Định lý thác triển hội tụ đối với các ánh xạ giả chỉnh hình
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————– NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS PHẠM VIỆT ĐỨC THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Đa tạp hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Cấu trúc phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.4. Cấu trúc hầu phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.5. Đa tạp hầu phức. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm . . . . . . . . 8 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.3. Định lý (Newlander - Nirenberg). . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2.4. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3. Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức . . . . 12 1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.2. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.3. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.4. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4.5. Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.4.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 1.4.7. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.8. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.9. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.10. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.11. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4.12. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.13. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.14. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.15. Họ đồng liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.16. Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục. . . . . . . . . . . . . . 17 1.5. Giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức 17 1.5.1. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.5.2. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.3. Mệnh đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.4. Ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.5. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.5.6. Nhận xét. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.6. Định lý tham số hoá của Brody . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Một số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1. Tổng quát hoá định lý Picard lớn. . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi 22 2.1.2. Thác triển các đường cong J-chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao. . . . . . . . . . . 30 2.2. Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi . . . . . . . 32 2.2.1. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.3. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.4. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.5. Bổ đề. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 2.2.6. Hệ quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.7. Định lý. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Mở đầu Một trong những ứng dụng quan trọng của các không gian phức hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức. Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu trong cả trường hợp đa tạp phức và đa tạp hầu phức. Mục đích của luận văn là trình bày một số kết quả gần đây của F. Haggui và A. Khalfallah[H-K] theo hướng nghiên cứu nói trên. Nội dung của luận văn gồm hai chương: Chương 1: Trình bày các kiến thức chuẩn bị để phục vụ cho việc trình bày các kết quả chính của luận văn trong chương 2. Cụ thể là: Đa tạp hầu phức, giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp hầu phức, giả metric vi phân Royden-Kobayashi trên đa tạp hầu phức. Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Phần đầu chương trình bày một số kết quả về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức. Phần tiếp theo là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức. Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, chu đáo của PGS.TS Phạm Việt Đức. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy của mình, người đã chỉ bảo và hướng dẫn tôi trong suốt thời gian tôi học tập và nghiên cứu tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới toàn thể các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học, Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội đã tận tình giảng dạy động viên tôi trong suốt thời gian học tập. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Khoa Toán, Khoa Sau Đại học, Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Sở GD - ĐT Tuyên Quang, những bạn bè đồng nghiệp và đặc biệt là người thân trong gia đình đã động viên, ủng hộ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành khóa học của mình. Trong quá trình làm luận văn chắc không thể tránh khỏi những sai sót, rất mong độc giả đóng góp ý kiến. Tôi xin trân trọng cảm ơn. Thái nguyên, tháng 8 năm 2011 TÁC GIẢ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Đa tạp hầu phức 1.1.1. Cấu trúc phức Giả sử V là R-không gian vectơ và J : V −→ V là R-đẳng cấu. J được gọi là một cấu trúc phức trên V nếu J 2 := J ◦ J = −Id. Giả sử J là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ V , khi đó ta có thể xây dựng V thành C-không gian vectơ bằng cách đặt (α + iβ)v := αv + βJ(v) = αv + βJv. Giả sử V là C-không gian vectơ có cơ sở là {v 1 , v 2 , , v n }. Xem V là R-không gian vectơ V R , xét J : V R −→ V R v −→ Jv = iv. Khi đó J là cấu trúc phức trên V R và không gian phức mà nó cảm sinh ra trùng với không gian vectơ phức V ban đầu. 1.1.2. Nhận xét V R có R-cơ sở là {v 1 , v 2 , , v n , Jv 1 , Jv 2 , , Jv n }. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 1.1.3. Ví dụ a) C n = {(z 1 , , z n ) : z j = x j + iy j ∈ C} ∼ = R 2n = {(x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , , x n , y n )} . J : R 2n → R 2n cho bởi: J((x 1 , y 1 , , x n , y n )) = (−y 1 , x 1 , , −y n , x n ). Khi đó J là cấu trúc phức trên R 2n . b) Giả sử M là đa tạp phức m chiều. Khi đó nó cảm sinh ra M 0 là đa tạp thực nhẵn 2m chiều. Gọi T x (M 0 ) là không gian tiếp xúc thực của M 0 tại x và gọi T x (M) là không gian tiếp xúc phức của M tại x. Giả sử (U, h) là một bản đồ địa phương của M quanh x. Ta có h : U −→ U ⊂ C m h = (h 1 , h 2 , , h n ), cảm sinh ra h : U −→ R 2m cho bởi h(x) = (Reh 1 (x), Imh 1 (x), , Reh m (x), Imh m (x)). Ta có (U, h) là một bản đồ địa phương của M 0 quanh x. Gọi ∂ ∂z 1 x , , ∂ ∂z n x là C-cơ sở của T x (M). Nó cảm sinh ra ∂ ∂x j x , ∂ ∂y j x n j=1 là R-cơ sở của T x (M 0 ). Xét J : T x (M 0 ) −→ T x (M 0 ) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 cho bởi v = α 1 . ∂ ∂x 1 x + β 1 . ∂ ∂y 1 x + + α n . ∂ ∂x n x + β n . ∂ ∂y n x ∈ T x (M 0 ) thì J v = (−β 1 ) ∂ ∂x 1 x + α 1 ∂ ∂y 1 x + + (−β n ) ∂ ∂x n x + α n ∂ ∂y n x . Khi đó J là cấu trúc phức trên T x (M 0 ). 1.1.4. Cấu trúc hầu phức Giả sử M là đa tạp vi phân 2n chiều. Gọi π : TM → M là phân thớ tiếp xúc thực. Giả sử J : T(M) → T(M) là một tự đẳng cấu của T(M) liên kết với ánh xạ đồng nhất trên M thỏa mãn ∀x ∈ M : J x = J T x (M) : T x (M) → T x (M) là cấu trúc phức trên R-không gian vectơ T x (M). Khi đó J được gọi là cấu trúc hầu phức trên M. 1.1.5. Đa tạp hầu phức (M, J) được gọi là một đa tạp hầu phức nếu M là một đa tạp vi phân chẵn 2n chiều được trang bị một cấu trúc hầu phức J. 1.2. Không gian các dạng vi phân và ánh xạ đạo hàm 1.2.1. Định nghĩa Giả sử M là đa tạp vi phân m chiều. Đặt T (M) C = T (M) ⊗ R C. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Tương tự ta định nghĩa T ∗ (M) C = T ∗ (M) ⊗ R C. Từ đó ta định nghĩa tích ngoài ΛT ∗ (M) C và ε r (M) C = ε(M, Λ r T ∗ (M) C ). Gọi ε r (M) là không gian các dạng vi phân bậc r với giá trị phức. Tức là với ϕ ∈ ε r (M), ta có ϕ(x) = |I|=r ϕ I (x)dx I trong đó ϕ I là hàm giá trị phức và 1≤i 1 <i 2 < <i k ≤m = |I|=r . Khi đó ta có dãy ε 0 (M) d −→ ε 1 (M) d −→ d −→ ε m (M) −→ 0 với d 2 = 0. Giả sử (M, J) là đa tạp hầu phức, khi đó J : T x (M) C → T x (M) C là đẳng cấu trên phân thớ vectơ phức T (M) C . Ta đặt T 1,0 (M) là phân thớ ứng với giá trị riêng i của J. T 0,1 (M) là phân thớ ứng với giá trị riêng −i của J. Xét đẳng cấu liên hợp Q : T (M) C −→ T (M) C được cho trên mỗi thớ bởi Q(v x ) = iv x ; v x ∈ T x M C . Khi đó Q cảm sinh ra đẳng cấu từ T 1,0 (M) tới T 0,1 (M). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... số định lý thác triển hội tụ đối với ánh xạ giả chỉnh hình 2.1 Tổng quát hoá định lý Picard lớn Định lý Picard lớn phát biểu rằng: Mỗi ánh xạ chỉnh hình f từ đĩa thủng ∆∗ vào C\ {0, 1} có thể thác triển thành ánh xạ chỉnh hình f : ∆ → P1 (C) Mục đích của phần này nhằm nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình giữa các đa tạp hầu phức 2.1.1 Quỹ tích suy biến của giả khoảng cách Kobayashi Giả. .. đĩa đơn vị và (fwk ) hội tụ đều trên mỗi tập con compact của ∆ Suy ra f ◦ h là liên tục trong lân cận của (0, w0 ) và f có thể thác triển liên tục lên X , kí hiệu là f Theo Bổ đề 2.1.3.2 ta có f là ánh xạ giả chỉnh hình Định lý được chứng minh 2.2 Một số định lý thác triển hội tụ kiểu Nuguchi Trước hết ta chứng minh một định lý thác triển hội tụ đối với các đường cong giả chỉnh hình mà được chứng minh... khác của định lý thác triển hội tụ của Noguchi đối với các ánh xạ giả chỉnh hình xác định trên S\C tới một đa tạp con nhúng hyperbolic, trong đó C là đường cong trơn, giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức S có số chiều thực bằng 4 2.2.2 Định lý Giả sử C là đường cong trơn, giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S, J ) có số chiều thực bằng 4 và (M, J) là đa tạp con hầu phức compact tương đối, nhúng... tự định lý thác triển hội tụ đã được chứng minh bởi Noguchi [No] 2.2.1 Định lý Giả sử (M, J) là đa tạp con hầu phức compact tương đối trong đa tạp hầu phức (N, J) Giả sử fn : ∆∗ −→ (M, J) và f : ∆∗ −→ (M, J) là các đường cong giả chỉnh hình Giả sử tồn tại một dãy (zn ) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho dãy (fn (zn )) hội tụ tới p ∈ SM (N ) Khi đó f và / J fn thác triển được lên ∆ và nếu dãy (fn ) hội tụ. .. Sự thác triển trên các đa tạp số chiều cao Trong phần này, ta nghiên cứu sự thác triển của ánh xạ giả chỉnh hình vào các đa tạp hầu phức nhúng hyperbolic 2.1.3.1 Định lý Giả sử C là một đường cong trơn giả chỉnh hình trong một đa tạp hầu phức (S, J ) có số chiều 4 và (M, J) là một đa tạp con hầu phức, compact tương đối, nhúng hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N, J) Khi đó mỗi ánh xạ giả chỉnh hình. .. Hệ quả Giả sử (M, J) là đa tạp con hầu phức compact trong đa tạp hầu phức (N, J) và f : ∆∗ → (M, J) là một đường cong giả chỉnh hình Nếu có dãy (zk ) ⊂ ∆∗ , zk → 0 sao cho f (zk ) → q ∈ SM (N ), thì f có thể thác / J triển thành đường cong giả chỉnh hình f : ∆ → (N, J) Chứng minh Giả sử f : ∆∗ → M là ánh xạ giả chỉnh hình Theo Định lý 2.1.2.1, f thác triển liên tục từ ∆ vào N và nếu f là liên tục, khả... (c) Với mỗi z ∈ ∆, ta có {w ∈ ∆; h(w, z ) ∈ C} = {0} Ta ký hiệu fw là ánh xạ f ◦ h(., w) với w ∈ ∆ Vì với mỗi w ∈ ∆, fw : ∆∗ −→ (M, J) là đường cong giả chỉnh hình xác định trên đĩa ∆∗ , nên nó có thể được thác triển thành đường cong giả chỉnh hình từ đĩa đơn vị ∆ tới N Ta Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 32 ký hiệu fw : ∆∗ −→ (N, J) là ánh xạ thác triển Giả. .. tắc trên , thì ánh xạ (J0 , JN ) -chỉnh hình được gọi là đường cong J -chỉnh hình hay đường cong giả chỉnh hình trên (N, JN ) Kí hiệu OJ ( , N ) là tập tất cả các đường cong J -chỉnh hình trên N Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 1.4.2 Bổ đề Cho (M, J) là một đa tạp hầu phức Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong C Khi đó tập tất cả các ánh xạ J -chỉnh hình từ ∆ −→... minh fwk hội tụ đều đến fw0 trong lân cận của 0 Vì (M, J) là nhúng hyperbolic trong (N, J), theo Định lý 2.1.2.6, bằng cách lấy dãy con nếu cần, ta có thể giả sử dãy các đường cong giả chỉnh hình fwk hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ tới một đường cong giả chỉnh hình ϕ : ∆ −→ (N, J) Khi đó, theo điều kiện (c) nhận được ϕ(z) = lim fwk (z) = fw0 (z) = fw0 (z) với z ∈ ∆∗ Do đó, fw0 trùng với ϕ trên... và giả chỉnh hình ngoại trừ một tập con rời rạc, thì f là khả vi và giả chỉnh hình trên ∆, (xem [Si], tr.169) 2.1.2.4 Hệ quả Giả sử (M, J) là một đa tạp con hầu phức compact tương đối hyperbolic trong một đa tạp hầu phức (N, J) và f : ∆∗ → (M, J) là đường cong giả chỉnh hình Nếu có một dãy (zk ) trong ∆∗ hội tụ tới 0 sao cho f (zk ) hội tụ tới q ∈ M Khi đó f có thể thác triển được thành đường cong giả . quan trọng của các không gian phức hyperbolic là bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình trong giải tích phức. Việc mở rộng định lý Picard lớn và nghiên cứu các định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi. về thác triển các đường cong giả chỉnh hình và một tiêu chuẩn cho tính nhúng hyperbolic của các đa tạp hầu phức. Phần tiếp theo là một số định lý thác triển hội tụ kiểu Noghuchi đối với các ánh. ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————– NGUYỄN THU HUYỀN ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ GIẢ CHỈNH HÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01 Người hướng dẫn khoa