Luận văn: Một số định lý điểm bất động docx

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.lrc-tnu.edu.vn Đại học tháI nguyên Trờng đại học s phạm Trơng thị hải yến Một số định lý điểm bất động Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60.46.01 Luận văn thạc sỹ toán học Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS TRNG XUN C H Thái Nguyên - 2008 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn MỤC LỤC Lời nói đầu………………………………………………………………… 2 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị…………………………………… 4 1.1.Tính compact và tính đầy đủ…………………………………………… 4 1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số…………………………………5 1.3. Tập sắp thứ tự…………………………………………………………….5 1.4. Không gian điểm bất động……………………………………………….6 1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ……………………9 Chương 2: Một số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian đầy đủ và ứng dụng của định lí Banach………………………………………… 12 2.1. Nguyên lý ánh xạ co Banach……………………………………………12 2.2. Miền bất biến cơ sở…………………………………………………… 15 2.3. Phương pháp liên tục cho ánh xạ co…………………………………….17 2.4. Luân phiên phi tuyến cho ánh xạ co…………………………………….20 2.5. Mở rộng nguyên lí ánh xạ co Banach………………………………… 23 2.6. Ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert………………………… 28 2.7. Ứng dụng nguyên lí Banach cho phương trình tích phân……………….36 Chương 3: M ột số định lí tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự. .39 3.1. Định lí Knaster - Tarski……………………………………………… 39 3.2. Tính thứ tự và tính đầy đủ. Định lí Bishop - Phelps…………………….42 3.3. Điểm bất động của ánh xạ co đa trị…………………………………… 45 3.4. Ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach………… 47 3.5. Ứng dụng vào nghiên cứu điểm tới hạn……………………………… 48 Chương 4: Một số định lí tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi………51 4.1. Nguyên lí ánh xạ KKM ………………….…………………………… 51 4.2. Định lí của von Newmann và hệ bất đẳng thức……………………… 56 4.3. Điểm bất động của ánh xạ Affine. Định lí Markoff – Kakutani……… 60 Kết luận…………………………………………………………………… 63 Tài liệu tham khảo………………………………………………………….64 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Cho C là một tập con của không gian X , F là một ánh xạ từ C vào X . Phải đặt những điều kiện nào trên C , X và F để có thể khẳng định sự tồn tại của một điểm 0 x trong C sao cho 00 Fx x= ? Điểm 0 x như vậy gọi là điểm bất động của ánh xạ F . Lý thuyết điểm bất động là một nhánh của Toán học, có nhiều ứng dụng trong lí thuyết tối ưu, lí thuyết trò chơi, các bao hàm thức vi phân và trong nhiều nghiên cứu của Vật lí. Một số kết quả về tồn tại điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỉ XX, trong đó phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) và nguyên lí ánh xạ co Banach (1922). Các kết quả kinh điển này đã được mở rộng ra các lớp ánh xạ và không gian khác nhau. Mục đích của luận văn này là trình bày một cách chi tiết hơn một số định lí điểm bất động trong tài liệu A.Granas, J.Dugundji. Fixed point Theory. Springer – Verlag. NewYork, 2003. Chúng tôi chỉ hạn chế ở việc giới thiệu những kết quả dựa trên tính đầy đủ, tính sắp thứ tự của không gian và tính lồi. Bố cục của luận văn gồm 4 chương với những nội dung chính sau đây: Chương 1. Nhắc lại một số kiến thức chuẩn bị làm cơ sở để theo dõi luận văn. Chương 2. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính đầy đủ của không gian như Nguyên lí ánh xạ co Banach, các mở rộng và ứng dụng của nó. Chương 3. Trình bày sự tồn tại điểm bất động trong không gian có thứ tự như Định lí Knaster - Tarski, Định lí Tarski - Kantorovitch. Xét mối liên hệ giữa khái niệm thứ tự và tính đầy đủ ta thu được Định lí Bishop – Phelps, Định lí điểm bất động Carsti, Định lí Ekeland. Trong chương này còn trình Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn bày điểm bất động của ánh xạ co đa trị, đồng thời xét một vài ứng dụng vào nghiên cứu hình học của không gian Banach, vào nghiên cứu điểm tới hạn. Chương 4. Nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động dựa trên tính lồi cụ thể là dựa trên Nguyên lí ánh xạ KKM. Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Trương Xuân Đức Hà, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc đến cô. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo phản biện đã đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý báu cho luận văn của tác giả; các thầy cô giáo Khoa Toán, Trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên; các thầy cô giáo ở Viện Toán học cùng toàn thể bạn bè đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ, động viên tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, những người đã tạo điều kiện thuận lợi và động viên tác giả hoàn thành luận văn này. Do thời gian và kinh nghiệm còn nhiều hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý từ thầy cô và các bạn. Tác giả xin chân trọng cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 22 tháng 9 năm 2008. Học viên Trương Thị Hải Yến Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này ta nhắc lại một số khái niệm và một số định lí quan trọng được dùng trong luận văn [ ] [ ] [ ] [ ] ( ) 1,2,4,5 . 1.1. Tính compact và tính đầy đủ Định nghĩa 1.1.1. Cho X là một không gian mêtric với mêtric d. Một dãy { } n x trong X được gọi là dãy Cauchy nếu , lim ( , ) 0 nm nm dx x →∞ = , tức là với mọi 0 ε > , tồn tại 0 n sao cho với mọi 0 ,nm n> ta có (, ) nm dx x ε < . Định nghĩa 1.1.2. Không gian mêtric X gọi là đầy đủ (hay đầy) nếu mọi dãy Cauchy trong nó đều hội tụ. Ví dụ: n  là không gian mêtric đầy đủ với khoảng cách Euclid. Định nghĩa 1.1.3. Tập con A của không gian mêtric X được gọi là tập compact nếu với mọi dãy { } n x trong A , tồn tại dãy con {} k n x hội tụ đến một phần tử của A . Tập A gọi là compact tương đối nếu bao đóng A của A trong X là compact. Ví dụ: Mọi tập đóng và bị chặn trong n  là tập compact. Định nghĩa 1.1.4. Cho X và Y là hai không gian Banach. Toán tử : ()T DT X Y⊆→ được gọi là toán tử compact nếu T là liên tục và T biến một tập bị chặn thành một tập compact tương đối. Định lí 1.1.5 (Nguyên lí Cantor). Trong không gian mêtric đầy đủ mọi dãy hình cầu đóng thắt dần đều có một điểm chung duy nhất. Ta nhắc lại, dãy hình cầu { } n B (với dãy bán kính tương ứng { } n r ) được gọi là thắt dần nếu 1nn BB + ⊆ , với mọi 1n ≥ và lim 0 n n r →∞ = . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định lí 1.1.6 (Định lí điểm bất động Schauder). Cho M là một tập không rỗng, lồi, đóng, bị chặn của không gian Banach X , và giả sử :TM M→ là toán tử compact. Khi đó, T có một điểm bất động. 1.2. Tính bị chặn và tính liên tục của hàm số Cho X là không gian mêtric. Giả sử AX∅≠ ⊂ , :fA→  và 0 xA∈ . Định nghĩa 1.2.1. Hàm f bị chặn dưới trên A nếu tồn tại : ()h fx h∈≥  với mọi xA∈ . Hàm f bị chặn trên trên A nếu tồn tại : ()h fx h∈≤  với mọi xA∈ . Định nghĩa 1.2.2. Hàm f là nửa liên tục dưới tại 0 xA∈ nếu với mọi 0 ε > , tồn tại 0 δ > sao cho 0 ( ) ()fx fx ε −< với mọi 0 ( ,)x Bx δ ∈ , tức là 0 0 liminf ( ) ( ) xx fx fx → ≥ . Trong đó, { } 0 0 liminf ( ) inf : ( ) , ( ) nn xx fx u x x fx u → = ∃→ → . Nếu f là nửa liên tục dưới tại mọi điểm xA∈ thì f được gọi là nửa liên tục dưới trên A . Hàm f được gọi là nửa liên tục trên trên A nếu hàm f− là nửa liên tục dưới trên A . 1.3. Tập sắp thứ tự Định nghĩa 1.3.1. Tập X cùng với quan hệ ° thoả mãn i) xx° với mọi xX∈ (tính phản xạ). ii) xy° , yx° kéo theo xy= (tính phản đối xứng). iii) xy° , yz° kéo theo xz° (tính bắc cầu). được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận với quan hệ thứ tự “ ° ”. Định nghĩa 1.3.2. Tập con AX⊂ được gọi là tập sắp thứ tự tuyến tính (hay xích) nếu với ,xy A∈ bất kì thì hoặc xy° hoặc yx° . Giả sử X là một tập sắp thứ tự với quan hệ thứ tự ° và A là một tập con khác rỗng của X . Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Định nghĩa 1.3.3. Một phần tử aX∈ gọi là phần tử cực đại của X nếu quan hệ ax° kéo theo xa= , với mọi xX∈ . Một phần tử aX∈ gọi là phần tử cực tiểu của X nếu quan hệ xa° kéo theo xa= , với mọi xX∈ . Định nghĩa 1.3.4. Phần tử aX∈ gọi là cận trên của tập A nếu xa° với mọi xA∈ .Nếu aA∈ và a là một cận trên của A thì a gọi là phần tử lớn nhất của A và kí hiệu là max A . Phần tử aX∈ gọi là cận dưới của tập A nếu ax° với mọi xA∈ . Nếu aA∈ và a là một cận dưới của A thì a gọi là phần tử nhỏ nhất của A và kí hiệu là min A . Định nghĩa 1.3.5. Phần tử aX∈ gọi là supremum của A (hay cận trên đúng của A ) nếu nó là phần tử nhỏ nhất (nếu có) của tập hợp các cận trên của A , và kí hiệu là supA . Phần tử aX∈ gọi là infimum của A (hay cận dưới đúng của A ) nếu nó là phần tử lớn nhất (nếu có) của tập hợp các cận dưới của A , và kí hiệu là inf A . Định nghĩa 1.3.6. Tập hợp A được gọi là bị chặn trên nếu nó có một cận trên. Tập hợp A được gọi là bị chặn dưới nếu nó có một cận dưới. Tập hợp A được gọi là bị chặn nếu nó bị chặn trên và bị chặn dưới. Bổ đề 1.3.7 (Bổ đề Zorn). Giả sử X ≠∅ là tập sắp thứ tự bộ phận. Nếu mọi xích của X đều có cận trên thì X có phần tử cực đại. 1.4. Không gian điểm bất động Định nghĩa 1.4.1. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và f là một ánh xạ liên tục của X, hoặc của một tập con của X , vào X . Một điểm xX∈ được gọi là một điểm bất động đối với f nếu ()x fx= . Tập tất cả các điểm bất động của f ký hiệu là ()Fix f . Người ta có thể thấy được trong định nghĩa này, dạng điển hình của các định lí về tồn tại trong giải tích. Ví dụ: tìm một nghiệm của phương trình () 0Pz= , trong đó P là một đa thức phức, tương đương với việc tìm một Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn điểm bất động của ánh xạ ()z z Pz− . Tổng quát hơn, nếu D là toán tử bất kỳ trên một tập con của một không gian tuyến tính, việc chỉ ra phương trình 0Du = (tương ứng 0u Du λ =  ) có nghiệm tương đương với việc chỉ ra ánh xạ u u Du− (tương ứng u Du λ  ) có một điểm bất động. Như vậy, những điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích. Cho một không gian X và ánh xạ liên tục :fX X→ . Sự tồn tại một điểm bất động đối với f có thể phụ thuộc hoàn toàn vào tính chất của không gian X , hơn là vào tính chất của ánh xạ f . Định nghĩa 1.4.2. Một không gian tôpô (Hausdorff ) X được gọi là không gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục :fX X→ đều có một điểm bất động. Ví dụ 1.4.3. (i) Một khoảng đóng bị chặn ,J ab   = ⊂  bất kỳ là một không gian điểm bất động. Thật vậy, cho :fJ J→ ta có () 0a fa−≤ và () 0b fb−≥ , theo định lý giá trị trung bình phương trình () 0x fx−= có một nghiệm trong J, do đó f có một điểm bất động. (ii) Tập số thực  không là không gian điểm bất động, vì ánh xạ 1xx+ không có điểm bất động. Trong trường hợp tổng quát, rất khó để kiểm định là một không gian có là không gian điểm bất động hay không, những kết quả thuộc loại đó thường có rất nhiều hệ quả tôpô quan trọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong n  đều là không gian điểm bất động. Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: nếu X là không gian điểm bất động và :hX Y→ là đồng phôi thì với bất kì ánh xạ liên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn tục :gY Y→ , ánh xạ 1 :h ghX X − → có một điểm bất động 0 x nên 00 () ()g hx hx=  và 0 ()hx là một điểm bất động đối với g. Ví dụ 1.4.4. Đồ thị của hàm liên tục :,f ab   →  , cho bởi = 0 1 sin 0 1 ( ) 0 x khi x fx x khi x         <≤ = là đồng phôi vào [ ] ,ab , vì thế nó là một không gian điểm bất động. Nếu X không là một không gian điểm bất động, vẫn có thể đúng rằng một số ánh xạ với các tính chất tốt sẽ có điểm bất động. Để hợp thức hoá khái niệm này, chúng ta mở rộng phát biểu của Định nghĩa 1.4.2: Định nghĩa 1.4.5. Cho X là một không gian tôpô (Hausdorff ) và M là một lớp các ánh xạ liên tục :fX X→ . Nếu mọi f ∈M có điểm bất động thì X được gọi là không gian điểm bất động tương ứng với M . Chẳng hạn, nguyên lý ánh xạ co Banach khẳng định rằng: Mọi không gian mêtric đầy đủ đều là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ co. Khái niệm trên là đặc biệt quan trọng khi M là lớp các ánh xạ compact, nghĩa là những ánh xạ liên tục :fX X→ với bao đóng ()fX của ()fX là compact, các ánh xạ thuộc loại này xuất hiện một cách tự nhiên trong các vấn đề của giải tích phi tuyến. Ví dụ 1.4.6. (i) Ta đã biết  không là không gian điểm bất động. Trong thực tế,  là một không gian điểm bất động tương ứng với lớp ánh xạ compact. Nếu ánh xạ :f → là compact thì ()f  chứa trong đoạn hữu hạn ,ab   nào đó; khi đó tự ánh xạ :, ,f ab ab   → có một điểm bất động. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn (ii) Định lí điểm bất động Schauder có nhiều ứng dụng trong giải tích đã khẳng định rằng: Mọi tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn là không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact. Do ảnh liên tục của một tập compact là một tập compact, có thể sử dụng các kỹ thuật tương tự để chỉ ra rằng tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô. Chẳng hạn, một tập mở bất kì ( ) ,ab ⊂  , cũng như đồ thị của 1 sin , 0 1x x    << , là một không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact. 1.5. Tạo không gian điểm bất động mới từ không gian cũ Nói chung, một không gian con của một không gian điểm bất động không nhất thiết là một không gian điểm bất động: chẳng hạn { } ,,ab ab   ⊂ không có tính chất điểm bất động. Tuy nhiên, một số không gian con có thể thừa kế tính chất điểm bất động. Định nghĩa 1.5.1. Một tập con AX⊂ được gọi là tập co rút của X nếu có một ánh xạ liên tục :rX A→ sao cho ()ra a= với mỗi aA∈ ; ánh xạ r được gọi là ánh xạ co rút của X đến A. Ta lưu ý rằng một tập co rút của một không gian Hausdorff nhất thiết là một tập đóng, vì { } :() ()A x r x id x= = , trong đó ( ) .id là ánh xạ đồng nhất. Chẳng hạn, nếu E là một không gian định chuẩn và { } :K xEx=∈≤ ñ ñ là một hình cầu đóng trong E có tâm O và bán kính ñ , thì :rE K→ ñ được cho bởi ( ) y khi y ry y khi y y      ≤ = > ñ ññ (1.1) là ánh xạ co rút chuẩn tắc từ E đến K ñ . [...]... trong lý thuyết điểm bất động bắt nguồn từ kết quả sau: Định lí 1.5.2 Nếu X là một không gian điểm bất động (tương ứng , một không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact) thì X cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X Chứng minh Giả sử r : X → A là ánh xạ co rút và i : A → X là ánh xạ nhúng, ta có r  i = id A Xét ánhạ x liên tục bất kì f : A → A khi đó i  f  r : X → X có một. .. có một điểm bất động, giả sử đó là x0 Từ i  f  r ( x0 ) = x0 suy ra = r = id A  f  r ( x0 ) f  r ( x0 )  , r ( x0 )  i  f  r ( x0 ) =   do đó r ( x0 ) là một điểm bất động của f Tương tự ta cũng chứng minh được không gian điểm bất động đối với các ánh xạ compact cũng là không gian điểm bất động với mọi tập co rút của X □ Mặt khác, nếu X có một tập co rút là một không gian điểm bất động. .. co Banach, và các mở rộng của nó, một số định lí điểm bất động cho ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert và một số ứng dụng của Định lí Banach ([ 4]) 2.1 Nguyên lí ánh xạ co Banach Định lí điểm bất động đơn giản nhất và được sử dụng rộng rãi nhất là nguyên lí ánh xạ co Banach Dựa trên quá trình lặp, nó có thể được thực hiện trên máy tính để tìm điểm bất động của một ánh xạ co với mức độ chính xác... F có điểm bất động Nếu F ( x) ∉ Kñ thì F ( x) > ñ , ta tìm thấy = rF ( x) ñ x = F ( x) F ( x) F ( x) lấy λ suy ra x = ñ = ñ , do đó x ∈ ∂Kñ và ta có thể = F ( x) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên ñ < 1 F ( x) http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 2 MỘT SỐ ĐỊNH LÍ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN ĐẦY ĐỦ VÀ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ BANACH Chương này nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động. .. không gian điểm bất động thì chắc chắn rằng X là không gian điểm bất động Thật vậy, mọi tập con {a} là không gian điểm bất động và là tập co rút của không gian bất kì Ta minh hoạ thêm kỹ thuật co rút bằng cách suy ra từ định lí điểm bất động Schauder kết quả cơ bản dưới đây: Định lí 1.5.3 (Thay phiên phi tuyến) Cho E là m không gian tuyến tính ột định chuẩn và Kñ là hình cầu đóng trong E có tâm O và bán... một điểm bất động mà F có nhiều nhất một điểm bất động nên mọi dãy {F y} đều hội tụ đến cùng một điểm □ n Ta thấy rằng từ n d ( F y, F n+ p αn y) ≤ d ( y, Fy ) với mọi p > 0 1−α tìm được d ( F y, u ) = lim d ( F y, F n n p →∞ n+ p αn y) ≤ d ( y, Fy ) , 1−α sai số của bước lặp thứ n khi xuất phát từ y ∈ Y được hoàn toàn xác định bởi hằng số co α và khoảng cách ban đầu d ( y, Fy ) Nguyên lí Banach có một. .. là một tập lồi không rỗng, đóng, bị chặn trong không gian Hilbert H nên theo Định lí 2.6.3, ánh xạ r  F có ít nhất một điểm bất động, tức là rF ( x) = x với x ∈ C Chứng minh tương tự Định lí 1.5.3, ta có nếu F ( x) ∈ C thì x rF ( x) F ( x) nên F = = có một điểm bất động Nếu F ( x ) ∉ C thì x rF ( x) = = ta có thể = lấy λ c < 1 F ( x) cF ( x) nên x ∈ ∂C và F ( x) □ Từ Định lí 2.6.5 có thể suy ra định. .. là hằng số co của ánh xạ F Như vậy, F ( x) < x với mọi x ∈ ∂U Theo Định lí 2.4.2(i), F có duy nhất một điểm bất động Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên □ http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.5 Mở rộng của định lí Banach Có nhiều cách mở rộng định lí Banach trong một không gian mêtric đầy đủ tuỳ ý, ở đó tính co của ánh xạ có thể được làm yếu đi Các kết quả đều dựa trên một nguyên lý chung... Theo Định lí 2.4.1, F có duy nhất một điểm bất động (iv) Từ giả thiết (iv), ta có F ( z ), λ F ( z ) = F ( z ), F ( z ) ≤ λ F ( z ), λ F ( z ) = 2 F ( z ), F ( z ) , λ λ vì thế λ ≤ λ 2 kéo theo λ ≤ 0 hoặc λ ≥ 1 , điều này trái với 0 < λ < 1 nên không tồn tại z ∈ ∂U và 0 < λ < 1 sao cho z = λ F ( z ) Theo Định lí 2.4.1, F có duy nhất một điểm bất động □ Kết qủa tiếp theo trình bày một dạng cơ bản của định. .. trong đó , là một tích vô hướng trong E Khi đó F có duy nhất một điểm bất động Chứng minh Giả sử F không có điểm bất động, F có một điểm z ∈ ∂U với z = λ F ( z ) , 0 < λ < 1 , trong trường hợp riêng F ( z ) ≠ 0 (i) Từ giả thiết (i), ta có |F ( z )| ≤ |λ F ( z )| = λ |F ( z )| t và do đó 1 ≤ λ , điều này trái với 0 < λ < 1 nên không ồn tại z ∈ ∂U và 0 < λ < 1 sao cho z = λ F ( z ) Theo Định lí 2.4.1, . một điểm bất động. Như vậy, những điều kiện lên một toán tử hay miền xác định ở định nghĩa để đảm bảo tồn tại một điểm bất động diễn giải như các định lí về tồn tại trong giải tích. Cho một. không gian điểm bất động nếu mọi ánh xạ liên tục :fX X→ đều có một điểm bất động. Ví dụ 1.4.3. (i) Một khoảng đóng bị chặn ,J ab   = ⊂  bất kỳ là một không gian điểm bất động. Thật. quan trọng. Một ví dụ là định lí điểm bất động Brouwer chỉ ra rằng: Mọi tập compact lồi trong n  đều là không gian điểm bất động. Tính chất là không gian điểm bất động là một bất biến tôpô: