Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học_SKKN toán THPT

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm những bài tập dạng

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Bài toán cực trị hình học là những bài toán khó đối với học sinh THPT chính vì vậy trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh thường ngại làm những bài tập dạng này Để học sinh tiếp cận tốt mảng bài tập về cực trị hình học thì trước hết phải làm cho học sinh thấy được một số bài toán cực trị hình học thực chất là những bài toán hình học phẳng cơ bản dễ khai thác với kiến

cơ bản dễ áp dụng chứ không phải là những bài tập phức tạp trừu tượng khó

giải quyết Chính vì vậy tôi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học”.Với những khai thác rất cơ bản về tính chất hình chiếu của điểm

trên đường thẳng đã mở ra các hướng giải quyết rất đơn giản cho một số bài toán cực trị có liên quan đến khoảng cách Từ đó sẽ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ các bài toán cực trị hình học tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi, sáng tạo khai thác các tính chất hình học vào giải toán Quy các bài toán lạ, phức tạp về các bài toán đã biết cách giải

PHẦN II: giải quyết VẤN ĐỀ

1 Thực trạng vấn đề.

Khi gặp các bài toán về cực trị hình học học sinh thường lúng túng trong hướng giải quyết và ngại học phần này

2 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài đã sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp

3 Đối tượng.

ôn tập cho học sinh lớp 10 và ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình

4 Cách thức thực hiện.

Để thực hiện đề tài này, tôi phân thành hai dạng bài tập tương ứng với các hướng vận dụng của hình chiếu của điểm trên đường thẳng

5 Nội dung.

A CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Cho đường thẳng , điểm A thuộc , điểm M không thuộc 

Gọi H là hình chiếu của M trên 

Khi đó: d(M; )= MH  MA

Suy ra:

A

M



+d(M; ) lớn nhất bằng MA khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng 

+ MA nhỏ nhất bằng MH khi điểm A trùng với điểm H hay A là hình chiếu của điểm M trên đường thẳng 

Đó là hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất cơ bản d(M; ) MA

2 Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu của điểm trên đường thẳng

Cho đường thẳng và điểm M, gọi H là hình chiếu của M trên  Điểm H được xác định như sau:

Cách 1:

+Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với 

+Toạ độ giao điểm của đường thẳng d và chính là điểm H cần tìm

Cách 2:

+Gọi toạ độ điểm H(x;y) Do H  nên toạ độ H biểu thị theo một biến x +Do HM  nên MH u 0 ( u là một vectơ chỉ phương của)

Suy ra toạ độ điểm H

B Một số dạng toán cơ bản

Khai thác tính chất của hình chiếu của điểm trên đường thẳng có nhiều bài toán cực trị về hình học phẳng đã được giải quyết rất ngắn gọn và độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh hứng thú hơn trong học tập Giúp phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh

Các bài tập được chọn trong đề tài này có thể bắt nguồn từ các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập Mức độ bài tập được nâng dần lên, quy lạ thành quen và có sự tổng quát hóa bài toán sau mỗi dạng toán Các dạng toán được phân chia sao cho học sinh dễ tiếp thu và vận dụng linh hoạt trên cơ sỏ hai hướng khai thác cơ bản từ tính chất d(M; ) MA

Dạng 1: Tìm toạ độ điểm.

1.Bài toán 1: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho vectơ ua MAb MB (a+b0) có độ dài nhỏ nhất Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định

Ta có ua MAb MB a(MI IA)b(MI IB)(ab)MI

 u  a  b MI

2

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm

I trên đường thẳng 

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : x-y-2 = 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm toạ

độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho vectơ uMAMB có độ dài nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho IA  IB  0 I(0;1)

(điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB)

Ta có : uMAMB2MI  u 2MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I

trên đường thẳng 

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 

là: x+ y- 1= 0

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng là nghiệm của hệ :







































2 1 2 3 0

2

0 1

y

x y

x

y x

Vậy M )

2

1

; 2

3 (  là điểm cần tìm

Ví dụ 2: Cho đường thẳng : 2x- y+1 = 0 và hai điểm A(-1;2), B(1;4) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho vectơ u2MA 3MB có độ dài nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho 2IA 3IB0 I(5;8)

Ta có : u2MA 3MB2(MI IA) 3(MI IB)MI  u  MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 

là: (x-5)+2(y-8)=0 x 2y 210

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng là nghiệm của hệ phương

trình:





































5 43 5 19 0

1 2

0 21 2

y

x y

x

y x

Vậy M )

5

43

; 5

19 ( là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho thêm điểm C, xét vectơ ua1MAa2MBa3MC (a1+ a2+ a3  0)

và cũng câu hỏi như trên

Ví dụ 3 (b.37sbt) Cho tam giác ABC và đường thẳng d Tìm toạ độ điểm M trên đường thẳng d sao cho vectơ uMAMB2MC có độ dài nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho IA  IB  2 IC  0  điểm I cố định

Ta có : uMAMB2MC4MI  u 4MI

u nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I

trên đường thẳng 

Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1) và đường thẳng  Tìm điểm M thuộc

1 1



n

i i n

nMA a a

MA a

Hướng dẫn: Cách tìm điểm M như bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

a1IA1  a n IA n 0

Nếu a1= a2= = an thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A1,

A2, , An

4

Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do

M thuộc nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó u là biểu thức bậc hai theo biến đó Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của u và toạ độ

của điểm M Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú tìm tòi sáng tạo cho học sinh giải toán

*Các bài tập tương tự.

Cho các điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3) Tìm các điểm M, N, E, F sao cho các vectơ sau có độ dài nhỏ nhất:

u2MA 5MB

u  2 NA  NB  3 NC

u  EA  EB  EC  ED

u  3 FA  4 FB  FC  2 FD

2.Bài toán 2: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc

đường thẳng sao cho biểu thức :

X aMA2 bMB2 ( Với a+ b > 0 ) đạt giá trị nhỏ nhất

X aMA2 bMB2 ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn nhất

Phương pháp: Chọn điểm I sao cho a IAb IB0 suy ra điểm I cố định

Ta có: X a MA2 b MB2 a(MI IA)2 b(MI IB)2

2 2

2

2 2

2

) (

) (

2 )

(

bMB aMA

MI b a

MB b MA a IB b IA a MI MI

b a





















Do các điểm A, B, I cố định nên giá trị của biểu thức X phụ thuộc vào MI Suy ra :

+)Nếu a+ b > 0 thì biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng 

+)Nếu a+ b < 0 thì biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất hay điểm

M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng 

Ví dụ minh hoạ:

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 2x- y- 1 = 0 và hai điểm A(3;1), B(-2;2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng  sao cho biểu thức X 2MA2 MB2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải Chọn điểm I sao cho 2IAIB0 I(

3

4

; 3

4 )

Ta có : X 2MA2 MB2 3MI2 2IA2 IB2

Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài

MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng 

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 

3

4 ( 2 ) 3

4 (

1 x   y    x  y  

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng là nghiệm của hệ :





































5 7 5 6 0

4 2

0 1 2

y

x y

x

y x

Vậy M )

5

7

; 5

6 ( là điểm cần tìm.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= 0 và hai điểm A(2;1), B(-3;2) Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho biểu thức Y MA2  2MB2 đạt giá trị lớn nhất

Giải Chọn điểm I sao cho IA 2IB0 I(-8;3)

Ta có : Y MA2  2MB2 MI2 IA2  2IB2

Do các điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn nhất khi và chỉ khi độ dài MI nhỏ nhất hay điểm M là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng 

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 

là: 3 ( x  8 )  1 ( y  3 )  0  3 x  y  21  0

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng là nghiệm của hệ :

6

.

2 3 2

13 0

21 3

0 2 3









































y

x y

x

y

x

Vậy M )

2

3

; 2

13 (   là điểm cần tìm

Nhận xét: Từ bài toán 1 ta có thể nâng mức độ khó của bài toán bằng cho

3

2 2

2

a

như trên

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3) Gọi M là trung điểm của AB, G là trọng tâm của tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P trên đường thẳng BC sao cho biểu thức X PA2 PG2 PM2 đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Ta có M(2;0), G(3;1)

Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= 0

Chọn điểm I sao cho IAIGIM 0 I(2;1) (I là trọng tâm tam giác AGM)

Ta có : X PA2 PG2 PM2 3PI2 IA2 IG2 IM2

Do các điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài

PI nhỏ nhất hay điểm P là hình chiếu của điểm I trên đường thẳng 

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và vuông góc với đường thẳng 

là: 2 ( x  2 )  5 ( y  1 )  0  2 x  5 y  9  0

Toạ độ hình chiếu của điểm I trên đường thẳng là nghiệm của hệ:





































29 7 29 113 0

19 2

5

0 9 5 2

y

x y

x

y x

Vậy M )

29

7

; 29

113 ( là điểm cần tìm.

Nhận xét: Từ các ví dụ đó có thể giải quyết bài toán tổng quát :

Bài toán tổng quát:

Cho n điểm A1, A2, , An(nN, n 1)và đường thẳng 

Tìm điểm M thuộc sao cho biểu thức X a1MA12  a n MA12 đạtgiá trị

nhỏ nhất (nếu 0

1







n

i i

a ), đạt giá trị lớn nhất (nếu 0

1







n

i i

Hướng dẫn: Cách tìm điểm M như bài toán 1 với chọn điểm I sao cho

a1IA1  a n IA n 0

Nếu a1= a2 = = an thì điểm I xác định như trên là trọng tâm của hệ n điểm A1,

A2, , An

Nhận xét: Có thể giải quyết dạng toán này bằng cách gọi toạ độ điểm M, do

M thuộc  nên có thể biểu thị toạ độ điểm M theo một biến Do đó X là biểu thức bậc hai theo biến đó Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất của

X và toạ độ của điểm M Tuy nhiên cách này đôi khi phức tạp về mặt tính toán, dễ sai sót còn cách trình bày trên học sinh dễ tiếp thu và trình bày không phức tạp về mặt tính toán tạo hứng thú trong học tập, tăng khả năng tìm tòi sáng tạo cho học sinh khi giải toán

*Các bài tập tương tự.

Bài 1: Cho các điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2) Tìm các điểm M, N, E,

F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:

b.X2  3 NB2  NC2  2 ND2

c X3  EA2  2 EB2  3 EC2  ED2

Bài 2: Cho các điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2) Tìm các điểm I, K, F sao cho các biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất:

c X3  FM2  4 FN2  3 FP2  FE2

Nhận xét: Hình chiếu của điểm có thể chính là điểm cần tìm của bài toán, tuy nhiên có bài toán nó không trực tiếp là điểm cần tìm nhưng lại rất quan trọng

hộ trợ cho việc tìm điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng từ đó khai thác tính chất hình học để giải bài toán cực trị như hai dạng toán sau:

3.Bài toán 3: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất

8

A

B M



Phương pháp:

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với 

thì MA+ MBAB

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng AB khi M = AB

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với 

Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng 

Ta có MA= A1M

 MA+ MB = MA1+ MB A1B

Suy ra MA+ MB nhỏ nhất bằng A1B khi

M= A1B.

Ví dụ minh hoa:

Ví dụ 1: Cho đường thẳng : 3x- 4y+1= 0 và hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ nhất Giải

Nhận thấy hai điểm A, B nằm cùng phía đối với  Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng  Ta có MA = A1M

 MA + MB = MA1+ MBA1B Suy ra MA + MB nhỏ nhất bằng A1B khi M =A1B.

Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng 

là: 4(x-1) + 3(y-2) = 0 4x + 3y - 10 = 0

Toạ độ hình chiếu H của điểm A trên đường thẳng là nghiệm của hệ :

) 25

34

; 25

37 ( 25

34 25 37 0

1

4

3

0 10

3

4

H y

x y

x

y

x







































Do H là trung điểm của AA1 nên A1(

25

18

; 25

49

)

Phương trình đường thẳng A1B là: 9x - 37y + 9 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :

1

A

A M

B









































25 6 75 1 0

1 4 3

0 9 37 9

y

x y

x

y x

Vậy M(

25

6

; 75

1



) là điểm cần tìm

Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + 2 = 0 và điểm A(2;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d sao cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ nhất

Giải

Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM

Vì OA = 2 không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ nhất khi OM + MA nhỏ nhất

Nhận thấy hai điểm O, A nằm cùng phía đối với d

Gọi O1 là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d Ta có MO= MO1  MA+

MO = MO1+ MAO1A Suy ra MA + MO nhỏ nhất bằng O1A khi M =

d

A

O 1 .

Phương trình đường thẳng d1 đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d là: x + y = 0

Toạ độ hình chiếu H của điểm O trên đường thẳng d là nghiệm của hệ :

1

1 0

2

0

1  





































O H

y

x y

x

y

x

Phương trình đường thẳng O1A là: x + 2y- 2 = 0

Toạ độ điểm M cần tìm là nghiệm của hệ :







































3 4 3 2 0

2

0 2 2

y

x y

x

y x

Vậy M(

3

4

; 3

2



) là điểm cần tìm

*Các bài tập tương tự.

Bài 1: Cho các điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0)

a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất

10

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho NA + NC đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H là trực tâm của tam giác a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB sao cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ nhất

b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC sao cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ nhất

4.Bài toán 4: Cho đường thẳng và hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA  MB đạt giá trị lớn nhất.

Phương pháp:

+)Nếu hai điểm A, B nằm cùng phía đối với 

thì MA MB AB

Suy ra MA  MB lớn nhất bằng AB

khi M = AB

+)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía đối với 

gọi A1 là điểm đối xứng với A qua đường thẳng 

Ta có MA = A1M  MA MB MA1  MB A1B

Suy ra MA  MB lớn nhất bằng A1B khi M = A1B.

Ví dụ minh hoa:

Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106)

Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) và đường thẳng : 2x- y- 1 = 0

Tìm toạ độ điểm N trên sao cho NP  NQ lớn nhất.

Giải

Nhận thấy hai điểm P, Q nằm cùng phía đối với 

Ta có NA NB PQ Suy ra NP  NQ lớn nhất bằng PQ khi N= PQ.

Phương trình đường thẳng PQ là: 5x- 2y + 7 = 0

Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ phương trình:

19

9 0

1 2

0 7 2 5



































y

x y

x

y x

Vậy N(-9;-19) là điểm cần tìm

A

B

M



A

B

A1