Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co suy rộng trên không gian lồi địa phương và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian lồi địa phương định lý Tikhonov-Schauder 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Định lý Tikhonov-Schauder 12 Sự tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương 18 2.1 Một số định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương 18 ´ dụng 29 2.2 Ưng Kết luận 32 Tài liệu tham khảo 33 MỞ ĐẦU Không gian lồi địa phương lớp khơng gian véctơ tơpơ có vai trị quan trọng tốn giải tích Tơpơ lồi địa phương sinh họ nửa chuẩn liên tục, họ nửa chuẩn sinh giả mêtric khơng gian Từ giả mêtric sinh nửa chuẩn không gian lồi địa phương, vấn đề xuất tự nhiên có nhiều ứng dụng nghiên cứu mở rộng ứng dụng nguyên lý ánh xạ co cho lớp không gian Những kết lý thuyết điểm bất động ánh xạ không gian lồi địa phương đạt Tikhonov Schauder với mở rộng tiếng định lý cổ điển Brouwer (xem [2]) Sau đó, nhiều kết nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng I A Rus, V.G Angelov nhiều tác giả khác (xem [2]) Đặc biệt, định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ co không gian lồi địa phương cho nhiều ứng dụng nhiều vấn đề phương trình vi tích phân, phương trình hàm ,(xem [2], [3], [6]) Các vấn đề nghiên cứu định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương ứng dụng thú vị Với mục đích tìm hiểu khơng gian lồi địa phương, vài kết ban đầu định lý điểm bất động cho số lớp ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương ứng dụng, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Sự tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương ứng dụng Nội dung luận văn trình bày vấn đề không gian lồi địa phương, định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder ánh xạ liên tục tập lồi compact không gian lồi địa phương, số kết Hadzic tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương Các nội dung trình bày hai chương: Chương Khơng gian lồi địa phương định lý Tikhonov-Schauder Chương trình bày kiến thức sở khơng gian lồi địa phương cần dùng sau chứng minh chi tiết định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương Chương trình bày định lý điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương ứng dụng chứng minh tồn nghiệm số lớp phương trình vi phân Các nội dung trình bày luận văn khơng mới, chúng tơi tổng hợp trình bày theo lơgic riêng, nhiều kết tài liệu chứng minh vắn tắt không chứng minh chứng minh chi tiết Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo Khoa Tốn học, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2013 CHƯƠNG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ĐỊNH LÝ TIKHONOV-SCHAUDER Chương nhằm mục đích trình bày kết khơng gian lồi địa phương định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số kiến thức sở không gian vectơ tơpơ giải tích hàm cần dùng sau Những nội dung tổng hợp trích từ [1] 1.1.1 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô khơng gian véctơ với tơpơ cho phép tốn cộng nhân vơ hướng liên tục Tập U không gian véctơ X gọi cân αU ⊂ U với α ∈ K |α| < 1; tập U gọi hút với x ∈ X tồn δ > cho αx ∈ U với |α| < δ 1.1.2 Định lý Trong không gian véctơ tôpô tồn sở lân cận U gồm tập cân, hút với U ∈ U tồn V ∈ U cho V + V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Tập U không gian véctơ X gọi lồi với x, y ∈ U , với λ 1, λx + (1 − λ)y ∈ U 1.1.4 Định nghĩa Tập U không gian véctơ tôpô E gọi bị chặn với lân cận V tồn s > tương ứng cho U ⊂ tV với t > s 1.1.5 Định lý Trong khơng gian véctơ: 1) Bao đóng tập bị chặn tập bị chặn; 2) Bội vô hướng tập bị chặn tập bị chặn; 3) Hợp tổng hữu hạn tập bị chặn tập bị chặn 1.1.6 Định nghĩa Cho E không gian véctơ tơpơ Tập A ⊂ E gọi hồn toàn bị chặn hay tiền compact với lân cận U tồn tập hữu hạn B cho A ⊂ B + U 1.1.7 Định nghĩa Cho E không gian véctơ tôpô với sở lân cận U Dãy suy rộng {xi }i∈I gọi dãy Cauchy với U ∈ U tồn i0 ∈ I cho xi − xj ∈ U với i, j i0 Tập A ⊂ E gọi đầy đủ dãy suy rộng Cauchy hội tụ A 1.1.8 Định lý Cho E không gian véctơ tôpô Tập A E compact A đầy đủ hoàn toàn bị chặn 1.1.9 Định nghĩa Cho E không gian tuyến tính trường R Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ R với x ∈ E; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x−y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Đối với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép toán cộng nhân vô hướng E liên tục Do đó, khơng gian định chuẩn khơng gian vectơ tôpô với Bn = {x ∈ E : x < }, n = 1, 2, sở lân cận gồm n tập lồi, cân, bị chặn E Sau ta nhắc lại vài khái niệm quan trọng 1.1.10 Định nghĩa Cho ánh xạ f : X → X Điểm x gọi điểm bất động f f (x) = x Bây giờ, ta nhắc lại định lý điểm bất động tiếng Schauder 1.1.11 Định lý ([2]) Cho C tập đóng, lồi khơng gian định chuẩn E Khi đó, ánh xạ compact, liên tục F : C → C có điểm bất động Tiếp theo ta trình bày khái niệm, ví dụ tính chất khơng gian lồi địa phương xác định tôpô lồi địa phương sinh họ nửa chuẩn Các kết tổng hợp trích từ [1] 1.1.12 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô gọi lồi địa phương sở lân cận U gồm tập lồi 1.1.13 Mệnh đề Giả sử X khơng gian lồi địa phương Khi ∈ X có sở lân cận U thoả mãn: 1) U, V ∈ U có W ∈ U cho W ⊂ U ∩ V ; 2) αU ∈ U với α ∈ K, α = với U ∈ U; 3) Mọi U ∈ U lồi, cân hút Hơn nữa, không gian tuyến tính tơpơ X có họ tập U thoả mãn 1), 2) 3) không gian lồi địa phương 1.1.14 Mệnh đề Nếu không gian véctơ E có họ U gồm tập lồi, cân hút E tồn tơpơ yếu cho hai phép toán E liên tục E trở thành không gian lồi địa phương Hơn nữa, sở E họ tập n Vi , ε > 0, Vi ∈ U, U =ε i n i=1 1.1.15 Mệnh đề Nếu tôpô lồi địa phương τ X nhận U làm sở lân cận điểm ∈ X tơpơ Hausdorff εU = U ∈U;ε>0 Sau ta trình bày kết cốt yếu xác định tôpô lồi địa phương thông qua họ nửa chuẩn Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm nửa chuẩn 1.1.16 Định nghĩa Cho X không gian vectơ Hàm p xác định X nhận giá trị thực gọi nửa chuẩn X với x, y ∈ X với λ ∈ K ta có N1 ) p(x) 0; N2 ) p(x + y) p(x) + p(y); N3 ) p(λx) = |λ|p(x) Nửa chuẩn p không gian vectơ X chuẩn X p(x) = suy x = Nếu p chuẩn X x ∈ X số p(x) thường kí hiệu ||x|| 1.1.17 Mệnh đề Nếu p nửa chuẩn khơng gian vectơ X với α > tập A = {x ∈ E : p(x) < α} B = {x ∈ E : p(x) α} lồi, cân hút Chứng minh Giả sử x, y ∈ A Khi đó, với λ ∈ [0, 1] ta có p(λx + (1 − λ)y) p(λx) + p((1 − λ)y) = |λ|p(x) + |1 − λ|p(y) < λα + (1 − λ)α = α Do λx + (1 − λ)y ∈ A Vậy A tập lồi Với x ∈ A với r ∈ K cho |r| p(rx) = |r|p(x) ta có |r|α < α Suy rx ∈ A Vậy A cân Với x ∈ X Nếu p(x) = x ∈ A Nếu p(x) = lấy δ = α p(x) Khi đó, với λ ∈ K cho |λ| < δ ta có p(λx) = |λ|p(x) < α p(x) = α p(x) Vì λx ∈ A Do A hút Chứng minh tương tự ta có kết luận cho B 1.1.18 Nhận xét Giả sử P họ nửa chuẩn khơng gian vectơ X Khi đó, kết hợp Mệnh đề 1.1.14 Mệnh đề 1.1.17 ta có: Trên X tồn tôpô yếu cho E không gian vectơ tôpô p ∈ P liên tục Hơn nữa, X không gian lồi địa phương sở lân cận họ tập lồi có dạng U = {x ∈ E : sup pi (x) < ε, i = 1, 2, , n}, ε > 0, pi ∈ P, n ∈ N 1.1.19 Định nghĩa Giả sử A tập lồi, hút không gian vectơ tơpơ X Hàm thực khơng âm µA : X → R+ cho µA (x) = inf{t > : x ∈ tA} với x ∈ X gọi phiếm hàm Minkowski tập hợp A 1.1.20 Định lý Nếu A tập lồi, cân hút khơng gian vectơ tơpơ X µA := p nửa chuẩn X Hơn {x ∈ X : p(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X : p(x) 1} 1.1.21 Nhận xét Nếu X khơng gian lồi địa phương X có sở lân cận tập lồi, cân hút Do đó, sở lân cận tương ứng với họ nửa chuẩn phiếm hàm Minkowski tương ứng Kết hợp với Nhận xét 1.1.18 suy tơpơ lồi địa phương hồn tồn xác định họ nửa chuẩn ngược lại 1.1.22 Nhận xét Giả sử P họ nửa chuẩn sinh tơpơ lồi địa phương E Khi E Hausdorff p(x) = với p ∈ P kéo theo x = 1.1.23 Định lý Nếu E không gian Hausdorff lồi địa phương E xác định họ đếm nửa chuẩn E khả mêtric, tức E tồn mêtric sinh tôpô trùng với tôpô lồi địa phương ban đầu Chứng minh Giả sử {pn } họ nửa chuẩn sinh tôpô lồi địa phương E Với x, y ∈ E ta đặt ∞ d(x, y) = n=1 pn (x − y) 2n + pn (x − y) Khi đó, rõ ràng d(x, y) xác định d mêtric E Ta chứng minh tôpô sinh d trùng với tôpô lồi địa phương sinh {pn } Với ε > ta xét Bd (0, ε) = {x ∈ E : d(x, 0) < ε} hình cầu tơpơ mêtric d sinh Chọn n0 đủ lớn cho n>n0 ε < 2n Với U lân cận tôpô lồi địa phương xác định ε U = {x ∈ E : pi (x) < , i n0 } 10 Khi đó, ta có U ∈ B(0, ε) Thật vậy, x ∈ U n0 d(x, 0) = i=1 n0 < i=1 n0 pi (x) + 2i + pi (x) pi (x) + 2i n>n0 n>n0 pn (x) 2n + pn (x) 2n 1ε ε + 2i 2 i=1 ε ε < + 2 < Ngược lại, ta lấy V = {x ∈ R∞ : pi (x) < , i ∈ I, I hữu hạn } lân cận ∈ E tôpô sinh họ {pn } Lấy ε1 > cho 2i ε ε , i ∈ I 1+ε Khi Bd (0, ε1 ) ⊂ V Thật vậy, giả sử có x ∈ Bd (0, ε1 ) i ∈ I cho pi (x) > ε Khi ∞ ε1 > n=1 pn (x) 2n + pn (x) ε 2i + ε Điều khơng xảy Vậy tôpô d sinh tôpô địa phương E không gian lồi địa phương với tôpô xác định họ đếm nửa chuẩn 1.1.24 Định nghĩa Cho X không gian lồi địa phương với với tôpô lồi địa phương sinh ho nửa chuẩn {pα }α∈I 19 Khi đó, T có điểm bất động x ∈ M thỏa mãn n−2 q[f k (i)]pf n−1 (i) (x − x0 ) lim n→∞ =0 k=0 với i ∈ I S(i) − Sk (i) pf k (i) (x − x0 ) n−1 (2.1) q[f r (i)] r=0 với i ∈ I k = 0, 1, , Sk (i) tổng riêng chuỗi S(i) Chứng minh Với x0 xác định giả thiết định lý, ta xét dãy {xn } ⊂ M theo cách xn = T xn−1 , n = 1, 2, Khi đó, với i ∈ I ta có pi (x2 − x1 ) q(i)pf (i) (x1 − x0 ) pi (x3 − x2 ) q(i)q[f (i)]pf (i) (x1 − x0 ) ···································· ···································· n−1 q[f r (i)] pf (n+1) (i) (x1 − x0 ) pi (xn+1 − xn ) r=0 ···································· Suy n pi (T x0 − x0 ) + q(i)pf (i) (T x0 − x0 ) + · · · + pi (dr ) r=1 (2.2) n−2 q[f r (i)] pf n−1 (i) (T x0 − x0 ), + r=0 n dn = xn − xn−1 Đặt yn = dr Ta có r=1 n+r n+k−1 q[f j (i)] pf k−1 (i) (T x0 − x0 ) pi (yn+r − yn ) k=n+1 j=0 20 ∞ n−2 n=1 r=0 Vì chuỗi q[f r (i)] pf n−1 (i) (T x0 −x0 ) hội tụ nên pi (yn+r −yn ) → n → ∞ với r Do đó, (yn ) dãy Cauchy không gian đầy đủ n dãy E {yn } hội tụ tới y E Từ xn = x0 + dr = x0 + yn r=1 suy (xn ) hội tụ E Vì (xn ) ⊂ M M đóng nên x = lim xn = n→∞ lim T n x0 ∈ M Với i ∈ I ta có n→∞ pi (T x − T xn ) pf (i) p(x − xn ) → n → ∞ Suy xn+1 = T xn → T x n → ∞ Vì E Hausdorff nên x = T x Bây giờ, ta chứng tỏ rằng: n−2 q[f k (i)] pf n−1 (i) (x − x0 ) = lim n→∞ k=0 Với k, n ∈ N ta có pf k (i) (xn − x0 ) pf k (i) (xn − xn−1 ) + pf k (i) (xn−1 − xn−2 ) + · · · + + pf k (i) (x1 − x0 ) n−2 q[f r (f k (i))] pf n+k−1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · + r=0 k + q[f (i)]f k+1 (i) (T x0 − x0 ) + pf k (i) (T x0 − x0 ) (2.3) n−2 q[f r+k (i)] × pf n+k−1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · + = r=0 + pf k (i) (T x0 − x0 ) Vì k−1 q[f r (i)] pf k (i) (T x0 − x0 )+ S(i) − Sk (i) = r=0 k (2.4) q[f r (i)] pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · + r=0 21 k−1 q[f r (i)] × [pf k (i) (T x0 − x0 ) + qf k (i) pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · ] = = r=0 k−1 q[f r (i)] Ak (i), = r=0 A(i) = pf k (i) (T x0 − x0 ) + qf k (i) pf k+1 (i) (T x0 − x0 ) + · · · Từ (2.3) ta có pf k (i) (xn − x0 ) Ak (i) Do đó, từ (2.4) cho n → ∞ ta thu được: pf k (i) (x − x0 ) S(i) − Sk (i) k−1 q[f r (i)] r=0 n−1 Cũng từ (2.4) cho k → ∞ ta nhận lim n→∞ q[f r (i)] pf n (i) (x − r=0 x0 ) = Cuối ta chứng minh tính điểm bất động thỏa mãn điều kiện (2.1) Giả sử ngược lại x, y nghiệm phương trình T x = x Khi đó, pi (x − y) = pi (T x − T y) q(i)pf (i) (x − y) n q[f r (i)] pf n+1 (i) (x − y) r=0 n q[f r (i)] [pf n+1 (i) (x − x0 ) + pf n+1 (i) (y − x0 )] r=0 n → ∞ ta thu pi (x − y) = với i ∈ I Suy x = y Ta nhận hệ sau: 2.1.2 Hệ ([3]) Cho E không gian lồi địa phương đầy đủ dãy f ánh xạ từ I vào I Giả sử M tập đóng E T ánh xạ từ M vào M thỏa mãn điều kiện sau: 1) Với i ∈ I tồn q(i) pi (T x − T y) cho: q(i)pf (i) (x − y) ∀x, y ∈ M 22 2) Với i ∈ I tồn n(i) ∈ N cho với n n(i), q[f n (i)] q(i) < 3) Tồn x0 ∈ M cho pf n (i) (x0 − T x0 ) i ∈ I n m(i) < ∞, với Khi đó, phương trình x = T x có nghiệm thỏa mãn điều kiện: 4) pf n (i) (x − x0 ) p(i, x) < ∞ với n Chứng minh Vì ∞ ∞ n−1 n−1 k q[f k (i)] m(i) q[f (i)] pf n (i) (T x0 − x0 ) n=0 n=0 k=0 ∞ n−1 an (i), an (i) = Xét chuỗi số n=0 k=0 q[f k (i)] Ta có k=0 n an+1 (i) = an (i) q[f n (i)] k=0 n−1 = q[f n (i)] q(i) < 1, q[f k (i)] k=0 ∞ an (i) hội tụ Do đó, áp áp dụng dấu hiệu D’Alambert’s n=0 dụng Định lý 2.1.1 ta nhận điều cần chứng minh 2.1.3 Định lý ([3]) Cho G tập lồi, đóng không gian tôpô lồi địa phương Hausdorff E S, T hai ánh xạ từ G vào E thỏa mãn điều kiện Với x, y ∈ G, T x + Sy ∈ G a) Với i ∈ I tồn q(i) cho pi (T x−T y) q(i)pf (i) (x− y) với x, y ∈ G b) Với i ∈ I n ∈ N tồn an (i) x ∈ E, n g(i) ∈ I cho với N bất đẳng thức sau pf n (i) (x) ∞ n−2 n=0 k=0 c) Chuỗi q[f k (i)] an−1 (i) hội tụ an (i)pg(i) (x) 23 Ánh xạ S liên tục S(G) tập compact tương đối Khi đó, tồn điểm x0 ∈ G cho Sx0 + T x0 = x0 Chứng minh Với x ∈ G cố định, ta xét ánh xạ y → T y + Sx Từ điều kiện 2) định lý ta dễ dàng suy ánh xạ y → T y + Sx thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.1.1, tồn Rx ∈ G cho Rx = T Rx + Sx Sử dụng bất đẳng thức ∞ pi (Rx − Rx0 ) n−2 q[f k (i)] an−1 (i) pg(i) (Sx − Sx0 ) n=1 k=1 điều kiện 3) định lý ta dễ dàng ánh xạ R liên tục tập R(G) compact Do đó, áp dụng định lý điểm bất động Tikhonov Schauder ta có tồn z ∈ G cho Rz = z, tức z = T z + Sz Định lý sau là hệ Định lý 2.1.1, khẳng định tính liên tục theo tham số điểm bất động ánh xạ phụ thuộc tham số 2.1.4 Định lý ([3]) Cho E không gian lồi địa phương đầy đủ dãy f ánh xạ từ I vào I Giả sử M tập đóng E Giả sử Λ không gian tôpô Φ ánh xạ từ M × Λ vào M Hơn nữa, giả sử φx : λ → φ(x, λ) liên tục theo biến λ, với x ∈ M φλ : x → φ(x, λ) thỏa mãn điều kiện sau: Với i ∈ I λ ∈ Λ, tồn fλ : I → I qλ pi (φλ x − φλ y) qλ (i)pfλ (i) (x − y) ∀x, y ∈ M Với i ∈ I n ∈ N , tồn an (i) Qn (i) cho: a) pfλn (i) (x) b) q[fλn (i)] cho: an (i)pg(i) (x) với λ ∈ Λ x ∈ M Qn (i) với λ ∈ Λ g(i) ∈ I 24 ∞ n−2 n=1 k=0 Qk (i) an−1 (i) hội tụ c) Chuỗi Khi nghiệm x(λ) phương trình x(λ) = Φ[x(λ), λ] liên tục theo biến λ ∈ Λ Chứng minh Từ điều kiện a) định lý, với λ ∈ Λ ánh xạ Φλ : M → M xác định Φλ (x) = Φ(x, λ) thỏa mãn điều kiện Định lý 2.1.1 Do đó, tồn x(λ) ∈ M cho x(λ) = Φ[x(λ), λ], λ ∈ Λ x(λ) giới hạn dãy {xn,λ } ⊂ M xác định xn,λ = Φ[xn−1,λ , λ] Hơn nữa, từ điều kiện c) định lý, khơng tính tổng qt với phần tử {x0,λ ∈ M } Nếu tiếp tục áp dụng Định lý 2.1.1 T ánh xạ Φλ ta thu từ (2.1) bất đẳng thức pi (x − x0 ) = pi (x(λ) − x(λ0 )) ∞ pg(i) (Φλ [x(λ0 )] − Φλ0 [x(λ0 )])× n−2 q[fλk (i)] an−1 (i) × n=1 pg(i) (Φλ [x(λ0 )] − Φλ0 [x(λ0 )])× k=0 ∞ n−2 × Qk (i) an−1 (i) n=1 k=0 Vì ánh xạ λ → Φ(x, λ) liên tục nên tồn lân cận V (λ0 ) ⊂ Λ cho: ∞ pg(i) (Φλ [x(λ0 ), λ] − Φλ0 [x(λ0 ), λ0 ]) ε −1 Qk (i) an−1 (i) n=1 suy pi (x(λ) − x(λ0 )) n−2 k=0 ε với λ ∈ V (λ0 ) Do đó, x(λ) liên tục 2.1.5 Định lý ([5]) Cho E không gian lồi địa phương đầy đủ dãy M tập đóng E T ánh xạ từ M vào E 1) Với (α, i) ∈ I × {1; 2; ; k} tồn q(α, i) ϕi : I → I thỏa mãn bất đẳng thức: k pα (T x − T y) q(α, i)pϕi (α) (x − y) i=1 ánh xạ 25 với x, y ∈ M 2) Tồn x0 ∈ M cho n−1 R = sup lim p(α, n, x0 ) α∈I n∈N i=0 Q(α, i) < k Khi đó, tồn nghiệm x∗ phương trình T x = x x∗ thỏa mãn tính chất n−1 lim k n→∞ n ∗ max i1 i2 in ∈V (n,k) {pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x − x0 )} Q(α, i) = (2.5) i=0 với α ∈ I pα (x∗ − T m x0 ) S(α, x0 ) − Sm (α, x0 ) (2.6) với m = 1, 2, , α ∈ I Hơn nữa, với nghiệm x∗ phương trình T x = x thỏa mãn điều kiện (2.5) x∗ = lim T m x0 m→∞ Trong ta dùng ký hiệu sau: P (α, 0, x) = pα (T x − x); P (α, n, x) = Q(α, n) = max i1 i2 in ∈V (n,k) max {pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x − T x)}, n = 1, 2, ; {q(ϕi1 ϕi2 ϕin (α)i , i)}, n = 1, 2, ; i1 i2 in ∈V (n,k) Q(α, 0) = max q(α, i), n = 1, 2, ; i=1,2, ,k ∞ n−2 S(α, x) = P (α; 0; x) + k n−1 p(α, n − 1, x) n=2 Q(α, i); i=0 Sm (α, x) tổng riêng thứ m chuỗi S(α, x) Chứng minh Đầu tiên, ta chứng tỏ rằng: Với n ∈ N ∀x, y ∈ M ta có bất đẳng thức sau pα (T n x − T n y) q(α, in )q(ϕin (α); in−1 )q(ϕin−1 ϕin (α), i1 i2 in ∈V (n,k) 26 , in−2 ) q(ϕi2 ϕi3 ϕin (α), i1 )pϕi2 ϕi3 ϕin (α)(x − y) (2.7) Thật vậy, với n = ta có k pα (T x − T y) q(α, i1 )pϕi1 (α) (x − y), q(α, i)pϕi (α) (x − y) = i=1 i1 ∈V (1,k) bất đẳng thức (2.1) với n = Giả sử bất đẳng thức (2.1) cho n − ta cần chứng minh bất đẳng thức với n Ta có pα (T n x − T n y) = pα T n−1 (T x) − T n−1 (T y) q(α, jn−1 )q(ϕjn−1 (α), j1 j2 jn−1 ∈V (n−1;k) , jn−2 ) q(ϕj2 ϕj3 ϕjn−1 (α); j1 )pϕj1 ϕjn−1 (α)(x − y), pϕj1 ϕj2 ϕjn−1 (α)(T x − T y) q(ϕj1 ϕj2 ϕjn−1 (α); i)pϕi ϕj1 ϕj2 ϕjn−1 (α) (x − y) i∈V (1;k) Suy pα T n x − T n y q(α, jn−1 )q(ϕjn−1 (α); jn−2 ) q(ϕj2 ϕj3 ϕjn−1 (α) j1 j2 jn−1 ∈V (n−1;k) q(ϕj1 ϕj2 ϕjn−1 (α); i) pϕi ϕj1 ϕj2 ϕjn−1 (α)(x − y) = , j1 ) i∈V (1;k) = q(α, jn−1 )q(ϕjn−1 (α); jn−2 ) q(ϕj1 ϕj2 j1 j2 jn−1 ∈V (n−1;k) i∈V (1,k) ϕjn−1 (α); i) pϕi ϕj1 ϕjn−1 (α) (x − y) = q(α, in )q(ϕin (α), i1 i2 in ∈V (n;k) 27 , in−1 ) q(ϕi2 ϕi3 ϕin (α); i1 )pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x − y) Vậy bất đẳng thức (2.1) chứng minh Đặt ∆n = xn − xn−1 , n = 1, 2, , xn = T xn−1 , n = 1, 2, Khi ∆n+1 = T n x1 − T n x0 áp dụng bất đẳng thức (2.1), ta có q(α, in )q(ϕin (α), in−1 ) q(ϕi2 ϕi3 ϕin (α), i1 )× pα (∆n+1 ) i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) n−1 ×pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x1 − x0 ) Q(α, i − 1) p(α, n, x0 ) i=0 i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) n−1 n Q(α, i) k p(α, n, x0 ) i=0 n ∞ Do R < nên chuỗi ∆i + x0 suy ∆i hội tụ kết hợp với xn = k i=1 i=1 tồn lim xn = x∗ Mặt khác, sử dụng xn = T xn−1 T liên tục ta x∗ n→∞ = T x∗ , tức x∗ nghiệm phương trình T x = x Bây giờ, ta chứng minh bất đẳng thức 2.5 Nhờ (2.1) ta có pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (xm − x0 ) pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x1 − x0 )+ m pϕi1 ϕi2 ϕin (∆s ) pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x1 − x0 )+ s=2 m q(ϕi1 ϕi2 ϕin , js−1 )q(ϕjs−1 ϕi1 ϕi2 s=2 j1 j2 js−1 ∈V (s−1,k) ϕin (α)) q(ϕj2 ϕj3 ϕjs−1 ϕi1 ϕi2 ϕin (α), j1 ))pϕj1 ϕj2 ϕjs−1 ϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x1 − x0 ) ∞ P (α, n, x0 ) + s−2 k s=2 s−1 p(α, n + s − 1, x0 ) Q(α, n + i) = i=0 28 = P (α, n, x0 ).k n × n−1 kn ∞ n−1 s=2 i=0 Q(α, i) k n+s−1 P (α, n+s−1, x0 )× Q(α, i)+ i=0 n−1 × n+s−2 Q(α, i) Q(α, i) i=0 = k s−1 p(α, s−1, x0 )× n−1 kn i=n ∞ Q(α, i) s=n+1 i=0 n−1 × Q(α, i) = S(α, x0 ) − Sn (α, x0 ) n−1 kn i=0 Q(α, i) i=0 Ta có n−1 kn Q(α, i) i=0 max i1 i2 in ∈V (n,k) pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (xm −x0 ) s(α, x0 )−sn (α−x0 ) Cho m −→ ∞ ta nhận n−1 k n Q(α, i) i=0 max i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) {pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x∗ − x0 )} S(α, x0 ) − Sn (α − x0 ) Cho n −→ ∞ ta nhận (2.5), lim sn (α − x0 ) = s(α, x0 ) n→∞ Tiếp theo, ta chứng minh (2.6) Với n > m ta có ∞ n pα (xn − xm ) s−2 pα (∆s ) s=m+1 k s−1 P (α, s − 1, x0 ) s=m+1 Q(α, i) = i=0 = S(α, x0 ) − Sm (α, x0 ) Cho n → ∞ ta nhận (2.6), vế phải bất đẳng thức không phụ thuộc vào n Cuối cùng, giả sử y = T y n−1 lim k n→∞ n Q(α, i) i=0 max {|y − x0 |ϕi1 ϕi2 ϕin (α) } = i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) 29 Chúng ta cần chứng minh x∗ = y Từ x∗ = T x, y = T y (2.1) ta có pα (x∗ − y) = pα (T n x∗ − T n y) q(α, in )q ϕin (α), in−1 i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) q(ϕi2 ϕi3 ϕin (α), i1 )pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (x∗ − y) n−1 max i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) {pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (y − x0 )}k n Q(α, i − 1)+ i=0 n−1 + max i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) {pϕi1 ϕi2 ϕin (α) (y − x0 )}k n Q(α, i − 1) i=0 Cho n → ∞ ta có pα (x∗ − y) = với α ∈ I suy x∗ = y Định lý chứng minh ´ 2.2 Ưng dụng Trong mục ta trình bày ứng dụng kết Định lý 2.1.5 để chứng minh tồn nghiệm lớp phương trình vi phân với giá trị không gian lồi địa phương 2.2.1 Định nghĩa Cho E không gian lồi địa phương xác định họ nửa chuẩn {pα }α∈I ∆ = [t0 − a, t0 + a] ⊂ R với t0 ∈ R a > Với x0 ∈ E b > đặt U = {x ∈ E : pαi (x − x0 ) b, i = 1, 2, , n} Xét phương trình dx = f (x, t), x(t0 ) = x0 (2.8) dt f : U × ∆ → E ánh xạ liên tục đạo hàm xét E đạo hàm mạnh theo nghĩa Frechet, tức với hàm x : ∆ → E 30 x (t) : R → E ánh xạ tuyến tính xác định pα x(t + ∆t) − x(t) − x (t)(∆t) =0 ∆t ∆t→0 lim với α ∈ I Chú ý phương trình (2.8) tương đương với phương trình tích phân t f (x(u), u)du x(t) = x0 + t0 với t ∈ ∆ Xét C(∆, E) không gian ánh xạ liên tục ∆ vào E với phép tốn cộng nhân vơ hướng theo điểm thông thường Trên C(∆, E) xét họ nửa chuẩn xác định qα (x) = sup pα (x(t)) t∈∆ với x ∈ C(∆, E) α ∈ I 2.2.2 Định lý ([5]) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: sup 1) pαi (f (x, t)) p < ∞, i = 1, 2, , n (x,t)∈U ×∆ 2) Với (α, i) ∈ I × {1, 2, , k} có hàm {k(α,i) (t)} khả vi ∆, ánh xạ ϕi : I → I h > cho: n a) pα (f (x, t) − f (y, t)) i=1 n−1 b) R = sup lim α∈I n∈N n p(α, n) kα,i (t)pϕi (α) (x − y), ∀(x, y, t) ∈ U × ∆ Q(α, i) < i=1 k đây: p(α, n) = max i1 ,i2 , ,in ∈V (n,k) sup{pϕi1 ϕi2 , ,ϕin (α) (f (x0 , t)), t ∈ ∆} t0 +h q(α, i) = max t0 kα,i (u)du, t0 Q(α, n) = max i1 ,i2 , ,in ∈V (n+1,k) kα,i (u)du t0 −h {q(ϕi1 ϕi2 ϕin (α), i)} 31 Khi đó, tồn nghiệm phương trình (2.8) [t0 −h; t0 +h] = ∆ với h = min(a, pb ,h ) Chứng minh Chúng ta sử dụng Định lý 2.1.5 để chứng minh tồn nghiệm phương trình (2.8) Ta áp dụng Định lý 2.1.5 cho E C(∆ , E), M = C(∆ , E) ánh xạ T xác định t f (x(u), u)du (T x)(t) = x0 + t0 Ta có qα (T x − T y) pϕi (α) (x(u) − y(u))du k t0 +h kα,i (u)du, max i=1 k t0 t0 t0 −h kα,i (u)du qϕi (α) (x − y) q(α, i)qϕi (α) (x − y) = i=1 Hơn nữa, với h < pb , T x ∈ I(∆ , u), ∀x ∈ I(∆ , u) Các điều kiện lại Định lý 2.1.5 kiểm tra dễ dàng Do đó, tồn nghiệm phương trình x ∈ C(∆ , E) cho T x = x 32 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày có hệ thống kiến thức sở không gian lồi địa phương; Chứng minh chi tiết định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder 2) Trình bày số kết tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương Hadzic ứng dụng để chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân với giá trị không gian lồi địa phương Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu chứng minh vắn tắt không chứng minh như: Định lý 1.2.2, Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.5, Định lý 2.2.2, 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I Tập II, NXB Giáo Dục [2] Agarwal R., Meehan M and O’Regan D (2004), Fixed point theory and Applications, Cambridge University Press [3] Hadzic O (1973) Existence theorems for the system x = H(x, y), y = K(x, y) in locally convex spaces, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.) 16(30), 65-73 [4] Hadzic O (1978), Fixed point theorems for multivalued mappings in locally convex spaces, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.) 24(38) (1978), 61-66 [5] Hadzic O and Paunic D (1976) A theorem on fixed point in locally convex spaces, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.) 20(34), 111-116 [6] Hadzic O and Stankovic, B.(1970), Some theorems on the fixed point in locally convex spaces, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.) 10 (24), 9-19 ... lý điểm bất động Tikhonov-Schauder Chương Sự tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương Chương trình bày định lý điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương. .. gian lồi địa phương, định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder ánh xạ liên tục tập lồi compact không gian lồi địa phương, số kết Hadzic tồn điểm bất động ánh xạ co suy rộng không gian lồi địa phương. .. đó, tồn x ∈ C với x = F (x) 18 CHƯƠNG SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN KHƠNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương trình bày định lý điểm bất động số lớp ánh xạ co suy rộng không gian