MUC LUC
1 Không gian lồi địa phương và Định lý điểm bất động
Schauder 4
1.1 Mot s6 kién thttc chuan bi 2 2 4
1.2 Khoug gian loidiaphuong 2.2 022000002 7 1.3 Dịnh lý điểm bất động Sehander 15 2_ Định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder trên không
gian lồi địa phương 19
2.1 Dinh ly Tikhonov-Schauder 19 2.2 Một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên dối với
phuong trinh vi phan cap hai ) 27
Kếtluận 2 37
Trang 2Khong gian lồi địa phương là lớp không gian véctơ tôpô có vai trò quan trọng trong toán giải tích Tưpơ lồi địa phương được sinh bởi họ các nửa chuẩn liên tục, và họ các nửa chuẩn cũng sinh ra các giả mêtrie trên không gian đó
Nguyên lý điểm bất động của Brouwer đối với các ánh xạ liên tục giữa cac tap 1di, compact trong khong gian hitu hạn chiều là một kết quá quan trọng của toán học Sau khi được Brouwer chứng mình, nó được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân Về sau nguyên lý Brouwer được mở rộng trên nhiều lớp không gian khác nhau Một trong những mớ rộng nổi tiếng nguyên lý Brouwer thuộc về Tikhonov và Schauder đối với các ánh xạ liên tục trên không gian lồi địa phương Sau đó nhiều kết quả được nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng bởi ILA.Rus, V.G.Angelov và nhiều tác giả khác (xem|2|) Dặc biệt, các định lý điểm bất động đối với các lớp ánh xạ liên tục trên không gian lồi địa phương đã cho nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề của phương trình vĩ tích phân, phương trình hàm ,(xem[3, 5])
Các vấn đề nghiên cứu về các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ trên các không gian lồi địa phương và ứng dụng là khá thú vị Với mục
đích tìm hiểu về không gian lồi địa phương, và một vài kết quả ban đầu
về định lý điểm bất động cho 1nột số lớp ánh xạ trên không gian lồi địa phương và ứng dụng, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là:
Trang 3không gian lồi địa phương uò ứng dung
Nội dung của luận văn nghiên cứu các khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản về không gian lồi địa phương, định lý Tikhonov- Schauder và một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai Các nội dung trên được trình bày trong 2 chương:
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị về không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương và định lý điểm bất động Schauder đối với ánh xạ liên tục trong không gian định chuẩn
Chương 2 trình bày chứng mình chỉ tiết định lý Tikhonov- Schauder về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi, compacE trong không gian lồi địa phương và một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, TS INiều Phương Chi Tác giả xim bày tỏ lòng biết ơn sâu
sắc của mình đến thầy Tác giả xin được cảm ơn các thầy, cô giáo trong
Khoa Toán học, Trường Dại học Vĩnh dã nhiệt tình giảng day và giúp dé tác giả trong suốt thời gian học tập Cuối cùng xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 1§ Giải tích đã cộng Lác, giúp đỡ và động viên tác giá trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều có gắng, nhưng luận văn không tránh khói những hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp
của các thày, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn
Trang 4CHUONG 1
KHONG GIAN LOI DIA PHUONG VA DINH LY DIEM
BAT DONG SCHAUDER
Chương này nghiên cứu một số kiến thức cơ sở về không gian lồi địa phương và định lý điểm bất động Schauder đối với các ánh xạ liên tục trong không gian định chuẩn
1.1 Một số kiến thức chuẩn bị
Mục này trình bày một só kiến thức cơ só về không gian veetơ tôpô và giải tích cổ điển cần dùng về sau Những nội dung này được tổng hợp và trích ra từ [1]
1.1.1 Định nghĩa Fhông gian vécto topé la mot khong gian véctở cùng với một tôpô trên đó sao cho các phép tốn cộng và nhân vơ hướng
là liên tục
Tap con U trong không gian véctơd X được gọi là cân nếu aU CU với
mọi œ € K va |a| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi z € X tồn tại
ð > 0 sao cho œz € Ù với mọi |œ| < ổ
1.1.2 Định lý Trong không gian téctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận
U ctia 0 gồm các tập cân, hút uà uới mọi U € L4 tồn tại V EU sao cho
V+V CU
Trang 51.1.4 Dinh nghia Tap con U cia khong gian vécto topo FE được gọi
là b¿ chăn nếu với mọi lân cận V ctia 0 ton tai s > 0 tuong ting sao cho
U CtV với mọi f > s
1.1.5 Định lý Trong mdi khong gian vécto:
1) Bao đóng cua tép bi chan la tap bi chan; 8) Bội uô hướng của tập bị chăn là tập bị chăn;
8) Hợp hoặc tổng hữu hạn các tap bi chan là tập bi chan
1.1.6 Định nghĩa Cho 7# là không gian véctơ tôpô Tap con A C FE được gọi là hoàn toàn bi chặn hay tiền compact nếu với mỗi lần cận
của 0 tồn tại tập con hữu hạn B sao cho AC B+Ù
1.1.7 Định nghĩa Cho 7 là không gian véctơ tôpô với cơ sở lần cận #⁄ của 0 Dãy suy rộng {z;};er được gọi là dãy Cauchy nếu với mỗi U € U
tồn tại ¡g € / sao cho 2; — xv; €U V6i gi 2, 7 Ð ?0
Tap con A C # được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy suy rộng Clauchy là
hội tụ trong A
1.1.8 Dinh ly Cho 2 là không giưn uéctơ tôpô Tập con A của E la compact khi va chi khi A day dui uà hoàn toàn bị chặn
1.1.9 Định nghĩa Cho F 1a khong gian tuyén tinh trén triténg R Ham
||.|| : Z — R duge goi là một chuẩn trên EF nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) ||z|| > 0, với mọi z € 7# và ||z|| =0 ®z =0; 2) JÍAzll = |Àllz|| với mọi À € R và với mọi + € #;
3) Jlz + ø|| < llzll+ llull với moi x,y € EL
Khi đó (7, |.||) được gọi là một không gian định chuẩn
Trang 6bdi métric sinh bdi chuan cac phép toan cộng và nhân vô hướng trên F là liên tục Do đó, mỗi không gian định chuẩn là một không gian vectơ tôpô vdi Bn = {a € Ƒ7: ||lz|| < - „ = 1.2, } là cơ sở lân cận gồm các tập lồi, cân, bi chan cua F
Sau day ta nhắc lại khái niệm hàm liên tục tuyệt đối
1.1.10 Dinh nghia ((2]) Ham f : [a,b] > R dude goi la liên tục tuyệt
đối, nếu với mỗi e > 0 tồn tại ở = ð(e) sao cho với bất kỳ hữu hạn đoạn con [øp, #;;| của [ø, b| thỏa mãn
Tiel <0 k
kéo theo
S—|/(øe) — ƒ(0,)| < e k
Tính liên tục tuyệt đối của hàm có mối liên hệ mật thiết với công thức đạo hàm theo cận trên
1.1.11 Dinh ly Cho ham f : [a,b) — IÑ Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương:
1) ƒ liên tục tuyệt đối;
2) f c6 dao ham hau khắp nơi trên [a,b| tà
Trang 7¬I
Cho (X, 4, ) là không gian độ đo, trong đó 4 là z— đại số các tập hợp con của X và / là độ đo đầy đủ ø-hữu hạn trên X lý hiệu
T"(X, du) = {ƒƑ : X — R: |ƒƑ|f khả tích trên X}(p > 1)
Tiên (X, đu) tà đồng nhất các hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên X Với các phép tốn cộng, nhân vơ hướng theo điểm và chuẩn được xác định
bởi ,
lứls= [ 1e],
thì LP(X, du) là không gian Banach Hơn nữa, không gian đối ngẫu của L?(X, du) dang céu véi khong gian L4(X, djs), trong đó a+ : = 1 Sau đây là khái niệm hàm L?-Caratheodory
1.1.12 Định nghĩa ({2]) Hàm ƒ : [a,b] x IR# — IR*° được gọi là L?-
Caratheodorv nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
1) Ánh xạ > /(f,ø) liên tục hầu khắp nơi với mọi 0 € |ø, ];
2) Ánh xạ £ >> ƒ(f,) đo được với mọi € JR”;
3) Với mọi e > 0 tồn tại hẹ € LP{(T) sao cho || < ¢ kéo théo | f(t, y)| <
he(£) với mọi † € |a, bỊ
Để kết thúc mục này ta nhắc lại định lý điểm bất động Brouwcr 1.1.13 Dinh ly (Brouwer) Moi dnh zạ liên tục từ tập con đóng, bị
chặn uà lồi của không gian định chuẩn hữu hạn chiều uào chính nó
đều có ít nhất một điểm bắt động
1.2 Không gian lỗi địa phương
Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bắn của không gian
lồi địa phương Các kết quả căn bản được tổng hợp và trích ra từ [1]
Trang 81.2.2 Mệnh đề Giá sử X là không gian lồi địa phương Khi đó 0 6 X
có cơ sở lân cận 1 thoa man:
1)U.V €I thà có W €4 sao cho W CUNY;
2) oU CŨ tới mợi œC€ K,a # 0 uà tới mọi U € 1;
3) Moi U EU Ia lồi, cân uà hút
Hon nữa, nếu không gian tuyến tính tôpô X có họ các tap con U
thoả mãn 1), 2) à 3) thà nó là không gian lồi địa phương
1.2.3 Mệnh đề Nếu không gian uéctơ l2 có họ 14 gồm các tập con loi, can va hit thi trén E ton tai topo yếu nhất sao cho hai phép toán trên E liên tục tà E trở thành không gian lồi địa phương Hơn nữa, cơ sở của 0 trong l2 là họ các tập
U =e, Vie>0VEU,1<i<n
1.2.4 Mệnh đề Nếu tôpô lồi địa phương T trên X nhận L4 làm cơ sở
lân cận của điểm 0€ X thà tôpô nàu là Hausdorff khi va chỉ khi ƒ) :U=9
UeU;e>0
Đau đây ta trình bày những kết quá cốt yếu về sự xác định của tôpô lồi địa phương thông qua họ các nửa chuẩn Dầu tiên ta nhắc lại khái niệm nửa chuẩn
1.2.5 Định nghĩa Cho X là một không gian vectơ Hàm p xác định trên X và nhận giá trị thực được gọi là một neta chuẩn trên X nếu với moi x,y € X va véi moi A € K ta có
Nj) p(x) > 0;
No) p(w + y) p(#) + ply):
N3) p(Ax) = |A|p(2)
Nita chuan p trén không gian vectơ X là chuẩn trên X néu p(x) = 0
suy ra x = 0 Néu ø là một chuẩn trên X và z € X thì số p(z) thường
Trang 91.2.6 Mệnh đề Nếu p là nửa chuẩn trên khong gian vecto X thi vdi moi a> 0 céc tip A= {x € E: p(x) <a} va B= {x € E: p(x) < a}
là lồi, cân uà húi
Chiing minh Gia stt x,y € A Khi do, vdi moi À € |0 1] ta có
p(z + (L— À)0) < p(Az) + p((1 — Ay) = |Alp(z) + |1 — Alp(w)
< Aa + (1—A)a=a Do do Aw + (1 — A)y € A Vay A là tập lồi
Với mỗi x € A véi moi r € K sao cho |r| < 1 tà có p(rz) = |r|p(z) < |rla<a Suy ra ra € A Vay A can
Với mỗi z € X Nếu ø(+) = 0 thì z € A Neu p(x) 4 O thi lay 6 = aa) pa Khi d6, véi moi \ € K sao cho |A| < 6 ta co pdx) = |Alp(z) a) =a Vi vay Aw € A Do do A hút Chứng minh tương tự ta có kết luận cho B L] 1.2.7 Nhận xét Giả sử 7? là họ các nửa chuẩn trên không gian vectd X Khi đó, kết hợp các Mệnh đề 1.2.3 và Mệnh đè 1.2.6 ta có: Trên X tồn tại một tôpô yếu nhất sao cho # là không gian vectơ tôpô và các p € liên tục Hơn nữa, X là không gian lồi địa phương và cơ sở lân cận tại 0 là họ các tập lồi có dạng
Trang 1010
1.2.8 Định nghĩa Giả sử 4 là tập con lồi, hút của không gian vectơ tôpô X Hàm thực không âm ga : X — RT cho bởi
#/A(#) — inf{ft >0: €fA} với mọi ø€ X dude goi la phiém ham Minkowski cia tap hop A
1.2.9 Định lý Nếu A là tập lồi, cân uà bút của không gian uectơ tôpô X thà tA :— p là nửa chuẩn trên X Hơn nữa
{xz€ X :p(z) < L}C AC{z€X:p(z) < 1}
1.2.10 Nhận xét Nếu X là không gian lồi địa phương thì X có cơ sở lần cận các tập lồi, cân và hút Do đó, cơ sở lân cận này tương ứng với họ các nửa chuẩn là các phiếm hàm Minkowski tương ứng Kết hợp với Nhận xét 1.2.7 suy ra rằng mỗi tơpơ lồi địa phương hồn toàn được xác định bởi một họ các nửa chuẩn và ngược lại
1.2.11 Nhận xét Giá sử 7Ð là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa phương trên # Khi đó # là Hausdorff khi và chỉ khi p(+) = 0 với mọi p€7 kéo theo x = 0
1.2.12 Dinh ly Néu E la không gian Hausdorff loi dia phương E được xác định bởi họ đếm được các nửa chuẩn thà F khả mêtric, túc là trên E tồn tại một mêtric sinh ra tôpô trừng tới tôpô lồi địa phương ban, đầu của nó
Chứng mình Giả sử {p„} là họ các nửa chuẩn sinh ra tôpô lồi địa phương trên Với mỗi x,y € FE ta dat
, yi — Đn(#— 9) -
(x, —
9) “21+ pn(# — t)`
Trang 1111 Với e > 0 ta xét Ba(0,¢) = {x € E:: d(x,0) < e} là hình cau trong tôpô do mêtrie ở sinh ra Chọn no đủ lớn sao cho 5 3) m<§: n>No wl
Với là lân cận của 0 trong tôpô lồi địa phương xác định bởi
U = {ee B: pil) <5,1<i< no}
Khi d6, ta c6 U € B(0,¢) That vay, néu a € U thì
Trang 12Khi do
1 Pn(2) 1
1> DoT F pala) 2 BIE
Diều đó không xảy ra Vậy tôpô do đ sinh ra là tôpô địa phương và # là không gian lồi địa phương với tôpô được xác định bới họ đếm được các
nửa chuẩn Oo
Các không gian lồi địa phương kha métric gọi là F-không gian, nếu nó
đầy đủ thì gọi là không gian Erechet
1.2.13 Ví dụ Giả sử
R® := {x = {z„}:zna€TlR,ø 5 1}
với phép cộng và nhân vô hướng thong thường theo từng số hạng Xét họ
Q = {pn} la ho đếm dược các nửa chuan trén R© xác định bởi
Pu(6) = |xp|:a = {an},n =1,2,
Khi dé R® 1a khong gian lồi địa phương Do họ các nửa chuẩn là đếm được nên lR^ còn khả mêtric CO 1 \tn — Ynl U(x,y) = — d(x, y) aT mm n=1
vdi moi z,y € R* Tuy nhiên, R^ không phải là khong gian bị chặn địa
phương Thật vậy, nếu ngược lại thì nó là không gian định chuẩn Khi đó,
tồn tại chuẩn trên IR® sao cho tôpô sinh ra bởi chuân trùng với tôpô sinh ra bởi {p„} Xét B(0, L) = {z € R*S : |lz||< L} Khi đó, tồn tại
V =zc€R“ :?p;(z) — |+;| < 6,7 € T}
trong đó ƒ là tập hữu hạn sao cho V C_B(0,1) Lấy œ = {zÐ} c R% sao cho øÿ — 0 nếu » € Ï và zÿ # 0 với nø ý I Khi đó, z? # 0 và suy ra \|x°|| = r > 0 Với mọi số tự nhiên & do cách xác định của +? và V ta có kz? EV Do đó kz? e B(0, 1) với mọi k Suy ra
k Ta nhận được sự immầu thuẫn
kzP|| = kr < 1 với mọi
Trang 1313
1.2.14 Ví dụ Gọi C(R) là không gian vectơ các hàm thực liên tục trên IR Với mỗi n = 1,2, dat
øa(ƒ) = sup{|ƒf(z)|: œ € [—n.n]}
với mọi ƒ € C(R) Khi do, dé dang kiểm tra được ø„ là các nửa chuẩn trén C(R) Do do, C(R) 1a khong gian lồi địa phương sinh bởi họ các nửa chuẩn {pz} Hơn nửa, C(E) là không gian Frechet với khoảng cách
e 1 Đn(ƒ — 9) đ(1:9) = —3~ 1+ m—ø) —g)' với mọi ƒ, g € C(R)
Sau đây ta nhắc lại khái niệm bao lồi
1.2.15 Định nghĩa Cho #2 là một không gian vectơ và A C # Bao lồi cúa ‹4 là tập lồi bé nhất chứa A
Bao lồi của tập 4 được ký hiệu là eonvA Rõ ràng bao lồi cúa bằng giao của tất cả các tập lồi chứa 4 Hơn nữa, người ta chứng minh được
n n
convA = ` Ajay: a; © A, Ay > 0, `A; = l}
i i=l
1.2.16 Ménh dé Trong khéng gian ldi dia phuong: 1) Bao lồi của lập bị chăn là bị chặn
2) Bao lồi của tập hoàn toàn bị chặn là hoàn toàn bị chặn 3) Bao lồi ciia tap compact la tap compact
Sau đây ta chứng mình một kết quả bổ trợ sẽ được dùng trong chương
sau
Trang 1414 nó bi chan vdi mdi nita chudn pa, ttc la voi méi a ET tdn tai qa sao cho Pal2) < da < 0 vdt moi xe A Chitng minh Gia sit A bi chan Thi đó, với mỗi a € J ta cé U ={z€ F:pa(+) < 1} là lân cận cân của 0 trong #, do đó tồn tại mo sao cho AC noU VỚI moi n > no Suy ra Đa(#) < tụ
với mọi € A Hay A bị chặn theo mỗi nửa chuẩn
Trang 1515
1.3 Dinh ly diém bat dong Schauder
Mụe này trình bày định lý điểm bất động Schauder về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi đóng của không gian định chuẩn Dây là sự mở rộng của định lý Brouwer Trước hết ta cần một số kết quả bố trợ 1.3.1 Định nghĩa Cho X,Y là các không gian vectơ tôpô và ánh xạ `: X >Y 1) Ƒ' được goi la compact néu F(X) dude chita trong tap compact cia Y
2) F được gọi là hữu hạn chiều nếu (X) được chứa trong một không gian hữu hạn chiều của Y
Cho A = {ai, ,a„} là tập hữu hạn của không gian định chuẩn ?2 Với moi ¢ > 0 trong đó B(a;,£) = {a € E: |la — a,|| < e} Với mỗi ¿ = 1,2, ,m xét tị : A: —> lR xác định bởi (#) = max{0, e — ||# — ||} Phép chiếu Schauder là ánh xạ Ð: : A: —> conv4 xác định bởi Pv) ~ dint [ei (x) aj Di (2)
với mọi ø € 4; Bởi vì, với mỗi œ € 4; thì z € P(ø¡,£) với ¡ nao dé Do
đó ||# — || < e Suy ra /¿(#) > 0, hay S37 ¡ (+) A 0, tức là P; hoàn
toàn xác định trên A:
1.3.2 Bồ đề Cho © là tập con lồi của không gian định chuan E va
Trang 1616
a) P- la compact, liên tục từ A; 0uào cowuA C CƠ b) || P-(x) — «|| < e tới mợi x € Ae
Chitng minh a) Do anh xa chuẩn liên tục nên các /; liên tục Suy ra P, liên tục Giả sử {/72(zm)} là dãy tùy ý trong /2(4;) Đặt (+) = 3321 /a(), sUY ra n lim) ~ƒ U(am) Aj Pm) — Từ tHÍ#m) Un(%m) n Gren fo ) c [0,1] [1 (Xm) Un(%m) Mam)?” (am) theo {P-(m)} c6 day con héi tu trong convA C C Vay P:(A;) compact b) Nếu z€ 4; thì và |0, 1]? compact suy ra { } có dãy con hội tụ léo |z- #œ||=; M(x S3 nữ £)đ¿ H Xu): — Donte a Ml )ll#z — a|| < a " =£
Bổ đề tiếp theo còn gọi là định lý xấp xỉ Sehauder
Trang 1717
a) ||F-(x) — F(x)|| <
b) F:(a) € convA CC
om v6t moi x € BE;
Chúng mưnh Cũa sử F(F) dược chứa trong tập compact K cia C Vi hoàn toàn bi chan nén véi mdi ¢ > 0 ton tai {a1 an} C F(E) sao cho F(E) C Ag Goi P- la phép chiéu Schauder tutong tmg ctia A Khi dé, xét
ánh xạ F : ⁄ — Œ xác định bởi
F(x) = P-(F(«))
với z € F Khi đó, ấp dụng Bố đề 1.3.2 ta có ngay điều cần chứng
minh L]
Sau đây là khái niệm điểm e-bất động
1.3.4 Định nghĩa Cho # là không gian định chuẩn, 7 là tập con đóng của ánh xạ `: 2 —> và e > 0 Điểm d € 7) được gọi là e-bất động
của Ƒ' nếu ||d— F(đ)|| < e
1.3.5 Định lý Cho D là tập con đóng của không gian định chuẩn F va anh aa F : D> E compact, lién tuc Khi d6, F c6 diém bat động khi va chỉ khi F` có điểm e-bất động uới mỗi z > 0
Chứng mảnh Rõ ràng điểm bât động là e-bất động với mọi < > 0
Giả sử với mỗi e > 0 thì ' có điểm e-bất động Khi đó, với mỗi m„= 1,2 tồn tại đ„ € D sao cho
1
N < = (11)
Vì Ƒ là ánh xạ compaet nên #72) được chứa trong tập compaet của
E Do dé, ton tai day con {dp,} ctia {dn} va « € K sao cho F(dp,) —> #,
tức là
Trang 1818 khi nạ — 00 Két hgp vdi (1.1) ta có l|dn, — v|| + 0 khi ng —> œ Vì D đóng nên z € D Mặt khác, vì #' liên tục nên #'(dạ,) —> F(a) Do do F(x) = x L]
Sau đây ta phát biếu và chứng minh định lý Schauder
1.3.6 Định ly ((2])Cho Œ là tập cơn đóng, lồi của không gian định
chuẩn E Khi đó, mọi anh xa compact, lién tuc F : C —> Ơ có ít nhất
một điểm bat động
Chiing minh Theo Dinh ly 1.3.5, với D = Ở ta chỉ cần chứng mình F cé
»
điểm z-bất động với mọi e > 0 Với mỗi e > 0, áp dung Bo dé 1.3.3, ton
tại ánh xạ + : Ở —y Œ là liên tục, hữu hạn chiều sao cho |Fz(+) — (z)|| < £ vdi moi « € C' va F.(C) C convA C Œ, trong do A là tập con hữu hạn của Œ Vì A hữu hạn nên convA đóng và bị chặn Hơn nữa, F.(convA) C convA
Do đó, áp dụng định lý Brouwer đối với ánh xạ # trên tập lồi đóng bị chan convA, trong không gian hữu hạn chiều sinh bởi 4 ta nhận được xe € convA sao cho #¿ = Ƒ-:(+z), Do đó
|te — P(e) || = lIF:(œz) — F(z:)|| < s
Trang 1919
CHUONG 2
DINH LY DIEM BAT DONG TIKHONOV-SCHAUDER
TREN KHONG GIAN LOI ĐỊA PHƯƠNG
Chương này nghiên cứu định ly diém bat dong Tikhonov-Schauder trén không gian lồi địa phương và một vài ứng dụng để nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai
2.1 Dinh ly Tikhonov-Schauder
Trong chương trước ta đã nghiên cứu định lý Schauder về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục giữa các tập lồi compactb trong không gian định chuẩn Mục này nghiên cứu những kết quả của Tikhonov và Schauder về sự mở rộng kết quả trên đối với không gian lồi địa phương
Trước hết ta trình bày một kết quả bổ trợ sau:
Trang 2020 Ky hiéu py (x) = inffa > 0:2 € aU} là phiếm hàm Minkowski xac dinh bdi U Khi d6 2 + py (x) là nửa chuẩn liên tục trên # và U ={z€E: nụ(+) < 1} Từ A 1a tap compact suy ra ton tai {a1, a2, .,an} C A sao cho n AC U U(ai), i=l trong do U(a) = U+a véi a € 2 Ta định nghĩa các hàm /, ¿ = 1.2, .,n cho bởi
(+) :—= max{0,1 — y(% — a¡)},
với Inọi # € ƑZ Từ py lién tục trên ?Z suy ra / liên tục trên #2 Mặt khác, với mỗi ? = 1,2, ,?» ta có 0< (+) <1 với z€ F, trong đó ¿(z) = 0 nếu x ¢ U(a;) va ¿(z) >0 nếu + € U(ø¡) Bây giờ, ta đặt Đi Mix) a a tu(3) Ta thay Dự xác định, bởi vì nếu z€ A4 thì z € U(a,) với 7 nào đó thuộc Py(a) = VỚI cx € A vao {1,2, ,n} va vi thé nm À (+) 40 i=l
Hơn nữa Py 1A lién tuc trén A va tap gid tri của nó nằm trong không gian con tuyến tính 7 sinh béi {a; : i = 1,2, ,n} Mat khac ACC vac la
một tập lồi nên
Trang 2121 Do do Py(x) ELNC voi ce A Mặt khác Soy Ha(2) (ay — x) 1 Mi(2) btu (Py (“) — x) = voi rE A và do đó » Hi (x)
bởi vì với mọi ¿ = 1,2, , hoặc (+) =0 và py(a;— x) > 1 hoac
Hư(Pu(#) — #) <l với zeA,
/u(#) >Ú và mu(a¿ — #)y < 1
Khi đó (+) — ø € U với z € A Định lý đã được chứng mình L] Bay giờ, ta trình bày dinh ly Tikhonov-Schauder
2.1.2 Định ly ([2],[3]) Cho FE la khong gian lồi địa phương IausdorfJ, C la tập cơn lồi của E va F : C —> E là ánh zạ liên tục sao cho:
F(C)CACC,
Trang 22Suy ra
Fy (LAC) C Py(A) CLNC (2.1)
Giả sử K* là bao lồi của tập compact Py(A) trong L Chu ¥ rang K*
cũng là tập compaet.Từ (2.1) và Py(A) C K* C LOC suy ra Rur(K*) C K* Áp dụng định lý điểm bất động của Brouwcr suy ra tồn tại z € * với z= (z) Suy ra x— F(x) €U, (2.2) dow = Fy(x) la tuong dương với # — ƒ/(F'(+)) Do đó theo dịnh lý 2.1.1 ta CÓ Đựụ(T(+)) — F(a) € U
Nhu vay, vdi bat ky lan can mo U cia 0, ton tai it nhat diem x € K* C C sao cho (2.2) thỏa mãn
Trang 2323
Ta khẳng định rằng với bất kỳ z € Ở tồn tại 7 € {I, ,} sao cho
œ— F) C Ua, (2.4)
khong the xay ra That vay, cé dinh « € C Vi y = F(x) € A nén ton tai 7€ {1 n} với € Ua,(œ¿) Ta có = u+ aj Voi w nào đó thuộc Ứa,
Do đó nếu œ € Ứ¿,() thì tồn tai w € Ug, với
Z=Wty=wtut aj,
va vl vay
2 © Wa, + aj © Va, (aj) Ta thu dude
Ua,(y) © Va, (ay) (2.5)
Giá sử rằng khẳng định (2.4) không đúng IKhi đó với bất kỳ z € C ta
có z € Va,(0); với = F(x) va từ (2.5) ta thấy rằng z € VA,(oœ;) Mặt
khác, bừ (2.3)ta có
ụ= Ft(z) € Wa,((aj))
Tuy nhiên, từ € W22,(Ƒ(aj)) và (2.3) suy ray ¢ Vo,(aj) Điều này mâu thuẫn với (2.5) Do đó với bất kỳ z € Œ,tồn tại 7 € {1; ,®} sao cho x — F(x) CUa, (2.6) khong thé xay ra Chon U sao cho n UC () Ua,- i=1 Từ khẳng định trên ta nhận được
œ— F(w) #@U với mọi œ€ Œ
Ta nhận được sự mầu thuẫn với (2.2) Do đó, tồn tại z € Œ với # =
Trang 2424
Ta nhận được ngay hệ qua sau
2.1.3 Hé qua ((2],{3]) Cho F2 là không gian loi địa phương Hausdorff, C là tập con lỗi của E va F : C —> C la ánh zạ liên tục, compact Khi dé F có ít nhất một điểm bắt động trong Ơ
Ta luu ¥ rang: Anh xa F : C > C la compact nếu F(C) 1a tap compact tương đối của C
Định lý sau đây thuộc về R Agarwal, nó là dạng mmớ rộng cúa định lý cổ điển Leray-Schauder
2.1.4 Định ly Cho E là một không gian lồi địa phuong Hausdorff, Œ là một tập con lôi của E, U là tập con mở của Ở va p CU Gia sti E:U >C (ở đâu U là bao đóng của U trong C) la anh xa liên tục, compact Khi đó
1) F c6 diém bat dong trong U, hoặc
2) Ton tai u € OU ( 0U la bién ctia U trong Ở) tà A € (0,1) tới u=AF(u) +(1—A)p Chứng mình Giả sử 2) không đúng và F khong c6 diém bat dong trén OU Ta xét A:={weEU:x=tF(x)+(1—t)p, vdi £ nào dó thuộc [0, 1]} Ta có A Z Ø, bởi vì p€ U Ta khẳng định rằng: A đóng trong C Thật vậy, giả sử {z„} là một dãy suy rộng trong 41 Khi đó, #œ = taf(œa) + (L— ta)p
trong d6 ta € [0,1] Néu vq > « thi « € U Khong mat tính tổng quát ta giá sử f„ >t voi t € [0,1] Xét anh xa R: U x [0,1] > C xac dinh boi
Trang 2525 Khi đó ? liên tục và do đó, từ (za,fa) —> (œ,f) va %q = R(x, ta) suy ra x = R(+,f) = tF(+) + (L— t)p Vậy A là tập đóng
Ngoai ra F : U + C la mot anh xa compact suy ra A = A 1a compact Ta c6 ANOU = Ø Vì vậy, từ tính chính quy của C, A 1a tap compact va
OU dong suy ra ton tại hàm liên tục
:Ũ — [0,1] với 4) =1 và p(OU) = 0
Đặt _
p(x) F(x) +(1—p(x))p nêu z€U
N(x) = p neuxw Ee C\U ¿ —
Bởi vì F 1a anh xạ liên tục, compact nên N : C > C 1a ánh xạ liên tục, compact Theo Hé quá 2.1.3, tồn tại z € € với z = N(x) Mat khac, vi
p€Ù niên z€ Ù Ta nhận được
#= j(3)P(ø) + (1= J(z))p
Suy ra øz € A và g(z) — 1 Tức là z — F(x), hay F c6 diém bat dong
trong U Định lý được chứng mình L]
Từ Dịnh lý 2.1.4 ta suy ra định lý về điểm bất động của Furi-Pera 2.1.5 Dinh ly Cho E khong gian lồi địa phương khả mêtric, Q là tập con loi, déng cia E va 0 € Q Gia sit F : Q > E là một anh xa lién tuc, compact uà thỏa mãn điều kiện: Nếu 1#7.97 7° là một day trong OQ x |0,1] hội tụ tới (x, A) uới £ = AF(+) vad OSCARS
1 th AjF(a;j)€Q_ tới j đủ lớn Khả đó F là một điểm bất động
trong Q
Trang 2626 tồn bại ánh xạ co rút lién tue r: E > Q Hon nữa, nếu phần trong của Q chứa 0 thì r xác định bởi 1 r{#):=——————— (z) macx{1, f(x) } 6 day p la phiém ham Minkowski xAc dinh bdi Q, tite la voi ce L,
(ax) = inf{a > 0:4” € aQ}
Chon r: ⁄ —> @ là một ánh xạ co rút liên tục với
1
r(a) = maxi1,} véi w EE
Khi đó ta có r(z) € ØQ với z€ E\Q Xt Bi= {rE EB: x=For(a)} Dầu tiên ta chứng mình Ð # Ø That vay, vir liên tục và or: — E là ánh xạ liên bục, eompaet Theo Dịnh lý 2.2.1, ta thấy #oz có một điểm bất động Do đó B # Ø Bây giờ ta chứng minh B dong Gia stt {rq} la một dãy trong Ð với z„ —> +z,œ € # Do tính liên tục của #> ba cần chỉ rax = For(x) Vi Ð là compaet bởi vì F : Q > F la anh xa lien tuc, compact va
BC For(B) € F(Q)
Bay giờ ta ching minh BNQ 4 @
Giả sử BN Q = @ Khi do, tit B 1a compact va Q 1a dong suy ra ton tai 6 > 0 vdi d(B,Q) > 6 Chon m € {1, 2, } v6i 1 < bm va dat
1
Ủ¡ := {z€ E: d(+,Q) < 7 VỚI ¡€ {m,1mm + 1, }
đ là mêtrlc sinh ra tôpô trên # Có định ¡ € {m,rn+1, } và từ đ(B, Q) > ð suy ra Ø1; = Ø Ngoài ra Ủ; là tập mỏ, 0 € Ủ; và ƒ: Ứ;¿ -> E là ánh xạ liên tục, compact Từ 8n Ữ; = Ø, tồn tại
(¡,À¿) € ÖU; x [0,1] với mọi ; —= À;F2() Suy ra
Trang 27Dat
D:={x€ E:x4=XF,(x) với mọi À € [0, 1|}
Rõ ràng 2 Z Ø Hơn nữa, J) là compact bởi vì ánh xạ "`: Q > F la compact Kết hợp với
d(y;,Q) = 7 và |A;| <1 với mọi 7 € {rm,mn + 1, }
suy ra ta có thể giả thiết A; —> A* € [0, 1] và ; — * € Ø@Q Mặt khác
ý = ÀjEz(0j) — À*Fz(°)-
Suy ra
UÈ=A*F(0))
Vì B1 Z Ø nên À* Z 1 và do đó 0 < À* < 1 Tuy nhiên từ giả thiết của định lý, với z; = r(¿) € Ø@ và z = y* = r(y*) ta co
À7Jz(0;) € AQ voi j đủ lớn
Điều này trái với (2.7) Vì vậy BnB = Ø Do do, ton tai x € Q với
x = F,(x) = F(a) Dinh ly đã được chứng mình L]
2.2 Một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên
đối với phương trình vi phân cấp hai
Mục này chúng tôi trình bày một vài ứng dụng trong nghiên cứu bài toán giá trị biên đối với phương trình vi phân cấp hai
Xét các phương trình vi phân cấp hai:
y+ my = f(t,y); hầu khắp nơi trên |0,©) (28
y(0) =a, lim y(t) =0 2.8)
t-00 va
y" —m?y = f(t,y), hau khap noi trén [0, 00) (2.9
Trang 2828
trong dé m # 0, là một hằng số và nhận giá trị trong R
Ta nhắc lại rằng C({0.©), R) là không gian Frechet các hầm thực liên tục trên [0, œ) Tôpô lồi địa phương trên (|0, ©), IR) là tôpô hội tụ đều trên các tập compact xác định bởi họ các nửa chuẩn
Pm(u) = sup |u(t)|,
¿e[0.£„]
với rmmọi € C([0, 00), R), vai moi m = 1,2, va {tm} C [0, +œ) là dãy tăng hội tụ tdi oo Hon nữa, tôpô trên còn dude sinh bdi métric xác định
bỏi
(x,y) = — với mọi z, € C([0, 00), R)
Kí hiệu ØŒ({0, œ), R) là không gian các hàm thực liên tục bị chặn trên
[0,o) Khi đó, nếu ¡ € BC([0, 00), R) thi ta dat
lu = sup |u(t)| t€[0,00)
Béi dinh ly Arzela-Ascoli ( xem [1] )ta cé 2 C C((0, 00), R) 1a tap compact
néu va chi néu Q bi chan déu va dong lién tuc trén méi doan ctia [0, 00) Ký hiệu J = [a, 6] Ham œ được gọi là thuộc lớp Sobolev (m, p) trén I néu u c6 dao cap m trén I, u™—) liên tục tuyết đối trên I va u € L?(I) Tập hợp các ham thudc l6p Sobolev (m,p) dude ky hiéu la W™?(T, R)
Ta ký hiệu W (|0, œ), IR) là tập hợp các hàm thuộc lớp Sobolev trên
các đoạn compact của [Ú, œ)
2.2.1 Định lý Xét phương trình tì phân (2.8) Giả sử các điều kiện sơu đâu được thỏa mãn:
1) f : [0,00) x RR la mét L—Caratheodory ham sao cho i) s+ f(s,y) la do được uới mọi ụ € R;
Trang 2929 1i) Với mỗi r > 0 tồn tại 7 € L[0,00) sao cho |y| < r kéo theo 2 t 2 |ƒ(s,)| < rr(s) ới hầu hết s € |0,oe) tà iim cm f e™S7,.(s)ds = 0 , 0 uà
2) Ton tai s6 Mo > |al véi u(t)| < Mfo.t € [0,00) vdi moi ham u € BC((0.00),R) QW ({0, 00),R) théa man ul" + mu! = Af(t,u)
hau khắp nơi trên |Ú, se), u(0) = a tà Jim u(f) =0 ới 0< À < 1 Khi đó (2.8) có nghiệm
ụ€ DŒ(|0,s),R){ }W/2 (I0, se) R) loc
Chứng minh Phương trình thuần nhất # + m2 = 0 có nghiệm tong quát
y(t) = Ce + Cy
Trang 3030 Kết hợp với điều kiện (0) = ø và jim (£) = 0 ta có phương trình tích = phan Bài toán tương đương với chứng mình phương trình tích phân (2.10) có nghiệm Đặt # := C(|0, œ) R) Q := {fy € C([0, 00), R) : y © BC([0,00),R) vdi |yloo < Mo +1 = No} va % t m 1 c1 n?s y(t) ae th ST, [ fs,g(s)0ds= CS” [ enh*ƒ(s,g(s))d t 0 0° cm?! )d: = [feu ds, 0
Bay gi, ta khang dinh rang Q 1A tap dong, 1di, bi chan ciia C([0, 00), R) That vay, vGi mdi y1, y2 € Q, vdi moi A € [0,1] ta co Ay, + (1 — A)y2 € EN BC(([0, co), R) Hon nia,
|M + (1—A)yzloo = sup |Ayi(t) + (1 — A)yp(t)|
¿e|0.o)
<A sup |/i()|+(1—A) sup |w(f)|
tE[0,00) tE[0,00)
<ANo + (1—A)No = No Vay Ay + (1 — A)y2 € Q Suy ra Q loi V6i mdi m ta co
Pm(u) = sup |u(t)|< sup |a)| Š No
Trang 3131
vdi moi u € Q Do đó Q bi chan déi v6i mdi nita chuan py Do do Q bi
chan
Để ý rằng giới hạn đều trên các tập compact bao toan tinh bi chan và liên tục Do đó, nếu {ø„} € @ và {ø„} hội tụ tới thì y E EN BG(J0, ).IR) Để chứng mình y dong ta can chi ra |yloo < Äo Với mỗi t € [0, 00) ta c6 |yn(t)| < Áo với mọi ø Suy ra
lim |yn(t)| = ly(t)| < No
noo
v6i moi t € [0, 00), hay |ylao < No Do dé Q dong
Tiếp theo, ta chttng minh F, : Q + C((0, 00), R) xae dinh bi F,(y) := F(w) với mọi € Q là ánh xạ liên tục, compaect Dầu tiên ta chứng mình Ƒ liên tục Giả sử g„ —> trong Q Khi đó tồn tai ty, € L[0, 00) với
|ƒ(s,ø(s))| < 7w(s) và |ƒ(s).(s)| < 7w,(s) với hầu hết s € [0, 00)
Ngoài ra với mỗi £ € |Ú,oc) ta có
ƒ(s,0;(s)) + f(s, y(s)) với hầu hết s € [0,)
Theo định lý về hội tụ và bị chặn ta có
Fu,(s) — F(s) theo từng điểm trên [0,fm] (2.11) Gia sti x,t € [0,tm] voi t < x Khi dé
—m> —m2 1
Trang 3232 Cho ¢ > 0 ton tại một số ð > 0 sao cho với mọi f,+ € [0,f„| và |Ý— | < ð ta co | Fy, (t) — Fy,(x)| <2 với mọi n (2.12) va |Fy(t) — Fyla)| <e (2.13) Tw (2.11),(2.12) va (2.13) ta suy ra F: Q > # là liên tục
Tiép theo ta chitng minh F 1a compact Ta can chitng minh F(Q) la compact tương đối trong # Tức là cần chứng minh tính bị chặn đều và tính compact tương đối của (Q) trên [0, tm]
Thật vậy, tồn tại 7v, € Lị|0, œ) với |[ƒ(s, #)| < 7x„ với mọi s € ÍÚ, œ) va jul < Mo Tu tinh dong lién tue cia F(Q) trén (0, ty] ta chitng minh duac |F,(t) — Fy(x)| < e Mat khac F(Q) 1a bi chan déu nén tit ¢ € (0, tm] ta co co t 1 |Fy(t)| < Jalen t + tap 03 )ds + c” m fem Ty, (s)ds ! 2 %œ —7n“t +> | roids =Wu0) 0 Ma limysoo Vn, (t) = 0 va yj € Q nén ton tại số ao > 0 vdi |Fy,(t)| < Mo +1= No với t € [ao,00) va 7 € {1,2, } Do do |\jF;,(t)| < No voi t € [ao,00) va j € {1,2, } (2.14)
Xét £ € [0 ao] Do F la lien tuc tren Q nén Fy, + Fy deu trong [0, ao] Mat khac, tit Aj > A va Ƒ(@) là tập bị chặn trong #2 nên ta có
Trang 3333
Như vậy tồn tại 7ø € {1,2, } với
If(Đ|< |AR,(9|+ 1, £€|0.m] với ý>j (215)
Ta có = AƑ(0) : Từ điều kiện 2) của định lý với j > 7o thì
|AjFy,(t)| < Mo +1 = No voi € (0, a0] (2.16)
Tit (2.14) va (2.16) ta c6 Aj Fy, € Q vdi j > jo
Vậy các điều kiện của Định lý 2.1.5 thõa mãn Do đó, tồn tại € C((0, 00), R) sao cho F(y) = y Do do, phương trình (2.8) là có nghiệm L]
2.2.2 Định lý Giả sử các điều kiện sau đâu được thỏa mãn: 1) Cho f : {0,00) x RR là một hàm L— Caratheodorg i) s+ f(s,y) la do được với mọi ụ € R;
#) u > ƒ(s.) là liên tục uới s € |U,©);
?i) Với mỗi r > 0 lon lait, € L"[0,00) sao cho |y| <r thi|f(s,y)| < T-(s) vdi moi s € [0,00) va t jim em fem r(sids =0 = 0 UG co lim e™ T(s)ds = 0 too
2) Ton tai hang s6 My > al vdi |u(t)| < Mo.t € [0,00) vdi moi ham u € BC((0,00),R) J Wie ( ({0, 00), R) théa man phuong trink u” —m?u =
Af(t,u) hau thấp noi trén [0,c0), u(0) = a va limpysoo u(t) = 0 vei
0<AST
Khi do, phương trình (2.9) có một nghiệm
Trang 3434
Chiing minh Tit gid thiét 1) va tinh toén tương tự như trong Dinh ly 2.2.1 ta có nghiệm của (2.9) là tương đương với y € BC([0, 00), R) thỏa man _ —mt e~m —ms d em ỉ —Tns r d y(t) = ae ™ +S Je ™S(s,y(s))ds— 5 — f e ™f(s,u(s))ds 0 t t c—mt — / f(s, y(s))ds 0 Dat Q := {y € C([0, 00), R),y € BC([0, 00), R) vdi |yla < fo +1 = No} va xo oo —mt cm —†?ns emt ems Ty) := ae “+ Se f(s, y(s))ds — mn f(s y(s))ds 0 t t emt - =5 [em fiovuls)as 0 Thực hiện các bước tương tự như Định lý 2.2.1 ta có điều phải chứng mình oO 2.2.3 Ví dụ Xét bài toán yl y+m*y' = f(t,y), 0<t< 27 , m #0; (2.17)
y(0) = 0; fore y(t) = 0
Giả sử giả thiết 1) trong Dịnh lý 2.2.1 được thỏa mãn và
ƒ:i0.o) xIR>R là liên tục (2.18)
và tồn tại hằng số Mo > 0 sao cho |y| > Mo kéo theo uM y) > 0 vdi moi
Trang 3535
Chứng múnh Ta chỉ cần chứng mình điều kiện 2) trong Dinh ly 2.2.1 thỏa mãn Giả sử € BC([0, 00), R) 1 C?([0, 00), R) là một nghiệm của
wu" + mu! = Af(t,u), O<t<o, 0< AKI, u(0) =0; lim; ;+ ¿(£) = 0
Ta can chitng minh |u(t)| < Mo véi moi t € [0,00) Néu A = 0 thi diéu
này đúng và u = 0 Gia sit 0 < \ < 1 Khi do, néu ton tai t € |0, œ) với
|u(t)| > Mo thi
max |u(t)| = |u(to)| > Mo véi to € (0.00) va u'(to) = 0
tc[0.)
Do vậy
u(fo)wf(fo) = u(to)[u" (to) + m?u!(to)] = Au(to) f (to, u(to)) > 0,
Diéu nay mau thuan véi tinh lén nhat cia |u(to)| Do dé |u(t)| < Mo vdi # €[0 œ) Suy ra điều kiện 2) trong Dinh ly 2.2.1 được thỏa mãn Vì vậy, áp dụng Dịnh lý 2.2.1 phương trình 2.17 có nghiệm L] 2.2.4 Ví dụ Xét bài toán
y" — my! = f(t,y) 0X t< oo, mA; - (2.19)
(0) = 0; lim¿_;+ (É) = 0
Giả sử điều kiện 1) của Dịnh lý 2.2.2 được thỏa mãn và
ƒ:J0.o) xIR R là liên tục (2.20)
va ton tai hang s6 Mo > 0 sao cho |y| > Mo kéo theo yf(t, y) > 0 vai mọi t € [0, 00) Khi d6, phương trình (2.19) có một nghiệm
y € BO((0, 00), R) ( )C?((0, 00), R)
Chứng minh Ta can chi ra rang diéu kién 2) ctia Dinh ly 2.2.2 duge théa man Gia sit u € BC([0, 00), R) 1 C?([0, 00), R) là một nghiệm của
of —m M tu), 0<£<œ 0<ÀKI,
Trang 3636 Nếu À =1 thì Xét 0< À< 1 và max _|u(t)| = |u(to)| > Mo vdi to € (0,00) tE[0,00) Lúc đó
Trang 3737
KẾT LUẬN
Luận văn đã thu dược các kết quả chính sau :
1) Trình bày hệ thống các kiến thức cơ bản về không gian lồi địa
phương, định lý điểm bất động Schauder đối với ánh xạ liên tục giữa các
tập lồi compact trong không gian định chuẩn
2) Trình bày chứng minh chỉ tiết định lý điểm bất động Tikhonov- Schauder đối với ánh xạ liên tục giữa các tập lồi, compact trong không gian lồi địa phương
3) Trình bày một vài ứng dụng của bất động Tikhonov-Schauder trong nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán biên của phương trình vi phân cấp hai
4) Chứng minh chi tiết một số kết quả mà các tài liệu không chứng
minh hoặc chứng minh vắn tắt như: Mệnh đề 1.2.6, Dịnh lý 1.2.12, Bổ
Trang 3838
TAI LIEU THAM KHAO
[1] Nguyén Van Khué va Lé Mau Hai (2002), Co sé ly thuyét ham va gid tich ham, Tép I, I, NXB Giáo Dục
[2] Agarwal R., Meehan M and O’Regan D (2004), Fixed point theory and Applications , Cambridge University Press
[3] Algelov V G (2009), Fixed points in Uniform Spaces and Applica- tions , Cluj University Press
[4| Angelov V G (1987), Fixed point theorem in uniform spaces and applications, Czechoslovak Math J 37(112), no 1, 19-33