MỤC LỤC
Ánh xạ co là trường hợp riêng của ánh xạ Lipschitz khi L F( ) 1< nên ánh xạ co cũng là ánh xạ liên tục. Nguyên lí Banach có một dạng địa phương hữu ích liên quan tới hình cầu mở B trong một không gian mêtric đầyđủ Y và một ánh xạ co từ B đến Y sao cho nó không dịch chuyển tâm của hình cầu quá xa. Cho ( , )Y d là một không gian mêtric đầy đủ và X là một tập con đóng trong Y với phần trong U khác rỗng và biên A= ∂X.
Một phương pháp để xác định phương trình có nghiệm hay không bắt đầu bằng việc nhúng F trong họ tham số hoá { }Hλ. Kết quả chính của chúng ta trong phần này là đưa ra điều kiện sao cho điều kiện kết luận trờn là hợp lý. Vì Hλ là ánh xạ co của không gian mêtric đầy đủ nên Hλ có duy nhất một điểm bất động, hơn nữa phương trình.
Trong mục này, ta giả thiết rằng không gian mêtric Y là một tập con lồi đóng C của một không gian Banach E và không gian tham số Λ là [ ]0,1. Cho U là một tập con lồi mở (tương đối) của C với 0∈U và cho || là một chuẩn bất kì trong không gian Banach E, tập lồi C chứa trong không gian Banach E.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn.
Cuối cùng ta chứng minh tính duy nhất của điểm bất động u đối với F: Giả sử tồn tại hai điểm bất động u≠u của F. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Cuối cùng ta chứng minh điểm bất động u của F là duy nhất: giả sử tồn tại u≠u và Fu=u F, u=u, khi đó.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Nguyên lý Banach phát biểu cho ánh xạ co trong một không gian mêtric đầy đủ tuỳ ý.
Cho không gian một cấu trúc phức tạp hơn ta có thể nới lỏng tính co của ánh xạ thành tính không giãn, tất nhiên tính duy nhất của điểm bất động không thể bảo toàn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn. Với mục đích này ta cần tính chất không giãn của ánh xạ co rút chuẩn tắc của H vào C: Bổ đề 2.6.4.
Do đó một ánh xạ là Lipschitz trong chuẩn này thì cũng là Lipschitz trong chuẩn tương đương khác. Các chú ý này được minh hoạ trong chứng minh sau đây về sự tồn tại nghiệmđối vớiphương trình tích phân loại hai. Cho E là không gian Banach của tất cả các hàm thực liên tụcđa trị trên [ ]0,T được trang bị chuẩn.
Để chứng minh phương trình tích phân có duy nhất một nghiệm, ta phải chứng minh F E: →E có duy nhất một điểm bất động. Theo nguyên lý Banach thì thứ nhất F có duy nhất một điểm bất động u∈E và thứ hai dãy { }un xác.
Cho E là một không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ) và X ⊂E là một tập con tuỳ ý. Một ánh xạ đa trị G X: →2E được gọi là ánh xạ Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz (gọi tắt là ánh xạ KKM) nếu tính chất. Cho E là một không gian véc tơ tôpô (Hausdorff ) và C⊂E là một tập lồi không rỗng.
Một tập con A của E được gọi là đóng hữu hạn nếu giao của nó với không gian hữu hạn chiều L⊂ E là đóng trong không gian tôpô Euclid của L. Ta nhắc lại rằng: Một họ {Aλ:λ∈Λ} các tập con của một tập nào đó được gọi là có tính chất giao hữu hạn nếu giao của mỗi họ con hữu hạn là không rỗng. Ta sẽ chỉ ra mệnh đề đúng với tập A chứa n phần tử: theo giả thiết quy nạp,.
Ngay sau đây chúng ta đưa ra một ứng dụng của nguyên lý ánh xạ KKM thường xuất hiện trong lý thuyết trò chơi và Toán kinh tế. Từ định lý trên ta thu được hai kết quả quan trọng trong lý thuyết hệ vô hạn các bất đẳng thức. Ta núi rằng Φ là lừm theo nghĩa của Fan (hoặcđơn giản là. F- lừm) nếu với mọi tổ hợp lồi.
Trong phần này ta phát biểu một định lí điểm bất động cho các ánh xạ affine liên tục, đó là định lí Markoff – Kakutani. Cho E là một không gian tôpô tuyến tính, E* là không gian liên hợp của E, tức là E* là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Cho E là một không gian tôpô tuyến tính (Hausdorff ) có đủ nhiều các phiếm hàm tuyến tính, C ⊂E là một tập compact, lồi, khác rỗng và.
Do l là hàm liên tục trên tập compact C nên tồn tại y0∈C là cực đại trong C. Cho C là một tập compact, lồi, khác rỗng trong một không gian tôpô tuyến tính (Hausdorff ) với đủ nhiều các. Vì mỗi tập Fix F( ) là compact, ta chỉ cần chỉ ra rằng mỗi giao hữu hạn.
Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski – Kantorovitch, Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Caristi, Định lí Ekeland, Định lí Nadler, Định lí Danes.