Rèn luyện cho học sinh kĩ năng khai thác hình chiếu của điểm trên đường thẳng để giải một số bài toán cực trị hình học

Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Bài toán cực trị hình học tốn khó học sinh THPT q trình giảng dạy nhận thấy học sinh thường ngại làm tập dạng Để học sinh tiếp cận tốt mảng tập cực trị hình học trước hết phải làm cho học sinh thấy số tốn cực trị hình học thực chất tốn hình học phẳng dễ khai thác với kiến dễ áp dụng tập phức tạp trừu tượng khó giải Chính tơi chọn đề tài : “Rèn luyện cho học sinh kĩ khai thác hình chiếu điểm đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học”.Với khai thác tính chất hình chiếu điểm đường thẳng mở hướng giải đơn giản cho số tốn cực trị có liên quan đến khoảng cách Từ làm cho học sinh có cách nhìn khác vễ tốn cực trị hình học tạo hứng thú học tập, tăng khả tìm tịi, sáng tạo khai thác tính chất hình học vào giải tốn Quy tốn lạ, phức tạp toán biết cách giải PHẦN II: giải VẤN ĐỀ Thực trạng vấn đề Khi gặp toán cực trị hình học học sinh thường lúng túng hướng giải ngại học phần Phương pháp nghiên cứu Đề tài sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp Đối tượng ôn tập cho học sinh lớp 10 ôn thi đại học cho học sinh lớp 12 trường THPT Ba Đình Cách thức thực Để thực đề tài này, phân thành hai dạng tập tương ứng với hướng vận dụng hình chiếu điểm đường thẳng Nội dung A CƠ SỞ LÝ THUYẾT Cho đường thẳng ∆ , điểm A thuộc ∆ , điểm M khơng thuộc ∆ M Gọi H hình chiếu M ∆ Khi đó: d(M; ∆ )= MH ≤ MA A ∆ Suy ra: Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 +d(M; ∆ ) lớn MA điểm A trùng với điểm H hay A hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ + MA nhỏ MH điểm A trùng với điểm H hay A hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ Đó hai hướng khai thác linh hoạt từ tính chất d(M; ∆ ) ≤ MA Phương pháp tìm toạ độ hình chiếu điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆ điểm M, gọi H hình chiếu M ∆ Điểm H xác định sau: Cách 1: +Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ∆ +Toạ độ giao điểm đường thẳng d ∆ điểm H cần tìm Cách 2: +Gọi toạ độ điểm H(x;y) Do H∈ ∆ nên toạ độ H biểu thị theo biến x +Do HM ⊥ ∆ nên MH u = ( u vectơ phương ∆ ) Suy toạ độ điểm H B Một số dạng tốn Khai thác tính chất hình chiếu điểm đường thẳng có nhiều tốn cực trị hình học phẳng giải ngắn gọn độc đáo dễ vận dụng tạo cho học sinh hứng thú học tập Giúp phát triển tư sáng tạo cho học sinh Các tập chọn đề tài bắt nguồn từ tập sách giáo khoa sách tập Mức độ tập nâng dần lên, quy lạ thành quen có tổng qt hóa tốn sau dạng tốn Các dạng toán phân chia cho học sinh dễ tiếp thu vận dụng linh hoạt sỏ hai hướng khai thác từ tính chất d(M; ∆ ) ≤ MA Dạng 1: Tìm toạ độ điểm 1.Bài toán 1: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho vectơ u = a MA + b MB (a+b ≠ ) có độ dài nhỏ Phương pháp: Chọn điểm I cho a IA + b IB = suy điểm I cố định Ta có u = a MA + b MB = a ( MI + IA) + b( MI + IB) = ( a + b) MI ⇒ u = a + b MI Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : x-y-2 = hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho vectơ u = MA + MB có độ dài nhỏ Giải Chọn điểm I cho IA + IB = ⇒ I(0;1) (điểm I trung điểm đoạn thẳng AB) Ta có : u = MA + MB = MI ⇒ u = MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vng góc với đường thẳng ∆ là: x+ y- 1= Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ :  x=  x + y − =  ⇒  x − y − =  y = −  −1 Vậy M ( ; ) điểm cần tìm 2 Ví dụ 2: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y+1 = hai điểm A(-1;2), B(1;4) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho vectơ u = MA − 3MB có độ dài nhỏ Giải Chọn điểm I cho IA − 3IB = ⇒ I(5;8) Ta có : u = MA − 3MB = 2( MI + IA) − 3( MI + IB) = − MI ⇒ u = MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Phương trình đường thẳng d qua điểm I vng góc với đường thẳng ∆ là: (x-5)+2(y-8)=0 ⇒ x + y − 21 = Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ phương  19 x=  x + y − 21 =  ⇒ trình:  2 x − y + =  y = 43  19 43 Vậy M ( ; ) điểm cần tìm 5 Nhận xét: Từ tốn ta nâng mức độ khó tốn cho thêm điểm C, xét vectơ u = a1 MA + a2 MB + a3 MC (a1+ a2+ a3 ≠ ) câu hỏi Ví dụ (b.37sbt) Cho tam giác ABC đường thẳng d Tìm toạ độ điểm M đường thẳng d cho vectơ u = MA + MB + 2MC có độ dài nhỏ Giải Chọn điểm I cho IA + IB + IC = ⇒ điểm I cố định Ta có : u = MA + MB + MC = 4MI ⇒ u = MI u nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Nhận xét: Từ ví dụ giải tốn tổng qt : Bài toán tổng quát: Cho n điểm A1, A2, , An(n∈ N , n > 1) đường thẳng ∆ Tìm điểm M thuộc n ∆ cho vectơ u = a1 MA1 + + an MAn (∑ ≠ 0) có độ dài nhỏ i =1 Hướng dẫn: Cách tìm điểm M tốn với chọn điểm I cho a1 IA1 + + an IAn = Nếu a1= a2= = an điểm I xác định trọng tâm hệ n điểm A1, A2, , An Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Nhận xét: Có thể giải dạng tốn cách gọi toạ độ điểm M, M thuộc ∆ nên biểu thị toạ độ điểm M theo biến Do u biểu thức bậc hai theo biến Từ tìm giá trị nhỏ u toạ độ điểm M Tuy nhiên cách phức tạp mặt tính tốn, dễ sai sót cịn cách trình bày học sinh dễ tiếp thu trình bày khơng phức tạp mặt tính tốn tạo hứng thú tìm tịi sáng tạo cho học sinh giải toán *Các tập tương tự Cho điểm A(-1;2), B(0;1), C(3;5), D(-4;3) Tìm điểm M, N, E, F cho vectơ sau có độ dài nhỏ nhất: u = MA − 5MB u = NA − NB + NC u = EA + EB + EC + ED u = 3FA − FB + FC + FD 2.Bài toán 2: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức : X = aMA + bMB ( Với a+ b > ) đạt giá trị nhỏ X = aMA + bMB ( Với a+ b < 0) đạt giá trị lớn Phương pháp: Chọn điểm I cho a IA + b IB = suy điểm I cố định 2 Ta có: X = a MA + b MB = a ( MI + IA) + b( MI + IB) 2 = (a + b) MI + MI (a IA + b IB) + a MA + b MB = (a + b) MI + aMA2 + bMB Do điểm A, B, I cố định nên giá trị biểu thức X phụ thuộc vào MI Suy : +)Nếu a+ b > biểu thức X nhỏ MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ +)Nếu a+ b < biểu thức X lớn MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Ví dụ minh hoạ: Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : 2x- y- = hai điểm A(3;1), B(-2;2) Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho biểu thức X = 2MA2 + MB đạt giá trị nhỏ Giải 4 Chọn điểm I cho IA + IB = ⇒ I( ; ) 3 Ta có : X = MA + MB = 3MI + IA + IB Do điểm A, B, I cố định nên biểu thức X nhỏ độ dài MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vng góc với đường thẳng ∆ là: 4 1( x − ) + 2( y − ) = ⇒ x + y − = 3 Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ :  x =  2 x − y − = ⇒   x + y − =  y =  Vậy M ( ; ) điểm cần tìm 5 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: x- 3y+ 2= hai điểm A(2;1), B(-3;2) Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng d cho biểu thức Y = MA − 2MB đạt giá trị lớn Giải Chọn điểm I cho IA − IB = ⇒ I(-8;3) Ta có : Y = MA − 2MB = − MI + IA − IB Do điểm A, B, I cố định nên biểu thức X lớn độ dài MI nhỏ hay điểm M hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vng góc với đường thẳng ∆ là: 3.( x + 8) + 1.( y − 3) = ⇒ x + y + 21 = Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ : Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 − 13  x =  x − y + = ⇒  3 x + y + 21 =  y = −  − 13 − ; ) điểm cần tìm Vậy M ( 2 Nhận xét: Từ toán ta nâng mức độ khó tốn cho 2 thêm điểm C xét biểu thức X = a1 MA + a2 MB + a3 MC câu hỏi Ví dụ Cho tam giác ABC với A(1;2), B(3;-2), C(5;3) Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P đường thẳng BC cho biểu thức X = PA + PG + PM đạt giá trị nhỏ Giải Ta có M(2;0), G(3;1) Phương trình đường thẳng BC: 5x- 2y- 19= Chọn điểm I cho IA + IG + IM = ⇒ I(2;1) (I trọng tâm tam giác AGM) Ta có : X = PA + PG + PM = 3PI + IA + IG + IM Do điểm A, G, M cố định nên biểu thức X nhỏ độ dài PI nhỏ hay điểm P hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm I vng góc với đường thẳng ∆ là: 2( x − 2) + 5( y − 1) = ⇒ x + y − = Toạ độ hình chiếu điểm I đường thẳng ∆ nghiệm hệ:  113  x = 29 2 x + y − = ⇒  5 x − y − 19 =  y =  29 113 ; ) điểm cần tìm Vậy M ( 29 29 Nhận xét: Từ ví dụ giải toán tổng quát : Bài toán tổng quát: Cho n điểm A1, A2, , An(n∈ N , n > 1) đường thẳng ∆ Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Tìm điểm M thuộc ∆ cho biểu thức X = a1 MA1 + + a n MA1 đạtgiá trị nhỏ (nếu n n i =1 i =1 ∑ > ), đạt giá trị lớn (nếu ∑ < ) Hướng dẫn: Cách tìm điểm M toán với chọn điểm I cho a1 IA1 + + an IAn = Nếu a1= a2 = = an điểm I xác định trọng tâm hệ n điểm A1, A2, , An Nhận xét: Có thể giải dạng toán cách gọi toạ độ điểm M, M thuộc ∆ nên biểu thị toạ độ điểm M theo biến Do X biểu thức bậc hai theo biến Từ tìm giá trị nhỏ lớn X toạ độ điểm M Tuy nhiên cách đơi phức tạp mặt tính tốn, dễ sai sót cịn cách trình bày học sinh dễ tiếp thu trình bày khơng phức tạp mặt tính tốn tạo hứng thú học tập, tăng khả tìm tịi sáng tạo cho học sinh giải toán *Các tập tương tự Bài 1: Cho điểm A(1;-2), B(3;1), C(-3;4), D(-1;2) Tìm điểm M, N, E, F cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: 2 a X = MA + 2MB b X = NB − NC + ND 2 c X = EA + EB + 3EC + ED 2 2 Bài 2: Cho điểm M(-1;-2), N1;3), P(-2;5), E(-3;2) Tìm điểm I, K, F cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất: a X = IM − 3IN 2 b X = KP − KM − 3KE 2 c X = FM − FN + 3FP − FE 2 2 Nhận xét: Hình chiếu điểm điểm cần tìm tốn, nhiên có tốn khơng trực tiếp điểm cần tìm lại quan trọng hộ trợ cho việc tìm điểm đối xứng với điểm qua đường thẳng từ khai thác tính chất hình học để giải tốn cực trị hai dạng toán sau: 3.Bài toán 3: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ A ∆ M B Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Phương pháp: +)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía ∆ MA+ MB ≥ AB Suy MA+ MB nhỏ AB M = AB ∩ ∆ +)Nếu hai điểm A, B nằm phía ∆ Gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ A Ta có MA= A1M ⇒ MA+ MB = MA1+ MB ≥ A1 B Suy MA+ MB nhỏ A1B M= A1 B ∩ ∆ A1 B M ∆ Ví dụ minh hoa: Ví dụ 1: Cho đường thẳng ∆ : 3x- 4y+1= hai điểm A(1;2), B(-1;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA+ MB đạt giá trị nhỏ Giải Nhận thấy hai điểm A, B nằm phía ∆ Gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ Ta có MA = A1M ⇒ MA + MB = MA1+ MB ≥ A1 B Suy MA + MB nhỏ A1B M = A1 B ∩ ∆ Phương trình đường thẳng d qua điểm A vng góc với đường thẳng ∆ là: 4(x-1) + 3(y-2) = ⇒ 4x + 3y - 10 = Toạ độ hình chiếu H điểm A đường thẳng ∆ nghiệm hệ : 37  x = 4 x + y − 10 =  37 34 25 ⇒ ⇒ H( ; )  25 25 3 x − y + =  y = 34  25 49 18 ; ) 25 25 Phương trình đường thẳng A1B là: 9x - 37y + = Toạ độ điểm M cần tìm nghiệm hệ : Do H trung điểm AA1 nên A1( Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 −1  x=  9 x − 37 y + =  75 ⇒  3 x − y + = y =  25 −1 ; ) điểm cần tìm 75 25 Ví dụ 2:(b.3sgk tr 118) Cho đường thẳngd: x - y + = điểm A(2;0) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho chu vi tam giác OMA đạt giá trị nhỏ Giải Chu vi tam giác OAM bằng: OA + OM + AM Vì OA = không đổi nên chu vi tamgiác OAM nhỏ OM + MA nhỏ Nhận thấy hai điểm O, A nằm phía d Gọi O1 điểm đối xứng với O qua đường thẳng d Ta có MO= MO1 ⇒ MA+ Vậy M( MO = MO1+ MA ≥ O1 A Suy MA + MO nhỏ O1A M = O1 A ∩ d Phương trình đường thẳng d1 qua điểm O vng góc với đường thẳng d là: x+y=0 Toạ độ hình chiếu H điểm O đường thẳng d nghiệm hệ : x + y =  x = −1 ⇒ ⇒ H ( −1;1) ⇒ O1 = ( −2;2)  x − y + = y =   Phương trình đường thẳng O1A là: x + 2y- = −2  x=  x + y − =  ⇒ Toạ độ điểm M cần tìm nghiệm hệ :  x − y + = y =  −2 ; ) điểm cần tìm 3 *Các tập tương tự Bài 1: Cho điểm A(2;4), B(-4;7) C(-1;0) a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho MA + MB đạt giá trị nhỏ Vậy M( 10 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC cho NA + NC đạt giá trị nhỏ Bài 2: Cho tam giác A(-2;1), B(4;5), C(-1;0) Gọi H trực tâm tam giác a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho chu vi tam giác MHC đạt giá trị nhỏ b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng AC cho chu vi tam giác NBO đạt giá trị nhỏ 4.Bài toán 4: Cho đường thẳng ∆ hai điểm A, B Tìm điểm M thuộc đường thẳng ∆ cho MA − MB đạt giá trị lớn B Phương pháp: +)Nếu hai điểm A, B nằm phía ∆ MA − MB ≤ AB Suy MA − MB lớn AB A ∆ M M = AB ∩ ∆ +)Nếu hai điểm A, B nằm khác phía ∆ gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng ∆ M Ta có MA = A1M ⇒ MA − MB = MA1 − MB ≤ A1 B Suy MA − MB lớn A1B M = A1 B ∩ ∆ A A1 ∆ B Ví dụ minh hoa: Ví dụ 1:(b.40bsbt -tr106) Cho hai điểm P(1;6), Q(-3;-4) đường thẳng ∆ : 2x- y- = Tìm toạ độ điểm N ∆ cho NP − NQ lớn Giải Nhận thấy hai điểm P, Q nằm phía ∆ Ta có NA − NB ≤ PQ Suy NP − NQ lớn PQ N= PQ ∩ ∆ Phương trình đường thẳng PQ là: 5x- 2y + = Toạ độ điểm N nghiệm hệ phương trình: 5 x − y + =  x = −9 ⇔   x − y − = y = − 19   Vậy N(-9;-19) điểm cần tìm 11 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x- y +1 = điểm A(1;2), B(0;3) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d cho MA − MB lớn Giải Nhận thấy hai điểm A, B nằm khác phía d Gọi A1 điểm đối xứng với A qua đường thẳng d Ta có MA = A1M ⇒ MA − MB = MA1 − MB ≤ A1 B Suy MA − MB lớn A1B M = A1 B ∩ ∆ Gọi H hình chiếu A d, toạ độ H(x; 2x+1) Suy ra: 3 11 AH u d = ⇒ x = ⇒ H ( ; ) ( u d = (1;2) vectơ phương d) 5 12 Do H trung điểm AA1 nên A1( ; ) 5 Phương trình đường thẳng A1B là: 3x + y- = Toạ độ điểm M cần tìm nghiệm hệ :  x = 2 x − y + =  ⇒  3 x + y − =  y =  Vậy M( ; ) điểm cần tìm 5 *Các tập tương tự Bài1: Cho điểm A(0;1), B(-3;8), C(-3;3), D(9;5) a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AB cho MC − MO lớn b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng CD cho NA − NB nhỏ Bài 2: Cho tam giác A(-1;1), B(-4;3), C(0;1) Gọi H, K chân đường cao, chân đường phân giác kẻ từ đỉnh A đỉnh C, I trung điểm AC a.Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng AC cho MH − MK lớn b.Tìm toạ độ điểm N thuộc đường thẳng BI cho NH − NK lớn DạngII: Viết phương trình đường thẳng 1.Bài toán 1: Cho hai điểm A, B Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn 12 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Phương pháp: Gọi H hình chiếu B ∆ Ta có: d ( B; ∆) = BH ≤ AB B Suy d ( B; ∆ ) lớn AB ∆ A trùng với H hay đường thẳng ∆ qua A A vng góc với AB Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho hai điểm A(1:2), B(-1;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng cách từ B đến ∆ lớn Giải Gọi H hình chiếu B ∆ Ta có: d ( B; ∆) = BH ≤ AB Suy d ( B; ∆ ) lớn AB A trùng với H hay đường thẳng ∆ qua A vuông góc với AB ⇒ Phương trình đường thẳng ∆ là: 2x - y = Vậy đường thẳng ∆ : 2x - y = thoả mãn yêu cầu Ví dụ 2(b.41 sbt-tr106): Cho đường thẳng ∆ m : (m-2)x+ (m-1)y+ 2m-1 = điểm A(2;3) a.Chứng minh ∆ m qua điểm cố định với m b.Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ m lớn Giải a.Giả sử ∆ m qua điểm cố định M(xo;yo) với m Khi đó: (m-2)xo+ (m-1)yo+ 2m-1= ∀m ⇔ ( xo + yo + 2) m − xo − yo − = 0∀m  xo + y o + =  xo = ⇔ ⇔ − xo − y o −1 =  yo = −3 Vậy ∆ m qua điểm cố định M(1;-3) với m b.Gọi H hình chiếu A ∆ m Ta có : d ( A; ∆ m ) = AH ≤ AM 13 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Suy d ( A; ∆ m ) lớn AM H trùng với M hay AM ⊥∆ m Lại có AM = (−1;6) , ∆ m có vectơ phương u = (1 − m; m − 2) AM ⊥ ∆ m ⇔ AM u = ⇔ m = Vậy m = 11 11 giá trị cần tìm 107 Ví dụ 3: Cho điểm A(-1;0) đường tròn (c): ( ( x + ) + ( y − 1) = Một đường thẳng ∆ thay đổi qua A cắt đường tròn (c) M, N Hãy viết phương trình ∆ cho đoạn thẳng MN ngắn Giải Nhận thấy điểm A nằm đường tròn (c) nên đường thẳng ∆ qua A cắt (c) hai điểm phân biệt Đường trịn (c) có tâm I( −9 107 ;1) , bán kính R= 2 Gọi H trung điểm MN IH ⊥ MN Ta có MN= 2MH= R − IH Do MN nhỏ IH lớn Mà IH ≤ IA nên IH lớn H trùng với A hay ∆ ⊥ IH Suy phương trình đường thẳng ∆ : 7x - 2y + = Vậy đường thẳng ∆ cần tìm :7x - 2y + = Nhận xét: Từ tốn ta thay đổi cách hỏi để làm toán phức tạp chất tốn ví dụ Sự thay đổi làm cho học sinh linh hoạt hơn, tư sáng tạo * Các tập tương tự Bài 1: Cho đường thẳng ∆ m : mx+ (m-1)y- 1= điểm A(2;3) Tìm m để khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng ∆ m lớn Bài 2: Cho đường tròn (c): x + y − x + y = điểm M(1;-1) 2 Viết phương trình đường thẳng d qua M cho cắt đường tròn (C) hai điểm P, Q phân biệt cho chu vi tam giác IPQ nhỏ (I tâm đường trịn (C)) Từ tốn ta nâng mức độ khó tốn lên tốn sau 14 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Bài tốn 2: Cho ba điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Phương pháp: Xét hai trường hợp: C +)Nếu B, C nằm hai phía so với ∆ M A Gọi M = BC ∩ ∆ Ta có : d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC B Dấu xảy BC ⊥ ∆ ∆ +)Nếu B, C nằm phía so với ∆ Gọi N trung điểm BC N B C Suy ra: d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ NA Dấu xảy NA ⊥ ∆ So sánh giá trị BC 2NA suy đường thẳng ∆ cần tìm ∆ Ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho ba điểm A(1;1), B(-2;2), C(8;6) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Giải: Xét hai trường hợp: +)Nếu B, C nằm hai phía so với ∆ Gọi M=BC ∩ ∆ ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC Dấu xảy BC ⊥ ∆ +)Nếu B, C nằm phía so với ∆ Gọi N trung điểm BC, toạ độ N(3;4) ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ NA Dấu xảy NA ⊥ ∆ Ta có BC= 116 , 2NA= 13 Suy d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn 116 BC ⊥ ∆ Phương trình đường thẳng ∆ : 5(x-1)+ 2(y-1)= ⇒ 5x+ 2y- 7= Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm : 5x+ 2y- 7= Ví dụ 2: Cho tam giác ABC với A(1;1), B(3;2), C(7;10) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Giải: 15 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Xét hai trường hợp: +Nếu B, C nằm hai phía so với ∆ Gọi M=BC ∩ ∆ ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) ≤ BM + CM = BC Dấu xảy BC ⊥ ∆ +Nếu B, C nằm phía so với ∆ Gọi N trung điểm BC, toạ độ N(5;6) ⇒ d(B; ∆ )+ d(C; ∆ )= 2d ( N ; ∆) ≤ NA Dấu xảy NA ⊥ ∆ Ta có BC= 80 , AN= 45 ⇒ BC< 2AN Suy d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn NA ⊥ ∆ Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm là: 4x+ 5y- 9= Nhận xét: Từ tốn giải tốn phức tạp sau đây: Ví dụ 3: Cho ba điểm M(-1;0), N(-2;1), P(1;3) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M cho 2d(N; ∆ )+3d(P; ∆ ) lớn Giải: Chọn hai điểm N1, P1 cho: MN1 = MN , MP1 = 3MP ⇒ N1(-3;2), P1(5;9) P1 Ta có d(N1; ∆ )= 2d(N; ∆ ), d(P1; ∆ ) = 3d(P; ∆ ) Suy 2d(N; ∆ )+ 3d(P; ∆ )= d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) Do 2d(N; ∆ )+ 3d(P; ∆ ) lớn d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) lớn M Xét hai trường hợp: +Nếu N1, P1 nằm hai phía so với ∆ Gọi I = N1P1 ∩ ∆ P I ∆ N N1 ⇒ d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) ≤ N1 I + P1 N = N1 P1 Dấu xảy N1P1 ⊥ ∆ +Nếu N1, P1 nằm phía so với ∆ Gọi J trung điểm N1P1, toạ độ J(1; P1 11 ) N1 P N M J ∆ 16 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 ⇒ d(N1; ∆ )+ d(P1; ∆ ) ≤ 2d ( J ; ∆) ≤ JA Dấu xảy JA ⊥ ∆ Ta có N1P1= 113 , AJ= 137 ⇒ N1P1< 2AJ Suy d(N1; ∆ )+d(P1; ∆ ) lớn AJ ⊥ ∆ Phương trình đường thẳng ∆ : 4(x+1) + 11(y-0) = ⇒ 4x + 11y + = Vậy phương trình đường thẳng ∆ cần tìm : 4x+11y+ = Nhận xét: Cách giải khai thác tính chất hình học để giải Cách trình bày đơn giản tình tốn, phát huy tính sáng tạo tư Các tốn dạng cịn giải cách biến đổi đưa tìm giá trị lớn hàm số *)Bài toán tổng quát: Cho điểm A, B, C Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho biểu thức ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ ) đạt giá tri lớn (a > 0, b > 0) Hướng dẫn: Chọn hai điểm B1, C1 thỏa mãn : AB1 = a AB, AC1 = b AC Suy ra: ad(B; ∆ )+ bd(C; ∆ )= d(B1; ∆ )+ d(C1; ∆ ) Bài toán trở thành: viết phương trình đường thẳng ∆ qua A cho biểu thức d(B1; ∆ )+ d(C1; ∆ ) đạt giá tri lớn nhất(bài toán 1) * Các tập tương tự Bài 1: Cho ba điểm M(2;-1), N(-2;0), P(5;-6) Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho d(B; ∆ )+ d(C; ∆ ) lớn Bài 2: Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(-3;4), C(2;5) Gọi M, N, P trung điểm AB, BC, AC a,Viết phương trình đường thẳng ∆1 qua điểm M cho biểu thức d(N; ∆1 )+ 2d(P; ∆1 ) đạt giá trị lớn b,Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho biểu thức 2d(N; ∆ )+ 5(P; ∆ ) đạt giá trị lớn 17 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 PHẦN III: KẾT QUẢ NGHIấN CỨU VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM Kết nghiờn cứu Để kiểm tra hiệu đề tài tiến hành kiểm tra hai đối tượng có chất lượng tương đương lớp 1OH 1OG Trong lớp 10G chưa giới thiệu cách khai thác tính chất hình chiếu điểm đường thẳng với hình thức kiểm tra làm 45 phút với câu hỏi ĐỀ KIỂM TRA (45’) Bài 1(5điểm): Cho tam giác ABC với A(0;-2), B(-3;2), C(4;1) Gọi M trung điểm AB, G trọng tâm tam giác ABC Tìm toạ độ điểm P đường thẳng BC cho biểu thức X = PG + 3PM đạt giá trị nhỏ Bài 2(5điểm): Cho tam giác ABC với A(-1;1), B(2;5), C(-7;1) 1.Tính diện tích tam giác ABC 18 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 2.Viết phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A cho khoảng từ điểm B đến ∆ lớn Kết thu sau: Lớp Sỹ số 10H 10G Điểm < Điểm ∈[5; 8) Điểm ≥ Số lượng % Số lượng % Số lượng % 50 10% 30 60% 15 30% 50 16 32% 28 56% 12% Bài học kinh nghiệm Qua đề tài thu số học: - Cho học sinh tiếp xỳc với nhiều toỏn với cỏch giải khỏc - Rốn luyện cho học sinh kỹ phõn tớch toỏn, quy lạ quen , khai thác tính chất để tỡm lời giải tối ưu - Rốn luyện cho học sinh cỏch trỡnh bày cỏch chặt chẽ, khoa học -Phát huy linh hoạt, tính sáng tạo học sinh 3.Kết luận Sử dụng tính chất hình chiếu điểm đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học hướng giải tạo hứng thú cho học sinh, giúp em thấy vận dụng đơn giản hiệu tính chất hình học giải toán cực trị Sau thực sỏng kiến trờn cỏc buổi ụn tập cho học sinh lớp 10 ôn thi đại học lớp 10H, 12D trường THPT Ba Đỡnh cho kết tốt Học sinh cú thể sử dụng linh hoạt tính chất hình học để giải số toán cực trị Các em thấy u thích phần tốn cực trị nhận thấy nét đẹp nó, khai thác đơn giản dễ vận dụng Từ hướng khai thác hình học phẳng tơi áp dụng tính chất hình chiếu điểm đường thẳng, hình chiếu điểm mặt phẳng số tốn cực trị hình học khơng gian 19 Sáng kiến kinh nghiệm -Mai thị Nhung-THPT Ba đình -Năm học 2011-2012 Tuy nhiờn thời gian cú hạn nờn phạm vi viết tụi giải số dạng toỏn Mong bạn đồng nghiệp đóng góp ý kiến để có cách khai thác tốt cỏc toỏn thuộc thể loại Tôi xin chân thành cảm ơn! Nga Sơn, ngày 26 thỏng năm 2012 Tác giả Mai Thị Nhung 20 ... Rốn luyện cho học sinh cỏch trỡnh bày cỏch chặt chẽ, khoa học -Phát huy linh hoạt, tính sáng tạo học sinh 3.Kết luận Sử dụng tính chất hình chiếu điểm đường thẳng để giải số tốn cực trị hình học. .. độ hình chiếu điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆ điểm M, gọi H hình chiếu M ∆ Điểm H xác định sau: Cách 1: +Viết phương trình đường thẳng d qua M vng góc với ∆ +Toạ độ giao điểm đường thẳng. .. -Năm học 2011-2012 +d(M; ∆ ) lớn MA điểm A trùng với điểm H hay A hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ + MA nhỏ MH điểm A trùng với điểm H hay A hình chiếu điểm M đường thẳng ∆ Đó hai hướng khai thác