Một số định lý điểm bất động

Một số định lý điểm bất động

Đại học tháI nguyên Trường đại học sư phạm

-

Trương thị hải yến

Một số định lý điểm bất động Chuyên ngành : Giải tích

Mã số : 60.46.01

Luận văn thạc sỹ toán học

Người hướng dẫn khoa học:

PGS.TS TRƯƠNG XUÂN ĐỨC HÀ

Thái Nguyên - 2008

MỤC LỤC

Lời nói đầu……… 2

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị……… 4

1.1.Tính compact và tính đầy đủ……… 4

1.2 Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số………5

1.3 Tập sắp thứ tự……….5

1.4 Không gian điểm bất động……….6

1.5 Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ………9

Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ và ứng dụng của định lí Banach……… 12

2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach………12

2.2 Miền bất biến cơ sở……… 15

2.3 Phương pháp liên tục cho ánh xạ co……….17

2.4 Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co……….20

2.5 Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach……… 23

2.6 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert……… 28

2.7 Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……….36

Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự .39 3.1 Định lí Knaster - Tarski……… 39

3.2 Tính thứ tự và tính đầy đủ Định lí Bishop - Phelps……….42

3.3 Điểm bất động của ánh xạ co đa trị……… 45

3.4 Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach………… 47

3.5 Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn……… 48

Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51

4.1 Nguyên lí ánh xạ KKM ……….……… 51

4.2 Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức……… 56

4.3 Điểm bất động của ánh xạ Affine Định lí Markoff – Kakutani……… 60

Kết luận……… 63

Tài liệu tham khảo……….64

LỜI NÓI ĐẦU

Cho C là một tập con của không gian X,F là một ánh xạ từ C vào

X Phải đặt những điều kiện nào trên C ,X và F để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm x0 trong C sao cho Fx0 =x0? Điểm x0 như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F

Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922) Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji Fixed point Theory Springer – Verlag NewYork, 2003 Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và tính lồi

Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây:

Chương 1 Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi

luận văn

Chương 2 Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ

của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng của nó

Chương 3 Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ

tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch Xét mối liên hệ giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland Trong chương này còn trình

bày điểm bất động của ánh xạ co đa trị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn

Chương 4 Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể

là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS

Trương Xuân Đức Hà , tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu

sắc đến cô Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc

và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này

Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn Tác giả xin chân trọng cảm ơn!

Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008 Học viên

Trương Thị Hải Yến

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một không gian mêtric với mêtric d Một dãy

{ }xn trong Xđược gọi là dãy Cauchy nếu

, lim ( ,nm) 0

n md x x

→∞ = , tức là với mọi 0

ε > , tồn tại n sao cho v0 ới mọi n m, > ta có ( , )n0 d x xnm < ε

Định nghĩa 1.1.2 Không gian mêtricX gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy

Cauchy trong nó đều hội tụ Ví dụ: n

 là không gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid

Định nghĩa 1.1.3 Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập

compact nếu với mọi dãy { }xn trong A , tồn tại dãy con { }xnk hội tụ đến một phần tử của A Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A của A trong

T D T ⊆ X → Yđược gọi là toán tử compact nếu T là liên tục và T biến

một tập bị chặn thành một tập compact tương đối

Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor) Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy

hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất Ta nhắc lại, dãy hình cầu { }Bn (với dãy bán kính tương ứng { }rn ) được gọi là thắt dần nếu

Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder) Cho M là một tập không

rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X , và giả sử :T M →M là toán tử compact Khi đó, T có một điểm bất động

1.2 Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số

Cho X là không gian mêtric Giả sử ∅ ≠ ⊂ , :AXf A→  và x0∈A

Định nghĩa 1.2.1 Hàm f bị chặn dưới trên A nếu tồn tại h∈ : ( )f x ≥h

với mọi x A∈ Hàm f bị chặn trên trên A nếu tồn tại h∈ : ( )f x ≤h với mọi x A∈

Định nghĩa 1.2.2 Hàm f là nửa liên tục dưới tại x0∈ nA ếu với mọi ε > , 0tồn tại δ > sao cho 0 f x( )0 − f x( )<ε với mọi x∈B x( , )0 δ , tức là

Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm x A∈ thì f được gọi là nửa liên tục

dưới trên A Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên A nếu hàm f− là nửa liên tục dưới trên A

1.3 Tập sắp thứ tự

Định nghĩa 1.3.1 Tập X cùng với quan hệ ° thoả mãn i) x° x với mọi x∈X (tính phản xạ)

ii) x° y, y° x kéo theo x= y (tính phản đối xứng)

iii) x° y, y° z kéo theo x° z (tính bắc cầu)

được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “° ”

Định nghĩa 1.3.2 Tập con A⊂ Xđược gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay

xích) nếu với ,x y∈ bAất kì thì hoặc x y° hoặc y x°

Giả sử X là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự ° và A là một tập con khác rỗng của X

Định nghĩa 1.3.3 Một phần tử a X∈ gọi là phần tử cực đại của X nếu quan hệ a x° kéo theo x= , với mọi x Xa ∈ Một phần tử a X∈ gọi là phần tử

cực tiểu của X nếu quan hệ x a° kéo theo x= , vaới mọi x X∈

Định nghĩa 1.3.4 Phần tử a X∈ gọi là cận trên của tập A nếu x a° với mọi

x∈ NAếu a A∈ và a là một cận trên của A thì a gọi là phần tử lớn nhất

của A và kí hiệu là max A Phần tử a X∈ gọi là cận dưới của tập A nếu

a° x với mọi x A∈ Nếu a A∈ và a là một cận dưới của A thì a gọi là

phần tử nhỏ nhất của A và kí hiệu là min A

Định nghĩa 1.3.5 Phần tử a X∈ gọi là supremum của A (hay cận trên đúng của A) nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của A, và kí hiệu là supA Phần tử a X∈ gọi là infimum của A (hay cận dưới đúng của A) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của A, và kí hiệu là inf A

Định nghĩa 1.3.6 Tập hợp Ađược gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận

trên Tập hợp Ađược gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới Tập hợp A

được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới

Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn) Giả sử X ≠ ∅ là tập sắp thứ tự bộ phận Nếu mọi xích của X đều có cận trên thì X có phần tử cực đại

1.4 Không gian điểm bất động

Định nghĩa 1.4.1 Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và f là một ánh xạ liên tục của X, hoặc của một tập con của X, vào X Một điểm

x∈Xđược gọi là một điểm bất động đối với f nếu x= f x( ) Tập tất cả các điểm bất động của f ký hiệu là Fix f ( )

Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các định lí về tồn tại trong giải tích Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình

( ) 0

P z = , trong đó P là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một

điểm bất động của ánh xạ zz P z− ( ) Tổng quát hơn, nếu D là toán tử bất kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình

Du= (tương ứng uλDu=0) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh xạ u u Du− (tương ứng uλDu) có một điểm bất động Như vậy, những điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích

Cho một không gian X và ánh xạ liên tục f X:→X Sự tồn tại một

điểm bất động đối với f có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không

gian X, hơn là vào tính chất của ánh xạ f

Định nghĩa 1.4.2 Một không gian tôpô (Hausdorff ) X được gọi là không

gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục :f X→ Xđều có một điểm bất động

Ví dụ 1.4.3

(i) Một khoảng đóng bị chặn J =a b, ⊂  bất kỳ là một không gian điểm bất động Thật vậy, cho :f J → ta có Ja− f a( ) 0≤ và b− f b( ) 0≥ , theo định lý giá trị trung bình phương trình x− f x( )= có m0 ột nghiệm trong J, do đó f có một điểm bất động

(ii) Tập số thực  không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ 1

xx+ không có điểm bất động

Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian có là không gian điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng Một ví dụ là định lí điểm bất động Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong n

 đều là không gian điểm bất động

Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu X là không gian điểm bất động và h X: →Y là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên

g h x =h x và h x là m( )0 ột điểm bất động đối với g

Ví dụ 1.4.4 Đồ thị của hàm liên tục : ,f a b→  , cho bởi

< ≤=

là đồng phôi vào [ ]a b , vì th, ế nó là một không gian điểm bất động

Nếu X không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động Để hợp thức hoá khái niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2:

Định nghĩa 1.4.5 Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và Mlà một lớp các ánh xạ liên tục :f X→ NXếu mọi f ∈M có điểm bất động thì X được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với M

Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi không

gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ co

Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi M là lớp các ánh xạ compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục :f X → vX ới bao đóng f X( ) của

(ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích

đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là

không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact

Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô Chẳng hạn, một tập mở bất kì ( )a b, ⊂  , cũng như đồ thị của sin 1 , 0 x 1

  

  < < , là một không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact

1.5 Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ

Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn { }a b, ⊂a b, 

không có tính chất điểm bất động Tuy nhiên, một số không gian con có thể thừa kế tính chất điểm bất động

Định nghĩa 1.5.1 Một tập con A⊂ Xđược gọi là tập co rút của X nếu có một ánh xạ liên tục :r X→ sao cho ( )Ar a= vaới mỗi a∈A; ánh xạ r được gọi là ánh xạ co rút của Xđến A

Ta lưu ý rằng một tập co rút của một không gian Hausdorff nhất thiết là một tập đóng, vì A={x r x: ( )=id x( )}, trong đó id( ) là ánh xạ đồng nhất

Chẳng hạn, nếu E là một không gian định chuẩn và

ñ ñ (1.1) là ánh xạ co rút chuẩn tắc từ E đến Kñ

Tầm quan trọng của khái niệm này trong lý thuyết điểm bất động bắt nguồn từ kết quả sau:

Định lí 1.5.2 Nếu X là một không gian điểm bất động (tương ứng , một không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact) thì X cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X

Chứng minh Giả sử :r X → là ánh xA ạ co rút và :i A→ là ánh xX ạ nhúng, ta có r i =idA Xét ánh xạ liên tục bất kì :f A→ khi A đó

Tương tự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X □

Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động thì

chắc chắn rằng X là không gian điểm bất động Thật vậy, mọi tập con { }a là

không gian điểm bất động và là tập co rút của không gian bất kì

Ta minh hoạ thêm kỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất động Schauder kết quả cơ bản dưới đây:

Định lí 1.5.3 (Thay phiên phi tuyến) Cho E là một không gian tuyến tính

định chuẩn và Kñ là hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ Khi đó mỗi ánh xạ compact F K: ñ →E có ít nhất một trong các tính chất sau thoả mãn:

(a) Fcó điểm bất động,

(b) Tồn tại x∈∂Kñ và λ∈( )0,1 sao cho x=λF x( )

Chứng minh Cho :r E→Kñ là ánh xạ co rút chuẩn tắc Theo định lí Schauder, ánh xạ hợp compact r F K : ñ→Kñcó một điểm bất động x=rF x( ) Theo công thức (1.1), nếu ( )F x ∈Kñ thì F x( ) ≤ ñ , ta có

F x

= ñ =ñ , do đó x∈∂Kñ và ta có thể lấy 1( )

F x

2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach

Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lí ánh xạ co Banach Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác tuỳ ý

Cho ( , )X d , ( , )Y ñ là hai không gian mêtric và ánh xạ :F X → cY ủa những không gian mêtric Nếu F thoả mãn

(ñ Fx Fz, )≤Md x z( , )

với M là hằng số cố định và mọi , x z∈ thì XFđược gọi là ánh xạ Lipschitz

Giá trị M nhỏ nhất được gọi là hằng số Lipschitz ( )L F của F Nếu ( ) 1L F < , ánh xạ Fđược gọi là ánh xạ co với hằng số co ( )L F Nếu ( ) 1L F ≤ , ánh xạ F được gọi là ánh xạ không giãn

Lưu ý rằng ánh xạ Lipschitz là ánh xạ liên tục Thật vậy, lấy x0∈X bất kì, cho ε >0, với mọi x∈X , theo định nghĩa ánh xạ Lipschitz ta có

ñ(Fx Fx, 0)≤Md x x( , 0)nên d x x( , 0)

< = Như vậy, F liên tục tại x0

Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi ( ) 1L F < nên ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục

Cho Y là một tập bất kì và cho ánh xạ :F Y → LYấy y Y∈ bất kì, ta định nghĩa Fn( )y bằng quy nạp như sau: đặt 0

F y→ vuới mỗi y Y∈

Chứng minh Cho α < là h1 ằng số co của F Trước tiên ta chứng minh F

có nhiều nhất một điểm bất động: giả sử x0 ≠ và y0 Fx0 =x0, Fy0 = , ta có y0

d x y =d Fx Fy ≤αd x y <d x y , điều này vô lí

Để chứng minh tính tồn tại, ta phải chỉ ra rằng cho y Y∈ bất kì, dãy { }n

F y hội tụ đến điểm bất động u Đầu tiên ta có 2

d Fy F y ≤αd y Fy và do quy nạp

Vì α < nên 1 αn → , điều này chỉ ra rằng 0 { }n

F y là dãy Cauchy Do d là đầy đủ vì thế n

F y→ vuới u Y∈ Vì F liên tục, ta có 1

F + y=F F y →Fu; nhưng { n 1 }

F + y là một dãy con của dãy { }n

F y nên Fu = , tức là uF có điểm bất động u Ta thấy rằng với mỗi y Y∈ , giới hạn của dãy { }n

F y tồn tại và có một điểm bất động mà F có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy { }n

F y đều hội tụ đến cùng một điểm □ Ta thấy rằng từ

nnn p

d F y Fy α d y Fy

− với mọi p> 0tìm được

nnnn p

sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa

Hệ quả 2.1.2 Cho ( , )Y d là không gian mêtric đầy đủ và

Giả sử K ={y d y y: ( , 0)≤ε} là hình cầu đóng Xét ánh xạ F K: →K Nếu

K là đầy đủ Theo nguyên lí ánh xạ co Banach, :F K → có duy nhK ất một

điểm bất động Vậy :F B→ có Y điểm bất động □

2.2 Miền bất biến cơ sở

Trong hầu hết các ứng dụng, không gian mêtric đầy đủ Y là một không gian Banach Định lí ánh xạ co Banach dẫn đến một kết quả đặc biệt có ích trong ứng dụng

Cho X là một tập con của không g ian Banach E Cho một ánh xạ :

F X → , ánh xEạ x x−Fx của X vào Eđược gọi là trường gắn với F

và kí hiệu là ( )f x = −xFx Trường :f X → xác E định bởi ánh xạ co :

F X → Eđược gọi là trường co

Định lí 2.2.1 (Miền bất biến của trường co) Cho E là một không gian

Banach, U⊂ mEở, và F U: →E là ánh xạ co với hằng số co α <1 Cho

f U→ là mEột trường gắn với F, ( )f x = −xFx Khi đó:

(a) f U: → là mEột ánh xạ mở; trong trường hợp riêng, ( )f U⊂ là mEở,

[ ( ),(1 ) ][ ( , )]

B f u −α r ⊂ f B u r (b) Ta thấy rằng nếu ,u u∈U thì

f u( )− f( )u = (u−Fu)−(u−Fu) = (u−u)−(Fu−Fu )

≥ −u u − Fu −Fu ≥ −u u −α u−u = −(1 α) u−u Nếu ( )f u − f( )u =0 thì từ nhận xét trên ta có u− =u 0, vì thế u = u và f là

một đơn ánh Vì với mọi ( )f x ∈ f U( ) tồn tại x U∈ sao cho ( )f x = −xFx

do đó f là một toàn ánh Như vậy, :f U → f U( ) là một song ánh, mở, liên tục nên nó là một đồng phôi □

Hệ quả 2.2.2 Cho E là một không gian Banach và F E: →E là ánh xạ co Khi đó trường tương ứng f I F= − là một phép đồng phôi từ E lên E

Chứng minh Theo Định lí 2.2.1, ta chỉ cần chỉ ra ( )f E = LE ấy y0∈E, giả sử G E: →E xác định bởi x y0 +F x( ) Ta có với mọi x x1, 2∈E

2.3 Phương pháp liên tục cho ánh xạ co

Cho ( , )Y d là một không gian mêtric đầy đủ và X là một tập con đóng trong Y với phần trong U khác rỗng và biên A= ∂ Ký hiX ệu C( , )X Y là tập tất cả các ánh xạ co từ X lên Y

Cho ánh xạ co :F X → , ta quan tâm tY ới sự tồn tại nghiệm của phương trình x=F x( ) Một phương pháp để xác định phương trình có nghiệm hay không bắt đầu bằng việc nhúng F trong họ tham số hoá { }Hλ

của các ánh xạ nối F với một ánh xạ G đơn giản hơn, và cố gắng biến đổi về

bài toán tìm nghiệm của phương trình x=G x( ) Về mặt hình học, ta biến đổi đồ thị của F về đồ thị của G và rút ra kết luận từ phép biến đổi rằng: nếu đồ

thị của G cắt đường chéo ∆ ⊂ × ⊂ ×XYY Y thì đồ thị của F cũng cắt đường chéo ∆

Kết quả chính của chúng ta trong phần này là đưa ra điều kiện sao cho điều kiện kết luận trên là hợp lý Cho ( , )Λ ñ là một không gian tham số với khoảng cách ñ, một họ {Hλ:λ∈Λ } nào đó của các ánh xạ trong C( , )X Y

phụ thuộc vào tham số λ∈Λ

Định nghĩa 2.3.1 Một họ {Hλ:λ∈Λ c} ủa các ánh xạ trong C( , )X Yđược gọi là α-co, trong đó 0≤ <α 1, M >0, 0< ≤ù 1, nếu ta có:

(iii) Cho tham số λ∈Λ , tập điểm bất động Fix H( λ) hoặc là rỗng hoặc chỉ có một điểm bất động là xλ;

(iv) Đặt xλ =Hλ( )xλ và xµ =Hµ( )xµ , theo (2.1) và (2.2) ta có

d x x( λ, µ)=d H λ(xλ),Hµ(xµ)≤d H λ(xλ),Hµ(xλ)+d H µ(xλ),Hµ(xµ) ≤M[ ( , )λ µ ]ù +αd x x( λ, µ)

Định lí 2.3.2 (Định lí hàm ẩn cơ bản) Cho Λ là tập li ên thông và

{Hλ:λ∈Λ là m} ột họ α-co trong CA( , )X Y Khi đó:

(i) Nếu phương trình Hλ( )x =x có một nghiệm với λ∈Λ thì nó có duy

nhất một nghiệm xλ với mỗi λ∈Λ,

(ii) Nếu xλ =Hλ(xλ) với λ∈Λ thì ánh xạ λ xλ từ Λ vào U là Hölder liên tục

(b) Q là tập mở trong Λ: Thật vậy, cho λ0∈Q với xλ0 =Hλ0(xλ0), ta cố định một hình cầu mở B x( λ0, )r ={ : ( ,x∈X d x xλ0)<r}⊆ U , và chọn ε > sao 0

( )

Hλ x = x có nghiệm xλ với mọi λ∈Λ, vì thế nó có duy nhất một nghiệm

xλ với mọi λ∈Λ

(ii) Giả sử xλ =Hλ(xλ) với λ∈Λ , ta chứng minh ánh xạ :p Λ → U

xác định bởi λ→xλ là Hölder liên tục Theo (2.3), ta có

d p λ p µ d x xλ µ d Hλ xλ Hµ xµ λ µα

với mọi ,λ µ∈Λ thoả mãn điều kiện Hölder bậc ù ∈(0,1] □

2.4 Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co

Trong mục này, ta giả thiết rằng không gian mêtric Y là một tập con lồi

đóng C của một không gian Banach E và không gian tham số Λ là [ ]0,1 Ta có kết quả sau:

Định lí 2.4.1 (Luân phiên phi tuyến ) Cho U là một tập con lồi mở (tương

đối) của C với 0 U∈ Khi đó ánh xạ co bị chặn F U: →C có ít nhất một trong các tính chất sau:

(i) F có duy nhất một điểm bất động,

(ii) Tồn tại y0∈∂U và λ∈(0,1) sao cho y0 =λF y( 0)

Chứng minh Cho ( , )λ x ∈[ ]0,1 × và U đặt Hλ( )x =λF x( ) Dễ thấy

thì λF phải có một điểm bất động x0 trên biên ∂U với λ∈[ ]0,1 nên

Hλ x =λF x =x Nếu λ=0 thì λF x( )0 =x0 =0, điều này mâu thuẫn với

giả thiết 0 U∈ , vì thế λ ≠ N0 ếu λ= thì 1 H x1( )0 =F x( )0 =x0, do đó x0 là điểm bất động của F trên U∂ , hoặc tính chất (ii) đúng Hơn nữa, Hλ là ánh xạ co nên điểm bất động nếu có là duy nhất □

Từ Định lí 2.4.1 có thể suy ra định lí điểm bất động đối với ánh xạ co khi ta đặt điều kiện mạnh để không cho khả năng thứ hai trong Định lí 2.4.1 xảy ra:

Hệ quả 2.4.2 Cho U là một tập con lồi mở (tương đối) của C với 0 U∈ và

cho || là một chuẩn bất kì trong không gian Banach E, tập lồi C chứa trong không gian Banach E Giả sử F U: →C là ánh xạ co bị chặn sao cho với mọi x∈∂ , mUột trong các điều kiện sau được thoả mãn:

(ii) Từ giả thiết (ii), ta có

0< < sao cho λ 1 z=λF z( ) Theo Định lí 2.4.1, F có duy nhất một điểm bất động

(iii) Từ giả thiết (iii), ta có

Kết qủa tiếp theo trình bày một dạng cơ bản của định lí xuyên tâm đối của Borsuk

Hệ quả 2.4.3 (Định lý xuyên tâm đối) Cho U là một tập con mở của một

không gian Banach ( ,E ), U đối xứng qua gốc và 0 U∈ , cho F U: →E là một ánh xạ co bị chặn sao cho ( )F x= − − vF( x) ới mọi x∈∂U Khi đó F có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Vì U đối xứng qua gốc và 0 U∈ nên nếu x∈∂U thì − ∈∂xU, và F là ánh xạ co bị chặn thoả mãn ( )F x = − − vF( x) ới mọi x∈∂U, do đó

2.5 Mở rộng của định lí Banach

Có nhiều cách mở rộng định lí Banach trong một không gian mêtric đầy đủ tuỳ ý, ở đó tính co của ánh xạ có thể được làm yếu đi Các kết quả đều dựa trên một nguyên lý chung liên quan tới ảnh của các hình cầu khi tâm của chúng không chuyển dịch quá nhiều

Định lí 2.5.1 Cho ( , )X d là một không gian mêtric đầy đủ và :F X→ là Xmột ánh xạ (không nhất thiết phải liên tục) Giả sử

Với mỗi ε > có m0 ột ( ) 0δ ε > sao cho nếu ( , )d x Fx <δ ε( ) thì

F B x[ ( , )ε ]⊂B x( , )ε (2.4) Khi đó, nếu 1

d F u F +u→ với u X∈ bất kì thì dãy { }n

F u hội tụ đến một điểm bất động của F

Chứng minh Đặt nn

F u= u

Trước tiên ta phải chứng minh dãy { }n

F u hội tụ đến z∈X Ta sẽ chỉ ra { }un là một dãy Cauchy Lấy ε > , ch0 ọn N đủ lớn để

( , )

NN kN

F u =u + ∈B u ε với mọi k ≥0nên d u u( N, N k+ )<ε Như vậy,

d u u ≤d u u +d u u < + =ε ε ε với mọi ,sk N≥

vì thế { }un là một dãy Cauchy Do d đầy đủ nên dãy { }un hội tụ đến z∈X Ta còn phải chứng minh z là điểm bất động đối với F: Thật vậy, giả

sử ( , )d z Fz = > , ta có tha 0 ể chọn ,3

  Theo giả thiết, ta có

z∈ B u , vì thế ,3

aFzB u 

∉   Như vậy,

Để minh hoạ ta phát biểu hai định lí mở rộng nguyên lý Banach

Định lí 2.5.2 Cho ( , )X d là không gian mêtric đầy đủ và cho :F X→ là Xmột ánh xạ thoả mãn

d Fx Fy( , )≤ϕ[d x y( , )],

trong đó :ϕ + → là hàm không gi+ ảm (không nhất thiết phải liên tục) sao cho ϕn( )t→ v0 ới mỗi t > 0 cố định Khi đó F có duy nhất một điểm bất động u và n

Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động u đối với

F: Giả sử tồn tại hai điểm bất động u≠ u của F Theo nhận xét trên, với ( , ) 0

d u u > ta có ϕ[d u( , )u ]<d u( , )u nên

d u u =d Fu Fu ≤ϕ d u u <d u u ,

Tiếp theo ta phát biểu một dạng yếu hơn của định lí Banach:

Định lí 2.5.3 Cho ( , )X d là không gian mêtric đầy đủ và :F X→ là mXột ánh xạ thoả mãn

Khi đó F có duy nhất một điểm bất động u và F xn→ vuới mỗi x∈X

Chứng minh Trước tiên ta chứng minh F có điểm bất động: Với mỗi x∈X ,

a≤d F( n k+ x F, n k+ +1x)≤cd F( n k+ −1x F, n k+ x)≤≤c ak( +1)với mọi k > , 0 điều này mâu thuẫn, vì với c< thì 1 ck → 0

Bây giờ, cho ε > , gi0 ả sử ,2

λ λ=  ε và chọn min , (1 )2

a) Nếu ( , )2

ε ≤ < thì ε

(d Fz x, )≤α( , ) ( , )z x d z x +d Fx x( , )<λε + −(1 λ ε ε) =

Từ đó ta có ( , )d Fz x < kéo theo ( )ε F z ∈B x( , )ε , vì thế F B x[ ( , )ε ]⊂B x( , )ε Theo Định lí 2.5.1, F có điểm bất động u và F xn → vu ới mỗi x∈X

Cuối cùng ta chứng minh điểm bất động u của F là duy nhất: giả sử tồn tại u≠u và Fu=u F, u=u, khi đó

( , )d u u =d Fu F( , u)≤α( , ) ( , )u u d u u ,

điều này trái với ( , ) 1α u u < nên u≡ u □

Có cách khác để mở rộng định lí Banach là không so sánh ( , )d Fx Fy

với ( , )d x y mà tập trung vào biến động của ( , )d x Fx

Định lí 2.5.4 Cho ( , )X d là một không gian mêtric đầy đủ và : Xϕ →  là +

một hàm không âm tuỳ ý (không nhất thiết liên tục) Giả sử

inf ϕ( )x +ϕ( ) : ( , )yd x y ≥a =µ( )a> v0 ới mọi a > (2.5) 0

Khi đó mọi dãy { }xn trong X thoả mãn ϕ(xn)→0 đều hội tụ đến một điểm u∈ X

Chứng minh Giả sử An ={x: ( )ϕ x ≤ϕ(xn)} là các tập kh ác rỗng và họ hữu hạn bất kì có giao khác rỗng Ta chỉ ra δ(An)→0: cho ε > b0 ất kì, chọn N

đủ lớn sao cho ( ) 1 ( )2

Định lí điểm bất động kéo theo kết quả sau:

Định lí 2.5.5 Cho ( , )X d là không gian mêtric đầy đủ và F X: →X liên tục Giả sử hàm ( )ϕ x =d x Fx( , ) có tính chất (2.5) và inf ( , ) 0

x Xd x Fx

∈ = Khi đó F có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh

Theo giả thiết và Định lí 2.5.4, trong X tồn tại { }xn → sao cho u

Nhận xét rằng Định lí 2.5.5 có thể suy ra Định lí Banach Thật vậy, nếu ( , )d Fx Fy ≤αd x y( , ) với hằng số α < thì 1

x Xd x Fx

d F x F + x → với mỗi x∈X Vì F là ánh xạ co nên

d F x F + x ≤αd F − x F x ≤≤α d x Fx ,

do đó ( , )d x Fx → suy ra 0 Fx= x □

2.6 Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert

Nguyên lý Banach phát biểu cho ánh xạ co trong một không gian mêtric đầy đủ tuỳ ý Cho không gian một cấu trúc phức tạp hơn ta có thể nới lỏng tính co của ánh xạ thành tính không giãn, tất nhiên tính duy nhất của điểm bất động không thể bảo toàn Trong mục này chúng ta xét không gian Hilbert thực, ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 2.6.1 Cho H là một không gian Hilbert, và giả sử u u, là hai phần tử của H Nếu có một phần tử x H∈ sao cho x u− ≤R, x−u≤R và

Bổ đề 2.6.2 Cho C H⊂ là một tập bị chặn và giả sử :F C→ là ánh xCạ không giãn Giả sử x, y và

( ) 2 2 ( )

Định lí 2.6.3 (Browder – Göhde – Kirk) Cho C là một tập khác rỗng, lồi

đóng, bị chặn trong không gian Hilbert Khi đó mỗi ánh xạ không giãn

= − 

  , do C lồi và chứa gốc nên F Cn: →C Ta có F

là ánh xạ không giãn nên ( )F x −F y( ) ≤ − , do xy đó

khi đó An là dãy giảm của các tập đóng, khác rỗng Ta tìm đường kính của

CxF x

Do đó x0 −F x( )0 = (vì n → ∞ thì 0 ( )2 08

ư vậy, Fx0 =x0 □

Cho C là một hình cầu đóng trong không gian Hilbert H Bây giờ ta sẽ xét ánh xạ không giãn xác định trên C lấy giá trị trong H Với mục đích này ta cần tính chất không giãn của ánh xạ co rút chuẩn tắc của H vào C:

Bổ đề 2.6.4 Cho H là một không gian Hilbert và C= ∈{xH: x ≤ c} là hình cầu đóng Xác định một ánh xạ r H: →C bởi

( )

,

Khi đó r H: →C là ánh xạ không giãn

Chứng minh Trước tiên ta thấy nếu ,u u≠0 thì

(u −r u r( ), ( )u −r u( ))≤0 Thật vậy, nếu u c≤ thì ( )r u = nên u