Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học

Một số định lý thác triển hội tụ trong lý thuyết hàm hình học

-

TÔ HẢI BÌNH

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC

THÁI NGUYÊN - 2008

-

Tô Hải Bình

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ TRONG LÝ THUYẾT HÀM HÌNH HỌC

Chuyờn ngành : GIẢI TÍCH Mó số : 60.46.01

Người hướng dẫn khoa học:

PGS TS PHẠM VIỆT ĐỨC

THÁI NGUYÊN - 2008

Trang

Lời nói đầu 1

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian phức hyperbolic 3

1.2 Không gian phức nhúng hyperbolic 7

1.3 Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình 11

Chương 2: Một số định lý thác triển hội tụ 19

2.1 Định lý thác triển hội tụ Noguchi 19

2.2 Một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt 25

Kết luận 46

Tài liệu tham khảo 47

LỜI NÓI ĐẦU

Việc thác triển các ánh xạ chỉnh hình là một trong những bài toán quan trọng của giải tích phức Nhiều tác giả đã nghiên cứu bài toán này từ quan điểm của giải tích phức hyperbolic kể từ khi S Kobayashi đưa ra khái niệm giả khoảng cách Kobayashi và dùng nó để nghiên cứu lý thuyết hàm hình học Theo hướng nghiên cứu này, J Noguchi (xem [7] hoặc [10]) đã chứng minh được định lý thác triển hội tụ sau:

“Cho X là không gian phức compact tương đối nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Giả sử M là đa tạp phức và A là siêu mặt phức của M với giao chuẩn tắc Nếu { :fjM \ AX}j 1 là dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của M \ A tới ánh xạ chỉnh hình

Luận văn được chia làm hai chương

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, bao gồm các khái niệm không gian hyperbolic, không gian nhúng hyperbolic và một số định lý thác triển các

ánh xạ chỉnh hình như định lý của M Kwack, K3

-định lý

Chương 2 là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúng tôi chứng minh một số định lý thác triển hội tụ qua các siêu mặt giải tích (không nhất thiết có giao chuẩn tắc)

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của PGS TS Phạm Việt Đức Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã chỉ bảo và giúp đỡ em rất nhiều trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Em xin trân trọng bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô giáo trong Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Sư phạm Hà Nội, Viện Toán học Việt Nam đã giảng dạy và giúp đỡ em hoàn thành khoá học Đồng thời tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Quảng Ninh, trường THPT Hoành Bồ tỉnh Quảng Ninh, gia đình và các bạn đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ về mọi mặt trong suốt quá trình tôi học tập và nghiên cứu đề tài này

Thái Nguyên, tháng 10 năm 2008

Tác giả

Chương 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Nội dung của chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian phức hyperbolic, không gian phức nhúng hyperbolic và một số định lý thác triển các ánh xạ chỉnh hình

1.1 Không gian phức hyperbolic

1.1.1 Định nghĩa Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic

(theo nghĩa Kobayashi) nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách

trên X, tức là

1.1.2 Một số tính chất của không gian phức hyperbolic

1.1.2.1 Nếu X, Y là các không gian phức, thì X Y là không gian hyperbolic

nếu và chỉ nếu cả X và Y đều là không gian hyperbolic

Chứng minh Vì phép chiếu : XYX là ánh xạ chỉnh hình nên là

giảm khoảng cách đối với các giả khoảng cách Kobayashi trên X Y và trên

Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh ,

1.1.2.2 Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Nếu Y là

hyperbolic thì X cũng là hyperbolic Hay nói cách khác, không gian con của

một không gian hyperbolic là hyperbolic

Chứng minh Vì phép nhúng chính tắc i X: Y là ánh xạ chỉnh hình, nên theo tính chất giảm khoảng cách của giả khoảng cách Kobayashi ta có ngay điều phải chứng minh

1.1.2.3 Ví dụ

+ Đĩa r và đa đĩa mr là hyperbolic

+ Một miền bị chặn trong  là hyperbolic, vì nó là tập con mở của tích mcác đa đĩa

+  không là hyperbolic, vì mdm 0.

1.1.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian phức với hàm khoảng cách d Một

cặp (X d, ) được gọi là tight nếu họ Hol(M X, ) là đồng liên tục đối với d, và với mọi đa tạp phức M

1.1.4 Định lý Giả sử X là không gian phức và H là hàm độ dài trên X Khi

đó X là hyperbolic nếu và chỉ nếu với mỗi pX, có các lân cận U của p và hằng số C 0 sao cho FX( )xCH( )x với mọi xT Xx với

Ta có thể giả sử U là tập con compact của D Khi đó với x U, xT Xx ,

ta có FX( )xFD( )xCH( )x với hằng số dương C nào đó

( ) Gọi dCH là khoảng cách trên X sinh bởi CH

Theo giả thiết, *2

Điều này kéo theo X là hyperbolic ,

1.1.5 k-metric Kobayashi trong không gian phức

Giả sử X là không gian phức, điểm xX và vectơ k-mật tiếp Jk( )Xx Ta định nghĩa

kX

Giả sử :[ , ]a bX, [ , ]a b  là đường cong giải tích thực Với mỗi ,[ , ]

ta b tồn tại một và chỉ một mầm hàm chỉnh hình t Hol( , X) sao cho

tt và (ts) t( )s với 0 đủ nhỏ, và mỗi s ( , ) Từ đó, với mỗi k  ,

Nếu :[ , ]a bX là đường cong giải tích thực từng khúc trong không

gian phức X thì {LkX( )}k 1 là dãy tăng và bị chặn các số thực không âm Hơn nữa ta có

( , ) inf {sup k( ( ), ( )) ; }

với mỗi p q, X, trong đó p q, ký hiệu tập tất cả các đường cong liên tục

giải tích thực từng khúc nối p với q

Giả sử X là không gian phức và {J Xk( )}k 1 là họ các phân thớ các jet trên

X Khi đó có các ánh xạ Jk 1( )XJk( )X mà các thớ là các không gian afin tuyến tính

1.2 Không gian phức nhúng hyperbolic

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là tập con compact của một không gian metric,

và Y là một không gian metric đầy C X Y( , ) là tập các ánh xạ liên tục từ X vào Y với chuẩn sup Họ F C X Y( , ) được gọi là đồng liên tục tại một điểm

1.2.2 Định lý (Định lý Ascoli đối với họ đồng liên tục)

Giả sử X là tập con compact của một không gian metric, và Y là một không

gian metric đầy Giả sử F là tập con của tập các ánh xạ liên tục C X Y( , ) Khi đó F là compact tương đối trong C X Y( , ) nếu và chỉ nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn

i) F là họ đồng liên tục trên X

ii) Với mỗi xX, tập hợp Fx { ( )f x fF là compact tương đối trong Y }

1.2.3 Định nghĩa Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y X

được gọi là nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi ,x yX x, y luôn tồn tại

các lân cận mở U của x và V của y trong Y sao cho

1.2.4 Định lý Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y Khi

đó các điều kiện sau là tương đương

HI1 X là nhúng hyperbolic trong Y

HI2 X là hyperbolic và nếu { },{ }xnyn là các dãy trong X thỏa mãn

xxX, yyX, d ( ,x y ) 0 thì xy

HI3 Giả sử { },{ }xnyn là các dãy trong X thỏa mãn

xxX , ynyX Khi đó, nếu dX( ,x ynn) 0 khi n thì xy

HI4 Cho hàm độ dài H trên Y, tồn tại hàm liên tục, dương trên Y sao cho

với mọi fHol( ,X) ta có

trong đó H là chuẩn hyperbolic trên đĩa đơn vị

HI5 Tồn tại hàm độ dài H trên Y sao cho với mọi fHol( ,X) ta có

dx y, n Vậy HI2 được chứng minh

HI2HI3 Giả sử HI2 được thỏa mãn Nếu x y, X , do tính liên tục của giả khoảng cách Kobayashi dX ta có dX( , )x y 0 Mà X là hyperbolic nên suy ra

Nếu xX y, X Vì yX nên tồn tại dX-cầu B( , )x s mà y B( , ).x s

Do yny nên yn B( , )x s với n đủ lớn Mặt khác, dX( , )x xn 0 suy ra

B( , / 2)

xx s Điều này mâu thuẫn với giả thiết dX( ,x ynn) 0 Vậy trường hợp này không xảy ra Do đó HI3 được chứng minh

HI3 HI4 Giả sử K là tập con compact của Y Trước hết ta chứng minh tồn

tại hằng số C 0 sao cho với mỗi fHol( ,X) ta có

f CHH tại mỗi điểm của f 1( ).K

Giả sử ngược lại, suy ra tồn tại dãy { }fnHol( ,X), tồn tại 1( )

Ta có thể lấy zk sao cho xk nằm trong một tập con compact chứa U Từ đó,

bằng cách lấy dãy con nếu cần ta có thể giả thiết xkx x, y Khi đó

Điều này mâu thuẫn với HI3

Bây giờ giả sử K1 K2 là dãy các tập con compact của Y thỏa mãn

KY

trong đó Ui mở và UiUi 1 Theo chứng minh trên, với mỗi Ki, tồn tại hằng số Ci 0 thỏa mãn

fHH với mọi hàm độ dài H trên Y

HI4 HI5 Hiển nhiên khi ta lấy hàm độ dài chính là H

HI5HI1 Giả sử ,x yX và xy Lấy

là các hình cầu bán kính s ứng với khoảng cách sinh bởi hàm độ dài H

Do H là hàm độ dài và xy , nên ta có thể lấy s 0 đủ nhỏ sao cho

dd Từ đó suy ra X là nhúng hyperbolic trong Y

Vậy định lý được chứng minh hoàn toàn ,

1.3 Một số định lý thác triển ánh xạ chỉnh hình

1.3.1 Định lý Giả sử X là không gian con phức compact tương đối trong

không gian phức Y Khi đó, nếu X là nhúng hyperbolic trong Y thì mọi ánh xạ chỉnh hình f : * X đều thác triển được thành ánh xạ chỉnh hình

Để chứng minh định lý, trước hết ta xét các điều kiện sau, với f : * X

là ánh xạ chỉnh hình,

KW1 X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy { }zk trong Δ* thỏa

Chú ý Điều kiện về sự tồn tại của dãy { }zk ở trên luôn thỏa mãn nếu X là compact tương đối trong Y

KW2 X là nhúng hyperbolic trong Y, và tồn tại một dãy các số dương

 ) Để chứng minh KW2, ta chỉ cần chứng minh

f zU Vì tính liên tục của khoảng cách dY xác định tô pô trên Y, ta có

thể giả thiết f z( )kU Mà U là tập compact, bỏ qua việc lấy dãy con, ta có thể giả sử rằng f z( )k hội tụ tới một điểm yX Khi đó ta có

yy vì f z( )kU Mặt khác ta có

KW2 KW3 Giả sử U là một lân cận của y, mà ta đồng nhất với một

không gian con của một đa đĩa trong N

 , sao cho bao đóng U của U trong Y

là compact và được chứa trong đa đĩa

Theo định lý thác triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh tồn tại số c 0

sao cho

*( c)

là vành khuyên lớn nhất có ảnh f A( k) nằm hoàn toàn trong U Ta đặt

Nhưng do tính lớn nhất của vành khuyên Ak nên f( k) và f( k) không

nằm trong U, vì vậy f( k) và f( k) nằm trong U Vì các độ dài hyperbolic của các đường tròn bán kính ak và bk dần đến 0 khi k và f

là giảm khoảng cách từ d * tới dX, nên ta có dX-đường kính của f( k) và

kk

Vì vậy ta có thể tìm được một lân cận đơn liên của f1( k) f1( k) mà không giao với một đĩa tâm 0, bán kính đủ nhỏ trong 

Giả sử ( 1, , N) là các hàm tọa độ trong  , khi đó Nf1 1 f Với

cách chọn các lân cận ở trên, với k đủ lớn ta có

trong đó N là số các không điểm và P là số các cực điểm của 1 ff z1( )k

trong vành khuyên Ak Rõ ràng P 0, và N 1 vì có ít nhất một không điểm tại zk Do đó, NP 1 Điều này mâu thuẫn với (*) Vậy định lý được chứng minh , Với các kết quả của Kwack và Kobayashi, năm 1972 Kiernan ([6]) đã mở rộng được định lý Picard lớn lên trường hợp nhiều chiều bởi 3

K -định lý Để

trình bày K -định lý ta cần một số khái niệm và kết quả sau 3

1.3.3 Bổ đề Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng

hyperbolic trong không gian phức Y Giả sử { : *fkX} là dãy các ánh xạ chỉnh hình và { },{ }zkzk là các dãy trong Δ* hội tụ tới 0 trong thỏa mãn

(ii) fk(0) y khi k

Chứng minh Theo tính chất của giả khoảng cách Kobayashi, ta có mỗi ánh xạ

chỉnh hình fk: * X đều có thác triển chỉnh hình qua điểm 0 Do đó fk(0)

cũng xác định

Như vậy ta suy ra điều phải chứng minh ,

1.3.4 Định nghĩa Giả sử M là một đa tạp phức và A là một divisor Ta nói A

có giao chuẩn tắc nếu tại mỗi điểm, tồn tại một hệ tọa độ phức z1, ,zm trong

M sao cho về địa phương

Từ đó, về địa phương A được xác định bởi phương trình z1 zr 0

Ta nói rằng A có giao chuẩn tắc đơn nếu sau khi biểu diễn AAj như là tổng các thành phần bất khả quy, tất cả các A không có kỳ dị và A có giao j

chuẩn tắc

1.3.5 Định lý (K -định lý) Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa 3tạp phức M Giả sử X là không gian con phức compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Khi đó mỗi ánh xạ chỉnh hình

2 Giả sử ta có thể thác triển f với M \ A *n với n nào đó Ta sẽ chứng minh f có thác triển với M \ A *ns với mọi s

f thành ánh xạ chỉnh hình trên n với mỗi t Theo hệ quả của định lý thác

triển Riemann, ta chỉ cần chứng minh ánh xạ

Nhưng ft liên tục với mỗi t, nên fk(0) f( k,0) f( ,0) y Điều này

là vô lý Vậy f liên tục

3 Giả sử f có thác triển nếu M \ A *ns với mọi s Ta chứng minh f

thác triển được nếu *1

Theo giả thiết quy nạp, f thác triển được trên n 1 \ {(0, ,0)} Do đó ánh xạ g: * X , xác định bởi

Theo định lý thác triển Riemann ta chỉ cần chứng minh f liên tục trên n 1

Giả sử f không liên tục Khi đó tồn tại dãy

Điều này mâu thuẫn với (*) Vậy f liên tục ,

Chú ý Định lý được chứng minh đầu tiên bởi Kwack khi XY là

compact và A là tùy ý (không có điều kiện gì về kỳ dị) Sau khi đưa ra khái niệm nhúng hyperbolic, Kobayashi đã chứng minh trong trường hợp X là

nhúng hyperbolic trong Y và A không có kỳ dị Kết quả trên của Kiernan chứng minh trong trường hợp A có giao chuẩn tắc Ví dụ sau là của Kiernan chứng tỏ rằng nếu X không là compact thì các điều kiện về kỳ dị là cần thiết

Chương 2

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ THÁC TRIỂN HỘI TỤ

Trong chương này trước tiên chúng tôi trình bày chứng minh định lý thác triển hội tụ của Noguchi bằng ngôn ngữ họ chuẩn tắc đều Tiếp theo là một số kết quả gần đây của Đỗ Đức Thái về việc chứng minh định lý thác triển hội tụ kiểu Noguchi đối với các siêu mặt không nhất thiết có giao chuẩn tắc

2.1 Định lý thác triển hội tụ Noguchi

2.1.1 Định lý (Noguchi [9]) Giả sử A là divisor có giao chuẩn tắc trong đa

tạp phức m chiều M X là không gian con compact tương đối, nhúng hyperbolic trong không gian phức Y Giả sử

Để chứng minh trước hết ta cần một số khái niệm và kết quả sau

2.1.2 Định nghĩa Giả sử X, Y là các không gian phức Họ F Hol( , )X Yđược gọi là họ chuẩn tắc đều nếu F Hol(M X, ) là compact tương đối trong

và F C X Y( 0, 0) Ta ký hiệu [ , ,C X Y F là tập các ánh xạ ] gC X Y( , ) mà là thác triển của các phần tử của F

2.1.3 Định lý Nếu X, Y là các không gian phức thì họ F Hol X Y( , ) là chuẩn tắc đều nếu và chỉ nếu F Hol( ,X) là compact tương đối trong

( , )

CY Chứng minh

( ) Hiển nhiên, do là đa tạp phức

( ) Nếu F không là chuẩn tắc đều thì có đa tạp phức M sao cho

F không là compact tương đối trong C M Y( , ) Theo định lý

Ascoli, do Y là không gian compact nên F Hol(M X, ) không là liên tục đồng đều Vì tính liên tục đồng đều là tính chất địa phương, ta có thể giả thiết

và F Hol(M X, ) không liên tục đồng đều từ 0 M tới q Y

Chọn các dãy { }fn F ;{pn} M \ {0} và { }n Hol(M X, ) sao cho

pf  q và fn  n(pn)½ q Ta định nghĩa hàm n Hol( ,X), ( ) n

2.1.4 Định lý ([5]) Giả sử X là không gian con phức compact tương đối

trong không gian phức Y Khi đó các điều kiện sau là tương đương

i) X là nhúng hyperbolic trong Y;

ii) Hol( ,X) là compact tương đối trong ( ,CY ); iii) Hol( ,X) là họ con chuẩn tắc đều của Hol( , )Y

2.1.5 Bổ đề Giả sử F Hol( * , )mY là họ chuẩn tắc đều Nếu { }n *m,

{ }fn F sao cho n 0 m và fn( n) p Y thì với mỗi lân cận U của p, tồn tại lân cận W của 0 trong m sao cho

f  tU Tức là

triển hội tụ Noguchi như sau

2.1.6 Định lý Giả sử M là đa tạp phức và A là divisor có giao chuẩn tắc

trong M Giả sử F Hol M( \ , )A Y là họ chuẩn tắc đều và F là bao đóng của F trong (C M A Y\ , ) Khi đó

i) Mỗi f F đều thác triển được thành f C M Y( , )

ii) [C M Y, ,F là compact trong (] C M Y, ) iii) Nếu { }fnF và fnf thì fnf