với M. Để chứng minh mệnh đề trên ta cần sử dụng bổ đề (xem [Si] Mệnh đề 2.3.6, tr. 171). 2.1.1.6. Bổ đề Cho D là một miền trong Cn. Có một hằng số dương δ0 sao cho với mỗi cấu trúc hầu phức J trong một lân cận của D thoả mãn kJ − J0kC2(D) ≤ δ0, khi đó ta có kfkC1(∆r) ≤ ckfkC0(∆), với mỗi f ∈OJ(∆,D) và 0 < r < 1, trong đó c là hằng số dương chỉ phụ thuộc vào r và δ0, J0 là cấu trúc phức chuẩn tắc trên Cn. Chứng minh Mệnh đề 2.1.1.5 (i) ⇒ (ii) : Giả sử p không là điểm J-hyperbolic đối với M. Khi đó với mỗi n ≥ 1, tồn tại pn ∈ M và ξn ∈ TpnM sao cho dãy (pn) hội tụ tới p, |ξn| = 1 và KMJ (ξn) → 0. Do đó, tồn tại dãy (fn) ⊂OJ(∆,M) sao cho limfn(0) = p, nhưng . 35 Giả sử W là một lân cận compact tương đối đủ nhỏ trong bản đồ địa phương quanh p. Nếu tồn tại r ∈ (0,1) sao chofn(∆r) ⊂ W, theo Bổ đề 2.1.1.6 ta suy ra tồn tại một hằng số dương c sao cho và điều này mâu thuẫn với c||fn||C0(∆r) . Do đó, với mỗi số nguyên dương k có zk ∈ ∆ và nk ∈Z sao cho |zk| < k1 và fnk(zk) ∈ ∂W. Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng fnk(zk) → q ∈ ∂W. Khi đó , nên p là điểm suy biến của (ii) ⇒ (i) : . Giả sử rằng p là điểm suy biến của điểm q ∈ M\{p} sao cho . Khi đó tồn tại . Theo giả thiết, tồn tại lân cận U của p sao cho q ∈/ U và KMJ ≥ cG trên U ∩ M, trong đó c là một hằng số dương và G là một hàm độ dài trên N. Lấy V,W lần lượt là lân cận của p,q trong N, sao cho V b U và W ∩U = ∅. Lấy r ∈ V ∩M và s ∈ W ∩ M là hai điểm tuỳ ý. Gọi γ(t) là đường cong trơn từng khúc trên M sao cho γ(0) = r và γ(1) = s. Khi đó , trong đó E = {t ∈ [0,1];γ(t) ∈ U}. Tức là dM(p,q) ≥ c.dist(∂U,∂V ) > 0. Điều này là mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. 36 37 38 2.1.1.7. Nhận xét Từ chứng minh trên, ta có thể thấy ngay rằng p ∈/ SMJ (N) nếu và chỉ nếu p thoả mãn: với mỗi lân cận W của p, đều tồn tại một hằng số dương R sao cho sup {|f0(0)|,f(0) ∈ W}≤ R. f∈OJ(∆,M) Từ Mệnh đề 2.1.1.5 ta có hệ quả sau. 2.1.1.8. Hệ quả Giả sử (N,J) là đa tạp hầu phức và (M,J) là đa tạp con của N. Khi đó (M,J) là nhúng hyperbolic trong (N,J) nếu và chỉ nếu SMJ (N) = ∅. 2.1.1.9. Hệ quả 39 SMJ (N) là tập con đóng trong N. Chứng minh Giả sử (pn) là một dãy trong SMJ (N) hội tụ tới p ∈ M. Khi đó theo Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại một lân cận compact tương đối W của p và qn ∈ ∂W ∩M sao cho . Bằng cách lấy một dãy con, ta có thể giả sử rằng qn → q ∈ ∂W, khi đó . Hệ quả được chứng minh. 2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình Các kết quả sau là tổng quát hoá của Định lý Adachi [ Ad ] 2.1.2.1. Định lý Cho (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối trong một đa tạp hầu phức (N,J) và fk : ∆∗ → (M,J) là dãy các đường cong giả chỉnh hình. Gọi (zk) và (wk) là hai dãy trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho dãy (fk(wk)) hội tụ đến q ∈/ SMJ (N). Khi đó dãy (fk(zk)) hội tụ đến q. Nhận xét Điều kiện q ∈/ SMJ (N) là cần thiết trong Định lý 2.1.2.1. Thật vậy, với mỗi q ∈C\{0} và k nguyên dương, xét dãy đường cong chỉnh hình fk : ∆∗ → C\{0} được xác định bởi . Ta có . Do đó fk(zk) không hội tụ được đến q. Để chứng minh Định lý 2.1.2.1 ta cần bổ đề về tính đơn điệu sau của Gromov (xem [Mu], Bổ đề 4.2.1, tr.223). 2.1.2.2. Bổ đề 40 Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức compact được trang bị hàm độ dài G. Gọi B(x,ε) là hình cầu bán kính ε tâm x trong M. Tồn tại các hằng số dương ε0 và c sao cho với mọi ε ≤ ε0 và mọi đường cong giả chỉnh hình S ta có AreaG(S ∩ B(x,ε)) ≥ cε2, với mọi x ∈ S và S ∩ B(x,ε) là một mặt compact với biên được chứa trong ∂B(x,ε). AreaG là diện tích ứng với metric G. Giả thiết về tính compact của M có nghĩa là tất cả các hằng số mà ta đề cập đến không phụ thuộc vào cách chọn điểm x. Chứng minh Định lý 2.1.2.1 Ta chỉ ra rằng sẽ là vô lý nếu có một dãy (zk) trong ∆∗ hội tụ đến 0 sao cho fk(zk) → q0 6= q. (i) Bằng cách lấy dãy con và đánh lại ký hiệu ta có thể giả sử |wk| < |zk|. Đặt ρk(t) = wkeit với t ∈ [0,2π]. Ta chứng tỏ rằng fk(ρk) → q. (1) Thật vậy, với mỗi αk ∈ ρk, ta có . Vì , nên ta có fk(αk) → q. Giả sử G là hàm độ dài trên N. Theo Hệ quả 2.1.1.9 và Mệnh đề 2.1.1.5, tồn tại các lân cận compact tương đối địa phương U,W của q 41 sao cho U ⊂ W, U là vi phôi với hình cầu đơn vị B(q,1) ⊂Cn và một hằng số dương c sao cho (2) W ∩ SMJ (N) = ∅ và q0 ∈/ W. (3) KMJ ≥ c.G trên W ∩ M. Vì fk(ρk) → q và fk(zk) → q0, với k đủ lớn ta có fk(ρk) ⊂ U và fk(zk) ∈/ W. Do đó, tồn tại sao cho . Bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta giả sử rằng fk(zk0 ) → p ∈ ∂U. Từ (2) ta có p ∈/ SMJ (N). Gọi R là vành khuyên mở lớn nhất chứa ρk và fk(Rk) ⊂ U. (4) Vì fk(zk0 ) → p ∈ ∂U, khi đó tồn tại ak ≥ 0 và bk < |zk0 | sao cho Rk = {z ∈C,ak < |z| < bk}. Lấy . Ta có fk(ρk) → q và cũng giống như trong chứng minh fk(σk) → p ∈ ∂U. Khi đó với k đủ lớn ta có . Khi đó tồn tại các điểm ck ∈Rk, sao cho . 42 Theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov, tồn tại các hằng số dương ε0 và α sao cho với , ta có AreaG(fk(Rek)) ≥ AreaG(fk(Rek) ∩ B(fk(ck),ε)) ≥ αε2. Mặt khác, ta kí hiệu Area là diện tích của đối với metric Poincaré trên ∆∗. Khi đó ta có Area . Từ (3) và (4) ta có Area .Area∆∗(Rek) → 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. (ii) Bằng cách lấy dãy con và đánh số lại, ta có thể giả sử |zk| < |wk|. Như trong trường hợp (i) tồn tại một dãy (zk0 ) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho |zk| < |zk0 | < |wk| và fk(zk0 ) → p ∈ ∂U. Bằng cách xét vành khuyên , ta có thể đưa về như trường hợp (i), suy ra điều phải chứng minh. 2.1.2.3. Hệ quả Giả sử (M,J) là đa tạp con hầu phức compact trong đa tạp hầu phức (N,J) và f : ∆∗ → (M,J) là một đường cong giả chỉnh hình. Nếu có dãy (zk) ⊂ ∆∗,zk → 0 sao cho f(zk) → q ∈/ SMJ (N), thì f có thể thác triển thành đường cong giả chỉnh hình fe: ∆ → (N,J). Chứng minh Giả sử f : ∆∗ → M là ánh xạ giả chỉnh hình. Theo Định lý 2.1.2.1, f thác triển liên tục từ ∆ vào N và nếu f là liên tục, khả vi và giả chỉnh hình ngoại 43 trừ một tập con rời rạc, thì f là khả vi và giả chỉnh hình trên ∆, (xem [Si], tr.169). 2.1.2.4. Hệ quả Giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N,J) và f : ∆∗ → (M,J) là đường cong giả chỉnh hình. Nếu có một dãy (zk) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho f(zk) hội tụ tới q ∈ M. Khi đó f có thể thác triển được thành đường cong giả chỉnh hình fe: ∆ → (M,J). Đây là Hệ quả trực tiếp từ Hệ quả 2.1.2.3, vì nếu M là hyperbolic thì mọi điểm của M đều không là điểm suy biến. 2.1.2.5. Hệ quả Giả sử fk : ∆∗ → M là dãy các đường cong chỉnh hình. Giả sử với mỗi fk có thể thác triển thành đường cong chỉnh hình . Nếu có dãy (zk) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho dãy (fk(zk)) hội tụ tới p ∈/ SMJ (N), thì fek(0) hội tụ tới p. Chứng minh Nếu fek(0) 9 q thì do tính compact, ta có thể giả sử fek(0) → p 6= q. Vì mỗi fek là liên tục, nên tồn tại dãy (zk) ⊂ ∆∗ sao cho zk → 0 và fk(zk) → q. Điều này mẫu thuẫn theo Định lý 2.1.2.1. Hệ quả được chứng minh. 2.1.2.6. Định lý 44 Giả sử (M,J) là đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong đa tạp hầu phức (N,J). Khi đó OJ(∆∗,M) là compact tương đối trong OJ(∆,N). Chứng minh Giả sử OJ(∆∗,M) không là compact tương đối trong OJ(∆,N). Khi đó theo Ascoli, OJ(∆∗,M) không đồng liên tục tại 0 và p ∈ N, tức là tồn tại một lân cận mở U của p, (zn) ⊂ ∆∗, và (fn) ⊂OJ(∆∗,M) sao cho với mỗi n. Theo tính compact, ta có thể giả sử dãy (fn(zn)) → q ∈/ U. Khi đó, theo Hệ quả 2.1.2.5, ta có . Từ đó nhận được mâu thuẫn và ta có điều phải chứng minh. 2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao Trong phần này, ta nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình vào các đa tạp hầu phức nhúng hyperbolic. 2.1.3.1. Định lý Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S,J0) có số chiều 4 và (M,J) là một đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N,J). Khi đó mỗi ánh xạ giả chỉnh hình f : (S\C,J0) −→ (M,J) đều thác triển được lên một ánh xạ (J0,J)- chỉnh hình từ S tới N. Việc chứng minh định lý này dựa trên Bổ đề sau (xem [ Jo ]). 2.1.3.2. Bổ đề 45 Giả sử A là một tập con mỏng của một đa tạp hầu phức X,(M,J) là đa tạp con hầu phức, compact tương đối của một đa tạp hầu phức (N,J). Giả sử f : X\A −→ (M,J) là một ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu f thác triển liên tục tới fe: X −→ N thì fe là ánh xạ giả chỉnh hình. Như trong [Jo], một tập con đóng A của X được gọi là tập con mỏng nếu tồn tại một phép chia lớp địa phương h của X xác định bởi các đĩa giả chỉnh hình quanh p, với mỗi p thuộc A, mà thỏa mãn các tính chất sau: 1. Tồn tại hằng số dương r < 1 sao choAz0 = {w ∈ ∆ : h(z0, w) ∈C} là tập điểm hữu hạn được chứa trong đĩa ∆r với mỗi z0 ∈ ∆n−1. 2. Tồn tại các dãy (rj) và (sj) gồm các số thực nhỏ hơn 1 sao cho rj −→ 0 và các mặt trụ {(z0, w) : |w| = rj, |z0| < sj} không giao với h−1(A) với mọi j ∈N. Chứng minh Định lý 2.1.3.1 Với điểm p bất kỳ thuộc C, chọn một phép chia lớp địa phương h : ∆ × ∆ −→ X thỏa mãn các điều kiện sau: (a) h là vi phôi lên một lận cận của p và h(0,0) = p. (b) h(., z0) : ∆ −→ X là phép nhúng giả chỉnh hình với mỗi z0 ∈ ∆. (c) Với mỗi z0 ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆; h(w, z0) ∈C} = {0}. Ta ký hiệu fw là ánh xạ f ◦ h(.,w) với w ∈ ∆. Vì với mỗi w ∈ ∆, 46 fw : ∆∗ −→ (M,J) là đường cong giả chỉnh hình xác định trên đĩa ∆∗, nên nó có thể được thác triển thành đường cong giả chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ tới N. Ta ký hiệu fw : ∆∗ −→ (N,J) là ánh xạ thác triển. Giả sử (wk) là dãy trong ∆, và wk → w0 ∈ ∆. Ta chỉ cần chứng minh hội tụ đều đến trong lân cận của 0. Vì (M,J) là nhúng hyperbolic trong (N,J), theo Định lý 2.1.2.6 , bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả sử dãy các đường cong giả chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới một đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆ −→ (N,J). Khi đó, theo điều kiện (c) nhận được với z ∈ ∆∗. Do đó, trùng với ϕ trên đĩa đơn vị và hội tụ đều trên mỗi tập con compact của ∆. Suy ra f ◦ h là liên tục trong lân cận của (0,w0) và f có thể thác triển liên tục lên X, kí hiệu là fe. Theo Bổ đề 2.1.3.2 ta có felà ánh xạ giả chỉnh hình. Định lý được chứng minh. 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi Trước hết ta chứng minh một định lý thác triển hội tụ đối với các đường cong giả chỉnh hình mà được chứng minh trong trường hợp phức bởi Joseph-Kwack [J-K], tương tự định lý thác triển hội tụ đã được chứng minh bởi Noguchi [ No ]. 2.2.1. Định lý Giả sử (M,J) là đa tạp con hầu phức compact tương đối trong đa tạp hầu phức (N,J). Giả sử fn : ∆∗ −→ (M,J) và f : ∆∗ −→ (M,J) là các đường cong giả chỉnh hình. Giả sử tồn tại một dãy (zn) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho dãy 47 (fn(zn)) hội tụ tới p ∈/ SMJ (N). Khi đó f và fn thác triển được lên ∆ và nếu dãy (fn) hội tụ đều tới f trên các tập con compact của ∆∗ thế thì dãy (fen) hội tụ tới fe đều trên các tập con compact của ∆, trong đó là các thác triển lên ∆ của fn và f tương ứng. Chứng minh Vì p ∈/ SMJ (N) nên tồn tại một lân cận compact tương đối W của p sao cho W ∩ SMJ (N) = ∅. Ta có khẳng định sau: Với mỗi lân cận V của p chứa trong W, tồn tại r > 0 và n0 ∈N, sao cho . (5) Thật vậy, nếu (5) không xảy ra thì với mỗi số nguyên dương k, tồn tại wk ∈ ∆∗ và nk ∈ Z sao cho |wk| < k1 và fnk(wk) ∈/ V . Do tính compact, ta có thể giả sử rằng dãy (fnk(wk)) hội tụ tới q =6 p. Điều này mâu thuẫn với Định lý 2.1.2.1. Để chứng minh fn thác triển được thành một đường cong J- chỉnh hình trong ∆, ta chỉ cần chứng minh fn có tập giá trị hữu hạn. Theo Mệnh đề 2.1.1.5, p là điểm J-hyperbolic đối với M, do đó tồn tại một lân cận U của p chứa trong W sao cho KMJ ≥ c.G trên U ∩ M, trong đó c là hằng số dương và G là hàm độ dài trên N. Theo khẳng định trên, tồn tại r > 0 và n0 ∈N sao cho . Ta có , với mọi . 48 Do đó, . Ta kí hiệu là thác triển của fn lên ∆. Theo (5) ta có . Chọn V đủ nhỏ, thì tồn tại một hằng số dương α sao cho trong ∆r. Do tính compact, tồn tại một dãy con (fϕ(n)) mà hội tụ đều tới đường cong J-chỉnh hình g. Vì fn −→ f đều trên các tập con compact của ∆∗ nên g là thác triển của f. Cuối cùng, ta chứng minh dãy hội tụ đều tới g trong lân cận của 0. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại dãy hội tụ tới 0 sao cho , trong đó |.|euc là chuẩn Euclide trên Rm. Theo Định lý 2.1.2.1, ta có , điều này mâu thuẫn. Suy ra điều phải chứng minh. Tiếp theo ta chứng minh một dạng khác của định lý thác triển hội tụ của Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình xác định trên S\C tới một đa tạp con nhúng hyperbolic, trong đó C là đường cong trơn, giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức S có số chiều thực bằng 4. 2.2.2. Định lý Giả sử C là đường cong trơn, giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S,J0) có số chiều thực bằng 4 và (M,J) là đa tạp con hầu phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N,J). Giả sử fn : (S\C,J0) −→ (M,J) và f : (S\C,J0) −→ (M,J) 49 là các ánh xạ (J,J0)-chỉnh hình. Nếu dãy (fn) hội tụ đều tới f trên các tập con compact của S\C, thì dãy e(fn) hội tụ đều tới fetrên các tập con compact của S, trong đó là các thác triển (J0,J)-chỉnh hình lên S của fn và f tương ứng. Chứng minh Theo Định lý 2.1.3.1, mỗi fn và f thác triển được thành các ánh xạ (J0,J)chỉnh hình fen : X −→ N và fe: X −→ N tương ứng. Ta chỉ cần xét tính hội tụ trong lân cận của một điểm p ∈ C. Chọn một phép chia lớp địa phương h : ∆ × ∆ −→ X thỏa mãn các điều kiện sau: (a) h là một vi phôi lên một lân cận p và h(0,0) = p. (b) h(.,z0) : ∆ −→ X là phép nhúng giả chỉnh hình với mỗi z0 ∈ ∆. (c) Với mỗi z0 ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆ : h(w,z0) ∈ C} = {0}. Kí hiệu ϕn := fn ◦ h : ∆∗ × ∆ −→ (M,J) và . Với mỗi r ∈ (0,1), đặt Sr = {z ∈ ∆;|z| = r}. Giả sử fe◦ h(0) = p, giả sử dãy không hội tụ đều trên một lân cận nào đó của 0, khi đó ta có thể chọn một lân cận compact tương đối W của p, vi phôi với B(1) là hình cầu đơn vị trong Cm, sao cho với mỗi số nguyên dương k và r ∈ (0,1) có hữu hạn n thỏa mãn Tồn tại k0 và r0 sao cho 50 . Vì dãy (ϕn) hội tụ đều trên S1/k ×∆r0, nên tồn tại một dãy con (ϕnk) của (ϕn) và một dãy (zk0 ) trong ∆r0 hội tụ tới 0 sao cho và . Do đó, với mỗi k ≥ k0, có điểm zk ∈ ∆1/k sao cho gnk(zk) := ϕenk(zk,zk0 ) ∈ S1/2, trong đó gnk là đường cong giả chỉnh hình xác định bởi g . Theo Bổ đề về tính đơn điệu của Gromov, tồn tại các hằng số dương ε0 và α sao cho với ta có AreaG(gnk(∆1/k)) ≥ AreaG(gnk(∆1/k) ∩ B(gnk(zk),ε)) ≥ αε2, trong đó G là hàm độ dài trong N. Mặt khác, vì (M,J) là nhúng hyperbolic trong (N,J) nên tồn tại một hằng số dương c sao cho Hạn chế gnk trên ∆∗ là một đường cong giả chỉnh hình, khi đó g . Từ đó, AreaG(gnk(∆1/k)) = Area .Area . 51 Do đó ta nhận được mâu thuẫn. Vậy ta có điều phải chứng minh. Khi M là hyperbolic compact, ta có thể làm mạnh định lý trên bởi định lý sau. 2.2.3. Định lý Giả sử A là một tập con mỏng trong một đa tạp hầu phức (X,J0), (M,J) là một đa tạp hầu phức, hyperbolic compact và (Jn) là dãy các cấu trúc hầu phức trên M hội tụ tới J đối với tôpô C∞. Giả sử fn : (X\A,J0) −→ (M,Jn) và f : (X\A,J0) −→ (M,J) là các ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu (fn) hội tụ đều tới f trên các tập con compact của X\A, thì đều tới fe trên các tập con compact của X, trong đó hội tụ : (X,J0) −→ (M,Jn) và fe : (X,J0) −→ (M,J) là các thác triển tới X của fn và f tương ứng. Việc chứng minh định lý trên dựa vào hai bổ đề sau: 2.2.4. Bổ đề Giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức, hyperbolic compact và G là hàm độ dài trên M. Khi đó, tồn tại một lân cận mở U của J và hằng số dương c sao cho với mỗi J0 ∈ U. Chứng minh 52 Ta giả sử rằng không tồn tại số c và lân cận U như vậy. Khi đó tồn tại một dãy các vectơ tiếp xúc (ξk) trong TM và một dãy các cấu trúc hầu phức (Jk) hội tụ tới J sao cho . Bằng cách lấy dãy con, ta có thể giả sử rằng dãy là đơn điệu giảm. Do đó, tồn tại một dãy đơn điệu tăng (rk) gồm các số dương dần đến +∞ và một họ các đường cong giả chỉnh hình fk : ∆rk −→ (M,Jk) sao cho . Áp dụng định lý về tham số hóa của Brody trong Chương 1 ta có, với mỗi fk ta thu được một dãy các đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆rk − → (M,Jk) sao cho trên ∆rk và dấu bằng xảy ra tại 0. Theo định lý về tính compact, ta có thể trích ra một dãy con của (ϕk) mà hội tụ đều trên các tập compact tới đường cong giả chỉnh hình ϕ : C −→ (M,J). Ánh xạ ϕ không là hằng vì và |ϕ0(z)|G ≤ 1,∀z ∈ C. Điều này mẫu thuẫn với tính hyperbolic của M. Bổ đề được chứng minh. Bổ đề sau là của Gaussier - Sukhov [ G-S ]: 2.2.5. Bổ đề Giả sử (M,J) (tương ứng (M0,J0)) là một đa tạp hầu phức nhẵn. 53 Giả sử (Jn) (tương ứng ) là dãy các cấu trúc hầu phức trên M (tương ứng trên M0) hội tụ trong tôpô C∞(M) (tương ứng C∞(M0)) tới J (tương ứng J0). Với mọi n, giả sử . Giả sử (fn) hội tụ đều trên các tập con compact của M tới ánh xạ f. Khi đó f ∈O(J0,J)(M0,M). Chứng minh Định lý 2.2.3 Với mỗi ánh xạ chỉnh hình g : X\A −→ M thác triển tới ánh xạ chỉnh hình (xem [Jo]). Do đó, mỗi fn thác triển tới một ánh xạ giả chỉnh hình fn : (X,J0) −→ (M,Jn). Giả sử G là hàm độ dài trên M. Theo Bổ đề 2.2.4, tồn tại hằng số dương c và số nguyên dương n0 sao cho KMJn ≥ c.G,∀n ≥ n0. Do đó với mỗi z,w ∈ X. Giả sử là dãy con bất kì của là ánh xạ (J0,Jϕ(n))- giả chỉnh hình từ X vào M, nên ta có với n ≥ n0 với mỗi z,w ∈ X. Theo Ascoli, ta có họ (feϕ(n)) là đồng liên tục và ta có thể trích ra một dãy con hội tụ tới ánh xạ g. Theo Bổ đề 2.2.5, ta có ánh xạ g là (J0,J)-chỉnh hình và trùng với f trên X\A. Do đó, fe= g và cuối cùng ta có dãy (fen) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của X tới fe. Định lý được chứng minh. Đặc biệt, nếu A là một đương cong nhúng trong một mặt cầu hầu phức, thì ta có 54 2.2.6. Hệ quả Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S,J0) có số chiều thực 4, giả sử (M,J) là đa tạp hầu phức, hyperbolic compact và (Jn) là dãy các cấu trúc hầu phức trên M hội tụ tới J trong tôpô C∞. Giả sử fn : (S\C,J0) −→ (M,Jn) là các ánh xạ giả chỉnh hình. Nếu (fn) hội tụ tới f đều trên các tập con compact của S\C, thì tới fe đều trên các tập con compact của S, trong đó hội tụ : (S,J0) −→ (M,Jn) và fe : (S,J0) −→ (M,J) là các thác triển lên S của fn và f tương ứng. Cuối cùng, ta chứng minh một dạng khác của định lý thác triển hội tụ Noguchi đối với các đường cong J-chỉnh hình. 2.2.7. Định lý Giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức, hyperbolic, compact tương đối trong một đa tạp hầu phức (N,J). Giả sử có một lân cận U của ∂M, biên của M trong N, sao cho U ∩ M là siêu lồi. Khi đó, mỗi đường cong giả chỉnh hình f : ∆∗ −→ M đều thác triển tới một đường cong giả chỉnh hình fe: ∆ −→ M. Hơn nữa, nếu (fn : ∆∗ −→ (M,J)) là dãy các đường cong giả chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của ∆∗ tới đường cong giả chỉnh hình f : ∆∗ −→ (M,J), thì dãy hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới fe, trong đó fen và fe là các thác triển lên ∆ của fn và f tương ứng. 55 Chứng minh Theo Hệ quả 2.1.2.4, ta cần chỉ ra tồn tại một dãy (zn) trong ∆∗, hội tụ tới 0 sao cho dãy (f(zn)) hội tụ tới một điểm của M. Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại r ∈ (0,1) sao cho . Giả sử ϕ là một hàm đa điều hòa dưới của U ∩M. Khi đó hàm g = ϕ◦ f là hàm điều hòa dưới trên . Theo giả thiết g thác triển liên tục tới một hàm ge mà vẫn là điều hòa dưới trên ∆r. Ta có ge(z) < 0 với mỗi Do vậy g đạt giá trị lớn nhất của nó tại gốc 0. Điều này e với nguyên lý cực đại. và g(0) = 0. e mẫu thuẫn Đối với điều khẳng định thứ hai, giả sử (fϕ(n)) là một dãy con tùy ý của (fen). Vì fϕ(n) là đường cong giả chỉnh hình từ ∆ tới M, ta có dJM(feϕ(n)(z),feϕ(n)(w)) ≤ d∆(z,w) với mọi z,w ∈ ∆. Do đó, họ là đồng liên tục, và theo Ascoli, ta có thể trích ra một dãy con feϕ◦ ψ(n) hội tụ tới một ánh xạ chỉnh hình g. Nhưng ánh xạ g trùng với f trên ∆∗, do đó fe= g và ta có dãy (fen) hội tụ đều tới fe trên mỗi tập con compact của ∆. Định lý được chứng minh. Kết luận Với mục đích tìm hiểu một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức, luận văn đã trình bày được một số kết quả chính sau: 1. Mở rộng Định lý Picard lớn trong các đa tạp hầu phức. Cụ thể là một số định lý thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình (Hệ quả 2.1.2.3, Hệ quả 2.1.2.4, Định lý 2.1.3.1). 56 2. Trình bày một tiêu chuẩn về tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức tương tự như tiêu chuẩn của Kiernan cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp phức (Định lý 2.1.2.6). 3. Trình bày một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình (Định lý 2.2.1, Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.3). Tài liệu tham khảo [Ad] Y.Adachi, A generalization of the big Picard Theorem, Kodai Math. J. 18 (1995), 408-424. [A-S] Y.Adachi and M.SuZuki, Degeneracy points of the Kobayashi pseudodistance on complex manifolds, Proc. Symp. Pure Math. Amer. Math. Soc. 52 (1991), 41-51. [D] R. Dabalme, Kobayashi hyperbolicity of almost complex manifolds, Pul. Irma, Lille, 1999. [G-S] H. Gaussier and A. Sukhov, Wong- Rosay theorem in almost complex manifolds, ar Xiv: math. CV/0307335 V1. [H-K] F. Haggui and A. Khalfallah, Extension and convergence theorems of pseudoholomorphic maps, Osaka J. Math. 46 (2009), 821844. [Jo] J.-C. Joo, Generalized big Picard theorem for pseudoholomorphic maps, J. Math. Anal. Appl. 323(2006), 1333-1347. [J-K] J. E. Joseph and M. H. Kwack, Hyperbolic imbedding and spaces of continuous extensions of holomorphic maps, J. Geom. Anal. 57 4(1994), 361-378. [Ko] S. Kobayashi, Hyperbolic Complex Spaces, Springer, Berlin, 1998. [Mu] M.P. Muller, Gromov’s Schwarz lemma as an estimate of the gradient for holomorphic curves, in Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, Prog. Math. 117, Birkhauser, Basel, 1994, 217-231. [No] J. Noguchi, Moduli spaces of holomorphic mappings into hyperbolically imbedded complex spaces and locally symmetric spaces, Invent. Math. 93(1988), 15-34. [Ro] H. L. Royden, Remarks on the Kobayashi metric, in Serveral complex Variables, II, Lecture Notes in Math. 185, Springer, Berlin, 1971, 125137. [Si] J.-C. Sikorav, Some properties of holomorphic curves in almost complex manifolds, in Holomorphic Curves in Symplectic Geometry, Birkhauser, Basel, 1994, 165-189. [...]... là ánh xạ tự đẳng cấu bảo giác của ∆r biến 0 vào z0 Ký hiệu 31 fe= ft0 ◦ L Do đại lượng ! đo đạo hàm tương ứng với ρr nên nó bất biến qua L Ta được điều phải chứng minh 32 Chương 2 Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình 2.1 Tổng quát hoá định lý Picard lớn Định lý Picard lớn phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa thủng ∆∗ vào C\{0,1} có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh. .. (J0,JN) -chỉnh hình được gọi là đường cong J -chỉnh hình hay đường cong giả chỉnh hình trên (N,JN) Kí hiệu OJ(P,N) là tập tất cả các đường cong J -chỉnh hình trên N 1.4.2 Bổ đề Cho (M,J) là một đa tạp hầu phức Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong C Khi đó tập tất cả các ánh xạ J -chỉnh hình từ ∆ −→ M là đóng theo tôpô compact mở Chứng minh Giả sử (fn)n∈N là một dãy các ánh xạ J chỉnh hình từ ∆ vào (M,J) hội tụ đều... chất giảm khoảng cách qua ánh xạ giả chỉnh hình của : 1.4.5 Tính chất Cho f : (M,J) −→ (N,J0) là một ánh xạ (J,J0) -chỉnh hình Khi đó ∀(p,q) ∈ M2 ta có 1.4.6 Hệ quả kC≡ 0 1.4.7 Mệnh đề Giả khoảng cách Kobayashi kMJ là liên tục trên M × M 1.4.8 Định nghĩa Đa tạp hầu phức (M,J) được gọi là hyperbolic (Kobayashi) nếu kMJ thực sự là một khoảng cách Nếu đa tạp hầu phức hyperbolic (M,kMJ ) là đầy theo nghĩa... là một không gian metric đầy Và C(X,Y ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup Họ F⊂ C(X,Y ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm x0 ∈ X nếu với mỗi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x ∈ X,d(x,x0) < δ thì 23 d(f(x),f(x0)) < ε với mọi f ∈F Họ F được gọi là đồng liên tục trên X nếu F là đồng liên tục tại mọi điểm x ∈ X 1.4.16 Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục Giả sử X là tập con... mở 1.4.14 Định nghĩa Hàm độ dài E trên đa tạp hầu phức (M,J) là một hàm liên tục không âm, giá trị thực xác định trên phân thớ tiếp xúc TM thoả mãn 1) E( v) = 0 ⇔ v = 0 2) E( av) = |a |E( v),∀a ∈R,v ∈ TM Ký hiệu dE là hàm khoảng cách sinh ra trên M bởi E Thế thì hàm khoảng cách dE sinh ra tôpô tự nhiên của M (xem [ La ]) 1.4.15 Họ đồng liên tục Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và... chỉnh hình f : ∆ →P1(C) Mục đích của phần này nhằm nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức 2.1.1 Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi Giả sử (N,J) là một đa tạp hầu phức được trang bị một hàm độ dài G, giả sử (M,J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối của (N,J) Như trong [A-S] ta mở rộng dJM lên bao đóng M của M trong N như sau: ∀p,q ∈ M, ta định. .. nhận lại được các tính chất của kMJ đã trình bày ở mục 1.3 1.6 Định lý tham số hoá của Brody Giả sử (M,J) là một đa tạp hầu phức, f : ∆r → M là một đường cong J -chỉnh hình thoả mãn |f0(0)|≥ c ≥ 0 Khi đó tồn tại đường cong J -chỉnh hình fe: ∆r → M sao cho Chứng minh Trước hết ta chứng tỏ có dấu bằng, sau đó chứng minh supremum đạt được tại gốc 0 Với t ∈ [0,1], gọi ft : ∆r → M là ánh xạ xác định bởi z →7... nối hai điểm p,q trong M là một dãy các đường cong giả chỉnh hình (fk : ∆ → (M,J))1≤k≤m và các điểm zk,wk ∈ ∆ thoả mãn f1(z1) = p; fk(wk) = fk+1(zk+1) ; fm(wm) = q Giả khoảng cách Kobayashi của (M,J) từ p tới q được định nghĩa bởi , trong đó infimum được lấy theo tất cả các dây chuyền Kobayashi nối p với q Hàm số kMJ : M × M →R thỏa mãn các tiên đề của giả khoảng cách kMJ (p,q) ≥ 0 kMJ (p,q) = kMJ (q,p)... con compact của một không gian metric, và Y là một không gian metric đầy Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C(X,Y ) Khi đó, F là compact tương đối trong C(X,Y ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thoả mãn (i) F là họ đồng liên tục trên X (ii) Với mỗi x ∈ X, tập hợp Fx = {f(x)| f ∈F} là compact tương đối trong Y 24 25 26 27 1.5 Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức... (JM,JN) -chỉnh hình từ M vào N Đặc biệt, nếu M là một miền trong Cn với JM là J0 trên R2n, thì tập O((M,JM),(N,JN)) được ký hiệu đơn giản là O(M,(N,JN)) và mỗi f ∈O(M,(N,JN)) được gọi một cách đơn giản là J -chỉnh hình +) Với mỗi r > 0 ta đặt ∆r = {z ∈C : |z| < r} Với r = 1 ta kí hiệu ∆ = ∆1 là đĩa đơn vị trong C 18 Nếu (M,JM) = (P,J0) trong đó J0 là cấu trúc phức chính tắc trên diện Riemann P, thì ánh xạ ... 2.1.2 Thác triển đường cong J -chỉnh hình 2.1.3 Sự thác triển đa tạp số chiều cao 2.2 Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi 2.2.1 Định lý 2.2.2 Định lý 2.2.3 Định lý. .. cong giả chỉnh hình Nếu có dãy (zk) ⊂ ∆∗,zk → cho f(zk) → q ∈/ SMJ (N), f thác triển thành đường cong giả chỉnh hình fe: ∆ → (N,J) Chứng minh Giả sử f : ∆∗ → M ánh xạ giả chỉnh hình Theo Định lý. .. phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa thủng ∆∗ vào C{0,1} thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : ∆ →P1(C) Mục đích phần nhằm nghiên cứu thác triển ánh xạ giả chỉnh hình đa tạp hầu phức